基于扩展高增益观测器的陀螺飞轮系统扰动估计方法

摘要

本发明是基于扩展高增益观测器的陀螺飞轮系统扰动估计方法，属于惯性导航领域。本发明为了解决陀螺飞轮在转子大倾侧角工作状态的动态扰动估计问题，进而提出基于扩展高增益观测器的陀螺飞轮系统扰动估计方法。本发明方法包括：步骤一、根据陀螺飞轮系统的动力学方程，建立含有未知扰动的陀螺飞轮系统状态方程；步骤二、根据含有未知扰动的陀螺飞轮系统状态方程，设计扩展高增益观测器；步骤三、观测误差收敛性验证及观测器设计参数ε调节；步骤四、陀螺飞轮系统扰动估计。本发明适用于陀螺飞轮系统扰动估计。

说明书

技术领域

本发明是基于扩展高增益观测器的陀螺飞轮系统扰动估计方法，具体涉及惯性导航领 域。

背景技术

陀螺飞轮是一种应用于航天器的兼具执行器和敏感器功能的机电伺服装置，其基于传 统的惯性仪器—动力调谐陀螺仪的物理结构发展而来。但是，陀螺飞轮与动力调谐陀螺仪 功能上的明显不同在于，陀螺飞轮不仅实现与动力调谐陀螺仪一样的二维载体角速率测量 功能，还能实现三维控制力矩输出功能。而陀螺飞轮为实现三维力矩输出功能，陀螺飞轮 转子在两维径向需产生大角度的倾侧运动，在轴向需产生调速运动，这些运动状态的显著 不同，导致了陀螺飞轮在三维力矩输出基础上实现二维航天器角速率测量功能较动力调谐 陀螺仪更为复杂。

动力调谐陀螺仪研制中均需要实现漂移误差补偿，以克服不理想因素的影响，从而保 证测量精度。而动力调谐陀螺仪最常采用的静态漂移误差补偿方法为伺服转台法和力矩反 馈法，这两种静态漂移误差补偿方法可以对诸如不等弹性，质量不平衡等因素引起的系统 误差进行标定补偿；但是，由于该方法为一种静态的标定方法，无法对像陀螺飞轮这样的 转子长时间工作于大倾侧运动状态的系统进行完整的标定补偿，因此需要进一步研究动态 的扰动估计方法对由于陀螺飞轮转子大倾侧运动产生的漂移误差进行估计，利用实验估计 得到的试验数据序列对扰动进行建模补偿。

卡尔曼滤波技术为一种最优状态估计方法，它通过递推算法，由实时获得的存在噪声 污染的离散实验数据，对系统状态进行无偏及最小方差的最优估计。但是，卡尔曼滤波依 赖于准确完整的系统数学模型，而对陀螺飞轮系统，由于不理想因素引起的扰动未知，且 很难对其进行建模，所以利用卡尔曼滤波进行陀螺飞轮系统的扰动估计存在较大困难。基 于自抗扰思想发展而来扩展状态观测器为一种非线性状态观测器，此种非线性状态观测器 方法可将陀螺飞轮系统中的扰动扩张为一阶状态，利用特定的非光滑非线性误差反馈，结 合适当的设计参数，实现对所有状态的观测。虽然众多学者对此种非线性状态观测器方法 进行了深入研究，但是，非线性状态观测器方法由于设计参数众多,导致参数整定困难， 且非线性状态观测器方法采用连续非光滑非线性结构，难以用传统的观测器设计理论进行 收敛性及观测误差分析，尤其对高阶(二阶以上)系统的误差收敛问题仍未得到很好的解 决。对陀螺飞轮系统，若利用非线性状态观测器方法进行扰动估计，较为合理的设计参数 选择及误差收敛性证明则显得较为繁琐复杂，实现难度较大。

发明内容

本发明为了解决陀螺飞轮在大倾侧角工作状态的动态扰动估计问题，进而提出基于扩 展高增益观测器的陀螺飞轮系统扰动估计方法，包括以下步骤：

步骤一、根据陀螺飞轮系统的动力学方程，构建含有未知扰动影响的陀螺飞轮系统状 态方程；

陀螺飞轮系统的倾侧传感器直接测量转子沿径向运动两维倾侧角φ_x,φ_y，利用第二类拉 格朗日法建立的陀螺飞轮系统动力学方程，通过相应的坐标变换，将系统的未考虑扰动的 理想动力学方程转换为可通过传感器直接测量得到的φ_x,φ_y所在的壳体坐标系下，从而可得 到考虑未建模扰动的陀螺飞轮系统状态方程；

选用陀螺飞轮转子在两维方向的倾侧角(φ_x,φ_y)及倾侧角速度作为状态变量： $x={\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& x_3& x_4\end{array}\right)}^T={\left(\begin{array}{cccc}{\phi }_x& {\stackrel{·}{\phi }}_x& {\phi }_y& {\stackrel{·}{\phi }}_y\end{array}\right)}^T,$则含有未建模扰动的陀螺飞轮系统状态方程如 公式(1)所示：

$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2=f_1(x,t)+g_{x1}(x,t)u_x+g_{y1}(x,t)u_y+{\sigma }_x(x,t)\\ {\stackrel{·}{x}}_3=x_4\\ {\stackrel{·}{x}}_4=f_2(x,t)+g_{x2}(x,t)u_x+g_{y2}(x,t)u_y+{\sigma }_y(x,t)\end{array}---\left(1\right)$

量测方程如公式(2)所示：

$y={\left(\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)---\left(2\right)$

其中，f₁(x,t),f₂(x,t)表示理想情况下，陀螺飞轮的非线性机理项；u_x,u_y表示两维力 矩器的控制力矩，g_x1(x,t),g_x2(x,t),g_y1(x,t),g_y2(x,t)表示两维力矩器的非线性系数项；

σ_x(x,t),σ_y(x,t)表示系统的未建模扰动项；y₁,y₂分别表示可测量的陀螺飞轮转子两维倾侧 角(φ_x,φ_y)；

由公式(1)(2)整理后，可得公式(3)：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{x}=Ax+B[f(x,t)+{\sigma }_d(x,t)+g(x,t)u]\\ y=Cx\end{array}\right)---\left(3\right)$

其中，σ_d(x,t)为陀螺飞轮系统连续有界的未建模非线性扰动项；u为两维连续有界控 制输入，即两维力矩器输出；f(x,t)，g(x,t)均为标称模型，且为二次连续可微有界的非 线性函数；

其中，$\left(\begin{array}{cccc}A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right);& B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\\ 0& 0\\ 0& 1\end{array}\right);& C=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right);& u=\left(\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{T}_{cx}\\ T_{cy}\end{array}\right);\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc}f(x,t)=\left(\begin{array}{c}{f}_1(x,t)\\ f_2(x,t)\end{array}\right);& {\sigma }_d(x,t)=\left(\begin{array}{c}{\sigma }_x(x,t)\\ {\sigma }_y(x,t)\end{array}\right);& g(x,t)=\left(\begin{array}{cc}{g}_{x1}(x,t)& g_{y1}(x,t)\\ g_{x2}(x,t)& g_{y2}(x,t)\end{array}\right);\end{array}\right)$

