多变量时滞非最小相位非方系统的解耦内模控制器、控制系统和控制方法

摘要

本发明实施例涉及过程工业自动控制领域，提供了一种多变量时滞非最小相位非方系统的解耦内模控制器、控制系统和控制方法。解耦内模控制器包括：动态解耦补偿模块，基于对象模型相关矩阵的一体化设计消除耦合，实现动态解耦；广义动态逆模块，用于根据广义被控对象的给定值计算输入值，使被控变量的输出值达到其给定值；低通滤波模块，增强系统的鲁棒性；以及全通补偿模块，用于消除广义被控对象的非最小相位部分(右半平面(RHP)零点)的不利影响，通过全通补偿设计，使广义动态逆模块可实现。本发明简单可行，消除了动态解耦的不可实现因素，大大简化了这种被控对象的动态解耦设计控制器过程求逆的难度，能实现完全动态解耦，提高了系统的控制精度及鲁棒性。

说明书

技术领域

本发明涉及过程工业自动控制领域，具体涉及到一种多变量时滞非最小相位非方 系统的解耦内模控制器、控制系统和控制方法。

背景技术

在实际化工工业过程中，广泛存在一类复杂的被控对象：多变量、多时滞、非最小 相位，而在实际多变量多时滞被控对象中，又广泛存在非方系统的被控对象。非方系统是输 入数和输出数不等的多变量系统的被控对象，它的动态逆不易获得，因此其解耦控制一直 是多变量系统控制的难题。这类复杂的被控对象的存在使得过程工业变得更加复杂和难以 控制。传统单变量控制方法难以保证多变量系统的耦合控制及其控制精度，因此，业界提出 了多变量内模控制方法。针对被控对象的模型，采用内模控制方法设计内模控制器，将设计 的内模控制器逼近对象模型的逆动态加低通滤波器的形式。与传统控制方法相比，该方法 能够清晰地表明闭环响应特性以及可调节的参数，从而设计控制器时通过调节的参数可兼 顾动态性能与鲁棒性能。

然后，针对多变量多时滞非最小相位非方系统行进控制时，传统多变量内模控制 方法往往存在动态解耦求逆不可实现因素，且现有的针对多变量多时滞非最小相位非方系 统的内模控制方法存在不易实现，控制器设计复杂且不易整定等不足，且动态过程控制精 度和鲁棒性差等特点，使得多变量内模控制方法在这种系统中无法实现。

发明内容

基于以上原因，本发明主要目的是提供一种多变量时滞非最小相位非方系统的解 耦内模控制器、控制系统和控制方法。该方法根据对象模型相关伴随矩阵一体化设计解耦 内模控制器，消除了动态解耦的不可实现因素，简化了现有方法对非方矩阵求逆的计算量， 解决了控制器设计复杂且不易整定，提高了系统的控制精度及鲁棒性。

根据本发明一种实施方式，多变量时滞非最小相位非方系统的解耦内模控制器包 括：

动态解耦补偿模块，用于基于对象模型相关矩阵的一体化设计来消除多变量非方 系统的耦合，通过添加全通解耦补偿，处理运算过程中产生的不稳定极点；使得多变量时滞 非最小相位的非方系统的被控变量的输出值达到其给定值，实现动态解耦。

广义动态逆模块，用于根据多变量时滞非最小相位非方系统的广义被控对象的给 定值计算其输入值，使得多变量时滞非最小相位非方系统的被控变量的输出值达到其给定 值。

低通滤波模块，用于把给定值和反馈值之差作为输入值并对所述动态解耦补偿模 块和广义动态逆模块的输出值进行低通滤波，提高系统的抗扰动性能和快速抗扰动响应能 力，增强系统的鲁棒性。

全通补偿模块，用于消除多变量时滞非最小相位非方系统的广义被控对象中的非 最小相位部分(右半平面(RHP)零点)给控制性能带来的不利影响，通过设计一体化全通补 偿模块，使得所述的广义动态逆模块能够实现。

本发明又一种实施方式提出了一种多变量时滞非最小相位非方系统的解耦内模 控制系统，其包括多变量多时滞非最小相位非方系统和上述的解耦内模控制器。

本发明又一种实施方式提出了一种多变量时滞非最小相位非方系统的解耦内模 控制方法，其包括：

动态解耦补偿模块，使得多变量时滞非最小相位的非方系统的被控变量的输出值 达到其给定值，实现动态解耦。

广义动态逆模块根据多变量时滞非最小相位的非方系统的广义被控对象的给定 值计算多变量时滞非最小相位非方系统的输入值。

根据与所述多变量时滞非最小相位非方系统的广义被控对象的非最小相位部分 设计一体化全通补偿模块，对所述的广义动态逆模块进行补偿，使得所述的动态解耦补偿 器模块能够实现。

