一种基于DFT的非最大抽取系统综合滤波器组构造方法

摘要

本发明属于软件无线电应用领域，具体涉及到宽频带数字收发系统、语音信号处理系统以及多载波通信系统中的一种基于DFT的非最大抽取系统综合滤波器组构造方法。一种基于DFT的非最大抽取系统综合滤波器组构造方法，利用移频模块，将有待综合的M个子带基带复信号分别乘以复指数调制因子，得到带宽相等、中心频率等间隔排列的信号频谱分布方式；再将M个信道的调制数据经过傅立叶变换模块，对M个子信道进行离散傅立叶逆变换IDFT，得到变换后数据；对IDFT后的数据进行滤波，进行D倍插值，得到M个子信道插值后数据；最后经过延时模块、求和模块，综合出最终的目标信号。本发明可以得到更好的阻带衰减，减少运算量和硬件资源损耗。

说明书

技术领域

本发明属于软件无线电应用领域，具体涉及到宽频带数字收发系统、语音信号处理系统 以及多载波通信系统中的一种基于DFT的非最大抽取系统综合滤波器组构造方法。

背景技术

随着软件无线电系统、通信系统、视频信号分析、语音信号分析、图像信号处理、雷达 信号处理等领域的飞速发展，数字信号的处理技术越来越受到人们的关注。数字信号处理是 电子战与通信的基础，而电子战与通信是现代信息技术战争的两大战场，电子战中的许多技 术在通信领域里同样适用。滤波器组技术作为数字信号处理的关键技术之一，成为了软件无 线电应用领域的研究热点。综合滤波器组结构设计及其构造方法的研究是滤波器组技术中的 重要环节，优化的综合滤波器组结构设计可以极大地提高系统性能，降低资源消耗，对采用 滤波器组结构设计的软件无线电应用领域具有重要的现实意义。

在综合滤波器结构设计方面，专利《一种格形结构综合滤波器组的构造方法》(申请号： 2010100290218)采用了格形结构构造综合滤波器组，用于图像去噪领域，与本发明结构设计 不同；文献《综合滤波器组优化设计及其在图像处理中的应用》(武汉科技大学博士论文， 2014年)主要对图像处理中的一维、二维综合滤波器组优化设计进行了研究，均采用的是格 形结构，与本发明结构设计不同；文献《HDTV音频解码综合滤波器组算法优化及FPGA实 现》(电子测量技术，2008年)主要围绕音频处理中的综合滤波器组蝶形结构的FPGA实现问 题研究，并未给出综合滤波器组的具体构造方法，与本发明内容不同；文献《基于M通道 LPPRFB的综合滤波器对称性与长度选择方法研究》(仪器仪表学报，2009年)主要是围绕综 合滤波器的对称性和长度选择方法的研究，并未涉及到综合滤波器组的构造方法，与本发明 专利有别。

发明内容

本发明的目的提供了一种基于DFT的非最大抽取系统综合滤波器组构造方法。

本发明的目的是这样实现的：

一种基于DFT的非最大抽取系统综合滤波器组构造方法，利用移频模块，将有待综合的 M个子带基带复信号为分别乘以复指数调制因子，得到带宽相等、中心 频率等间隔排列的信号频谱分布方式；再将M个信道的调制数据经过傅立叶变换模块，对M 个子信道进行离散傅立叶逆变换IDFT，得到变换后数据；然后对IDFT后的数据进行滤波， 再经过上采样进行D倍插值，得到M个子信道插值后数据；最后经过延时模块、求和模块， 综合出最终的目标信号。

