一种可评估结构非概率可靠度的安全系数设计方法

摘要

本发明公开了一种可评估结构非概率可靠度的安全系数设计方法，首先利用结构参数的有限样本数据，利用非统计度量方法合理表征不确定参数的非概率特性；近似求解、Monte Carlo模拟法等确定结构应力、强度的不确定分布特性；构建结构的应力‑强度非概率集合干涉模型，提出相应的非概率集合理论可靠度评估公式；结合非概率集合理论可靠度评估公式，建立与非概率集合理论可靠度、强度变异系数以及应力变异系数等相关的安全系数的解析表达式；针对工程结构，根据相应可靠度要求计算对应的安全系数，进行安全系数结构设计，获得满足一定可靠度的结构最优设计方案。本发明兼顾了设计本身安全性和经济性，保留了传统安全系数设计方法概念简单，容易实行的特点。

说明书

技术领域

本发明涉及含非概率不确定参数结构的优化设计技术，特别涉及考虑将非概率集合理论可靠度、不确定应力变异系数、强度变异系数以及中心安全系数结合起来的中心安全系数定量表征以及基于非概率可靠度的结构安全系数设计，以获得满足一定可靠度的结构最优设计方案。

背景技术

在结构设计方面，传统的安全系数设计法由于概念简单、使用方便等优点被广泛应用于工程领域。另一方面，可靠性设计方法由于可以保证结构满足特定的可靠度要求，而使结构拥有一个更加合理的设计。然而，这两种方法均有一定程度的不足之处。其中传统的安全系数法由于把各种参数当作定值，没有分析参数的随机变化特性，而仅仅用一个凭经验或总结确定的系数笼统地计及各种不确定因素，具有一定的主观随意性，所设计的结构难免会造成材料的浪费或无法保证安全。此外确定的安全系数并没有与定量的结构可靠性要求，因此传统的安全系数不能完全代表结构的可靠度。而结构可靠性设计方法虽然将不确定参数视为服从一定分布的随机变量，并通过选择一个合适的可靠度来进行结构设计，但由于它要求设计人员必须具备一定的可靠性及数理统计等相关知识，它的广泛应用受到了一定限制。

为了将安全系数设计方法的简单易懂性和可靠性设计方法的合理性有效结合起来，目前结构设计的发展趋势是逐步使安全系数与可靠度建立数学关系，以可靠性安全系数取代传统安全系数来确保结构的成功概率，然后再按常规方法进行设计。这是一种实现结构可靠性设计的一种即简便又有效的方法。

然而需要指出的是当前的可靠性意义下安全系数的确定是建立在概率可靠性理论、概率应力-强度干涉模型下的，它需要大量的不确定数据或信息以获得精确的概率密度函数、变异系数等分布特性，这在工程实际中通常是很难实现的。而大多数情况下不确定参数的边界更易获得，非概率可靠性理论应运而生。进而，非概率可靠性理论下安全系数的确定以及相应的安全系数结构设计方法的研究具有重要的理论意义与工程实用价值。针对实际工程中有限样本数据，建立以非概率理论为基础的不确定变量的精确有效 表征技术、不确定响应评估技术、基于非概率可靠度的安全系数求解技术以及基于非概率可靠度的安全系数优化设计技术的完整结构设计方法具有显著的现实意义。

发明内容

本发明解决的技术问题是：克服传统安全系数法主观盲目性以及可靠性设计方法的复杂难懂性，将安全系数法的简单方便和可靠性设计方法的有效合理充分结合起来，针对工程实际中表征不确定参数的有限样本数据，提供一种可评估结构非概率可靠度的安全系数设计方法。

本发明充分考虑实际工程结构普遍存在的不确定性因素，针对有限样本数据的情况，以提出的可评估结构非概率可靠度的安全系数为基础，进行常规的安全系数设计，所得到的结构设计结果不仅可以满足一定程度的可靠度要求，而且计算方便，便于工程设计人员理解和接受，更加符合真实情况，工程适用性更强。本发明采用的技术方案实现步骤如下：

