一种基于切割边界变形约束的新子模型有限元分析方法

摘要

一种基于切割边界变形约束的新子模型有限元分析方法，其内容包括：建立整机简化模型并进行分析；对整机模型切割边界节点进行后处理；建立局部结构的有限元模型——子模型；在子模型切割边界添加变形耦合约束方程，并且添加位移插值边界条件和力边界条件；进行子模型分析；验证切割边界距应力集中区域的距离应足够远。本发明的优点是：子模型切割边界施加边界条件时一部分切割边界添加位移插值边界条件，另一部分切割边界添加约束方程和力边界条件，保证了子模型边界条件的准确性，较传统子模型有限元法分析方法降低了整机模型的要求，可以大大简化整机模型，提高了整机分析效率和子模型的计算精度。

说明书

技术领域

本发明涉及一种子模型有限元分析方法，特别涉及一种基于切 割边界变形约束的新子模型有限元分析方法。

背景技术

面对当今机械设备大型化的发展趋势，对大型机械进行整机结 构有限元分析的问题越来越突出。大型机械设备零部件繁多且结构复 杂，在进行有限元结构分析时，为了能够实现整机分析计算，势必要 在保证整体变形及传力准确的前提下，对整机模型进行大大的简化， 以保证其模型规模在计算机能力许可范围之内，这时会出现某些局部 简化结构应力、应变特征无法计算或者计算精度失真的情况。为了在 整机简化模型计算的基础上得到某些复杂局部结构的准确计算结果， 通常采用子模型有限元分析方法即切割边界位移法。

传统子模型有限元分析方法又称为切割边界位移法或特定边界 位移法，切割边界就是子模型从整个较粗糙的模型分割开的边界，此 方法基于圣维南原理，即实际分布载荷被等效载荷代替以后，应力和 应变只在载荷施加的位置附近有改变，只有在载荷集中位置才有应力 集中效应，远处的应力可以不计,当子模型的位置远离应力集中位置 时，在子模型内就可以得到较精确的结果。

传统子模型计算时应力与位移满足如下关系：

KU＝F(1)

式中，K为子模型结构总刚度矩阵；F为子模型结构外载荷向 量；U为子模型结构待求位移向量。

将(1)式中U分为两部分：第一部分是子模型同其它子结构或 单元共用，有位移协调关系，属于边界节点位移，用U₁表示，即为 已知位移向量(可以通过整体粗糙模型切割边界位移插值得到)。第 二部分是与其它子结构或单元没有位移协调关系，用U₂表示，即为 待求位移向量，因此，式(1)可分解为

$\left(\begin{array}{cc}{K}_{11}& K_{12}\\ K_{21}& K_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{U}_1\\ U_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{F}_1\\ F_2\end{array}\right)---\left(2\right)$

其中：U₁为子模型切割边界节点的位移列阵；U₂为子模型内部 节点位移列阵；K₁₁为子模型边界节点组成刚度矩阵子块；K₂₂为子 模型内部节点组成刚度矩阵子块；F₁为子模型切割边界节点的节点 外载荷列阵；F₂为子模型内部节点的节点外载荷列阵。

将(2)式展开

[K₁₁][U₁]+[K₁₂][U₂]＝[F₁]

(3)

[K₂₁][U₁]+[K₂₂][U₂]＝[F₂]

(4)

通过式(4)求出内部节点位移为：

[U₂]＝[K₂₂]^-1[F₂]-[K₂₂]^-1[K₂₁][U₁]

(5)

由此可以看出当U₁为已知时，无需通过F₁，即可求得U₂。

利用上述思想就可以在计算机条件允许的情况下尽量将网格加 密，进行第一次求解。如果计算结果存在不满意子域，可以将这个子 域边界上的第一次计算结果作为制定位移，由式(5)，将其转换成该 子域边界上的载荷，然后对该子域进行网格再次细分并求解。如果对 所关心的局部子域的计算结果仍不满意，可以重复上述步骤直到满意 为止。

传统子模型有限元分析方法是将整体模型切割边界的计算位移 值作为子模型的边界条件；在进行大型机械整机有限元分析模型简化 时，通常会导致子模型的局部结构刚度与整机模型中相应位置的结构 刚度有较大差异；当子模型刚度与整体模型中子模型部位刚度相差不 多时，这样施加子模型边界条件是可行的，即由上述论述可知，利用 传统子模型有限元法得到满意精确计算结果的前提是U₁为已知量。 但是当子模型刚度与整体模型中子模型部位刚度相差较大时，这样施 加边界条件就不可行了。这是因为当子模型的刚度发生变化时，如果 切割边界的受力不变，子模型将发生刚体位移，U₁中一部分成为了 未知量，这时依然施加整体模型切割边界的计算位移将会导致子模型 应力分布错误。