分析滤波器组包含M个带通滤波器，其Z变换定义为H_m(Z),m＝0,1,...,M-1；带通滤 波器具有相同的带宽，每一个滤波器的中心频率表示为ω_m，其中 ω_m＝2πm/M,m＝0,1,...,M-1；原型滤波器的单位冲击响应是h(n)＝{h[0],...,h[N-1]},滤波器 长度为N，即0≤n≤N-1，其Z变换为：经过DFT调制，第m个信道 的带通滤波器为$h_m\left[n\right]=h_0\left[n\right]e^{j\frac{2\pi m}{M}n},$相应的频率响应为：$H_m\left[Z\right]=H\left[e^{-j\frac{2\pi }{M}m}Z\right]=H\left(W_M^{m}Z\right),$其中，$W_m=e^{-j\frac{2\pi }{M}};$综合滤波器组表示为：$G_m\left(Z\right)=G\left(W_M^{m}Z\right),$且$g_m\left(n\right)=g\left(n\right)e^{j\frac{2\pi }{M}mn};$信道数 目M与抽取倍数D之间的关系满足非最大化抽取条件，即：M/D＝F，F为大于1的正整数。

综合滤波器组构造满足如下特征条件：

$Y\left(Z\right)=\frac{1}{D}\underset{d=0}{\overset{D-1}{\Sigma }}X\left({\mathrm{ZW}}_D^d\right)\times \underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}K\left(Z^D{W}_M^{mD}\right)H\left({\mathrm{ZW}}_D^d{W}_M^m\right)G\left({\mathrm{ZW}}_M^m\right);$

其中H(Z)为分析滤波器组原型滤波器，G(Z)为综合滤波器组原型滤波器，K(Z)为中间 处理单元频率响应，X(Z)为输入信号x(n)的Z变换，Y(Z)为输出信号y(n)的Z变换，M为 信道数，D为抽取数；

矩阵形式定义如下：

$G\left(Z\right)={[G\left({\mathrm{ZW}}_M^0\right)...G\left({\mathrm{ZW}}_M^{M-1}\right)]}^T,$

$H\left(Z\right)={[H\left({\mathrm{ZW}}_M^0{W}_D^0\right)...H\left({\mathrm{ZW}}_M^{M-1}{W}_D^0\right)]}^T,$

$\bar{X}\left(Z\right)={[X\left({\mathrm{ZW}}_D^1\right)...X\left({\mathrm{ZW}}_D^{D-1}\right)]}^T,$

$X\left(Z\right)={[X\left({\mathrm{ZW}}_D^0\right),\bar{X}\left(Z\right)]}^T,$

$H\left(Z\right)={\left(\begin{array}{ccc}H\left({\mathrm{ZW}}_M^0{W}_D^0\right)& \mathrm{...}& H\left({\mathrm{ZW}}_M^0{W}_D^{D-1}\right)\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ H\left({\mathrm{ZW}}_M^{M-1}{W}_D^0\right)& \mathrm{...}& H\left({\mathrm{ZW}}_M^{M-1}{M}_D^{D-1}\right)\end{array}\right)}_{M\times D},$

$\begin{array}{c}K=diag\left(K\left(Z^D{W}_M^{0D}\right),\mathrm{...},K\left({\mathrm{ZW}}_M^{\left(M-1\right)D}\right)\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}K\left(Z^D{W}_M^{0D}\right)& \mathrm{...}& 0\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ 0& \mathrm{...}& K\left({\mathrm{ZW}}_M^{\left(M-1\right)D}\right)\end{array}\right)\end{array},$

矩阵表示式为：

$\left(\begin{array}{c}Y\left(Z\right)=\frac{1}{D}{G}_{1\times M}^T\left(Z\right)K_{M\times M}\left(Z\right)H_{M\times D}\left(Z\right)X_{D\times 1}\left(Z\right)\\ =\frac{1}{D}{T}_{1\times D}^K\left(Z\right)X_{D\times 1}\left(Z\right)\end{array}\right)$

$T_{1\times D}^K\left(Z\right)=G_{1\times M}^T\left(Z\right)K_{M\times M}\left(Z\right)H_{M\times D}\left(Z\right)=\left[T_s^K\left(Z\right)T_A^K\left(Z\right)\right]$