第一步：将结构参数，包括载荷、材料弹性常数、强度指标以及结构尺寸的有限样本数据写成原始数据矩阵其中x₁(1),x₁(2),…x_m(n)是来源于试验或等精度测量的原始数据，m为结构参数的总个数，n为每个参数样本数据的个数；利用灰度理论、信息熵理论、最小区间集理论的非统计度量方法对有限样本数据进行筛选与评估，剔除样本数据中的粗大误差和无效数据，并进行标准不确定度评定，进而得到结构参数的合理不确定区间表征向量即区间向量其中有为有效试验结果或测量数据的平均值向量，s为基于灰度理论评价的不确定量的估计值或信息熵理论确定的扩展不确定变量，k为相应的调整因子，m为结构参数的个数，为第p个结构参数的区间表征，I表示区间，T表示矩阵转置。

${\bar{x}}_i=\frac{\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}_i\left(j\right)}{n}$

为第i个结构参数的有效试验结果或测量数据的平均值向量。

第二步：利用第一步得到的区间表征向量合理表征有限样本数据的载荷、材料弹性常数、强度指标以及结构尺寸的不确定信息，包括载荷、材料弹性常数、强度指标以及结构尺寸的上、下界与中心值、区间半径的关系式，有：

$X^U={(x_1^U,x_2^U,\mathrm{...},x_m^U)}^T={(x_1^c+x_1^r,x_2^c+x_2^r,\mathrm{...},x_m^c+x_m^r)}^T$

$X^L={(x_1^L,x_2^L,\mathrm{...},x_m^L)}^T={(x_1^c-x_1^r,x_2^c-x_2^r,\mathrm{...},x_m^c-x_m^r)}^T$

$X^c={(x_1^c,x_2^c,\mathrm{...},x_m^c)}^T$

$X^r={(x_1^r,x_2^c,\mathrm{...},x_m^r)}^T$

其中X^U为结构参数的上界表达式，X^L为结构参数的下界表达式，X^c为结构参数的中心值表达式，X^r为结构参数的区间表达式；上标U代表变量的取值上界，上标L代表变量的取值下界；上标c代表区间中心值，上标r代表区间半径；

第三步：将第二步得到的结构参数的不确定信息X^U、X^L、X^c以及X^r引入到工作结构应力S和强度R的计算表达式S(x₁,x₂,…,x_m)和R(x₁,x₂,…,x_m)中；进而引入非概率不确定传播理论和方法，基于区间运算法则和区间扩张理论，利用不确定变量综合计算方法、顶点法、Taylor级数展开近似求解、Monte>c,S^r和R^c,R^r。其中有：

$S^c=\frac{\bar{S}+\underset{‾}{S}}{2},S^r=\frac{\bar{S}-\underset{‾}{S}}{2},R^c=\frac{\bar{R}+\underset{‾}{R}}{2},R^r=\frac{\bar{R}-\underset{‾}{R}}{2}$

其中分别为结构应力S和强度R的下界；分别为结构应力S和强度R的上界S^c,R^c分别为结构应力S和强度R的中心值，S^r,R^r分别为结构应力、强度的区间半径；

第四步：根据第三步得到的结构应力S、强度R的不确定分布特性，包括中心值S^c,R^c和区间半径S^r,R^r，利用非概率集合理论应力-强度干涉模型，建立非概率可靠度的功能函数方程：

M(R,S)＝R-S

其中当M＝R-S>0时结构处于安全状态，反之当M＝R-S<0时结构处于失效状态；对结构应力S、强度R进行标准区间变换有：

R＝R^c+R^rδ_R,S＝S^c+S^rδ_S

其中δ_R∈[-1,1]，δ_S∈[-1,1]为标准化的强度、应力区间变量。得到标准化变量空间下的极限状态方程为：

M(δ_R,δ_S)＝R^c-S^c+R^rδ_R-S^rδ_S＝0

最后得到非概率集合理论可靠度R_集合，即安全区域与基本变量总区域之比为：

第五步：根据第三步得到的结构应力S、强度R的不确定分布特性，包括中心值S^c,R^c和区间半径S^r,R^r，定义区间理论下的中心安全系数n_m为结构强度R、应力S的中心值之比，即n_m＝R^c/S^c；定义强度变异系数C_R和应力变异系数C_S分别为：