发明内容

本发明克服了现有技术的不足，提供一种基于切割边界变形约束 的新子模型有限元分析方法，将子模型切割边界分为两类，第一类： 切割边界节点位移与整体切割边界位移相等，第二类：切割边界节点 位移与整体切割边界位移不等，即有刚体位移部分。所以，已知位移 向量U₁可分为两部分：第一部分为第一类切割边位移列阵，用U₁′表 示，为U₁中已知部分。第二部分为第二类切割边界位移列阵，用U₂′ 表示，为未知部分。则有：

$\left(\begin{array}{cc}{K_{11}}^{,}& {K_{12}}^{,}\\ {K_{21}}^{,}& {K_{22}}^{,}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{U_1}^{,}\\ {U_2}^{,}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{F_1}^{,}\\ {F_2}^{,}\end{array}\right)---\left(6\right)$

其中：U₁′为子模型第一类切割边界节点的位移列阵；U₂′为子 模型第二类切割边界节点位移列阵；K₁₁′为子模型第一类切割边界节 点组成刚度矩阵子块；K₂₂′为子模型第二类切割边界节点组成刚度矩 阵子块；F₁′为子模型第一类切割边界节点的节点外载荷列阵；F₂′为 子模型第二类切割边界节点的节点外载荷列阵。由式(6)可得

[K₂₁'][U'₁]+[K₂₂'][U₂']＝[F₂'](7)

通过式(7)求出第二类切割边界节点的节点位移为：

[U₂']＝[K₂₂']^-1[F₂']-[K₂₂']^-1[K₂₁'][U₁'](8)

由此可以看出，可以通过U₁′(子模型第一类切割边界节点的位 移)、F₂′(子模型第二类切割边界节点的节点外载荷)，求得U₂′，从 而得到U₁，通过式(5)可得U₂。这样就可以通过在子模型第一类 切割边界上施加位移插值边界条件，在第二类切割边界上施加外力边 界条件，并且保证子模型切割边界与整体模型切割边界的变形协调关 系，就能够求得子模型的位移场和应力场。

根据变形协调关系，整体粗糙模型切割边界与子模型切割边界的 变形是相同的，如图1所示是切割边界变形示意图，其中a为整体模 型，b为子模型。我们可以利用这一特点，通过在子模型第二类切割 界上节点上添加自由度耦合关系(亦即约束方程)来满足。

整体模型切割边界上一个参考节点n₁(x₁,y₁,z₁)和任意节点(除n₁以 外)n_i(x_i,y_i,z_i)，与子模型切割边界上与整体模型切割边界上参考节 点n₁(x₁,y₁,z₁)和任意节点n_i(x_i,y_i,z_i)相对应的参考节点n₁'(x'₁,y'₁,z'₁)和 任意节点n'_i(x'_i,y'_i,z'_i)之间的相对位移联系。

在整体粗糙模型分析完成之后，整体模型切割边界参考节点n₁的 位移为U₁；任意节点n_i的位移为U_i；任意节点n_i对参考节点n₁的相对 位移为ΔU。

$U_1=\left(\begin{array}{ccc}{U}_{1x},& U_{1y},& U_{1z},\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{U}_{1x}\\ U_{1y}\\ U_{1z}\end{array}\right)---\left(9\right)$

$U_i={\left(\begin{array}{ccc}{U}_{ix},& U_{iy},& U_{iz},\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{c}{U}_{ix}\\ U_{iy}\\ U_{iz}\end{array}\right)---\left(10\right)$

$\Delta U=U_i-U_1=\left(\begin{array}{c}{U}_{ix}\\ U_{iy}\\ U_{iz}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{U}_{ix}\\ U_{iy}\\ U_{iz}\end{array}\right)---\left(11\right)$

子模型第二类切割边界在未发生刚体移动时，即与整体切割边界 位移相等时，其切割边界节点参考节点n₁′的位移列阵为U₁′；任意节点 (除n'₁以外)n'_i的位移列阵为U'_i；任意节点n'_i对参考节点n'₁的相对 位移为ΔU'。