$\left(\begin{array}{c}{T}_s^K\left(Z\right)=G_{1\times M}^T\left(Z\right)K_{M\times M}\left(Z\right)H_{M\times 1}\left(Z\right)\\ =\left(\begin{array}{c}G\left({\mathrm{ZW}}_M^0\right)\\ G\left({\mathrm{ZW}}_M^1\right)\\ \mathrm{...}\\ G\left({\mathrm{ZW}}_M^{M-1}\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}K\left(Z^D{W}_M^{0D}\right)& \mathrm{...}& 0\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ 0& \mathrm{...}& K\left({\mathrm{ZW}}_M^{\left(M-1\right)D}\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}H\left({\mathrm{ZW}}_M^0\right)\\ H\left({\mathrm{ZW}}_M^1\right)\\ \mathrm{...}\\ H\left({\mathrm{ZW}}_M^{M-1}\right)\end{array}\right)\end{array}\right)$

有用的信号转换函数；

$\left(\begin{array}{c}{T}_A^K\left(Z\right)=G_{1\times M}^T\left(Z\right)K_{M\times M}\left(Z\right)H_{M\times \left(D-1\right)}\left(Z\right)\\ =\left[G\left({\mathrm{ZW}}_M^0\right)\mathrm{...}G\left({\mathrm{ZW}}_M^{M-1}\right)\right]\left(\begin{array}{ccc}K\left(Z^D{W}_M^{0D}\right)& \mathrm{...}& 0\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ 0& \mathrm{...}& K\left({\mathrm{ZW}}_M^{\left(M-1\right)D}\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}H\left({\mathrm{ZW}}_M^0{W}_D^0\right)& \mathrm{...}& H\left({\mathrm{ZW}}_M^0{W}_{D-1}^{D-2}\right)\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ H\left({\mathrm{ZW}}_M^{M-1}{W}_D^0\right)& \mathrm{...}& H\left({\mathrm{ZW}}_M^{M-1}{M}_{D-1}^{D-2}\right)\end{array}\right)\end{array}\right)$

为无用的信号混叠转换函数；

$Y\left(Z\right)=\frac{1}{D}{T}_s^K\left(Z\right)X\left(Z\right)+\frac{1}{D}{T}_A^K\left(Z\right)\bar{X}\left(Z\right)$

为零时：

$\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}K\left(Z^D{W}_M^{mD}\right)H\left({\mathrm{ZW}}_D^d{W}_M^m\right)G\left({\mathrm{ZW}}_M^m\right)=0,d=1,...,D-1$

则有：

$\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}H\left({\mathrm{ZW}}_D^d{W}_M^m\right)G\left({\mathrm{ZW}}_M^m\right)=0,d=1,...,D-1$

$H\left({\mathrm{ZW}}_D^d\right)G\left(Z\right)=0,d=0,...,D-1$

为实现信号的有效传输，分析滤波器与综合滤波器的中间处理部分的频率响应K(Z)满 足：

K_M×M＝E_M×M

E_M×M为M阶单位矩阵；

$\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}H\left({\mathrm{ZW}}_M^m\right)G\left({\mathrm{ZW}}_M^m\right)=Z^{-nD}.$

第m个信道的综合滤波器频率响应为：

$G_m\left(Z\right)=G\left({\mathrm{ZW}}_M^m\right)=\underset{k=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}{Z}^{-k}{W}_M^{-km}{F}_k\left(Z^M\right)$

$W_M=e^{-j\frac{2\pi }{M}},m=0,1,...,M-1;F_k\left(Z^M\right)=\underset{n=0}{\overset{P-1}{\Sigma }}G\left[nM+k\right]Z^{-nM},$F_k(Z)为G(Z)的多相分量， P为大于N/M的最小整数；当M满足M＝2ⁿ,n＝0,1,2...时，IDFT模块可以用IFFT傅立叶变 换替换。

综合滤波器组多相分支滤波器构造过程如下：

(1)利用Remez函数设计综合滤波器组原型滤波器，单位冲击响应为 h₀(n)＝{h[0],...,h[N-1]}，滤波器长度为N，即0≤n≤N-1，其Z变换为：第m个信道的带通滤波器为其中ω_m＝2πk/K,k＝0,1,...,K-1，相应的频率 响应为：$H_m\left[Z\right]=H_0\left[e^{j(\omega -{\omega }_m)}\right];$

