不确定因素相关的四辊轧机多学科可靠性设计优化方法

摘要

本发明公开了一种不确定因素相关的四辊轧机多学科可靠性设计优化方法；其包括构建四辊轧机多学科设计优化模型，构建四辊轧机中不确定因素相关的量化模型，构建不确定因素相关条件下的四辊轧机多学科设计优化模型，将相关不确定因素转换成独立的不确定因素并计算可靠性，构建不确定因素相关条件下的四辊轧机多学科可靠性设计优化模型，实现对四辊轧机进行多学科可靠性设计优化。本发明通过将超椭球理论、可靠性理论以及多学科设计优化理论相结合，解决了传统设计方法中人为忽略不确定因素之间的相关性从而导致设计结果不准确，从而满足复杂机械产品高可靠性的要求。

说明书

技术领域

本发明属于机械产品的多学科设计优化技术领域，尤其涉及一种不确定因素相关的四 辊轧机多学科可靠性设计优化方法。

背景技术

多学科设计优化(MultidisciplinaryDesignOptimization，简称MDO)是当前国际上飞行 器设计方法的一个最新、最活跃的领域。多学科设计优化是一种充分探索和利用工程系统 中的相互作用的协同机制来设计复杂系统和子系统的方法，其基本指导思想是利用合适的 优化策略组织和管理优化设计过程，通过分解、协调等手段将复杂系统分解为与现有工程 设计组织形式相一致的若干子系统，对复杂系统进行综合设计，以达到缩短设计周期、降 低开发成本、提高产品竞争力的目的。

传统的MDO是“确定的”MDO，即载荷、设计变量和参数、目标函数、约束条件和 仿真模型等均为确定性的。然而在实际工程中，不确定性因素广泛存在于复杂耦合系统的 整个生命周期中，如载荷、材料属性、零件的几何尺寸和操作条件的变化，以及建立数学 模型时所作假设带来的不确定性等等。目前对不确定性的研究主要集中在随机不确定性和 认知不确定性两大类。随机不确定性是由于系统和环境中的各种随机因素而产生的，例如 一批零件的几何尺寸、一批材料的特性(如弹性模量、许用应力等)通常都不是一个定值， 而是在一定范围内变化。认知不确定性则是由于人们的知识不足或信息不完全而产生的， 例如在复杂产品的设计过程中(尤其是在设计的早期阶段)，设计者对用户需求、载荷环 境、结构及机理等不可能完全掌握，导致在设计时复杂产品的设计参数、载荷(外力)、 仿真模型等都具有一定的不确定性。

当上述不确定性因素存在相关性或者某种制约关系时，则必须考虑到不确定因素的相 关性对优化结果产生的影响。在传统的机械设计中，往往假设各不确定因素之间是独立的， 例如轴系零件设计变量的载荷、强度等存在程度不同的相关性；对于复杂机械系统的设计 一般为了减少计算量都进行简化等效，对于外形复杂的机架进行简化等效后，其在设计尺 寸上以及几何空间上等产生的不确定的因素必然存在一定的相关性。所以忽略不确定因素 之间的相关性，将会导致设计结果的不准确，无法满足现代复杂机械产品高可靠性的要求。

发明内容

本发明的发明目的是：为了解决传统设计方法中人为忽略不确定因素之间的相关性而 导致的设计结果不准确等问题，本发明提出了一种不确定因素相关的四辊轧机多学科可靠 性设计优化方法。

本发明的技术方案是：一种不确定因素相关的四辊轧机多学科可靠性设计优化方法， 包括以下步骤：

S1、以四辊轧机作为优化对象，将四辊轧机进行学科划分，构建四辊轧机多学科设计 优化模型；

S2、根据四辊轧机中不确定因素的相关性，构建四辊轧机中不确定因素相关的量化模 型；

S3、将步骤S2中构建的四辊轧机中不确定因素相关的量化模型作为约束条件添加到步 骤S1中构建的四辊轧机多学科设计优化模型中，构建不确定因素相关条件下的四辊轧机多 学科设计优化模型；