${U_1}^{\prime }={\left(\begin{array}{ccc}{U^{\prime }}_{1x},& {U^{\prime }}_{1y},& {U^{\prime }}_{1z},\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{c}{U^{\prime }}_{1x}\\ {U^{\prime }}_{1y}\\ {U^{\prime }}_{1z}\end{array}\right)---\left(12\right)$

${U^{\prime }}_i={\left(\begin{array}{ccc}{U^{\prime }}_{ix},& {U^{\prime }}_{iy},& {U^{\prime }}_{iz},\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{c}{U^{\prime }}_{ix}\\ {U^{\prime }}_{iy}\\ {U^{\prime }}_{iz}\end{array}\right)---\left(13\right)$

${\mathrm{\Delta U}}^{\prime }={U^{\prime }}_i-{U^{\prime }}_1={U^{\prime }}_i=\left(\begin{array}{c}{U^{\prime }}_{ix}\\ {U^{\prime }}_{iy}\\ {U^{\prime }}_{iz}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{U^{\prime }}_{ix}\\ {U^{\prime }}_{iy}\\ {U^{\prime }}_{iz}\end{array}\right)---\left(14\right)$

根据变形协调条件有：

ΔU'＝ΔU(15)

子模型产生刚体位移之后，切割边界节点参考点n'₁的刚体位移为 S₁；任意节点n'_i的刚体位移为S_i,如图2所示是整体模型和子模型切 割边界节点变形示意图，其中c是整体模型切割边界节点变形，d是 子模型切割边界节点变形。则有：

$S_1=S_1+R=\left(\begin{array}{c}{x^{\prime }}_1\\ {y^{\prime }}_1\\ {z^{\prime }}_1\end{array}\right)---\left(16\right)$

$S_i=S_0+R=\left(\begin{array}{c}{x^{\prime }}_i\\ {y^{\prime }}_i\\ {z^{\prime }}_i\end{array}\right)---\left(17\right)$

其中：$S_0=\left(\begin{array}{c}{S}_{0x}\\ S_{0y}\\ S_{0z}\end{array}\right)$为沿X，Y，Z轴的平移矩阵；

$R=\left(\begin{array}{ccc}0& -w_z& w_y\\ w_z& h& -w_x\\ -w_y& w_x& h\end{array}\right)$为刚体转动矩阵

子模型发生刚体位移之后，切割边界参考节点n'₁的总位移为任意节点n'_i的总位移为子模型切割边界任意节点n'_i对参考节点 n'₁的相对位移为

${\bar{U}}_1={U^{\prime }}_1+S_1=\left(\begin{array}{c}{U^{\prime }}_{1x}\\ {U^{\prime }}_{1y}\\ {U^{\prime }}_{1z}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{S}_{1x}\\ S_{1y}\\ S_{1z}\end{array}\right)---\left(18\right)$

${\bar{U}}_i={U^{\prime }}_i+S_i=\left(\begin{array}{c}{U^{\prime }}_{ix}\\ {U^{\prime }}_{iy}\\ {U^{\prime }}_{iz}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{S}_{ix}\\ S_{iy}\\ S_{iz}\end{array}\right)---\left(19\right)$

$\Delta \bar{U}=\overline{U_i}-\overline{U_1}=({U^{\prime }}_i+S_i)-({U^{\prime }}_1+S_1)=({U^{\prime }}_i-{U^{\prime }}_1)+(S_i-S_1)={\mathrm{\Delta U}}^{\prime }+(S_i-S_1)$

$\Delta \bar{U}=\Delta U+\left(\begin{array}{ccc}0& -w_z& w_y\\ w_z& 0& -w_x\\ -w_y& w_x& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x^{\prime }}_i-{x^{\prime }}_1\\ {y^{\prime }}_i-{y^{\prime }}_1\\ {z^{\prime }}_1-{z^{\prime }}_1\end{array}\right)---\left(20\right)$

即：$\left(\begin{array}{c}{\bar{U}}_{ix}\\ {\bar{U}}_{iy}\\ {\bar{U}}_{iz}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{\bar{U}}_{1x}\\ {\bar{U}}_{1x}\\ {\bar{U}}_{1z}\end{array}\right)=\Delta U+\left(\begin{array}{ccc}0& -w_z& w_y\\ w_z& 0& -w_x\\ -w_y& w_x& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x^{\prime }}_i-{x^{\prime }}_1\\ {y^{\prime }}_i-{y^{\prime }}_1\\ {z^{\prime }}_i-{z^{\prime }}_1\end{array}\right)$