$\begin{array}{c}{f}_1(x,y)=\frac{{\phi }_y{S}_{{\phi }_y}}{C_{{\phi }_y}^2}\left[C_{{\phi }_z}{C}_{{\theta }_y}{\stackrel{·}{\theta }}_x-S_{{\phi }_z}{\stackrel{·}{\theta }}_y-\left(C_{{\theta }_x}{S}_{{\theta }_y}{C}_{{\phi }_z}+S_{{\theta }_x}{S}_{{\phi }_z}\right){\stackrel{·}{\theta }}_z\right]\\ +\frac{1}{C_{{\phi }_y}}\left(\begin{array}{c}\left(-{\stackrel{·}{\phi }}_z{S}_{{\phi }_z}{C}_{{\theta }_y}-{\stackrel{·}{\theta }}_y{C}_{{\phi }_z}{S}_{{\theta }_y}\right){\stackrel{·}{\theta }}_x-{\stackrel{·}{\phi }}_z{C}_{{\phi }_z}{\stackrel{·}{\theta }}_y-\left(C_{{\theta }_x}{S}_{{\theta }_y}{C}_{{\phi }_z}+S_{{\theta }_x}{S}_{{\phi }_z}\right){\stackrel{··}{\theta }}_z\\ +\left({\stackrel{·}{\phi }}_z{C}_{{\theta }_x}{S}_{{\theta }_y}{S}_{{\phi }_z}-C_{{\phi }_z}\left({\stackrel{·}{\theta }}_y{C}_{{\theta }_x}{C}_{{\theta }_y}-{\stackrel{·}{\theta }}_x{S}_{{\theta }_x}{S}_{{\theta }_y}\right)-{\stackrel{·}{\phi }}_z{S}_{{\theta }_x}{C}_{{\phi }_z}-C_{{\theta }_x}{S}_{{\phi }_z}{\stackrel{·}{\theta }}_x\right){\stackrel{·}{\theta }}_z\end{array}\right)\\ +\frac{{\beta }_1}{I_1}\left(-c_{gx}{\stackrel{·}{\theta }}_x-k_x{\theta }_x+-\frac{1}{2}{I}_2{S}_{2{\theta }_x}·{\stackrel{·}{\theta }}_z^2-\left[\left(I_{rz}-I_{rx}\right)S_{2{\theta }_y}\right]{\stackrel{·}{\theta }}_x{\stackrel{·}{\theta }}_y-\left[\left(I_{rz}-I_{rx}\right)C_{2{\theta }_y}-I_{ry}\right]S_{{\theta }_x}{\stackrel{·}{\theta }}_y{\stackrel{·}{\theta }}_z\right)\\ -\frac{\eta }{I_{ry}}\left(\begin{array}{c}-c_{gy}{\stackrel{·}{\theta }}_y-k_y{\theta }_y-\left[\frac{1}{2}\left(I_{rz}-I_{rx}\right)C_{{\theta }_x}^2{S}_{2{\theta }_y}\right]{\stackrel{·}{\theta }}_z^2\\ +\left[\frac{1}{2}\left(I_{rz}-I_{rx}\right)S_{2{\theta }_y}\right]{\stackrel{·}{\theta }}_x^2+\left[\left(I_{rz}-I_{rx}\right)C_{2{\theta }_y}-I_{ry}\right]{\stackrel{·}{\theta }}_x{\stackrel{·}{\theta }}_z{S}_{{\theta }_x}\end{array}\right)\end{array};$

$\begin{array}{c}{f}_2(x,t)=\left({\stackrel{·}{\phi }}_z{C}_{{\theta }_y}{C}_{{\phi }_z}-{\stackrel{·}{\theta }}_y{S}_{{\theta }_y}{S}_{{\phi }_z}\right){\stackrel{·}{\theta }}_x-S_{{\phi }_z}{\stackrel{·}{\phi }}_z{\stackrel{·}{\theta }}_y-\left(C_{{\theta }_x}{S}_{{\theta }_y}{S}_{{\phi }_z}-S_{{\theta }_x}{S}_{{\phi }_z}\right){\stackrel{··}{\theta }}_z\\ -\left[{\stackrel{·}{\phi }}_z{C}_{{\theta }_x}{S}_{{\theta }_y}{C}_{{\phi }_z}+S_{{\phi }_z}\left({\stackrel{·}{\theta }}_y{C}_{{\theta }_x}{C}_{{\theta }_y}-{\stackrel{·}{\theta }}_x{S}_{{\theta }_x}{S}_{{\phi }_z}\right)-\left({\stackrel{·}{\theta }}_x{C}_{{\theta }_x}{C}_{{\phi }_z}-{\stackrel{·}{\phi }}_z{S}_{{\theta }_x}{S}_{{\phi }_z}\right)\right]{\stackrel{·}{\theta }}_z\\ +\frac{{\beta }_2}{I_1}\left(-c_{gx}{\stackrel{·}{\theta }}_x-k_x{\theta }_x-\frac{1}{2}{I}_2{S}_{2{\theta }_x}·{\stackrel{·}{\theta }}_z^2-\left[\left(I_{rz}-I_{rx}\right)S_{2{\theta }_y}\right]{\stackrel{·}{\theta }}_x{\stackrel{·}{\theta }}_y-\left[\left(I_{rz}-I_{rx}\right)C_{2{\theta }_y}-I_{ry}\right]C_{{\theta }_x}{\stackrel{·}{\theta }}_y{\stackrel{·}{\theta }}_z\right)\\ +\frac{C_{{\phi }_z}}{I_{ry}}\left(\begin{array}{c}-c_{gy}{\stackrel{·}{\theta }}_y-k_y{\theta }_y-\left[\frac{1}{2}\left(I_{rz}-I_{rx}\right)C_{{\theta }_x}^2{S}_{2{\theta }_y}\right]{\stackrel{·}{\theta }}_z^2+\\ \left[\frac{1}{2}\left(I_{rz}-I_{rx}\right)S_{2{\theta }_y}\right]{\stackrel{·}{\theta }}_x^2+\left[\left(I_{rz}-I_{rx}\right)C_{2{\theta }_y}-I_{ry}\right]{\stackrel{·}{\theta }}_x{\stackrel{·}{\theta }}_z{C}_{{\theta }_x}\end{array}\right)\end{array};$

$\begin{array}{cc}{g}_{x1}(x,t)=\frac{{\beta }_1}{I_1}{C}_{{\theta }_z}+\frac{\eta }{I_{ry}}{S}_{{\theta }_z}{C}_{{\theta }_x}& g_{y1}(x,t)=\frac{{\beta }_1}{I_1}{S}_{{\theta }_z}-\frac{\eta }{I_{ry}}{C}_{{\theta }_z}{C}_{{\theta }_x}\end{array};$

$\begin{array}{cc}{g}_{x2}(x,t)=\frac{{\beta }_2}{I_1}{C}_{{\theta }_z}-\frac{C_{{\phi }_z}}{I_{ry}}{S}_{{\theta }_z}{C}_{{\theta }_x}& g_{y2}(x,t)=\frac{{\beta }_2}{I_1}{S}_{{\theta }_z}+\frac{C_{{\phi }_z}}{I_{ry}}{C}_{{\theta }_z}{C}_{{\theta }_x}\end{array};$