(2)设置信道数M＝16，抽取数D＝8，归一化通带截止频率为0.065，阻带起始频率分 别为0.114，滤波器阶数N＝192，原型滤波器的系数*10^-6如下：

h(n)＝[-6.728,-7.634,-0.111,-0.145,-0.176,-0.194,-0.192，-0.159,......]_1×196

(3)将原型滤波器系数转换成16×12的阵列，按照非最大抽取系统中设计参数 综合滤波器多相成分F_k(Z²)相当于在每个支路的多相滤波器间插一个0值，即 可得到16组多相成分F_k(Z²)(k＝0，1，…15)，其中插0值之后的每个多相成分F_k(Z²)为24 阶。

本发明的有益效果在于：本发明公布的一种基于DFT的非最大抽取系统综合滤波器组构 造方法，不仅原型滤波器设计简单，并且在约束条件相同的情况下，本发明可以得到更好的 阻带衰减，减少运算量和硬件资源损耗。该方法将传统的最大抽取系统推向适用性更广的非 最大抽取系统，给出的基于DFT的综合滤波器组构造方法具有计算量小、灵活性高的特点。

附图说明

图1本发明复指数调制后子信道信号频谱排列方式

图2非最大抽取系统滤波器组框图

图3一般的综合滤波器结构

图4本发明综合滤波器组高效结构

图5本发明原型滤波器频率响应

具体实施方式

下面结合说明书附图，详细描述本发明的具体实施方案。

本发明提供了一种基于DFT的非最大抽取系统综合滤波器组构造方法，采用的具体技术 方案及其结构流程主要包括以下几个方面：首先利用移频模块，将有待综合的M个子带基带 复信号为分别乘以复指数调制因子，得到带宽相等、中心频率等间隔 排列的信号频谱分布方式；再将M个信道的调制数据经过傅立叶变换模块，对M个子信道 进行离散傅立叶逆变换(IDFT)，得到变换后数据；然后对IDFT后的数据进行滤波，再经过 上采样进行D倍插值，得到M个子信道插值后数据；最后经过延时模块、求和模块，综合出 目标信号。本发明将传统的最大抽取系统推向适用性更广的非最大抽取系统，不仅原型滤波 器设计简单，并且在约束条件相同的情况下，可以减少运算量和硬件资源损耗，给出的基于 DFT的非最大抽取系统综合滤波器组构造方法具有计算量小、灵活性高的特点。

为了完成上述目的，本发明采用的具体技术方案及其结构流程主要包括以下几个方面： 首先利用移频模块，将有待综合的M个子带基带复信号为分别乘以复 指数调制因子，得到如图1所示的带宽相等、中心频率等间隔排列的信号频谱分布方式；再 将M个信道的调制数据经过傅立叶变换模块，对M个子信道进行离散傅立叶逆变换(IDFT)， 得到变换后数据；然后对IDFT后的数据进行滤波，再经过上采样进行D倍插值，得到M个 子信道插值后数据；最后经过延时模块、求和模块，综合出最终的目标信号。

如图2所示的滤波器组框图，已知分析滤波器组包含M个带通滤波器，其Z变换定义为 H_m(Z),m＝0,1,...,M-1。带通滤波器具有相同的带宽，每一个滤波器的中心频率表示为ω_m， 其中ω_m＝2πm/M,m＝0,1,...,M-1。已知原型滤波器的单位冲击响应是 h(n)＝{h[0],...,h[N-1]},滤波器长度为N，即0≤n≤N-1，其Z变换为：经过DFT调制，第m个信道的带通滤波器为相应的频率响应为： $H_m\left[Z\right]=H\left[e^{-j\frac{2\pi }{M}m}Z\right]=H\left(W_M^{m}Z\right),W_m=e^{-j\frac{2\pi }{M}}.$同理可得综合滤波器组可表示为： $G_m\left(Z\right)=G\left(W_M^{m}Z\right),$并且$g_m\left(n\right)=g\left(n\right)e^{j\frac{2\pi }{M}mn}.$