亦即：$\Delta U=\left(\begin{array}{c}{\bar{U}}_{ix}\\ {\bar{U}}_{iy}\\ {\bar{U}}_{iz}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{\bar{U}}_{1x}\\ {\bar{U}}_{1x}\\ {\bar{U}}_{1z}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}0& -w_z& w_y\\ w_z& 0& -w_x\\ -w_y& w_x& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x^{\prime }}_i-{x^{\prime }}_1\\ {y^{\prime }}_i-{y^{\prime }}_1\\ {z^{\prime }}_i-{z^{\prime }}_1\end{array}\right)---\left(21\right)$

式(21)即为在子模型第二类切割边界节点上施加的约束方程。

在此，将在子模型第一类切割边界节点上施加位移插值边界条 件，在第二类切割边界节点上施加外载荷，第二类切割边界节点的变 形协调关系通过施加约束方程的方法来实现的子模型分析方法叫做 切割边界变形耦合子模型有限元分析方法。

此方法可有效简化整机有限元模型，提高局部复杂结构的计算精 度，实现大型机械设备整机结构有限元分析。

为了解决现有技术存在的问题，本发明是通过以下技术方案实现 的：

一种基于切割边界变形约束的子模型有限元分析新方法，其内容 包括如下步骤：

步骤1：建立整机简化模型并进行分析

利用ANSYS软件中APDL参数化建模语言通过自下而上的建模方 法建立整机简化有限元模型；

步骤2：对整机模型切割边界节点进行后处理，提取整机简化模 型切割边界合力分量及节点相对位移，提取方法包括如下具体内容：

(1)选择切割边界节点；

(2)提取切割边界节点总数，并将节点编号存入数组；

(3)提取切割边界节点位移值；

(4)在切割边界节点中选取一个主节点，计算各节点与主节点 的相对位移，并输出；

(5)提取切割边界作用力，该作用力包括合力分量和力矩分量， 并输出；

步骤3：建立局部结构的有限元模型——子模型

利用ANSYS软件中APDL参数化建模语言通过自下而上的建模方 法建立子模型的三维有限元模型；

步骤4：在子模型切割边界添加变形耦合约束方程，并且添加位 移插值边界条件和力边界条件；在子模型第一类切割边界节点上添加 位移插值边界条件，在子模型第二类切割边界节点上添加约束方程和 力边界条件；

步骤5：进行子模型分析；

步骤6：验证切割边界距应力集中区域的距离应足够远。

由于采用上述技术方案，本发明提供的一种基于切割边界变形约 束的子模型有限元分析新方法，与现有技术相比具有这样的有益效 果：

在子模型切割边界施加变形耦合约束方法，并且同时施加位移插 值边界条件和力边界条件，较传统子模型分析方法，当子模型刚度相 对于整体模型有很大变化时，依然能够得到很精确的应力分布，保证 了子模型边界条件的准确性。这样结合整机分析时，整机模型可以大 大简化，既能够得到准确的整体结构变形及受力分布，又能够得到精 确的局部结构应力、应变分布。此方法应用性强，减小了整机有限元 模型规模，缩短了计算时间，提高了计算效率，同时提高了复杂局部 结构的计算精度，为大型机械设备进行整机结构分析提供了一种可行 方法。

子模型切割边界施加边界条件时一部分切割边界添加位移插值 边界条件，另一部分切割边界添加约束方程和力边界条件，保证了子 模型边界条件的准确性，较传统子模型有限元法分析方法降低了整机 模型的要求，可以大大简化整机模型，提高了整机分析效率和子模型 的计算精度。