以及低通滤波模块对动态解耦补偿模块和广义动态逆模块的输出值进行低通滤 波，提高系统的抗扰动性能和快速抗扰动响应能力，增强系统的鲁棒性。

以上实施方式中，通过动态解耦补偿以及添加全通补偿来消除多变量时滞非最小 相位非方系统的不可实现因素，实现了控制器设计简单且易整定，提高了系统动态解耦精 度。

本发明的有益效果是，设计方法简单，不需要对对象模型进行降阶处理，实现容 易，既克服了现有技术中非方被控对象动态解耦方法求逆的局限性，解决了非最小相位被 控对象的控制问题，同时又实现了多变量时滞非方被控对象的动态完全解耦。

附图说明

图1是根据本发明实施例的多变量非方系统的解耦内模控制器结构图；

图2是根据本发明实施例的多变量非方系统的解耦内模控制系统；

图3是图2所示多变量非方系统的解耦内模控制系统的具体结构图；

图4是本发明实施例的解耦内模控制等效分析图，图中(a)和(b)等效。

图5是利用本发明实施例中2输入3输出的多变量非方被控对象，采用本发明方法 得到的标称系统单位阶跃响应。

图6是实施例中多变量非方被控对象加入负载扰动的标称系统单位阶跃响应。

图7是实施例中多变量非方被控对象存在稳态增益不确定度Δk_A(s)为20％时，控 制系统的单位阶跃响应。

图8是实施例中多变量非方被控对象存在惯性时间常数不确定度ΔT_A(s)为20％ 时，控制系统的单位阶跃响应。

图9是实施例中多变量非方被控对象存在时间延迟不确定度Δθ_A(s)为20％时，控 制系统的单位阶跃响应。

图10是实施例中多变量非方被控对象存在稳态增益不确定度Δk_A(s)为20％，惯 性时间常数不确定度ΔT_A(s)为20％，时间延迟不确定度Δθ_A(s)为20％时，控制系统的单位 阶跃响应。

具体实施方式

以下结合附图和具体实施例对本发明作具体的说明。

目前，基于内模控制方法的多变量控制方法，产生了多种设计方法，而多变量系统 的解耦控制方法分为静态解耦和动态解耦。目前，针对非方被控对象的解耦主要采用静态 解耦方法，在稳态点来设计内模控制器，该方法设计解耦器简单，响应速度快，但没有考虑 到被控对象的动态性能，动态解耦效果受到限制，而且不适用于含有右半平面(RHP)零点的 被控对象。针对含有RHP零点的非方被控对象，K.L.N.SARMA等人在文献“CentralizedPI/ PIDcontrollersfornonsquaresystemswithRHPzeros”中将静态解耦法扩展到含 RHP零点的非方被控对象中，并且比较分析了两种静态解耦方法，但静态解耦的解耦效果受 限。MinGuo等人在文献“TheControlMethodofMultivariableTime-delaySquare SystemContainingRightHalfPlaneZeros”中采用静态解耦的方法，在控制器的设计 中采用次最优算法对模型进行模型降阶处理以便于对控制器进行设计。相比静态解耦，动 态解耦能够在所有工作频率范围内实现完全解耦，能获得更好的动态解耦效果。Jian- ChangLiu等人在文献“ModifiedTwo-Degrees-of-FreedomInternalModelControl forNon-SquareSystemswithMultipleTimeDelays”中提出了一种改进二自由度内模 方法，解耦效果和系统鲁棒性能较好，但设计两个控制器较为复杂且不易整定。

数学基础

为了更好理解本发明的技术方案，以下对本发明应用的一些数学理论基础进行介 绍。

首先，广义逆矩阵的定义：

设A∈C^m×n，如果X∈C^n×m满足下列四个Penrose方程：

AXA＝A

XAX＝X

(AX)^H＝AX

(XA)^H＝XA

则称X为A的一个Moore-Penrose广义逆，或称为伪逆，记为A⁺。

通过定义法难以求解广义逆A⁺，因此，采用满秩分解的方法求广义逆A⁺。

设$A\in C_r^{m\times n}(r>0),$且A满秩分解表示为：A＝EF$(E\in C_r^{m\times r},F\in C_r^{r\times n});$因此，A⁺＝F^H(FF^H)^-1(E^HE)^-1E^H。