其中，C_θ与S_θ的表达式分别为转角θ的余弦值cosθ和正弦值sinθ；

I_rx,I_ry,I_rz分别为转子在转子体坐标系三惯性主轴方向转动惯量，为已知量；

I_gx,I_gy,I_gz分别为平衡环在平衡环体坐标系三惯性主轴方向转动惯量，为已知量；

k_x,k_y分别为已知的挠性支撑扭杆抗扭刚度；c_gx,c_gy分别为已知的挠性支撑阻尼系数；

T_cx＝k_tyi_y,T_cy＝k_txi_x分别为两维力矩器输出至转子的控制力矩，即方程(1)中的u_x,u_y；

k_tx,k_ty分别为已知传感器的标度因子，i_x,i_y分别为两维力矩器的电流，为传感器可测量；

θ_z,分别表示陀螺飞轮电机轴转角与转速，均为传感器可测量；

方程中的θ_x,θ_y,φ_z,I₁,I₂,β₁,β₂,η均为中间变量，具体形式分别如下：

$\left(\begin{array}{cc}{\theta }_x=arcsin(C_{{\phi }_x}{S}_{{\phi }_y}{S}_{{\phi }_z}+S_{{\phi }_x}{C}_{{\phi }_z});& {\theta }_y=arcsin(S_{{\phi }_y}{C}_{{\theta }_z}-S_{{\phi }_x}{C}_{{\phi }_y}{S}_{{\theta }_z})\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}{\stackrel{·}{\theta }}_x=\frac{1}{C_{{\theta }_y}}(C_{{\phi }_y}{C}_{{\phi }_z}{\stackrel{·}{\phi }}_x+S_{{\phi }_z}{\stackrel{·}{\phi }}_y+C_{{\theta }_x}{S}_{{\theta }_y}{\stackrel{·}{\theta }}_z)& ;{\stackrel{·}{\theta }}_y=C_{{\phi }_z}{\stackrel{·}{\phi }}_y-C_{{\phi }_y}{S}_{{\phi }_z}{\stackrel{·}{\phi }}_x-S_{{\theta }_x}{\stackrel{·}{\theta }}_z\end{array}\right)$

${\phi }_z=arctan\frac{C_{{\phi }_x}{S}_{{\theta }_z}}{C_{{\phi }_y}{C}_{{\theta }_z}+S_{{\phi }_x}{S}_{{\phi }_y}{S}_{{\theta }_z}};$I₁＝I_gx+I_rxcos²θ_y+I_rzsin²θ_y

I₂＝I_gz-I_gy-I_ry+I_rxsin²θ_y+I_rzcos²θ_y；$\left(\begin{array}{ccc}{\beta }_1=\frac{C_{{\phi }_z}{C}_{{\theta }_y}}{C_{{\phi }_y}}& \eta =\frac{S_{{\phi }_z}}{C_{{\phi }_y}}& {\beta }_2=C_{{\theta }_y}{S}_{{\phi }_z}\end{array}\right)$

步骤二、根据含有未知扰动的陀螺飞轮系统状态方程，利用两维倾侧传感器可测量 φ_x,φ_y，设计扩展高增益观测器；

为利用量测方程y＝Cx，实现对状态变量x和非线性扰动项σ_d(x,t)的准确估计，设计 如下扩展高增益观测器：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{\hat{x}}=A\hat{x}+B\left[f\left(\hat{x},t\right)+g\left(\hat{x},t\right)u-\hat{\sigma }\right]+H\left(ϵ\right)\left(y-C\hat{x}\right)\\ \stackrel{·}{\hat{\sigma }}=F\left(ϵ\right)\left(y-C\hat{x}\right)\end{array}\right)---\left(4\right)$

其中,为高增益观测器状态变量；$\hat{\sigma }={\left(\begin{array}{cc}{\hat{\sigma }}_x& {\hat{\sigma }}_y\end{array}\right)}^T$为扩展高增益观测器状态变量；

H(ε)，F(ε)为观测器的增益矩阵，其具体形式如下：

$\begin{array}{cc}H\left(ϵ\right)=\left(\begin{array}{cc}{h}_1& 0\\ h_2& 0\\ 0& h_3\\ 0& h_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{{\alpha }_{11}}{ϵ}& 0\\ \frac{{\alpha }_{21}}{{ϵ}^2}& 0\\ 0& \frac{{\alpha }_{12}}{ϵ}\\ 0& \frac{{\alpha }_{22}}{{ϵ}^2}\end{array}\right)& F\left(ϵ\right)=\left(\begin{array}{cc}-h_5& 0\\ 0& -h_6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{{\alpha }_{31}}{{ϵ}^3}& 0\\ 0& -\frac{{\alpha }_{32}}{{ϵ}^3}\end{array}\right)\end{array}---\left(5\right)$

其中，设计参数ε>0为小的设计参数；设计参数α_ij,i＝1,2,3,j＝1,2均选择为实数；

步骤三、观测误差收敛性验证及观测器设计参数ε调节；

分析所设计的陀螺飞轮扩展高增益观测器的观测误差收敛性，根据观测精度需求，调 整并给出适用的扩展高增益观测器设计参数；

定义误差向量即$\tilde{x}=\left(\begin{array}{c}{\tilde{x}}_1\\ {\tilde{x}}_2\\ {\tilde{x}}_3\\ {\tilde{x}}_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1-{\hat{x}}_1\\ x_2-{\hat{x}}_2\\ x_3-{\hat{x}}_3\\ x_4-{\hat{x}}_4\end{array}\right),$将式(3)中第一式与式(4)第一式 做差，并将做差后所得方程中的非线性项进行整体扩展为状态整理后得到公式(6)：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_1=-h_1{\tilde{x}}_1+{\tilde{x}}_2\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_2=-h_2{\tilde{x}}_1+n_{{\hat{\sigma }}_x}\\ {\stackrel{·}{n}}_{{\hat{\sigma }}_x}={\stackrel{·}{\hat{\sigma }}}_x+{\hat{\sigma }}_x(x,t)+{\stackrel{·}{f}}_1(x,t)-{\stackrel{·}{f}}_1(\hat{x},t)+{\stackrel{·}{g}}_{ex}^1(x,t)u_x+{\stackrel{·}{g}}_{ey}^1(x,t)u_y\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_3=-h_3{\tilde{x}}_3+{\tilde{x}}_4\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_4=-h_4{\tilde{x}}_3+n_{{\hat{\sigma }}_y}\\ {\stackrel{·}{n}}_{{\hat{\sigma }}_y}={\stackrel{·}{\hat{\sigma }}}_y+{\hat{\sigma }}_y(x,t)+{\stackrel{·}{f}}_2(x,t)-{\stackrel{·}{f}}_2(\hat{x},t)+{\stackrel{·}{g}}_{ex}^2(x,t)u_x+{\stackrel{·}{g}}_{ey}^2(x,t)u_y\end{array}\right)---\left(6\right)$

其中，$\begin{array}{c}{g}_{ex}^1(x,t)=g_{x1}(x,t)-g_{x1}(\hat{x},t)\\ g_{ey}^1(x,t)=g_{y1}(x,t)-g_{y1}(\hat{x},t)\\ g_{ex}^2(x,t)=g_{x2}(x,t)-g_{x2}(\hat{x},t)\\ g_{ey}^2(x,t)=g_{y2}(x,t)-g_{y2}(\hat{x},t)\end{array};$

$\left(\begin{array}{c}{\eta }_{{\hat{\sigma }}_x}={\hat{\sigma }}_x+{\sigma }_x(x,t)+f_1(x,t)-f_1(\hat{x},t)+g_{ex}^1(x,t)u_x+g_{ey}^1(x,t)u_y\\ {\eta }_{{\hat{\sigma }}_y}={\hat{\sigma }}_y+{\sigma }_y(x,t)+f_2(x,t)-f_2(\hat{x},t)+g_{ex}^2(x,t)u_x+g_{ey}^2(x,t)u_y\end{array}\right)$为式(7)的非线性项；

将方程(4)第二式带入到方程(6)的第三式及第六式，并整理成矩阵形式， 如公式(7)：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_1\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_2\\ {\stackrel{·}{\eta }}_{{\hat{\sigma }}_1}\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_3\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_4\\ {\stackrel{·}{\eta }}_{{\hat{\sigma }}_2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}-h_1& 1& 0& 0& 0& 0\\ -h_2& 0& 1& 0& 0& 0\\ -h_5& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -h_3& 1& 0\\ 0& 0& 0& -h_4& 0& 1\\ 0& 0& 0& -h_5& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\tilde{x}}_1\\ {\tilde{x}}_2\\ {\eta }_{{\hat{\sigma }}_1}\\ {\tilde{x}}_3\\ {\tilde{x}}_4\\ {\eta }_{{\hat{\sigma }}_2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\\ 1& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\delta }_1\left(x\right)\\ {\delta }_2\left(x\right)\end{array}\right)---\left(7\right)$