S4、将相关不确定因素转换为独立的不确定因素，计算变量独立的性能函数可靠性；

S5、根据步骤S3中构建的不确定因素相关条件下的四辊轧机多学科设计优化模型及步 骤S4中计算得到的变量独立的性能函数可靠性，利用可靠性优化设计方法构建不确定因素 相关条件下的四辊轧机多学科可靠性设计优化模型，实现对四辊轧机进行多学科可靠性设 计优化。

进一步地，所述步骤S1以四辊轧机作为优化对象，将四辊轧机进行学科划分，构建四 辊轧机多学科设计优化模型，具体为：将四辊轧机按照物理部件进行学科划分，分解为n 个子学科，将四辊轧机的系统级优化目标函数的数学模型表示为：

$\begin{array}{cc}\min & F\left(X\right)=\underset{1}{\overset{n}{\Sigma }}{f}_n\left(X^{subn}\right)\end{array};$

s.t.g_k(X)≤0；

h_m(X)＝0；

其中，F(X)为系统级优化目标函数，g_k(X)为系统级优化目标函数的第k个不等式约 束条件，h_m(X)为系统级优化目标函数的第m个等式约束条件，X为设计变量向量组；

将第n个子学科的学科级优化目标函数的数学模型表示为：

minf_n(X^subn)

s.t.g_ni(X^subn)≤0

h_nj(X^subn)＝0

其中，X^subn为第n个子学科设计变量，f_n(X^subn)为子学科n的设计目标函数，g_ni(X^subn) 为子学科n的第i个不等式约束条件，h_nj(X^subn)为子学科n的第j个等式约束条件。

进一步地，所述步骤S2根据四辊轧机中不确定因素的相关性，构建四辊轧机中不确定 因素相关的量化模型，具体包括以下分步骤：

S21、设定四辊轧机中具有n个不确定因素的随机变量x₁,x₂,…x_n，采用向量表示为 U＝(x₁,x₂,…x_n)^T，U的上下界分别为则随机变量 的均值表示为：

$\bar{U}={({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2,...,\stackrel{-}{x_n})}^T={(\frac{x_1^u+x_1^l}{2},\frac{x_2^u+x_2^l}{2},...,\frac{x_n^u+x_n^l}{2})}^T$

S22、根据随机变量在上下界的区间内服从均匀分布，得到随机变量的方差，表示为：

$D_U=D(x_1,x_2,...,x_n)=(\frac{{(x_1^u-x_1^l)}^2}{12},\frac{{(x_2^u-x_2^l)}^2}{12},...\frac{{(x_n^u-x_n^l)}^2}{12})$

S23、根据随机变量的不确定因素之间的相关系数，得到随机变量两两之间的不确定因 素的协方差，表示为：

$Cov(x_i,x_j)={\rho }_{x_i{x}_j}\sqrt{D\left(x_i\right)}\sqrt{D\left(x_j\right)}$

其中，Cov(x_i,x_j)为随机变量x_i和x_j之间的协方差，为变量x_i和x_j的相关系数， D(x_i)为x_i的方差，D(x_j)为x_j的方差。

S24、考虑不确定因素的相关性，将不确定因素的协方差代入超椭球模型，构建四辊轧 机中不确定因素相关的量化模型，表示为：

其中，ε为实常数。

进一步地，所述步骤S3将四辊轧机中不确定因素相关的量化模型作为约束条件添加到 四辊轧机多学科设计优化模型中，构建不确定因素相关条件下的四辊轧机多学科设计优化 模型，具体为：将四辊轧机中不确定因素相关的量化模型作为约束条件添加到四辊轧机多 学科设计优化模型中，利用多学科可行法进行求解，得到不确定因素相关条件下的四辊轧 机多学科设计优化模型，表示为：