将Moore-Penrose逆的计算方法推广到多变量非方系统，设被控对象为G(s)_n×m，则 广义逆为：

G(s)⁺＝G^H(s)[G(s)G^H(s)]^-1(m＞n)

G(s)⁺＝[G^H(s)G(s)]^-1G^H(s)(m＜n)

其中，G^H(s)为矩阵G(s)的共轭转置，即：G^H(s)＝G^T(-s)。

其次，广义逆矩阵分析

仍设被控对象为G(s)_n×m，当m＞n时，将被控对象表示为：其中，d(s) 是G(s)所有元素的最小公分母，N(s)是含有分子多项式的传递矩阵。其广义逆可表示为：

$G^{+}\left(s\right)=d\left(s\right)N^T(-s)\frac{adj\left[N\left(s\right)N^T(-s)\right]}{\det \left[N\left(s\right)N^T(-s)\right]};$

其中，由于表达式中分母det[N(s)N^T(-s)]是一个只含偶数次项的多项式，因此， 在计算多变量非方系统的广义逆矩阵的过程中，必然会产生右半平面的不稳定极点。

以下将以具体实例对本发明进行说明。

在本发明的实施例中，为了克服现有的多变量多时滞非方被控对象静态解耦方法 的局限性，以及动态解耦方法求逆复杂不易实现的不足，以及在内模控制器设计计算中出 现的不稳定极点、广义对象的非最小相位等不可实现因素。本发明提供了一种基于对象模 型相关伴随矩阵一体化设计解耦内模控制器的动态完全解耦方法，且对内模控制器设计中 出现的不可实现因素进行了补偿。本发明设计简单，容易实现，解决了多变量多时滞非方被 控对象求广义逆的复杂、难以控制的问题，能实现非方被控对象的动态完全解耦。

解耦内模控制器：

图1是根据本发明实施例的多变量非方系统的解耦内模控制器结构图。

如图1所示，本发明实施例的解耦内模控制器100包括：

动态解耦补偿模块101，用于解除多变量时滞非最小相位的非方系统的输入和输 出之间的耦合，实现动态解耦。通过基于对象模型相关矩阵的一体化设计来消除多变非方 系统的耦合，通过添加全通解耦补偿，处理运算过程中产生的不稳定极点，达到动态解耦。

广义动态逆模块102，用于根据多变量时滞非最小相位非方系统的广义被控对象 的给定值计算其输入值，使得多变量时滞非最小相位非方系统的被控变量的输出值达到其 给定值。

低通滤波模块103，用于把给定值和反馈值之差作为输入值并对所述动态解耦补 偿模块101和广义动态逆模块102的输出值进行低通滤波，提高系统的抗扰动性能和快速抗 扰动响应能力，增强系统的鲁棒性。

全通补偿模块104，用于消除与所述多变量时滞非最小相位非方系统的广义被控 对象的非最小相位部分(右半平面(RHP)零点)给控制性能带来的不利影响，通过设计一体 化全通补偿模块104，以使得所述的广义动态逆模块102能够实现广义被控对象的动态解耦 及控制。

在本发明的实施方式中，待控制的多变量时滞非方非最小相位系统是一个m输入， n输出(m>n)的被控对象，其传递矩阵为：

$G_p\left(s\right)=\left(\begin{array}{cccc}{g}_{11}\left(s\right)& g_{12}\left(s\right)& ...& g_{1m}\left(s\right)\\ g_{21}\left(s\right)& g_{22}\left(s\right)& ...& g_{2m}\left(s\right)\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ g_{n1}\left(s\right)& g_{n2}\left(s\right)& ...& g_{nm}\left(s\right)\end{array}\right)$

其中，$g_{ij}\left(s\right)=g_{ij0}\left(s\right)e^{-{\theta }_{ij}s}(i=1,2,...n,j=1,2,...m)$为G_p(s)的第j个输入和第i个输出 之间的传递函数，g_ij0(s)是正则的有理传递函数，θ_ij为对应的时滞部分。

其中，与所述多变量时滞非方非最小相位系统并联的被控对象的模型为G_m(s)，则 所述动态解耦补偿模块101根据G_m(s)的相关矩阵和由此运算而产生 的不稳定极点来设计，是对象模型G_m(s)的共轭转置，即为矩阵的伴随矩阵，所述的广义动态逆模块102根据所述对象模型G_m(s)的广义 被控对象来设计，所述全通补偿模块104根据所述对象模型G_m(s)的广义被控对象中的非最 小相位部分设计。