式(7)可进一步简写为：

$\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}=\tilde{A}\tilde{x}+\tilde{B}\delta ---\left(8\right)$

其中，

$\left(\begin{array}{cccc}\tilde{x}=\left(\begin{array}{c}{\tilde{x}}_1\\ {\tilde{x}}_2\\ {\eta }_{{\hat{\sigma }}_x}\\ {\tilde{x}}_3\\ {\tilde{x}}_4\\ {\eta }_{{\hat{\sigma }}_y}\end{array}\right);& \tilde{A}=\left(\begin{array}{cccccc}-h_1& 1& 0& 0& 0& 0\\ -h_2& 0& 1& 0& 0& 0\\ -h_5& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -h_3& 1& 0\\ 0& 0& 0& -h_4& 0& 1\\ 0& 0& 0& -h_5& 0& 0\end{array}\right);& \tilde{B}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\\ 1& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\\ 0& 1\end{array}\right);& \delta =\left(\begin{array}{c}{\delta }_1\left(x\right)\\ {\delta }_2\left(x\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\sigma }}_x(x,t)+{\stackrel{·}{f}}_1(x,t)-{\stackrel{·}{f}}_1(\hat{x},t)+\\ {\stackrel{·}{g}}_{ex}^1(x,t)u_x+{\stackrel{·}{g}}_{ey}^1(x,t)u_y\\ {\stackrel{·}{\sigma }}_y(x,t)+{\stackrel{·}{f}}_2(x,t)-{\stackrel{·}{f}}_2(\hat{x},t)+\\ {\stackrel{·}{g}}_{ex}^2(x,t)u_x+{\stackrel{·}{g}}_{ey}^2(x,t)u_y\end{array}\right);\end{array}\right)$

根据状态方程(8)，非线性项δ可视为系统的扰动输入，状态视为系统输出，则期 望中h_i,i＝1,2...6的设计能够抵消δ对的影响，实现状态观测误差的渐进收敛，考虑由 扰动输入δ至状态输出的传递函数，对(8)进行拉氏变换，得到公式(9)：

$\frac{\tilde{x}\left(s\right)}{\delta \left(s\right)}={(sI-\tilde{A})}^{-1}\tilde{B}---\left(9\right)$

公式(9)进一步展开为：

$\frac{\tilde{x}\left(s\right)}{\delta \left(s\right)}=\left(\begin{array}{cc}{G}_{11}\left(s\right)& 0\\ G_{21}\left(s\right)& 0\\ G_{31}\left(s\right)& 0\\ 0& G_{42}\left(s\right)\\ 0& G_{52}\left(s\right)\\ 0& G_{62}\left(s\right)\end{array}\right)---\left(10\right)$

其中，

$\left(\begin{array}{ccc}{G}_{11}\left(s\right)=\frac{1}{s^3+h_1{s}^2+h_{2}s+h_5};& G_{21}\left(s\right)=\frac{h_1+s}{s^3+h_1{s}^2+h_{2}s+h_5};& G_{31}\left(s\right)=\frac{s^2+h_{1}s+h_2}{s^3+h_1{s}^2+h_{2}s+h_5};\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc}{G}_{42}\left(s\right)=\frac{1}{s^3+h_3{s}^2+h_{4}s+h_6};& G_{52}\left(s\right)=\frac{h_3+s}{s^3+h_3{s}^2+h_{4}s+h_6};& G_{62}\left(s\right)=\frac{s^2+h_{3}s+h_4}{s^3+h_3{s}^2+h_{4}s+h_6};\end{array}\right)$

分别记$\left(\begin{array}{c}{G}_1\left(s\right)=\left(\begin{array}{c}{G}_{11}\left(s\right)\\ G_{21}\left(s\right)\\ G_{31}\left(s\right)\end{array}\right)\\ G_2\left(s\right)=\left(\begin{array}{c}{G}_{42}\left(s\right)\\ G_{52}\left(s\right)\\ G_{62}\left(s\right)\end{array}\right)\end{array}\right),$根据方程(9)，设传递函数G₁(s),G₂(s)均恒等于零，则完 全抵消非线性扰动输入δ对状态输出误差的影响，精确实现陀螺飞轮系统全状态的估计； 选择设计参数h₁～h₆，对ω∈R，使公式(11)所示的无穷范数同时任意小；

$\left(\begin{array}{c}\left|\right|G_1\left(j\omega \right)|{|}_{\infty }=\underset{1<i\le 3}{max}\underset{\omega }{\sup }|G_{i1}\left(j\omega \right)|\\ \left|\right|G_2\left(j\omega \right)|{|}_{\infty }=\underset{4<i\le 6}{max}\underset{\omega }{\sup }|G_{i2}\left(j\omega \right)|\end{array}\right)---\left(11\right)$

设$\left(\begin{array}{c}{h}_5>>h_2>>h_1\\ h_6>>h_3>>h_4\end{array}\right),$选取$\left(\begin{array}{ccc}{h}_1=\frac{{\alpha }_{11}}{ϵ}& h_2=\frac{{\alpha }_{21}}{{ϵ}^2}& h_5=\frac{{\alpha }_{31}}{{ϵ}^3}\\ h_3=\frac{{\alpha }_{12}}{ϵ}& h_4=\frac{{\alpha }_{22}}{{ϵ}^2}& h_6=\frac{{\alpha }_{32}}{{ϵ}^3}\end{array}\right)$

其中，α_ij,i＝1,2,3；j＝1,2满足如下(12)所示的Hurwitz多项式；ε为正常数，且ε＜＜1；

s³+α_1js²+α_2js+α_3j,j＝1,2(12)

将h₁～h₆带入至G_j(s)中，可得：

$G_j\left(s\right)=\frac{ϵ}{P\left(s\right)}\left(\begin{array}{c}{ϵ}^2\\ ϵs+{\alpha }_{1j}\\ {\left(ϵs\right)}^2+{\alpha }_{1j}\left(ϵs\right)+{\alpha }_{2j}\end{array}\right)---\left(13\right)$

其中，P(s)＝(εs)³+α_1j(εs)²+α_2j(εs)+α_3j，j＝1,2；$\left(\begin{array}{c}\underset{ϵ\to 0}{\lim }{G}_1\left(s\right)=0\\ \underset{ϵ\to 0}{\lim }{G}_2\left(s\right)=0\end{array}\right),$根据公式(13)，设 计扩展高增益观测器通过减小ε的取值，提高扰动估计精度，实现所需的精度指标；

步骤四、实现陀螺飞轮系统扰动估计；

利用扩展后的高增益观测器进行陀螺飞轮系统的扰动观测，结合步骤三调节设计参数 ε，对利用多元回归模型表征的扰动进行估计，直至观测数据满足期望估计精度指标，得 到陀螺飞轮系统大倾侧运动所产生的扰动估计试验数据序列，实现陀螺飞轮系统未建模的 扰动项σ_dx(x,t),σ_dy(x,t)的估计。

本发明有益效果：

1、本发明方法利用所设计扩展高增益观测器，充分地利用两维倾侧传感器测量信息与 观测信息的误差，较大程度地削弱了差分运算所产生的不利影响，提高了观测精确度；

2、本发明方法与传统的机械陀螺仪采用静态误差方法相比，本发明针对的是由陀螺飞 轮转子大倾侧角运动所引起的扰动进行估计，为一种动态的误差估计方法，可用于在静态 误差标定基础上进一步对陀螺飞轮测量方程进行扰动估计与补偿，为现有误差标定技术的 一种补充技术。