$C_R=\frac{R^r}{R^c},C_S=\frac{S^r}{S^c}$

则有：

R^r＝C_R×R^c,S^r＝C_S×S^c

R∈R^I＝[R^c(1-C_R),R^c(1+C_R)]

S∈S^I＝[S^c(1-C_S),S^c(1+C_S)]

基于上面的四个式子，得到区间理论下的中心安全系数n_m、强度变异系数C_R、应力变异系数C_S及非概率集合理论可靠度R_集合的关系式：

其中有

第六步：针对工程结构选择合适的可靠度R_集合；利用得到的强度变异系数C_R、应力变异系数C_S，求解与非概率集合理论可靠度R_集合对应的中心安全系数n_m，并进行安全系数结构设计，获得满足一定可靠度的最优设计方案。其中优化模型如下：

find:d

min f(d)

$\left(\begin{array}{ccc}s.t.& n^i=\frac{g_a^i}{g_i\left(d\right)}\ge n_a^i,& i=1,2,\mathrm{...},l\end{array}\right)$

$d\in {\Omega }_d^m$

这里，d代表m维设计变量；f(d)是优化目标，如结构重量或尺寸等；是设计变量d的可行域；g_i代表第i个与结构响应相关的确定性约束条件，如应力、刚度、频率等，为相应许用值；l为确定性约束的个数；为非概率可靠度对应的中心安全系数。

本发明与现有技术相比的优点在于：本发明针对工程实际中含不确定参数结构提供 了一种结构优化设计的新思路，弥补了传统安全系数设计方法和可靠性设计方法存在的不足，将二者的优势有效结合起来。所构建的非概率可靠度的安全系数，不仅适用于有限样本数据(通过不超过10个)的情形，还可以建立和非概率可靠度的对应关系，计及变异系数对安全系数的影响。在对不确定参数存在的结构进行优化设计时，可以充分考虑不确定分布特性、可靠度等安全系数的影响，在确保结构满足一定可靠度的前提下可大大降低结构重量，提高性能的同时，降低设计周期和经济成本。

附图说明

图1是本发明针对可评估结构非概率可靠度的安全系数设计方法流程图；

图2是本发明中的非概率集合理论的应力-强度干涉模型示意图；

图3是本发明中的区间理论下失效平面标准化变换示意图；

图4是本发明针对含不确定结构参数的矩形截面悬臂梁结构几何模型示意图；

图5是本发明针对含不确定结构参数的矩形截面悬臂梁结构优化结果比较曲线；

图6是本发明针对含不确定结构参数的矩形截面悬臂梁结构可靠度优化设计迭代历程曲线。

具体实施方式

如图1所示，本发明提出了一种可评估非概率可靠度的安全系数设计方法，包括以下步骤：

(1)通过对结构某参量进行试验研究或等精度测量，得到结构参数，包括载荷、材料弹性常数、强度指标以及结构尺寸的有限样本数据的原始数据矩阵其中x₁(1),x₁(2),…x_m(n)是来源于试验或等精度测量的原始数据，m为结构参数的总个数，n为每个参数样本数据的个数；利用灰度理论、信息熵理论、最小区间集理论的非统计度量方法对有限样本数据进行筛选与评估，剔除样本数据中的粗大误差和无效数据，并进行标准不确定度评定；

其中灰度理论将有效测量数据序列{x_j(i),i＝1,2,…,n}从小到大排列成新序列并经一次累加生成后的新序列：

$\left(\begin{array}{c}\{x_j^{\left(1\right)}\left(i\right),i=1,2,\mathrm{...},n\}=\left(x_j^{\left(1\right)}\right(1\left){,}_j^{\left(1\right)}\right(2),\mathrm{...}{,}_j^{\left(1\right)}(n\left)\right)\\ =\left(x_j^{\left(0\right)}\right(1),x_j^{\left(0\right)}(1)+x_j^{\left(0\right)}(2),\mathrm{...},x_j^{\left(0\right)}(1)+x_j^{\left(0\right)}(2)+\mathrm{...}+x_j^{\left(0\right)}(n\left)\right)\end{array}\right)$