信道数目M与抽取倍数D之间的关系满足：当M/D＝1，即M＝D时为最大化抽取；当 M/D＝F(F为大于1的整数)时，称为非最大化抽取。

定义分析滤波器与综合滤波器的中间处理部分的频率响应为K(Z)，则综合出的目标信号 可以表示为：

$Y\left(Z\right)=\frac{1}{D}\underset{d=0}{\overset{D-1}{\Sigma }}X\left({\mathrm{ZW}}_D^d\right)\times \underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}K\left(Z^D{W}_M^{mD}\right)H\left({\mathrm{ZW}}_D^d{W}_M^m\right)G\left({\mathrm{ZW}}_M^m\right)---\left(1\right)$

将式(1)表示成矩阵形式，我们可以做如下定义：

$G\left(Z\right)={[G\left({\mathrm{ZW}}_M^0\right)...G\left({\mathrm{ZW}}_M^{M-1}\right)]}^T,$

$H\left(Z\right)={[H\left({\mathrm{ZW}}_M^0{W}_D^0\right)...H\left({\mathrm{ZW}}_M^{M-1}{W}_D^0\right)]}^T,$

$\bar{X}\left(Z\right)={[X\left({\mathrm{ZW}}_D^1\right)...X\left({\mathrm{ZW}}_D^{D-1}\right)]}^T,$

$X\left(Z\right)={[X\left({\mathrm{ZW}}_D^0\right),\bar{X}\left(Z\right)]}^T,$

$H\left(Z\right)={\left(\begin{array}{ccc}H\left({\mathrm{ZW}}_M^0{W}_D^0\right)& ...& H\left({\mathrm{ZW}}_M^0{W}_D^{D-1}\right)\\ ...& ...& ...\\ H\left({\mathrm{ZW}}_M^{M-1}{W}_D^0\right)& ...& H\left({\mathrm{ZW}}_M^{M-1}{M}_D^{D-1}\right)\end{array}\right)}_{M\times D},$

$\begin{array}{c}K=diag\left(K\left(Z^D{W}_M^{0D}\right),\mathrm{...},K\left({\mathrm{ZW}}_M^{\left(M-1\right)D}\right)\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}K\left(Z^D{W}_M^{0D}\right)& \mathrm{...}& 0\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ 0& \mathrm{...}& K\left({\mathrm{ZW}}_M^{\left(M-1\right)D}\right)\end{array}\right)\end{array},$

上式(1)矩阵表示为：

$\begin{array}{c}Y\left(Z\right)=\frac{1}{D}{G}_{1\times M}^T\left(Z\right)K_{M\times M}\left(Z\right)H_{M\times D}\left(Z\right)X_{D\times 1}\left(Z\right)\\ =\frac{1}{D}{T}_{1\times D}^K\left(Z\right)X_{D\times 1}\left(Z\right)\end{array}---\left(2\right)$

式(2)中：

$T_{1\times D}^K\left(Z\right)=G_{1\times M}^T\left(Z\right)K_{M\times M}\left(Z\right)H_{M\times D}\left(Z\right)=\left[T_s^K\left(Z\right)T_A^K\left(Z\right)\right]---\left(3\right)$

式(3)为M个信道、D倍抽取以及分析滤波器组与综合滤波器组的整个转换函数表达式。

式(3)中：

$T_s^K\left(Z\right)=G_{1\times M}^T\left(Z\right)K_{M\times M}\left(Z\right)H_{M\times 1}\left(Z\right)---\left(4\right)$