附图说明

图1是基于扩展高增益观测器的陀螺飞轮系统扰动估计方法的流程示意框图；

图2是设计参数ε＝0.1时，陀螺飞轮在x轴的扰动估计值图；

图3是设计参数ε＝0.1时，陀螺飞轮在y轴的扰动估计值图；

图4是设计参数ε＝0.1时，陀螺飞轮在x轴的扰动估计误差图；

图5是设计参数ε＝0.1时，陀螺飞轮在y轴的扰动估计误差图；

图6是设计参数ε＝0.001时，陀螺飞轮在x轴的扰动估计值图；

图7是设计参数ε＝0.001时，陀螺飞轮在y轴的扰动估计值图；

图8是设计参数ε＝0.001时，陀螺飞轮在x轴扰动估计误差图；

图9是设计参数ε＝0.001时，陀螺飞轮在y轴的扰动估计误差图。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式基于扩展高增益观测器的陀螺飞轮系统扰动估计方法按 照以下步骤来实现：

步骤一、根据陀螺飞轮系统的动力学方程，建立含有未知扰动的陀螺飞轮系统状态方 程；

步骤二、根据含有未知扰动的陀螺飞轮系统状态方程，设计扩展高增益观测器；

步骤三、观测误差收敛性及观测器设计参数ε调节；

步骤四、实现陀螺飞轮系统扰动估计。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：其特征在于，所述的步骤 一含有未知扰动的陀螺飞轮系统状态方程按照以下步骤实现：

陀螺飞轮转子在两维方向的倾侧角(φ_x,φ_y)及倾侧角速度作为状态变量x： $x={\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& x_3& x_4\end{array}\right)}^T={\left(\begin{array}{cccc}{\phi }_x& {\stackrel{·}{\phi }}_x& {\phi }_y& {\stackrel{·}{\phi }}_y\end{array}\right)}^T,$则含有未建模扰动的陀螺飞轮系统状态方程如 公式(1)所示：

$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2=f_1(x,t)+g_{x1}(x,t)u_x+g_{y1}(x,t)u_y+{\sigma }_x(x,t)\\ {\stackrel{·}{x}}_3=x_4\\ {\stackrel{·}{x}}_4=f_2(x,t)+g_{x2}(x,t)u_x+g_{y2}(x,t)u_y+{\sigma }_y(x,t)\end{array}---\left(1\right)$

量测方程如公式(2)所示：

$y={\left(\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)---\left(2\right)$

其中，f₁(x,t),f₂(x,t)表示理想情况下，陀螺飞轮的非线性机理项；u_x,u_y表示两维力 矩器的控制力矩，g_x1(x,t),g_x2(x,t),g_y1(x,t),g_y2(x,t)表示两维力矩器的非线性系数项；

σ_x(x,t),σ_y(x,t)表示系统的未建模扰动项；y₁,y₂分别表示可测量的陀螺飞轮转子两维倾侧 角(φ_x,φ_y)；

由公式(1)(2)整理后，可得公式(3)：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{x}=Ax+B[f(x,t)+{\sigma }_d(x,t)+g(x,t)u]\\ y=Cx\end{array}\right)---\left(3\right)$

其中，σ_d(x,t)为陀螺飞轮系统连续有界的未建模非线性扰动项；u为两维连续有界控 制输入，即两维力矩器输出；f(x,t)，g(x,t)均为标称模型，且为二次连续可微有界非线 性函数；

其中，$\left(\begin{array}{cccc}A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right);& B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\\ 0& 0\\ 0& 1\end{array}\right);& C=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right);& u=\left(\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{T}_{cx}\\ T_{cy}\end{array}\right);\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc}f(x,t)=\left(\begin{array}{c}{f}_1(x,t)\\ f_2(x,t)\end{array}\right);& {\sigma }_d(x,t)=\left(\begin{array}{c}{\sigma }_x(x,t)\\ {\sigma }_y(x,t)\end{array}\right);& g(x,t)=\left(\begin{array}{cc}{g}_{x1}(x,t)& g_{y1}(x,t)\\ g_{x2}(x,t)& g_{y2}(x,t)\end{array}\right);\end{array}\right)$

$\begin{array}{c}{f}_1(x,y)=\frac{{\phi }_y{S}_{{\phi }_y}}{C_{{\phi }_y}^2}\left[C_{{\phi }_z}{C}_{{\theta }_y}{\stackrel{·}{\theta }}_x-S_{{\phi }_z}{\stackrel{·}{\theta }}_y-\left(C_{{\theta }_x}{S}_{{\theta }_y}{C}_{{\phi }_z}+S_{{\theta }_x}{S}_{{\phi }_z}\right){\stackrel{·}{\theta }}_z\right]\\ +\frac{1}{C_{{\phi }_y}}\left(\begin{array}{c}\left(-{\stackrel{·}{\phi }}_z{S}_{{\phi }_z}{C}_{{\theta }_y}-{\stackrel{·}{\theta }}_y{C}_{{\phi }_z}{S}_{{\theta }_y}\right){\stackrel{·}{\theta }}_x-{\stackrel{·}{\phi }}_z{C}_{{\phi }_z}{\stackrel{·}{\theta }}_y-\left(C_{{\theta }_x}{S}_{{\theta }_y}{C}_{{\phi }_z}+S_{{\theta }_x}{S}_{{\phi }_z}\right){\stackrel{··}{\theta }}_z\\ +\left({\stackrel{·}{\phi }}_z{C}_{{\theta }_x}{S}_{{\theta }_y}{S}_{{\phi }_z}-C_{{\phi }_z}\left({\stackrel{·}{\theta }}_y{C}_{{\theta }_x}{C}_{{\theta }_y}-{\stackrel{·}{\theta }}_x{S}_{{\theta }_x}{S}_{{\theta }_y}\right)-{\stackrel{·}{\phi }}_z{S}_{{\theta }_x}{C}_{{\phi }_z}-C_{{\theta }_x}{S}_{{\phi }_z}{\stackrel{·}{\theta }}_x\right){\stackrel{·}{\theta }}_z\end{array}\right)\\ +\frac{{\beta }_1}{I_1}\left(-c_{gx}{\stackrel{·}{\theta }}_x-k_x{\theta }_x+-\frac{1}{2}{I}_2{S}_{2{\theta }_x}·{\stackrel{·}{\theta }}_z^2-\left[\left(I_{rz}-I_{rx}\right)S_{2{\theta }_y}\right]{\stackrel{·}{\theta }}_x{\stackrel{·}{\theta }}_y-\left[\left(I_{rz}-I_{rx}\right)C_{2{\theta }_y}-I_{ry}\right]S_{{\theta }_x}{\stackrel{·}{\theta }}_y{\stackrel{·}{\theta }}_z\right)\\ -\frac{\eta }{I_{ry}}\left(\begin{array}{c}-c_{gy}{\stackrel{·}{\theta }}_y-k_y{\theta }_y-\left[\frac{1}{2}\left(I_{rz}-I_{rx}\right)C_{{\theta }_x}^2{S}_{2{\theta }_y}\right]{\stackrel{·}{\theta }}_z^2\\ +\left[\frac{1}{2}\left(I_{rz}-I_{rx}\right)S_{2{\theta }_y}\right]{\stackrel{·}{\theta }}_x^2+\left[\left(I_{rz}-I_{rx}\right)C_{2{\theta }_y}-I_{ry}\right]{\stackrel{·}{\theta }}_x{\stackrel{·}{\theta }}_z{S}_{{\theta }_x}\end{array}\right)\end{array};$