$\begin{array}{cc}\min & F\left(X\right)=\underset{1}{\overset{n}{\Sigma }}{f}_n\left(X^{subn}\right)\end{array};$

s.t.g_k(X)≤0；

h_m(X)＝0；

G(U)≤ε²；

其中，n为子学科数，g_k(X)为第k个不等式约束，h_m(X)为第m个等式约束，G(U) 为不确定因素相关的量化模型。

进一步地，所述步骤S4将相关不确定因素转换为独立的不确定因素，计算变量独立的 性能函数可靠性，具体包括以下分步骤：

S41、设定向量X＝(x₁,x₂,…,x_n)^T为相关正态分布的随机变量，协方差矩阵C的规则化特 征向量组成矩阵A，对向量X作正交变换X＝AY，将向量X变成线性无关的向量Y，表示 为Y＝A^TX；

S42、设定X的均值为E_X，将向量Y的均值和方差分别表示为u_Y＝A^TE_X、D_Y＝A^TCA， 根据正态随机变量不相关与独立等价关系，即向量Y为独立正态随机变量；从而将变量相 关的性能函数Z＝g(X)转换为变量独立的性能函数，表示为Z＝g(X)＝g_X(AY)＝g_Y(Y)；

S43、根据步骤S42中得到的变量独立的性能函数，利用一阶可靠度法求解变量独立的 性能函数可靠度。

进一步地，所述步骤S5根据不确定因素相关条件下的四辊轧机多学科设计优化模型及 计算得到的变量独立的性能函数可靠性，利用可靠性优化设计方法构建不确定因素相关条 件下的四辊轧机多学科可靠性设计优化模型，实现对四辊轧机进行多学科可靠性设计优化， 具体为：设定预设要求的可靠度为[R]，从不确定因素相关条件下的四辊轧机多学科设计优 化模型的约束条件中选取p个性能约束作为可靠性约束，结合不确定因素相关条件下的四 辊轧机多学科设计优化模型及计算得到的可靠性，利用可靠性优化设计方法构建不确定因 素相关条件下的四辊轧机多学科可靠性设计优化模型，表示为：

$\begin{array}{cc}\min & F\left(X\right)=\underset{1}{\overset{n}{\Sigma }}{f}_n\left(X^{subn}\right)\end{array};$

s.t.Pr[g_p(X)≤0]≥[R]；

g_k(X)≤0；

h_m(X)＝0；

G(U)≤ε²；

$p\notin k$

其中，Pr[g_p(X)≤0]表示可靠性约束；从而实现对四辊轧机进行多学科可靠性设计优化。

本发明的有益效果是：本发明通过将四辊轧机进行学科划分，构建四辊轧机多学科设 计优化模型；同时考虑四辊轧机中不确定因素的相关性，构建四辊轧机中不确定因素相关 的量化模型；再通过将相关不确定因素转换成独立的不确定因素，利用可靠性优化设计方 法构建不确定因素相关条件下的四辊轧机多学科可靠性设计优化模型；本发明通过将超椭 球理论、可靠性理论以及多学科设计优化理论相结合，解决了传统设计方法中人为忽略不 确定因素之间的相关性从而导致设计结果不准确，从而满足复杂机械产品高可靠性的要求。

附图说明

图1是本发明的不确定因素相关的四辊轧机多学科可靠性设计优化方法流程示意图。

图2是本发明实施例中四辊轧机的学科划分结构示意图。

图3是本发明实施例中四辊轧机机座等效简化结构正视图。

图4是本发明实施例中四辊轧机机座等效简化结构剖面图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本 发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不 用于限定本发明。