在本发明的实施方式中，当m>n时，所述解耦内模控制器100为：

K(s)＝K'(s)G_IMC(s)

$G_{IMC}\left(s\right)=H_{-}^{-1}\left(s\right)T\left(s\right)f\left(s\right)$

其中，K'(s)为动态解耦补偿模块101，G_IMC(s)为针对广义被控对象H(s)设计的内 模控制器，H_-(s)为解耦后的广义被控对象H(s)的最小相位部分，为H_-(s)的动态逆， 即广义动态逆模块102，T(s)为全通补偿模块104，f(s)为所述的低通滤波模块103。

在本发明的实施例中，K'(s)为所述的动态解耦补偿模块101，包括G_m(s)的相关矩 阵和解耦补偿对角矩阵K_D(s)，且$K^{\prime }\left(s\right)=G_m^H\left(s\right)·adj\left[G_m\left(s\right)G_m^H\left(s\right)\right]K_D\left(s\right).$其中，是对象模型G_m(s)的共轭转置，即为行列式 的值，为矩阵的伴随矩阵，解耦补偿对角矩阵K_D(s)包含了矩阵 中时滞部分和不稳定极点，且：$K_D\left(s\right)=diag\{e^{-{\theta }_{im}s}\underset{k=1}{\overset{r_i}{\Pi }}{\left(\frac{-s+p_k}{s+\stackrel{-}{p_k}}\right)}^{q_i},i=1,2,...,n\};$

其中，θ_im为矩阵中第i列所有元素时滞量中的最大时滞，p_k为计算 时产生的不稳定极点，为p_k的共轭转置。r_i为第i列中不 稳定极点的总数，q_i为相同不稳定极点p_k的个数。

在本发明的实施例中，经过动态解耦补偿模块K'(s)的设计，上述的广义被控对象 模型H(s)包含和解耦补偿对角矩阵K_D(s)，必定为对角矩阵，即：

$\left(\begin{array}{c}H\left(s\right)=G_m\left(s\right)K^{\prime }\left(s\right)\\ =G_m\left(s\right)G_m^H\left(s\right)·adj\left[G_m\left(s\right)G_m^H\left(s\right)\right]K_D\left(s\right)\\ =\det \left[G_m\left(s\right)G_m^H\left(s\right)\right]K_D\left(s\right)\end{array}\right)$

在本发明的实施例中，为所述的广义动态逆模块102，H_-(s)为解耦后的广义 被控对象H(s)的最小相位部分，为H_-(s)的动态逆；T(s)为所述的全通补偿模块104， 包含了广义被控对象H(s)的RHP零点，且：

其中，z_i为广义被控对象H(s)的RHP零点，q为同一RHP零点的个数。

在本发明的实施例中，f(s)为所述的低通滤波模块103，它的设计是根据广义被控 对象模型矩阵进行矩阵分解后得到的最小相位部分的分量的阶次进行设计。滤波器的阶次 取值取决于内模控制器的物理可实现化，低通滤波器的带宽决定了系统的响应速度和鲁棒 性。

解耦内模控制系统：

图2是根据本发明实施例的解耦内模控制系统。该控制系统包括多变量多时滞非 最小相位非方系统200和上述的解耦内模控制器100，该解耦内模控制器对多变量多时滞非 最小相位非方系统200进行解耦控制，使得多变量多时滞非最小相位非方系统200的输出值 达到其给定值，实现动态解耦。

在本实施例中，由于采用了对象模型相关矩阵的一体化设计方法，从而消除多变 量非方系统的耦合，在本实施例中通过添加全通解耦补偿，处理运算过程中产生的不稳定 极点；使得多变量时滞非最小相位的非方系统的被控变量的输出值达到其给定值，简化了 现有方法对非方矩阵求逆的计算量，消除了动态解耦的不可实现因素，实现动态解耦。同 时，由于解耦内模控制器的设计是基于多变量时滞非最小相位非方系统的广义被控对象， 且对广义对象的非最小相位部分来设计一体化全通补偿，解决了控制器设计复杂且不易整 定等不可实现因素，得到的控制系统具有跟踪能力强，响应速度快，稳态误差为零的优点， 此外在模型参数不确定时，仿真结果表明本发明的实施例的解耦内模控制系统具有较好的 控制精度及较强的鲁棒性。