附图说明

图1为切割边界变形示意图，其中a为整体模型，b为子模型；

图2为整体模型和子模型切割边界节点变形示意图，其中c是 整体模型切割边界节点变形，d是子模型切割边界节点变形；

图3为本发明一种基于切割边界变形约束的子模型有限元分析 新方法的分析流程图；

图4为本发明一种基于切割边界变形约束的子模型有限元分析 新方法的数据流向图；

图5为整体分析后处理流程图；

图6为三铰点变幅机构的结构示意图；

图7为三铰点变幅机构整机分析有限元模型图；

图8为三铰点变幅机构整机分析模型加载及约束示意图；

图9为三铰点变幅机构子模型分析有限元模型图；

图10为三铰点变幅机构子模型分析切割边界加载及约束示意 图；

图11为三种方法计算销轴等效应力分布图；其中，e为整机接 触计算、f为新子模型法计算、g为传统子模型法计算。

具体实施方式

下面结合附图与具体实施方式对本发明作进一步详细描述：

一种基于切割边界变形约束的子模型有限元分析新方法，图3所 示本发明的一种基于切割边界变形耦合的子模型有限元分析新方法 分析流程图；该方法内容包括如下步骤：

步骤1：建立整机简化模型并进行分析

利用ANSYS软件中APDL参数化建模语言通过自下而上的建模方 法建立整机简化有限元模型；

步骤2：对整机模型切割边界节点进行后处理，提取整机简化模 型切割边界合力分量及节点相对位移，提取方法包括如下具体内容：

(1)选择切割边界节点；

(2)提取切割边界节点总数，并将节点编号存入数组；

(3)提取切割边界节点位移值；

(4)在切割边界节点中选取一个主节点，计算各节点与主节点 的相对位移，并输出；

(5)提取切割边界作用力，该作用力包括合力分量和力矩分量， 并输出；

步骤3：建立局部结构的有限元模型——子模型

利用ANSYS软件中APDL参数化建模语言通过自下而上的建模方 法建立子模型的三维有限元模型；

步骤4：在子模型切割边界添加变形耦合约束方程，并且添加位 移插值边界条件和力边界条件；在子模型第一类切割边界节点上添加 位移插值边界条件，在子模型第二类切割边界节点上添加约束方程和 力边界条件；

步骤5：进行子模型分析；

步骤6：验证切割边界距应力集中区域的距离应足够远。

参照图4，该图示出了基于切割边界耦合的子模型有限元分析新 方法的数据流向，数据文件均为ANSYS文件。

参照图5，该图示出了整体分析后处理流程，此过程在ANSYS软 件中实施。

下面以一种三铰点变幅机构为实例，对全部分析流程和步骤进行 详细说明。

图6所示为一种三铰点变幅机构，包括第一支座1、第二支座2、 臂体、变幅油缸和连接销轴；其特征在于：第一支座1和变幅油缸通 过铰点A连接，第二支座2和臂体尾部通过铰点B连接，臂体中部和 变幅油缸通过铰点C连接，臂体头部作用额定载荷P；铰接处通过销 轴连接两个构件，以满足构件之间的相对转动，并且传递作用力；整 个有限元分析对铰点B处的连接销轴，进行机构工作时的受力情况模 拟分析，包括以下步骤：

1、建立整机简化模型并进行分析

利用ANSYS软件中APDL参数化建模语言通过自下而上的建模方法建 立整机简化有限元模型；整机简化有限元模型包括第一支座1、第二 支座2、臂体和变幅油缸；整机模型为避免进行接触计算，对铰点B 结构进行简化，即将第二支座2和B处连接销轴建成一体，将臂体和 B处连接销轴也建成一体，然后将销轴中心线上第二支座2和臂体相 重合的节点进行合并，通过第二支座2和臂体共用销轴中心线节点来 简化模拟B铰点结构；第一支座1、第二支座2、臂体采用solid186 三维实体单元，变幅油缸采用beam188单元；将第一支座1下底面和 第二支座2左端面节点固定约束，在臂体头部施加向下的额定载荷P； 整机简化有限元模型参照图7；整机分析模型加载及约束参照图8。

2：提取整机简化模型切割边界合力分量及节点相对位移

选择切割边界节点并提取节点总数，并将节点编号存入数组；提 取切割边界节点位移值；在切割边界节点中选取一个主节点，计算各 节点与主节点的相对位移，并输出；提取切割边界作用力(包括合力 分量和力矩分量)，并输出；

3：建立局部结构的有限元模型——子模型

利用ANSYS软件中APDL参数化建模语言通过自下而上的建模方 法建立子模型的三维有限元模型；子模型包括第二支座2、B铰点连 接销轴、臂体，均采用solid186三维实体单元，参照图9。

4：切割边界添加位移插值边界条件、约束方程和合力分量

在第二支座2的切割边界施加位移插值边界条件，在臂体切割 边界施加变形约束方程以及合力/合力矩分量，参照图10。

5：进行子模型分析

对上述子模型进行分析，得出连接销轴的等效应力分布图，参照 图11。