$=\left(\begin{array}{c}G\left({\mathrm{ZW}}_M^0\right)\\ G\left({\mathrm{ZW}}_M^1\right)\\ \mathrm{...}\\ G\left({\mathrm{ZW}}_M^{M-1}\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}K\left(Z^D{W}_M^{0D}\right)& \mathrm{...}& 0\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ 0& \mathrm{...}& K\left({\mathrm{ZW}}_M^{\left(M-1\right)D}\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}H\left({\mathrm{ZW}}_M^0\right)\\ H\left({\mathrm{ZW}}_M^1\right)\\ \mathrm{...}\\ H\left({\mathrm{ZW}}_M^{M-1}\right)\end{array}\right)$

式(4)为有用的信号转换函数。

$\begin{array}{c}{T}_A^K\left(Z\right)=G_{1\times M}^T\left(Z\right)K_{M\times M}\left(Z\right)H_{M\times \left(D-1\right)}\left(Z\right)\\ =\left[G\left({\mathrm{ZW}}_M^0\right)\mathrm{...}G\left({\mathrm{ZW}}_M^{M-1}\right)\right]\left(\begin{array}{ccc}K\left(Z^D{W}_M^{0D}\right)& \mathrm{...}& 0\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ 0& \mathrm{...}& K\left({\mathrm{ZW}}_M^{\left(M-1\right)D}\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}H\left({\mathrm{ZW}}_M^0{W}_D^0\right)& \mathrm{...}& H\left({\mathrm{ZW}}_M^0{W}_{D-1}^{D-2}\right)\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ H\left({\mathrm{ZW}}_M^{M-1}{W}_D^0\right)& \mathrm{...}& H\left({\mathrm{ZW}}_M^{M-1}{M}_{D-1}^{D-2}\right)\end{array}\right)\end{array}---\left(5\right)$

式(5)为无用的信号混叠转换函数。

由式(4)和式(5)，式(3)可以表示为：

$Y\left(Z\right)=\frac{1}{D}{T}_s^K\left(Z\right)X\left(Z\right)+\frac{1}{D}{T}_A^K\left(Z\right)\bar{X}\left(Z\right)---\left(6\right)$

当式(5)为零时，即：

$\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}K\left(Z^D{W}_M^{mD}\right)H\left({\mathrm{ZW}}_D^d{W}_M^m\right)G\left({\mathrm{ZW}}_M^m\right)=0,d=1,...,D-1$

即：

$\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}H\left({\mathrm{ZW}}_D^d{W}_M^m\right)G\left({\mathrm{ZW}}_M^m\right)=0,d=1,...,D-1---\left(7\right)$

由调制的相关理论，式(7)可以简化为：

$H\left({\mathrm{ZW}}_D^d\right)G\left(Z\right)=0,d=0,...,D-1---\left(8\right)$

为实现信号的有效传输，式(4)必须为分析滤波器组与综合滤波器组之间的整数倍延 迟，且分析滤波器与综合滤波器的中间处理部分的频率响应K(Z)满足：

K_M×M＝E_M×M(9)

上式中：E_M×M为M阶单位矩阵。

综上，有用的信号传输函数可以简化为：

$\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}H\left({\mathrm{ZW}}_M^m\right)G\left({\mathrm{ZW}}_M^m\right)=Z^{-nD}---\left(10\right)$

为了实现信号的几乎完全重构，分析滤波器组h(n)与综合滤波器组g(n)需要满足式(8) 和(9)的条件，式(8)、(9)称为信号精确重构条件。

在分析综合滤波器组的结构方面，第m个信道的综合滤波器频率响应可以表示为：

$G_m\left(Z\right)=G\left({\mathrm{ZW}}_M^m\right)=\underset{k=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}{Z}^{-k}{W}_M^{-km}{F}_k\left(Z^M\right)---\left(11\right)$

式(11)中：

$W_M=e^{-j\frac{2\pi }{M}},m=0,1,\mathrm{...},M-1;$

$F_k\left(Z^M\right)=\underset{n=0}{\overset{P-1}{\Sigma }}G[nM+k]Z^{-nM}---\left(12\right)$