如图1所示，为本发明的不确定因素相关的四辊轧机多学科可靠性设计优化方法流程 示意图。一种不确定因素相关的四辊轧机多学科可靠性设计优化方法，包括以下步骤：

S1、以四辊轧机作为优化对象，将四辊轧机进行学科划分，构建四辊轧机多学科设计 优化模型；

S2、根据四辊轧机中不确定因素的相关性，构建四辊轧机中不确定因素相关的量化模 型；

S3、将步骤S2中构建的四辊轧机中不确定因素相关的量化模型作为约束条件添加到步 骤S1中构建的四辊轧机多学科设计优化模型中，构建不确定因素相关条件下的四辊轧机多 学科设计优化模型；

S4、将相关不确定因素转换成独立的不确定因素，计算变量独立的性能函数可靠性；

S5、根据步骤S3中构建的不确定因素相关条件下的四辊轧机多学科设计优化模型及步 骤S4中计算得到的变量独立的性能函数可靠性，利用可靠性优化设计方法构建不确定因素 相关条件下的四辊轧机多学科可靠性设计优化模型，实现对四辊轧机进行多学科可靠性设 计优化。

在步骤S1中，以四辊轧机作为优化对象，将四辊轧机进行学科划分，构建四辊轧机多 学科设计优化模型，具体为：将四辊轧机按照物理部件进行学科划分，分解为n个子学科， 将四辊轧机的系统级优化目标函数的数学模型表示为：

$\begin{array}{cc}\min & F\left(X\right)=\underset{1}{\overset{n}{\Sigma }}{f}_n\left(X^{subn}\right)\end{array};$

s.t.g_k(X)≤0；

h_m(X)＝0；

其中，F(X)为系统级优化目标函数，g_k(X)为系统级优化目标函数的第k个不等式约 束条件，h_m(X)为系统级优化目标函数的第m个等式约束条件，X为设计变量向量组；

将第n个子学科的学科级优化目标函数的数学模型表示为：

minf_n(X^subn)

s.t.g_ni(X^subn)≤0

h_nj(X^subn)＝0

其中，X^subn为第n个子学科设计变量，f_n(X^subn)为子学科n的设计目标函数，g_ni(X^subn) 为子学科n的第i个不等式约束条件，h_nj(X^subn)为子学科n的第j个等式约束条件。

为了使得本领域技术人员能够更清楚的理解上述构建四辊轧机中不确定因素相关的量 化模型的方法，下面本发明将结合具体实施例作进一步详细说明。

如图2所示，为本发明实施例中四辊轧机的学科划分结构示意图。本发明以四辊轧机 作为优化对象，将四辊轧机根据物理部件进行学科划分为三个子学科，分别为横梁、立柱 及支承辊。四辊轧机的系统级优化目标函数的数学模型表示为：

minF(x)

s.t.g₁₄(x)≤0

横梁的学科级优化目标函数的数学模型表示为：

minf₁(x)+f₂(x)

s.t.g₆(x)≤0；g₇(x)≤0；

g₉(x)≤0；g₁₀(x)≤0；

g₁₂(x)≤0；g₁₃(x)≤0；

立柱的学科级优化目标函数的数学模型表示为：

minf₃(x)

s.t.g₅(x)≤0；

g₈(x)≤0；

g₁₁(x)≤0；

支承辊的学科级优化目标函数的数学模型表示为：

minf₄(x)+f₅(x)+f₆(x)

s.t.g₁(x)≤0；g₂(x)≤0；

g₃(x)≤0；g₄(x)≤0；

本发明中四辊轧机的设计，以获得最小机座弹跳值为设计目标，以符合要求的结构、 强度、刚度等为约束条件，最终得到较合理的结构参数和性能。在不改变原产品规格并保 持原有轧辊轴承等零部件不变的前提下，选择立柱横截面高度x₁(h₁)、立柱横截面宽度b₁、 上横梁横截面均值高度x₂(h₂)、上横截面宽度b₂、下横梁截面高度x₃(h₃)、下横梁截面宽度 b₃和支撑辊辊身直径D₁为设计变量，表示为：

x＝(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇)^T＝(h₁,b₁,h₂,b₂,h₃,b₃,D₁)^T