解耦内模控制方法：

在本发明实施例中，一种多变量时滞非最小相位非方系统的解耦内模控制方法包 括：

动态解耦补偿模块，使得多变量时滞非最小相位的非方系统的被控变量的输出值 达到其给定值，实现动态解耦。

广义动态逆模块根据多变量时滞非最小相位的非方系统的广义被控对象的给定 值计算多变量时滞非最小相位非方系统的输入值。

根据与所述多变量时滞非最小相位非方系统的广义被控对象的非最小相位部分 设计一体化全通补偿模块，对所述的广义动态逆模块进行补偿，使得所述的动态解耦补偿 器模块能够实现。

以及低通滤波模块对所述动态解耦补偿模块和广义动态逆模块的输出值进行低 通滤波，提高系统的抗扰动性能和快速抗扰动响应能力，增强系统的鲁棒性。

图3是图2所示的解耦内模控制系统具体结构图。图4是图3的等效结构分析图，以 下将结合图3和图4对解耦内模控制器100的设计过程进行详细描述。

首先，由图3可得从输入到输出的闭环传递函数矩阵H_YR(s)和扰动到输出的闭环传 递函数矩阵H_YD(s)分别为：

$H_{YR}\left(s\right)=\frac{Y\left(s\right)}{R\left(s\right)}=G_p\left(s\right)K\left(s\right){[I+\left(G_p\right(s)-G_m(s\left)\right)K\left(s\right)]}^{-1}$

$H_{YD}\left(s\right)=\frac{Y\left(s\right)}{D\left(s\right)}=G_p\left(s\right)[I-G_m\left(s\right)K\left(s\right)]{[I+\left(G_p\right(s)-G_m(s\left)\right)K\left(s\right)]}^{-1}$

当被控对象和模型匹配时：G_p(s)＝G_m(s)，以上两式可表示为：

H_YR(s)＝G_m(s)K(s)

H_YD(s)＝G_m(s)[I-G_F(s)G_m(s)K(s)]

其中：

G_p(s)为被控对象，$G_p\left(s\right)=\left(\begin{array}{cccc}{g}_{11}\left(s\right)& g_{12}\left(s\right)& ...& g_{1m}\left(s\right)\\ g_{21}\left(s\right)& g_{22}\left(s\right)& ...& g_{2m}\left(s\right)\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ g_{n1}\left(s\right)& g_{n2}\left(s\right)& ...& g_{nm}\left(s\right)\end{array}\right);$

G_m(s)为被控对象的内部模型，$G_m\left(s\right)=\left(\begin{array}{cccc}{g}_{11}^{,}\left(s\right)& g_{12}^{,}\left(s\right)& ...& g_{1m}^{,}\left(s\right)\\ g_{21}^{,}\left(s\right)& g_{22}^{,}\left(s\right)& ...& g_{2m}^{,}\left(s\right)\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ g_{n1}^{,}\left(s\right)& g_{n2}^{,}\left(s\right)& ...& g_{nm}^{,}\left(s\right)\end{array}\right);$

其中，$g_{ij}\left(s\right)=g_{ij0}\left(s\right)e^{-{\theta }_{ij}s}(i=1,2,...n,j=1,2,...m)$为G_p(s)的第j个输入和第i个输 出之间的传递函数，g_ij0(s)是正则的有理传递函数，θ_ij为对应的时滞部分；K(s)为多变量时 滞非最小相位非方系统的解耦内模控制器；K'(s)为动态解耦补偿器；H(s)＝G_m(s)K'(s)是 解耦后的广义被控对象；为广义被控对象模型；G_IMC(s)为针对广义被控 对象H(s)设计的内模控制器。

其次，设计动态解耦补偿器

非方矩阵不可逆是多变量非方系统难以实现解耦控制的主要原因之一。现有技术 大多采用广义逆的方法表示非方矩阵的逆。广义逆的表达式为：

$G_m{\left(s\right)}^{+}=G_m^H\left(s\right){\left[G_m\left(s\right)G_m^H\left(s\right)\right]}^{-1}=G_m^H\left(s\right)·\frac{adj\left[G_m\left(s\right)G_m^H\left(s\right)\right]}{\det \left[G_m\left(s\right)G_m^H\left(s\right)\right]};$

其中，是G_m(s)的共轭转置，即当被控对象和模型匹配时， H_YR(s)＝G_m(s)K(s)。解耦的最终目的是使H_YR(s)＝G_m(s)K(s)为对角矩阵，从而消除耦合。本 发明为了简化非方矩阵求逆的计算量，基于对象模型相关伴随矩阵一体化设计动态解耦补 偿器K'(s)为：

$K^{\prime }\left(s\right)=G_m^H\left(s\right)·adj\left[G_m\left(s\right)G_m^H\left(s\right)\right]K_D\left(s\right)$