$\begin{array}{c}{f}_2(x,t)=\left({\stackrel{·}{\phi }}_z{C}_{{\theta }_y}{C}_{{\phi }_z}-{\stackrel{·}{\theta }}_y{S}_{{\theta }_y}{S}_{{\phi }_z}\right){\stackrel{·}{\theta }}_x-S_{{\phi }_z}{\stackrel{·}{\phi }}_z{\stackrel{·}{\theta }}_y-\left(C_{{\theta }_x}{S}_{{\theta }_y}{S}_{{\phi }_z}-S_{{\theta }_x}{S}_{{\phi }_z}\right){\stackrel{··}{\theta }}_z\\ -\left[{\stackrel{·}{\phi }}_z{C}_{{\theta }_x}{S}_{{\theta }_y}{C}_{{\phi }_z}+S_{{\phi }_z}\left({\stackrel{·}{\theta }}_y{C}_{{\theta }_x}{C}_{{\theta }_y}-{\stackrel{·}{\theta }}_x{S}_{{\theta }_x}{S}_{{\phi }_z}\right)-\left({\stackrel{·}{\theta }}_x{C}_{{\theta }_x}{C}_{{\phi }_z}-{\stackrel{·}{\phi }}_z{S}_{{\theta }_x}{S}_{{\phi }_z}\right)\right]{\stackrel{·}{\theta }}_z\\ +\frac{{\beta }_2}{I_1}\left(-c_{gx}{\stackrel{·}{\theta }}_x-k_x{\theta }_x-\frac{1}{2}{I}_2{S}_{2{\theta }_x}·{\stackrel{·}{\theta }}_z^2-\left[\left(I_{rz}-I_{rx}\right)S_{2{\theta }_y}\right]{\stackrel{·}{\theta }}_x{\stackrel{·}{\theta }}_y-\left[\left(I_{rz}-I_{rx}\right)C_{2{\theta }_y}-I_{ry}\right]C_{{\theta }_x}{\stackrel{·}{\theta }}_y{\stackrel{·}{\theta }}_z\right)\\ +\frac{C_{{\phi }_z}}{I_{ry}}\left(\begin{array}{c}-c_{gy}{\stackrel{·}{\theta }}_y-k_y{\theta }_y-\left[\frac{1}{2}\left(I_{rz}-I_{rx}\right)C_{{\theta }_x}^2{S}_{2{\theta }_y}\right]{\stackrel{·}{\theta }}_z^2+\\ \left[\frac{1}{2}\left(I_{rz}-I_{rx}\right)S_{2{\theta }_y}\right]{\stackrel{·}{\theta }}_x^2+\left[\left(I_{rz}-I_{rx}\right)C_{2{\theta }_y}-I_{ry}\right]{\stackrel{·}{\theta }}_x{\stackrel{·}{\theta }}_z{C}_{{\theta }_x}\end{array}\right)\end{array};$

$\begin{array}{cc}{g}_{x1}(x,t)=\frac{{\beta }_1}{I_1}{C}_{{\theta }_z}+\frac{\eta }{I_{ry}}{S}_{{\theta }_z}{C}_{{\theta }_x}& g_{y1}(x,t)=\frac{{\beta }_1}{I_1}{S}_{{\theta }_z}-\frac{\eta }{I_{ry}}{C}_{{\theta }_z}{C}_{{\theta }_x}\end{array};$

$\begin{array}{cc}{g}_{x2}(x,t)=\frac{{\beta }_2}{I_1}{C}_{{\theta }_z}-\frac{C_{{\phi }_z}}{I_{ry}}{S}_{{\theta }_z}{C}_{{\theta }_x}& g_{y2}(x,t)=\frac{{\beta }_2}{I_1}{S}_{{\theta }_z}+\frac{C_{{\phi }_z}}{I_{ry}}{C}_{{\theta }_z}{C}_{{\theta }_x}\end{array};$

其中，C_θ与S_θ的表达式分别为转角θ的余弦值cosθ和正弦值sinθ；

I_rx,I_ry,I_rz分别为转子在转子体坐标系三惯性主轴方向转动惯量，为已知量；

I_gx,I_gy,I_gz分别为平衡环在平衡环体坐标系三惯性主轴方向转动惯量，为已知量；

k_x,k_y分别为已知的挠性支撑扭杆抗扭刚度；c_gx,c_gy分别为已知的挠性支撑阻尼系数；

T_cx＝k_tyi_y,T_cy＝k_txi_x分别为两维力矩器输出至转子的控制力矩，即方程(1)中的u_x,u_y；

k_tx,k_ty分别为已知传感器的标度因子，i_x,i_y分别为两维力矩器的电流，为传感器可测量；

θ_z,分别表示陀螺飞轮电机轴转角与转速，均为传感器可测量；

方程中的θ_x,θ_y,φ_z,I₁,I₂,β₁,β₂,η均为中间变量，具体形式分别如下：

$\left(\begin{array}{cc}{\theta }_x=arcsin(C_{{\phi }_x}{S}_{{\phi }_y}{S}_{{\phi }_z}+S_{{\phi }_x}{C}_{{\phi }_z});& {\theta }_y=arcsin(S_{{\phi }_y}{C}_{{\theta }_z}-S_{{\phi }_x}{C}_{{\phi }_y}{S}_{{\theta }_z})\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}{\stackrel{·}{\theta }}_x=\frac{1}{C_{{\theta }_y}}(C_{{\phi }_y}{C}_{{\phi }_z}{\stackrel{·}{\phi }}_x+S_{{\phi }_z}{\stackrel{·}{\phi }}_y+C_{{\theta }_x}{S}_{{\theta }_y}{\stackrel{·}{\theta }}_z)& ;{\stackrel{·}{\theta }}_y=C_{{\phi }_z}{\stackrel{·}{\phi }}_y-C_{{\phi }_y}{S}_{{\phi }_z}{\stackrel{·}{\phi }}_x-S_{{\theta }_x}{\stackrel{·}{\theta }}_z\end{array}\right)$

${\phi }_z=arctan\frac{C_{{\phi }_x}{S}_{{\theta }_z}}{C_{{\phi }_y}{C}_{{\theta }_z}+S_{{\phi }_x}{S}_{{\phi }_y}{S}_{{\theta }_z}};$I₁＝I_gx+I_rxcos²θ_y+I_rzsin²θ_y。

I₂＝I_gz-I_gy-I_ry+I_rxsin²θ_y+I_rzcos²θ_y；$\left(\begin{array}{ccc}{\beta }_1=\frac{C_{{\phi }_z}{C}_{{\theta }_y}}{C_{{\phi }_y}}& \eta =\frac{S_{{\phi }_z}}{C_{{\phi }_y}}& {\beta }_2=C_{{\theta }_y}{S}_{{\phi }_z}\end{array}\right)$

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：其特征在于，所述的 步骤二设计扩展高增益观测器按照以下步骤实现：

利用量测方程y＝Cx，实现对状态变量x和非线性扰动项σ_d(x,t)的估计，设计如下扩 展高增益观测器：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{\hat{x}}=A\hat{x}+B\left[f\left(\hat{x},t\right)+g\left(\hat{x},t\right)u-\hat{\sigma }\right]+H\left(ϵ\right)\left(y-C\hat{x}\right)\\ \stackrel{·}{\hat{\sigma }}=F\left(ϵ\right)\left(y-C\hat{x}\right)\end{array}\right)---\left(4\right)$

其中,为高增益观测器状态变量；$\hat{\sigma }={\left(\begin{array}{cc}{\hat{\sigma }}_x& {\hat{\sigma }}_y\end{array}\right)}^T$为扩展高增益观测器状态变量；