定义

$\left(\begin{array}{c}\Delta \left(k\right)=\frac{x_j^{\left(1\right)}\left(n\right)}{n}k-x_j^{\left(1\right)}\left(k\right)\\ {\Delta }_{\max }=\max \left(\Delta \right(1),\Delta (2),......,\Delta (n\left)\right)\\ s=c\frac{{\Delta }_{max}}{n}\end{array}\right)$

其中，c是灰色常量系数，一般认为是2.5。s是基于灰色评价的不确定量的估计值。如果那么区间被认为是真实值的估计区间。

(2)利用利用第一步得到的区间表征向量合理表征有限样本数据条件下的载荷、材料弹性常数、强度指标以及结构尺寸的不确定信息，包括结构参数的上、下界与中心值、区间半径，这里x_i代表载荷、材料弹性常数、强度指标以及结构尺寸的不确定参数，于是有：

$X^U={(x_1^U,x_2^U,\mathrm{...},x_m^U)}^T={(x_1^c+x_1^r,x_2^c+x_2^r,\mathrm{...},x_m^c+x_m^r)}^T$

$X^L={(x_1^L,x_2^L,\mathrm{...},x_m^L)}^T={(x_1^c-x_1^r,x_2^c-x_2^r,\mathrm{...},x_m^c-x_m^r)}^T$

$X^c={(x_1^c,x_2^c,\mathrm{...},x_m^c)}^T$

$X^r={(x_1^r,x_2^c,\mathrm{...},x_m^r)}^T$

X^I＝[X^L,X^U]＝[X^c-X^r,X^c+X^r]＝X^c+X^r[-1,1]

其中X^U为结构参数的上界表达式，X^L为结构参数的下界表达式，X^c为结构参数的中心值表达式，X^r为结构参数的区间表达式；上标U代表变量的取值上界，上标L代表变量的取值下界；上标c代表区间中心值，上标r代表区间半径。需要说明的是，对上述不确定参数进行不确定度评估时，不考虑结构参数之间的相关性，即互不确定度。

(3)将第二步得到的不确定性参数信息及分布特性X^U、X^L、X^c以及X^r引入到工作结构应力S和强度R的计算表达式S(x₁,x₂,…,x_m)和R(x₁,x₂,…,x_m)中，引入非概率不确定传播理论和方法，基于区间运算法则和区间扩张理论，利用不确定变量综合计算方法、顶点法、Taylor级数展开近似求解、Monte>c,S^r和R^c,R^r。有：

$S^c=\frac{\bar{S}+\underset{‾}{S}}{2},S^r=\frac{\bar{S}-\underset{‾}{S}}{2},R^c=\frac{\bar{R}+\underset{‾}{R}}{2},R^r=\frac{\bar{R}-\underset{‾}{R}}{2}$

其中分别为结构应力S和强度R的下界；分别为结构应力S和强度R的上界，S^c,R^c分别为结构应力S和强度R的中心值，S^r,R^r分别为结构应力、强度的区间半径；其中区间四则运算为：

$a+b=[\underset{‾}{a},\bar{a}]+[\underset{‾}{b},\bar{b}]=[\underset{‾}{a}+\underset{‾}{b},\bar{a}+\bar{b}]$

$a-b=a+(-b)=[\underset{‾}{a}-\bar{b},\bar{a}-\underset{‾}{b}]$

$a=[min(\underset{‾}{ab},\underset{‾}{a}\bar{b},\bar{a}\underset{‾}{b},\bar{a}\bar{b}),max(\underset{‾}{ab},\underset{‾}{a}\bar{b},\bar{a}\underset{‾}{b},\bar{a}\bar{b})]$