目标函数在重量不超过现有同类机座重量的前提下要求机座的弹跳值F(x)最小，机座 的弹跳值分别由六部分组成：

(1)上横梁由弯矩产生的弯曲变形之和，表示为：

$\left(\begin{array}{c}{f}_1\left(x\right)=1.91\times {10}^{-6}\times {(x_1+0.59)}^3\times (\frac{1}{\left(x_4{x}_3^3\right)}+\frac{1}{\left(x_6{x}_5^3\right)})\times \\ \{1-0.75\times {[1+\frac{(x_3+x_5+4.3)x_4{x}_2^3{x}_6{x}_5^3}{(x_1+0.59)x_2{x}_1^3(x_4{x}_3^3+x_6{x}_5^3)}]}^{-1}\}\end{array}\right)$

(2)下横梁由剪力产生的弯曲变形之和，表示为：

$f_2\left(x\right)=3.704\times {10}^{-6}\times (x_1+0.59)\times (\frac{1}{\left(x_3{x}_4\right)}+\frac{1}{\left(x_5{x}_6\right)})$

(3)立柱的拉伸变形，表示为：

$f_3\left(x\right)=5.119\times {10}^{-6}\times \frac{1}{x_1{x}_2}$

(4)支撑辊由弯矩产生的弯曲变形之和，表示为：

$\left(\begin{array}{c}{f}_4\left(x\right)=0.9671\times {10}^{-6}\times \frac{1}{x_7^4}\times \\ [8{(x_2+0.656)}^3-0.64(x_2+0.656)+0.64+8{(x_3+0.256)}^3\times (218.8x_7^4-1)]\end{array}\right)$

(5)支撑辊剪切力产生的弯曲变形之和，表示为：

$f_5\left(x\right)=1.533\times {10}^{-5}\times \frac{1}{x_7^2}\times [(x_2+0.656)-0.2+(x_2+0.256)\times (14.79x_7^2-1)]$

(6)工作辊和支撑辊辊身间弹性压扁之和，表示为：

f₆(x)＝0.263×10^-4ln[0.5904×10⁵×(x₇+0.28)]

约束条件包括：

(1)支撑辊棍身直径和工作辊棍身直径的约束，表示为：

g₁(x)＝x₆-0.42≤0；g₂(x)＝0.336-x₇≤0

(2)轧辊接触强度条件，表示为：

$g_3\left(x\right)=0.89\times {10}^6\times \sqrt{1+\frac{0.28}{x_7}}-1.61\times {10}^6\le 0$

(3)支撑辊辊身与辊颈危险断面的弯曲强度条件，表示为：

g₄(x)＝0.1678×10⁶×(x₂+0.256)-0.125×10⁶≤0

(4)机架立柱拉伸、弯曲复合强度条件，表示为：

[σ_P]＝0.055×10⁶KN/m²

$g_5\left(x\right)=\frac{500}{x_1{x}_2}+\frac{750(x_1+0.59)}{x_1^2{x}_2}\times \left[\frac{1}{1+\frac{(x_3+x_5+4.3)x_4{x}_3^3{x}_6{x}_5^3}{(x_1+0.59)x_2{x}_1^3(x_4{x}_3^3+x_6{x}_5^3)}}\right]-\left[{\sigma }_P\right]\le 0$

(5)机架上、下横梁弯曲强度条件，表示为：

$g_6\left(x\right)=\frac{1.5\times {10}^3(x_1+0.59)}{x_4{x}_3^2}\times \{1-\frac{1}{2[1+1+\frac{(x_3+x_5+4.3)x_4{x}_3^3{x}_6{x}_5^3}{(x_1+0.59)x_2{x}_1^3(x_4{x}_3^3+x_6{x}_5^3)}]}\}-0.055\times {10}^6\le 0$