其中，为矩阵的伴随矩阵，K_D(s)是需要设计的矩阵。 此时，解耦后的广义对象H(s)可表示为：

$\left(\begin{array}{c}H\left(s\right)=G_m\left(s\right)K^{\prime }\left(s\right)\\ =G_m\left(s\right)G_m^H\left(s\right)·adj\left[G_m\left(s\right)G_m^H\left(s\right)\right]K_D\left(s\right)\\ =\det \left[G_m\left(s\right)G_m^H\left(s\right)\right]K_D\left(s\right)\end{array}\right)$

其中，为行列式的值，若K_D(s)设计为对角矩阵，则H(s)必定为对 角矩阵。

再次，处理不稳定极点的负面影响

在计算解耦后的广义被控对象H(s)时,会产生不稳定的右半平面 极点，导致系统内部不稳定。此时，需要右乘一个全通的解耦补偿对角矩阵K_D(s)，以消除右 半平面不稳定极点，全通系统在整个频率范围内频率响应幅值为1，不改变输入信号的增 益。而且解耦器K'(s)中的元素含有预估项e^θs，e^θs是一个超越函数，是一个物理不可 实现的环节。为了使解耦控制器物理可实现，需要右乘相应的时滞项，消除预估项。因此，本 发明中K_D(s)设计为：$K_D\left(s\right)=diag\{e^{-{\theta }_{im}s}\underset{k=1}{\overset{r_i}{\Pi }}{\left(\frac{-s+p_k}{s+{\stackrel{-}{p}}_k}\right)}^{q_i},i=1,2,...,n\};$

其中，θ_im为矩阵中第i列所有元素时滞量中的最大时滞，p_k为计算 时产生的不稳定极点，为p_k的共轭转置。r_i为第i列中不 稳定极点的总数，q_i为相同不稳定极点p_k的个数。

最后，设计一体化解耦补偿内模控制器，处理非最小相位零点

非最小相位被控对象是指右半平面(RHP)存在零点或极点的对象，工业中普遍存 在非最小相位被控对象，存在右半平面零点时，系统不但会产生超调，还会有负调的现象。

根据所述的设计动态解耦补偿器K'(s)，得到的广义被控对象H(s)必为对角矩阵， 因此可实现被控对象动态完全解耦，然后对解耦后的广义被控对象H(s)设计内模控制器 G_IMC(s)。

根据内模控制原理，针对广义被控对象H(s)设计的内模控制器表示为：

$G_{IMC}\left(s\right)=H_{-}^{-1}\left(s\right)T\left(s\right)f\left(s\right)$

其中，H_-(s)为解耦后的广义被控对象H(s)的最小相位部分，为H_-(s)的动态 逆；T(s)为全通补偿器；f(s)为低通滤波器表示为：其中，λ为滤波器参数，r 的取值取决于内模控制器的物理可实现。

当广义被控对象H(s)没有RHP零点时，全通补偿器T(s)＝1。

当广义被控对象H(s)含有RHP零点时，即H(s)包含(-Ts+1)因子时，求逆的过程中 会出现不稳定的极点，因此，本发明采用在右半平面零点的关于虚轴的镜像映射处增加极 点的方法。其中，z_i为广义被控对象H(s)的RHP零点，q为同一RHP零点的个数，全通补偿器T (s)表示为：$T\left(s\right)=\underset{i}{\Pi }{\left(\frac{-z_{i}s+1}{z_{i}s+1}\right)}^q,z_i>0.$

根据图4的关系K(s)＝K'(s)·G_IMC(s)，解耦内模控制器K(s)可最终表示为：

$\begin{array}{c}K\left(s\right)=K^{\prime }\left(s\right)G_{IMC}\left(s\right)\\ =G_m^H\left(s\right)adj\left[G_m\left(s\right)G_m^H\left(s\right)\right]K_D\left(s\right)·H_{-}^{-1}\left(s\right)\underset{i}{\Pi }{\left(\frac{-T_{i}s+1}{T_{i}s+1}\right)}^q\frac{1}{{(\lambda s+1)}^r}\end{array};$

其中，$K_D\left(s\right)=diag\{e^{-{\theta }_{im}s}\underset{k=1}{\overset{r_i}{\Pi }}{\left(\frac{-s+p_k}{s+{\stackrel{-}{p}}_k}\right)}^{q_i},i=1,2,...,n\}.$