$\frac{a}{b}=a\times \left(\frac{1}{b}\right)=[min(\frac{\underset{‾}{a}}{\bar{b}},\frac{\underset{‾}{a}}{\underset{‾}{b}},\frac{\bar{a}}{\bar{b}},\frac{\bar{a}}{\underset{‾}{b}}),\max (\frac{\underset{‾}{a}}{\bar{b}},\frac{\underset{‾}{a}}{\underset{‾}{b}},\frac{\bar{a}}{\bar{b}},\frac{\bar{a}}{\underset{‾}{b}})]$

而利用一阶Taylor级数展开，可得：

$S(x_1,x_2,\mathrm{...},x_m)=S(x_1^c,x_2^c,...,x_m^c)+\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}\frac{\partial S}{\partial x_i}{|}_{(x_1^c,x_2^c,\mathrm{...},x_m^c)}{\mathrm{\delta x}}_i$

$R(x_1,x_2,...,x_m)=R(x_1^c,x_2^c,...,x_m^c)+\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}\frac{\partial R}{\partial x_i}{|}_{(x_1^c,x_2^c,\mathrm{...},x_m^c)}{\mathrm{\delta x}}_i$

对上式进行区间扩张运算得：

$S^c=S(x_1^c,x_2^c,...,x_m^c),S^r=\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}\left|\frac{\partial S}{\partial x_i}{|}_{(x_1^c,x_2^c,...,x_m^c)}\right|x_i^r$

$R^c=R(x_1^c,x_2^c,...,x_m^c),R^r=\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}\left|\frac{\partial R}{\partial x_i}{|}_{(x_1^c,x_2^c,...,x_m^c)}\right|x_i^r$

(4)根据第三步得到的结构应力S、强度R的不确定分布特性，包括中心值S^c,R^c和区间半径S^r,R^r，利用非概率集合理论应力-强度干涉模型，建立非概率可靠度的功能函数方程为：

M(R,S)＝R-S

进而对应力S∈S^I、强度R∈R^I进行标准区间变换有：

δ_S＝(S-S^c)/S^r,δ_R＝(R-R^c)/R^r

R＝R^c+R^rδ_R,S＝S^c+S^rδ_S

其中S^I、R^I为应力以及强度的不确定分布区间；代入极限状态方程，得到标准化变量空间下的极限状态方程即标准化变量空间的失效平面为：

M(δ_R,δ_S)＝R^c-S^c+R^rδ_R-S^rδ_S＝0

其中δ_R∈[-1,1]，δ_S∈[-1,1]为标准化的强度、应力区间变量。定义结构的可靠度为结构强度大于工作应力的可能性，即η(M(δ_R,δ_R)>0)。最后得到非概率集合理论可靠度R_集合，即安全区域与基本变量总区域之比为：

当应力与强度区间不发生干涉时，当可能的最大工作应力(即上界)小于可能的最小强度(即下界)时，这时失效为不可能事件，即R_集合＝1；反之，当可能的最小工作应力(即下界)大于可能的最大强度(即上界)时，这时安全为不可能事件，即R_集合＝0。

(5)根据第三步得到的结构应力S、强度R的不确定分布特性，包括中心值S^c,R^c和区间半径S^r,R^r，定义区间理论下的中心安全系数n_m为结构强度R、应力S的中心值之比，即n_m＝R^c/S^c；定义强度变异系数C_R和应力变异系数C_S分别为：

$C_R=\frac{R^r}{R^c},C_S=\frac{S^r}{S^c}$

则有：

R^r＝C_R×R^c,S^r＝C_S×S^c

R∈R^I＝[R^c(1-C_R),R^c(1+C_R)]

S∈S^I＝[S^c(1-C_S),S^c(1+C_S)]

基于上面的四个式子，得到区间理论下的中心安全系数n_m、强度变异系数C_R、应力变异系数C_S及非概率集合理论可靠度R_集合的关系式：

由即S^c+S^r>R^c-R^r，可得：

$\frac{S^c+S^r}{S^c}>\frac{R^c-R^r}{S^c}\Rightarrow 1+C_S>n_m-\frac{C_R{R}^c}{S^c}=(1-C_R)n_m\Rightarrow n_m<\frac{1+C_S}{1-C_R}$