$g_7\left(x\right)=\frac{1.5\times {10}^3(x_1+0.59)}{x_6{x}_5^2}\times \{1-\frac{1}{2[1+1+\frac{(x_3+x_5+4.3)x_4{x}_3^3{x}_6{x}_5^3}{(x_1+0.59)x_2{x}_1^3(x_4{x}_3^3+x_6{x}_5^3)}]}\}-0.055\times {10}^6\le 0$

(6)立柱和上、下横截面高度及宽度尺寸约束，表示为：

h₁>b₁,h₂>b₂,h₃>b₃,b₁≥B'

g₈(x)＝x₂-x₁≤0；g₉(x)＝x₄-x₃≤0；g₁₀(x)＝x₆-x₅≤0；

g₁₁(x)＝0.26-x₂≤0；g₁₂(x)＝x₃-2.5x₄≤0；g₁₃(x)＝x₅-2.5x₆≤0；

其中，g₈为立柱横截面高度与宽度的尺寸约束，g₉为上横梁横截面高度与宽度的尺寸 约束，g₁₀为下横梁横截面高度与宽度的尺寸约束，g₁₁为立柱断面宽度方向上为安装轴承 所需最小宽度的约束，g₁₂为上横梁横截面高度与宽度的尺寸约束，g₁₃为下横梁横截面高 度与宽度的尺寸约束，B'为在立柱断面宽度方向上为安装轴承所需最小宽度，B'＝0.26m。

(7)机架质量不得大于已有同类机架质量，表示为：

g₁₄(x)＝15.6×[2.15x₁x₂+(x₁+0.295)(x₃x₄+x₅x₆)]-7.484≤0；

在步骤S2中，根据四辊轧机中不确定因素的相关性，构建四辊轧机中不确定因素相关 的量化模型，具体包括以下分步骤：

S21、设定四辊轧机中具有n个不确定因素的随机变量x₁,x₂,…x_n，采用向量表示为 U＝(x₁,x₂,…x_n)^T，U的上下界分别为则随机变量 的均值表示为：

$\bar{U}={({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2,...,\stackrel{-}{x_n})}^T={(\frac{x_1^u+x_1^l}{2},\frac{x_2^u+x_2^l}{2},...,\frac{x_n^u+x_n^l}{2})}^T$

S22、根据随机变量在上下界的区间内服从均匀分布，得到随机变量，表示为：

$D_U=D(x_1,x_2,...,x_n)=(\frac{{(x_1^u-x_1^l)}^2}{12},\frac{{(x_2^u-x_2^l)}^2}{12},...\frac{{(x_n^u-x_n^l)}^2}{12})$

S23、根据随机变量的不确定因素之间的相关系数，得到随机变量两两之间的不确定因 素的协方差，表示为：

$Cov(x_i,x_j)={\rho }_{x_i{x}_j}\sqrt{D\left(x_i\right)}\sqrt{D\left(x_j\right)}$

S24、考虑不确定因素的相关性，将不确定因素的协方差代入超椭球模型，构建四辊轧 机中不确定因素相关的量化模型，表示为：

其中，ε为实常数。

为了使得本领域技术人员能够更清楚的理解上述构建四辊轧机中不确定因素相关的量 化模型的方法，下面本发明将结合具体实施例作进一步详细说明。

如图3所示，为本发明实施例中四辊轧机机座等效简化结构正视图，如图4所示，为 本发明实施例中四辊轧机机座等效简化结构剖面图，其中1为上横梁，2为立柱，3为下横 梁，4为支承辊，5为工作辊。为了减少计算量，本发明对四辊轧机机座进行等效简化，其 立柱和横梁的横截面积保持不变，上下横梁和立柱相互连接安装配合，在设计尺寸上以及 几何空间上必然存在一定的相关性。设定立柱横截面高度x₁(h₁)、上横梁横截面均值高度 x₂(h₂)、下横梁截面高度x₃(h₃)有存在不确定因素的相关性，采用向量表示为U＝(x₁，x₃， x₅)，随机变量的不确定因素之间的相关系数矩阵表示为：