F_k(Z)为G(Z)的多相分量，P为大于N/M的最小整数。

由上式分析可知，可以用IFFT傅立叶逆变换表示。

基于综合滤波器结构，将D倍上采样模块移动到带通滤波器组之后，则此时第m个信道 的滤波器频率响应可以表示为：

${G_m}^p\left(Z\right)=\underset{k=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}{Z}^{-k}{W}_M^{-km}{F}_K\left(Z^{M/D}\right)---\left(13\right)$

一般的综合滤波器组结构，如图3所示。为M个子带基带复信号，m＝0,1,2,...M-1， 为移频因子，D为上采样倍数，G_m(Z)为第m个信道原型滤波器频率响应。该结构 包括移频模块(101)、上采样模块(102)、带通滤波模块(103)、求和模块(104)，该传统 的综合滤波器结构计算量大，滤波器部分设计复杂，且硬件实现不易。

一种基于DFT的非最大抽取系统综合滤波器组构造方法，其结构流程主要包括一下几个 方面：首先利用移频模块，将有待综合的M个子带基带复信号为分别 乘以复指数调制因子，得到如图1所示的带宽相等、中心频率等间隔排列的信号频谱分布方 式；再将M个信道的调制数据经过傅立叶变换模块，对M个子信道进行离散傅立叶逆变换 (IDFT)，得到变换后数据；然后对IDFT后的数据进行滤波，再经过上采样进行D倍插值， 得到M个子信道插值后数据；最后经过延时模块、求和模块，综合出目标信号。

如图2所示的滤波器组框图，已知分析滤波器组包含M个带通滤波器，其Z变换定义为 H_m(Z),m＝0,1,...,M-1。带通滤波器具有相同的带宽，每一个滤波器的中心频率表示为ω_m， 其中ω_m＝2πm/M,m＝0,1,...,M-1。已知原型滤波器的单位冲击响应是 h(n)＝{h[0],...,h[N-1]},滤波器长度为N，即0≤n≤N-1，其Z变换为：第m个信道的带通滤波器为相应的频率响应为： $H_m\left[Z\right]=H_0\left[e^{-j\frac{2\pi }{M}m}Z\right]=H\left(W_M^{m}Z\right),W_m=e^{-j\frac{2\pi }{M}}.$同理可得综合滤波器组可表示为：

$G_m\left(Z\right)=G\left(W_M^{m}Z\right),$并且$g_m\left(n\right)=g\left(n\right)e^{j\frac{2\pi }{M}mn}.$

在本实施例中，M＝16，D＝8.

定义分析滤波器与综合滤波器的中间处理部分的频率响应为K(Z)，则综合出的目标信 号可以表示为：

$Y\left(Z\right)=\frac{1}{8}\underset{d=0}{\overset{D-1}{\Sigma }}X\left({\mathrm{ZW}}_8^d\right)\times \underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}K\left(Z^8{W}_{16}^{8m}\right)H\left({\mathrm{ZW}}_8^d{W}_{16}^m\right)G\left({\mathrm{ZW}}_{16}^m\right)---\left(14\right)$

将式(14)表示成矩阵形式，我们可以做如下定义：

$G\left(Z\right)={[G\left({\mathrm{ZW}}_{16}^0\right)...G\left({\mathrm{ZW}}_{16}^{15}\right)]}^T,$

$H\left(Z\right)={[H\left({\mathrm{ZW}}_{16}^0{W}_8^0\right)...H\left({\mathrm{ZW}}_{16}^{15}{W}_8^0\right)]}^T,$

$\bar{X}\left(Z\right)={[X\left({\mathrm{ZW}}_8^1\right)...X\left({\mathrm{ZW}}_8^7\right)]}^T,$

$X\left(Z\right)={[X\left({\mathrm{ZW}}_8^0\right),\bar{X}\left(Z\right)]}^T,$

$H\left(Z\right)={\left(\begin{array}{ccc}H\left(Z\right)& ...& H\left({\mathrm{ZW}}_8^7\right)\\ ...& ...& ...\\ H\left({\mathrm{ZW}}_{16}^{15}\right)& ...& H\left({\mathrm{ZW}}_{16}^{15}{M}_8^7\right)\end{array}\right)}_{16\times 8},$