最终确定的非概率集合理论可靠度安全系数应满足

对关系式进行求解有：

令

求解可衡量非概率集合理论可靠度的安全系数为：

$n_m=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

(6)：针对工程结构选择合适的可靠度R_集合；利用得到的强度变异系数C_R、应力变异系数C_S，求解与非概率集合理论可靠度R_集合对应的中心安全系数n_m，并进行安全系数结构设计，获得满足一定可靠度的最优设计方案。其中优化模型如下：

find:d

min f(d)

$\left(\begin{array}{ccc}s.t.& n^i=\frac{g_a^i}{g_i\left(d\right)}\ge n_a^i,& i=1,2,\mathrm{...},l\end{array}\right)$

$d\in {\Omega }_d^m$

这里，d代表m维设计变量；f(d)是优化目标；是设计变量d的可行域；g_i代表第i个与结构响应相关的确定性约束条件，所代表的约束条件可包括结构应力、应变、频率、刚度等静动力响应指标；为相应许用值；l为约束个数；为非概率可靠度对应的中心安全系数。

实施例：

为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对如图4所示的含不确定结构载荷、材料特性等参数的矩形截面悬臂梁结构进行基于非概率可靠度安全系数设计。该悬臂梁结构在位置b₁＝2.0m和b₂＝5.0m处分别承受集中载荷P₁和P₂作用。其中外载荷P₁和P₂是不确定变量，分布特性由表中的一系列试验数据点确定。悬臂梁的极限强度为不确定区间变量，分布区间为R∈[380-β×380,380+β×380]，其中β＝0.06。由材料力学知识可知，该悬臂梁的极限状态方程为：

$M=R-S=R-\frac{m_{max}\frac{h}{2}}{\frac{{\mathrm{bh}}^3}{12}}=R-\frac{6(b_1{P}_1+b_2{P}_2)}{{\mathrm{bh}}^2}$

这里，m_max为截面最大弯矩，b＝h。由上可知强度R的变异系数为C_R＝β＝0.06；而求解应力S的变异系数的前提是获得载荷P₁和P₂的分布特性。利用灰度理论对载荷试验数据进行处理，得到载荷P₁和P₂的分布特性为：

P₁∈[4560,5460],P₂∈[1780,2240]

进而可得应力S的变异系数为C_S＝0.10。根据不同的可靠度要求，可得到相应的安全系数以进行结构优化设计。

表1

该实施例采用四种不同水平的可靠度设计要求进行悬臂梁结构截面优化设计，即R_集合分别为0.9999，0.999，0.99和0.9。图5给出了基于非概率可靠度的安全系数设计和非概率可靠度优化设计的优化结果；图6中的(a)-(d)给出了四种不同水平可靠度下目标函数的迭代历程曲线。可以看出：相较于初始设计，减重效果明显；随着可靠度水平的提高，结构趋于安全，重量有所增加。此外，可以看出基于非概率可靠度的安全系数设计与非概率可靠度的优化结果相一致。然优化过程更加简单方便，且能够提供给工程设计人员一个相对应的安全系数，工程适用性更强。

综上所述，本发明提出了一种可评估含不确定参数结构的非概率可靠度的安全系数设计方法。首先，根据可利用的结构载荷、材料特性等不确定参数的有限样本数据，利用非统计度量方法对不确定参数进行有效合理的精确表征，给出不确定参数的区间上界、下界、区间中心值以及半径等分布特征；其次，结合区间理论知识以及不确定传播相关求解方法，给出结构应力、强度等构成极限状态方程的参量的分布范围以及变异系数；基于非概率集合应力-强度干涉模型，构件中心安全系数、应力/强度变异系数、非概率可靠度的函数关系，进而得到与可靠度相对应的安全系数解析表达式；最后，以获得的基于非概率可靠度的安全系数为约束，以减重为目标，完成不同水平可靠度的结构优化设计。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。