$\rho =\left(\begin{array}{ccc}1& {\rho }_{x_1{x}_3}& {\rho }_{x_1{x}_5}\\ {\rho }_{x_3{x}_1}& 1& {\rho }_{x_3{x}_5}\\ {\rho }_{x_5{x}_1}& {\rho }_{x_5{x}_3}& 1\end{array}\right)$

从而根据得到随机变量两两之间的不确定因素的协方 差，表示为：

$C=\left(\begin{array}{ccc}D\left(x_1\right)& Cov(x_1,x_3)& Cov(x_1,x_5)\\ Cov(x_3,x_1)& D\left(x_3\right)& Cov(x_3,x_5)\\ Cov(x_5,x_1)& Cov(x_5,x_3)& D\left(x_5\right)\end{array}\right)$

将不确定因素的协方差代入超椭球模型，构建四辊轧机中不确定因素相关的量化模型， 表示为：

$G={(U-\bar{U})}^T{C}^{-1}(U-\bar{U})={\left(\begin{array}{c}{x}_1-\stackrel{-}{x_1}\\ x_3-\stackrel{-}{x_3}\\ x_5-\stackrel{-}{x_5}\end{array}\right)}^T{\left(\begin{array}{ccc}D\left(x_1\right)& Cov(x_1,x_3)& Cov(x_1,x_5)\\ Cov(x_3,x_1)& D\left(x_3\right)& Cov(x_3,x_5)\\ Cov(x_5,x_1)& Cov(x_5,x_3)& D\left(x_5\right)\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}{x}_1-\stackrel{-}{x_1}\\ x_3-\stackrel{-}{x_3}\\ x_5-\stackrel{-}{x_5}\end{array}\right)\le {ϵ}^2$

其中，ε为实常数，表示超椭球的半径，其通过最小体积法求得，用于限制超椭球体的 大小。

在步骤S3中，将四辊轧机中不确定因素相关的量化模型作为约束条件添加到四辊轧机 多学科设计优化模型中，构建不确定因素相关条件下的四辊轧机多学科设计优化模型，具 体为：将四辊轧机中不确定因素相关的量化模型作为约束条件添加到四辊轧机多学科设计 优化模型中，利用多学科可行法进行求解，得到不确定因素相关条件下的四辊轧机多学科 设计优化模型，表示为：

$\begin{array}{cc}\min & F\left(X\right)=\underset{1}{\overset{n}{\Sigma }}{f}_n\left(X^{subn}\right)\end{array};$

s.t.g_k(X)≤0；

h_m(X)＝0；

G(U)≤ε²；

其中，n为子学科数，g_k(X)为第k个不等式约束，h_m(X)为第m个等式约束，G(U)为 不确定因素相关的量化模型。

根据上述实施例中构建的四辊轧机多学科设计优化模型及四辊轧机中不确定因素相关 的量化模型，可以得到不确定因素相关条件下的四辊轧机多学科设计优化模型的具体数学 模块，表示为：

$\begin{array}{cc}\min & F\left(x\right)=\underset{1}{\overset{n}{\Sigma }}{f}_n\left(x_i\right)\end{array};$

s.t.g_k(x_i)≤0；k＝1,2,…,14；

G(U)≤ε²；

n＝1,2,…6；i＝1,2,…7

在步骤S4中，对于相关正态随机变量的可靠度分析可用正交变换法，对于相关非正态 随机变量的可靠度分析可用Rosenblatt变换法和Nataf变换。由于求解可靠度的方法如一阶 可靠度、二阶可靠度(FORM,SORM)都是基于变量独立的情况下进行求解，因此对于相 关的不确定因素需要转换成独立的不确定因素来求解。将相关不确定因素转换成独立的不 确定因素，计算变量独立的性能函数可靠性，具体包括以下分步骤：