H(ε)，F(ε)为观测器的增益矩阵，其具体形式如下：

$\begin{array}{cc}H\left(ϵ\right)=\left(\begin{array}{cc}{h}_1& 0\\ h_2& 0\\ 0& h_3\\ 0& h_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{{\alpha }_{11}}{ϵ}& 0\\ \frac{{\alpha }_{21}}{{ϵ}^2}& 0\\ 0& \frac{{\alpha }_{12}}{ϵ}\\ 0& \frac{{\alpha }_{22}}{{ϵ}^2}\end{array}\right);& F\left(ϵ\right)=\left(\begin{array}{cc}-h_5& 0\\ 0& -h_6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{{\alpha }_{31}}{{ϵ}^3}& 0\\ 0& -\frac{{\alpha }_{32}}{{ϵ}^3}\end{array}\right)\end{array}---\left(5\right)$

其中，设计参数ε>0为小的设计参数；设计参数α_ij,i＝1,2,3,j＝1,2均选择为实数， 且应满足如下Hurwitz多项式：

s³+α_1js²+α_2js+α_3j,j＝1,2

其它步骤及参数与具体实施方式一至二之一相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：其特征在于，所 述的步骤三观测误差收敛性及观测器设计参数ε调节按照以下步骤来实现：

分析所设计的陀螺飞轮扩展高增益观测器的观测误差收敛性，根据观测精度需求，调 整并给出适用的扩展高增益观测器设计参数；

定义误差向量即$\tilde{x}=\left(\begin{array}{c}{\tilde{x}}_1\\ {\tilde{x}}_2\\ {\tilde{x}}_3\\ {\tilde{x}}_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1-{\hat{x}}_1\\ x_2-{\hat{x}}_2\\ x_3-{\hat{x}}_3\\ x_4-{\hat{x}}_4\end{array}\right),$将式(3)中第一式与式(4)第一式 做差，并将做差后所得方程中的非线性项进行整体扩展为状态整理后得到公式(6)：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_1=-h_1{\tilde{x}}_1+{\tilde{x}}_2\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_2=-h_2{\tilde{x}}_1+n_{{\hat{\sigma }}_x}\\ {\stackrel{·}{n}}_{{\hat{\sigma }}_x}={\stackrel{·}{\hat{\sigma }}}_x+{\hat{\sigma }}_x(x,t)+{\stackrel{·}{f}}_1(x,t)-{\stackrel{·}{f}}_1(\hat{x},t)+{\stackrel{·}{g}}_{ex}^1(x,t)u_x+{\stackrel{·}{g}}_{ey}^1(x,t)u_y\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_3=-h_3{\tilde{x}}_3+{\tilde{x}}_4\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_4=-h_4{\tilde{x}}_3+n_{{\hat{\sigma }}_y}\\ {\stackrel{·}{n}}_{{\hat{\sigma }}_y}={\stackrel{·}{\hat{\sigma }}}_y+{\hat{\sigma }}_y(x,t)+{\stackrel{·}{f}}_2(x,t)-{\stackrel{·}{f}}_2(\hat{x},t)+{\stackrel{·}{g}}_{ex}^2(x,t)u_x+{\stackrel{·}{g}}_{ey}^2(x,t)u_y\end{array}\right)---\left(6\right)$

其中，$\begin{array}{c}{g}_{ex}^1(x,t)=g_{x1}(x,t)-g_{x1}(\hat{x},t)\\ g_{ey}^1(x,t)=g_{y1}(x,t)-g_{y1}(\hat{x},t)\\ g_{ex}^2(x,t)=g_{x2}(x,t)-g_{x2}(\hat{x},t)\\ g_{ey}^2(x,t)=g_{y2}(x,t)-g_{y2}(\hat{x},t)\end{array};$

$\left(\begin{array}{c}{\eta }_{{\hat{\sigma }}_x}={\hat{\sigma }}_x+{\sigma }_x(x,t)+f_1(x,t)-f_1(\hat{x},t)+g_{ex}^1(x,t)u_x+g_{ey}^1(x,t)u_y\\ {\eta }_{{\hat{\sigma }}_y}={\hat{\sigma }}_y+{\sigma }_y(x,t)+f_2(x,t)-f_2(\hat{x},t)+g_{ex}^2(x,t)u_x+g_{ey}^2(x,t)u_y\end{array}\right)$为式(7)的非线性项；

将方程(4)第二式带入到方程(6)的第三式及第六式，并整理成矩阵形式， 如公式(7)：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_1\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_2\\ {\stackrel{·}{\eta }}_{{\hat{\sigma }}_1}\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_3\\ {\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_4\\ {\stackrel{·}{\eta }}_{{\hat{\sigma }}_2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}-h_1& 1& 0& 0& 0& 0\\ -h_2& 0& 1& 0& 0& 0\\ -h_5& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -h_3& 1& 0\\ 0& 0& 0& -h_4& 0& 1\\ 0& 0& 0& -h_5& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\tilde{x}}_1\\ {\tilde{x}}_2\\ {\eta }_{{\hat{\sigma }}_1}\\ {\tilde{x}}_3\\ {\tilde{x}}_4\\ {\eta }_{{\hat{\sigma }}_2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\\ 1& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\delta }_1\left(x\right)\\ {\delta }_2\left(x\right)\end{array}\right)---\left(7\right)$

式(7)可进一步简写为：

$\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}=\tilde{A}\tilde{x}+\tilde{B}\delta ---\left(8\right)$

其中，

$\left(\begin{array}{cccc}\tilde{x}=\left(\begin{array}{c}{\tilde{x}}_1\\ {\tilde{x}}_2\\ {\eta }_{{\hat{\sigma }}_x}\\ {\tilde{x}}_3\\ {\tilde{x}}_4\\ {\eta }_{{\hat{\sigma }}_y}\end{array}\right);& \tilde{A}=\left(\begin{array}{cccccc}-h_1& 1& 0& 0& 0& 0\\ -h_2& 0& 1& 0& 0& 0\\ -h_5& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -h_3& 1& 0\\ 0& 0& 0& -h_4& 0& 1\\ 0& 0& 0& -h_5& 0& 0\end{array}\right);& \tilde{B}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\\ 1& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\\ 0& 1\end{array}\right);& \delta =\left(\begin{array}{c}{\delta }_1\left(x\right)\\ {\delta }_2\left(x\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\sigma }}_x(x,t)+{\stackrel{·}{f}}_1(x,t)-{\stackrel{·}{f}}_1(\hat{x},t)+\\ {\stackrel{·}{g}}_{ex}^1(x,t)u_x+{\stackrel{·}{g}}_{ey}^1(x,t)u_y\\ {\stackrel{·}{\sigma }}_y(x,t)+{\stackrel{·}{f}}_2(x,t)-{\stackrel{·}{f}}_2(\hat{x},t)+\\ {\stackrel{·}{g}}_{ex}^2(x,t)u_x+{\stackrel{·}{g}}_{ey}^2(x,t)u_y\end{array}\right);\end{array}\right)$

根据状态方程(8)，非线性项δ可视为系统的扰动输入，状态视为系统输出，则期 望中h_i,i＝1,2...6的设计能够抵消δ对的影响，实现状态观测误差的渐进收敛，考虑由 扰动输入δ至状态输出的传递函数，对(8)进行拉氏变换，得到公式(9)：

$\frac{\tilde{x}\left(s\right)}{\delta \left(s\right)}={(sI-\tilde{A})}^{-1}\tilde{B}---\left(9\right)$

公式(9)进一步展开为：

$\frac{\tilde{x}\left(s\right)}{\delta \left(s\right)}=\left(\begin{array}{cc}{G}_{11}\left(s\right)& 0\\ G_{21}\left(s\right)& 0\\ G_{31}\left(s\right)& 0\\ 0& G_{42}\left(s\right)\\ 0& G_{52}\left(s\right)\\ 0& G_{62}\left(s\right)\end{array}\right)---\left(10\right)$