以下根据一个实施例子来说明上述解耦内模控制器在实际多变量时滞非最小相 位非方系统中的设计步骤，本发明的实施例子针对工业过程中的精馏塔控制问题进行研 究，是一个三输入二输出的非方多变量多时滞含RHP零点的被控对象：

$G_P\left(s\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{s+1}{e}^{-s}& \frac{1}{(s+1)(s+3)}{e}^{-2s}& \frac{1}{s+3}{e}^{-2s}\\ \frac{1}{s+1}{e}^{-s}& \frac{s-2}{(s+1)(s+3)}{e}^{-2s}& \frac{1}{s+3}{e}^{-2s}\end{array}\right)$

当被控对象和模型匹配时：即G_p(s)＝G_m(s)，其模型为：

$G_m\left(s\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{s+1}{e}^{-s}& \frac{1}{(s+1)(s+3)}{e}^{-2s}& \frac{1}{s+3}{e}^{-2s}\\ \frac{1}{s+1}{e}^{-s}& \frac{s-2}{(s+1)(s+3)}{e}^{-2s}& \frac{1}{s+3}{e}^{-2s}\end{array}\right)$

根据对象模型来设计动态解耦补偿器K'(s)，其中，分别计算 和

$G_m^H\left(s\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{-(s-1)}{e}^s& \frac{1}{-(s-1)}{e}^s\\ \frac{1}{(s-1)(s-3)}{e}^{2s}& \frac{-(s+2)}{(s-1)(s-3)}{e}^{2s}\\ \frac{1}{-(s-3)}{e}^{2s}& \frac{1}{-(s-3)}{e}^{2s}\end{array}\right)$

$adj\left[G_m\left(s\right)G_m^H\left(s\right)\right]=\frac{1}{(s+1)(s-1)(s+3)(s-3)}\left(\begin{array}{cc}-3s^2+14& 2s^2+s-8\\ 2s^2-s-8& -2s^2+11\end{array}\right)$

$\det \left[G_m\left(s\right)G_m^H\left(s\right)\right]=\frac{2s^4-28s^2+90}{{\left[(s+1)(s-1)(s+3)(s-3)\right]}^2}$

由于产生不稳定的右半平面极点，此处设计解耦补偿对角矩阵K_D(s)为：

$K_D\left(s\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{{(-s+1)}^2{(-s+3)}^2}{{(s+1)}^2{(s+3)}^2}{e}^{-2s}& \\ & \frac{{(-s+1)}^2{(-s+3)}^2}{{(s+1)}^2{(s+3)}^2}{e}^{-2s}\end{array}\right)$

因此，动态解耦补偿器K'(s)为：

$K^{\prime }\left(s\right)=\frac{1}{{(s+1)}^3{(s+3)}^2}\left(\begin{array}{cc}(s-2)(s-3)e^{-s}& -(s-3)e^{-s}\\ -2(s+\sqrt{5})(s-\sqrt{5})& 2(s+\sqrt{5})(s-\sqrt{5})\\ (s-2)(s-1)& -(s-1)\end{array}\right)$

解耦后的广义被控对象H(s)：

$H\left(s\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{2(s-3)(s+\sqrt{5})(s-\sqrt{5})}{{(s+1)}^4{(s+3)}^3}{e}^{-2s}& \\ & \frac{2(s-3)(s+\sqrt{5})(s-\sqrt{5})}{{(s+1)}^4{(s+3)}^3}{e}^{-2s}\end{array}\right)$

由上式可知可实现被控对象的完全动态解耦，针对广义被控对象H(s)设计广义内 模控制器，由于被控对象含有时滞项e^-2s和RHP零点3和不可求逆，这里在右半平面零点 的关于虚轴的镜像映射处增加极点来处理非最小相位零点，设计的全通补偿器T(s)为： $T\left(s\right)=\frac{(-s+3)(-s+\sqrt{5})}{(s+3)(s+\sqrt{5})};$设计的低通滤波器为：$f\left(s\right)=\frac{1}{{({\lambda }_{i}s+1)}^4}.$

因此广义内模控制器为：

$\begin{array}{c}{G}_{{\mathrm{IMC}}_{ii}}\left(s\right)=H_{-}^{-1}\left(s\right)T\left(s\right)f\left(s\right)\\ =\frac{{(s+1)}^4{(s+3)}^2}{2{(s+\sqrt{5})}^2{({\lambda }_{i}s+1)}^4}\end{array};i=1,2$

$G_{IMC}\left(s\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{{(s+1)}^4{(s+3)}^2}{2{(s+\sqrt{5})}^2{({\lambda }_{1}s+1)}^4}& \\ & \frac{{(s+1)}^4{(s+3)}^2}{2{(s+\sqrt{5})}^2{({\lambda }_{2}s+1)}^4}\end{array}\right)$