S41、设定向量X＝(x₁,x₂,…,x_n)^T为相关正态分布的随机变量，协方差矩阵C的规则化特 征向量组成矩阵A，对向量X作正交变换X＝AY，将向量X变成线性无关的向量Y，表示 为Y＝A^TX；

S42、将向量Y的均值和方差分别表示为u_Y＝A^TE_X、D_Y＝A^TCA，根据正态随机变量不 相关与独立等价关系，即向量Y为独立正态随机变量；从而将变量相关的性能函数Z＝g(X) 转换为变量独立的性能函数，表示为Z＝g(X)＝g_X(AY)＝g_Y(Y)；

S43、根据步骤S42中得到的独立正态随机变量Y的功能函数，利用一阶可靠度法求解 变量独立的性能函数可靠度。

在步骤S41中，设定向量X＝(x₁,x₂,x₃)^T服从相关正态分布，协方差矩阵C的规则化特征 向量组成矩阵A，对向量X作正交变换X＝AY，将向量X变成线性无关的向量Y，根据A^-1＝A^T将向量Y表示为Y＝A^TX，向量Y的协方差矩阵为D_Y＝diag[σ²_Yi]n×n。

在步骤S42中，变换A^TCA可将C化成对角矩阵，对角元素为C的特征值；由于正态 随机变量的线性组合仍为正态随机变量，正态随机变量不相关与独立等价，因此向量Y为 独立正态随机变量；从而将变量相关的性能函数Z＝g(X)转换为变量独立的性能函数，表示 为Z＝g(X)＝g_X(AY)＝g_Y(Y)。

在步骤S5中，根据不确定因素相关条件下的四辊轧机多学科设计优化模型及计算得到 的可靠性，利用可靠性优化设计方法构建不确定因素相关条件下的四辊轧机多学科可靠性 设计优化模型，实现对四辊轧机进行多学科可靠性设计优化，具体为：设定预设要求的可 靠度为[R]，从不确定因素相关条件下的四辊轧机多学科设计优化模型的约束条件中选取p 个性能约束作为可靠性约束，结合不确定因素相关条件下的四辊轧机多学科设计优化模型 及计算得到的可靠性，利用可靠性优化设计方法构建不确定因素相关条件下的四辊轧机多 学科可靠性设计优化模型，表示为：

$\begin{array}{cc}\min & F\left(X\right)=\underset{1}{\overset{n}{\Sigma }}{f}_n\left(X^{subn}\right)\end{array};$

s.t.Pr[g_p(X)≤0]≥[R]；

g_k(X)≤0；

h_m(X)＝0；

G(U)≤ε²；

$p\notin k$

其中，Pr[g_p(X)≤0]表示可靠性约束；从而实现对四辊轧机进行多学科可靠性设计优化。

本发明设定预设要求的可靠度为[R]，将机架立柱拉伸、弯曲复合强度约束g₅，机架上、 下横梁弯曲强度约束g₆,g₇，机架质量不得大于已有同类机架质量约束g₁₄等性能函数作为 可靠性约束，结合不确定因素相关条件下的四辊轧机多学科设计优化模型及计算得到的可 靠性，利用可靠性优化设计方法构建不确定因素相关条件下的四辊轧机多学科可靠性设计 优化模型，表示为：

$\begin{array}{cc}\min & F\left(x\right)=\underset{1}{\overset{n}{\Sigma }}{f}_n\left(x_i\right)\end{array};$

s.t.g_k(x_i)≤0；k＝1,2,…4,8,9,…,13

Pr[g_p(x_i)≤0]≥[R]；p＝5,6,7,14

G(U)≤ε²；

n＝1,2,…6；i＝1,2,…7

本发明通过将超椭球理论、可靠性理论以及多学科设计优化理论相结合，考虑不确定 因素之间的相关性，从而解决了传统设计方法中人为忽略不确定因素之间的相关性从而导 致设计结果不准确，从而满足复杂机械产品高可靠性的要求。

本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的 原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通 技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体 变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。