其中，

$\left(\begin{array}{ccc}{G}_{11}\left(s\right)=\frac{1}{s^3+h_1{s}^2+h_{2}s+h_5};& G_{21}\left(s\right)=\frac{h_1+s}{s^3+h_1{s}^2+h_{2}s+h_5};& G_{31}\left(s\right)=\frac{s^2+h_{1}s+h_2}{s^3+h_1{s}^2+h_{2}s+h_5};\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc}{G}_{42}\left(s\right)=\frac{1}{s^3+h_3{s}^2+h_{4}s+h_6};& G_{52}\left(s\right)=\frac{h_3+s}{s^3+h_3{s}^2+h_{4}s+h_6};& G_{62}\left(s\right)=\frac{s^2+h_{3}s+h_4}{s^3+h_3{s}^2+h_{4}s+h_6};\end{array}\right)$

分别记$\left(\begin{array}{c}{G}_1\left(s\right)=\left(\begin{array}{c}{G}_{11}\left(s\right)\\ G_{21}\left(s\right)\\ G_{31}\left(s\right)\end{array}\right)\\ G_2\left(s\right)=\left(\begin{array}{c}{G}_{42}\left(s\right)\\ G_{52}\left(s\right)\\ G_{62}\left(s\right)\end{array}\right)\end{array}\right),$根据方程(9)，设传递函数G₁(s),G₂(s)均恒等于零，则完 全抵消非线性扰动输入δ对状态输出误差的影响，精确实现陀螺飞轮系统全状态的估计； 选择设计参数h₁～h₆，对ω∈R，使公式(11)所示的无穷范数同时任意小；

$\left(\begin{array}{c}\left|\right|G_1\left(j\omega \right)|{|}_{\infty }=\underset{1<i\le 3}{max}\underset{\omega }{\sup }|G_{i1}\left(j\omega \right)|\\ \left|\right|G_2\left(j\omega \right)|{|}_{\infty }=\underset{4<i\le 6}{max}\underset{\omega }{\sup }|G_{i2}\left(j\omega \right)|\end{array}\right)---\left(11\right)$

设$\left(\begin{array}{c}{h}_5>>h_2>>h_1\\ h_6>>h_3>>h_4\end{array}\right),$选取$\left(\begin{array}{ccc}{h}_1=\frac{{\alpha }_{11}}{ϵ}& h_2=\frac{{\alpha }_{21}}{{ϵ}^2}& h_5=\frac{{\alpha }_{31}}{{ϵ}^3}\\ h_3=\frac{{\alpha }_{12}}{ϵ}& h_4=\frac{{\alpha }_{22}}{{ϵ}^2}& h_6=\frac{{\alpha }_{32}}{{ϵ}^3}\end{array}\right)$

其中，α_ij,i＝1,2,3；j＝1,2满足如下(12)所示的Hurwitz多项式；ε为正常数，且ε＜＜1；

s³+α_1js²+α_2js+α_3j,j＝1,2(12)

将h₁～h₆带入至G_j(s)中，可得：

$G_j\left(s\right)=\frac{ϵ}{P\left(s\right)}\left(\begin{array}{c}{ϵ}^2\\ ϵs+{\alpha }_{1j}\\ {\left(ϵs\right)}^2+{\alpha }_{1j}\left(ϵs\right)+{\alpha }_{2j}\end{array}\right)---\left(13\right)$

其中P(s)＝(εs)³+α_1j(εs)²+α_2j(εs)+α_3j,j＝1,2；$\left(\begin{array}{c}\underset{ϵ\to 0}{\lim }{G}_1\left(s\right)=0\\ \underset{ϵ\to 0}{\lim }{G}_2\left(s\right)=0\end{array}\right),$根据公式(13)，设计 扩展高增益观测器通过减小ε的取值，提高扰动估计精度，实现所需的精度指标；

其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是：其特征在于，所 述的步骤四陀螺飞轮系统扰动估计按照以下步骤来实现：

利用步骤二所设计的扩展后的高增益观测器进行陀螺飞轮系统的扰动观测，结合步骤 三调节设计参数ε，对利用多元回归模型表征的陀螺飞轮系统的扰动进行估计，使观测数 据满足期望估计精度指标，得到陀螺飞轮系统大倾侧运动所产生的扰动估计试验数据序 列，实现陀螺飞轮系统未建模的扰动项σ_dx(x,t),σ_dy(x,t)的估计；

其它步骤及参数与具体实施方式一至四之一相同。

实施例

设陀螺飞轮系统扰动σ_k数学描述如公式(14)所示：

${\sigma }_k=a·\sin (2\mathrm{\pi f}·t)+\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}{b}_i{\phi }_x^i+\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}{c}_j{\phi }_y^j---\left(14\right)$

其中，a,b_i,c_j均为常值待定系数，m,n为多元回归模型的选用的阶数，f＝ω_m/(2π)为时变 电机旋转频率，ω_m为电机转速；仿真时陀螺飞轮物理系统数学模型如公式(1)中σ_x,σ_y表 示为如公式(15)所示：

$\left(\begin{array}{c}{\sigma }_x=1\times {10}^{-4}·\sin (2\mathrm{\pi f}·t)+1.5·{\phi }_x+0.6·{\phi }_x^2+0.15·{\phi }_x^3\\ {\sigma }_y=1\times {10}^{-4}·\sin (2\mathrm{\pi f}·t)+2.1·{\phi }_x+1.5·{\phi }_x^2+0.8·{\phi }_x^3\end{array}\right)---\left(15\right)$

式(15)即实验中扩展高增益观测器的估计目标；

陀螺飞轮系统转子、平衡环的转动惯量J_r,J_g分别给定为：

$J_r=\left(\begin{array}{ccc}1106.49& J_{\mathrm{rxy}}& J_{\mathrm{rxz}}\\ J_{\mathrm{rxy}}& 1106.49& J_{\mathrm{ryz}}\\ J_{\mathrm{rxz}}& J_{\mathrm{ryz}}& 1963.51\end{array}\right)\mathrm{kg}·{\mathrm{mm}}^2;J_g=\left(\begin{array}{ccc}16.11& & \\ & 16.11& \\ & & 23.9\end{array}\right)\mathrm{kg}·{\mathrm{mm}}^2$

其中，J_rxy,J_rxz,J_ryz表示由转子不平衡引起的扰动因素，其影响在陀螺飞轮系统方程如公式 (1)中体现为σ_x(x,t),σ_y(x,t)未知扰动项，仿真中扰动影响已由公式(15)表征；

陀螺飞轮系统中两对扭杆的抗扭刚度k和阻尼系数c_g分别设为：

k＝0.092N·m/rad；c_g＝2.5e-4N·m·s/rad

设陀螺飞轮在航天器三轴方向均处于力矩输出状态，陀螺飞轮三轴输入指令分别为电 机驱动轴转速指令：ω'_m＝23·sin(0.2π·t)+157rad/s，转子沿径向x轴，y轴的两维倾侧角 指令分别为：

φ'_y＝1·sin(0.2π·t)°

扩展高增益观测器设计参数α_ij,i＝1,2,3,j＝1,2如下：

α_1j＝12.6；α_2j＝312.1；α_3j＝3225.3；j＝1,2

根据陀螺飞轮参数设置和输入指令，传感器中不考虑量测噪声时，ε分别取0.1，0.001 时，系统扰动(σ_x,σ_y)的观测效果分别如图2-图9所示。

根据图2-图9可知，当ε＝0.1时，观测误差位于10^-3数量级内；当ε＝0.001时，观测误 差位于10^-4数量级内，观测误差提高了一个数量级；利用所设计的高增益观测器对陀螺飞轮 两径向轴的扰动估计均达到较好的观测效果，扰动的估计精度随ε取值的减小而提 高。