其中，控制器的整定参数取：λ₁＝0.7，λ₂＝0.7，最终得到被控对象的一体化设计的 解耦补偿内模控制器K(s)为：

$\left(\begin{array}{c}K\left(s\right)=K^{\prime }\left(s\right)G_{IMC}\left(s\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}\frac{(s+1)(s-2)(s-3)}{2{(s+\sqrt{5})}^2{(0.7s+1)}^4}{e}^{-s}& \frac{-(s+1)(s-3)}{2{(s+\sqrt{5})}^2{(0.7s+1)}^4}{e}^{-s}\\ \frac{-(s+1)(s-\sqrt{5})}{{(s+\sqrt{5})}^2{(0.7s+1)}^4}& \frac{(s+1)(s-\sqrt{5})}{(s+\sqrt{5}){(0.7s+1)}^4}\\ \frac{(s+1)(s-2)(s-1)}{2{(s+\sqrt{5})}^2{(0.7s+1)}^4}& \frac{-(s+1)(s-1)}{2{(s+\sqrt{5})}^2{(0.7s+1)}^4}\end{array}\right)\end{array}\right)$

图5为标称系统的单位阶跃响应。其中，图中(a)表示对被控对象第一通道加入阶 跃信号r₁＝1，第二通道r₂＝0的单位阶跃响应；(b)表示对被控对象第二通道加入阶跃信号 r₂＝1，第一通道r₁＝0的单位阶跃响应。

图6是标称系统加入扰动的单位阶跃响应，在t＝0s时，对被控对象第一通道加入 阶跃信号r₁＝1，第二通道r₂＝0；t＝30s时，对第二通道加入r₂＝0.5；t＝60s时，在第一通道 图3中u₁处加入负载扰动d₁＝0.2的单位阶跃信号,仿真效果如图6所示。

由此可见采用本发明实施例的解耦内模控制器以及内模控制方法，实现了多变量 系统各个输入与输出通道之间的动态完全解耦，有很好的解耦性，使得多变量非方非最小 相位系统很好地跟踪给定值，达到稳态误差为零，并且具有较强抗扰动响应能力。

为了验证本文方法的鲁棒性能，对被控对象加入加法不确定性，即加入被控过程 对象的参数不确定性Δ_A(s)，考虑到不确定因素的加入，为使系统稳定，所以应使||Δ_A(s)| |_∞＜1，稳态增益不确定度Δk_A(s)，惯性时间常数ΔT_A(s)，时间延迟Δθ_A(s)分别在20％变 化，保持控制器参数与模型匹配时一致。图7～10分别为模型失配时的单位阶跃响应曲线。 图中(a)表示为r₁＝1,r₂＝0，t＝60s时，在u₁处加入负载扰动d₁＝0.2的阶跃信号的单位阶 跃响应。(b)表示为r₁＝0,r₂＝1，t＝60s时，在u₂处加入负载扰动d₂＝0.2的阶跃信号的单位 阶跃响应。可见采用本发明实施例的解耦内模控制器以及内模控制系统在被控对象参数不 确定性时任然具有很好的动态解耦效果，具有较好的跟踪特性以及较强的鲁棒性。

采用ISE(积分平方误差)指标来评判该解耦控制器的性能。ISE越小，控制系统具 有更快的响应速度和更好的控制性能。ISE的计算公式为：多变量被控 对象的ISE总和可表示为：

$\begin{array}{c}ISE={\mathrm{ISE}}_{y1-r1}+{\mathrm{ISE}}_{y2-r1}+{\mathrm{ISE}}_{y1-r2}+{\mathrm{ISE}}_{y2-r2}\\ ={\int }_0^{\infty }{[1-y_1\left(t\right)]}^{2}dt+{\int }_0^{\infty }{[0-y_2\left(t\right)]}^{2}dt+{\int }_0^{\infty }{[1-y_2\left(t\right)]}^{2}dt+{\int }_0^{\infty }{[0-y_1\left(t\right)]}^{2}dt\end{array};$

当被控对象与其模型匹配和不匹配时，采用本发明方法的ISE值如表1所示：

表1ISE值

由表中数据和仿真结果图中，可以看出，得到的控制具有较快的响应速度和较好 的控制性能，且解耦效果更好，能实现多变量时滞非最小相位非方系统的完全动态解耦，在 被控对象与其模型匹配和失配时，都具有较强的抗干扰响应能力。