$\begin{array}{c}K=diag\left(K\left(Z^8{W}_{16}^0\right),\mathrm{...},K\left({\mathrm{ZW}}_{16}^{15\times 8}\right)\right)\\ \left(\begin{array}{ccc}K\left(Z^8\right)& ...& 0\\ ...& ...& ...\\ 0& ...& K\left({\mathrm{ZW}}_{16}^{15\times 8}\right)\end{array}\right)\end{array},$

上式(14)矩阵表示为：

$\begin{array}{c}Y\left(Z\right)=\frac{1}{8}{G}_{1\times 16}^T\left(Z\right)K_{16\times 16}\left(Z\right)H_{16\times 8}\left(Z\right)X_{8\times 1}\left(Z\right)\\ =\frac{1}{8}{T}_{1\times 8}^K\left(Z\right)X_{8\times 1}\left(Z\right)\end{array}---\left(15\right)$

式(15)中：

$T_{1\times 8}^K\left(Z\right)=G_{1\times 16}^T\left(Z\right)K_{16\times 16}\left(Z\right)H_{16\times 8}\left(Z\right)=\left[T_s^K\left(Z\right)T_A^K\left(Z\right)\right]---\left(16\right)$

式(16)为16个信道、8倍抽取以及分析滤波器组与综合滤波器组的整个转换函数表达式。

式(16)中：

$\begin{array}{c}{T}_s^K\left(Z\right)=G_{16}\left(Z\right)K_{16\times 16}\left(Z\right)H_{16\times 1}\left(Z\right)\\ =\left(\begin{array}{c}G\left(Z\right)\\ G\left({\mathrm{ZW}}_{16}^1\right)\\ \mathrm{...}\\ G\left({\mathrm{ZW}}_{16}^{15}\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}K\left(Z^8\right)& \mathrm{...}& 0\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ 0& \mathrm{...}& K\left({\mathrm{ZW}}_{15}^{15\times 8}\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}H\left(Z\right)\\ H\left({\mathrm{ZW}}_{16}^1\right)\\ \mathrm{...}\\ H\left({\mathrm{ZW}}_{16}^{15}\right)\end{array}\right)\end{array}---\left(17\right)$

式(17)为有用的信号转换函数。

$\begin{array}{c}{T}_A^K\left(Z\right)=G_{1\times 16}^T\left(Z\right)K_{16\times 16}\left(Z\right)H_{16\times 7}\left(Z\right)\\ =\left[G\left(Z\right)\mathrm{...}G\left({\mathrm{ZW}}_{16}^{15}\right)\right]\left(\begin{array}{ccc}K\left(Z^8\right)& \mathrm{...}& 0\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ 0& \mathrm{...}& K\left({\mathrm{ZW}}_{16}^{15\times 8}\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}H\left(Z\right)& \mathrm{...}& H\left({\mathrm{ZW}}_7^6\right)\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ H\left({\mathrm{ZW}}_{16}^{15}\right)& \mathrm{...}& H\left({\mathrm{ZW}}_{16}^{15}{M}_7^6\right)\end{array}\right)\end{array}---\left(18\right)$

式(18)为无用的信号混叠转换函数。

由式(17)和式(18)，式(15)可以表示为：

$Y\left(Z\right)=\frac{1}{8}{T}_s^K\left(Z\right)X\left(Z\right)+\frac{1}{8}{T}_A^K\left(Z\right)\bar{X}\left(Z\right)---\left(19\right)$

当式(18)为零时，即：

$\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}K\left(Z^8{W}_{16}^{8m}\right)H\left({\mathrm{ZW}}_8^d{W}_{16}^m\right)G\left({\mathrm{ZW}}_{16}^m\right)=0,d=1,...,D-1---\left(20\right)$

即：

$\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}H\left({\mathrm{ZW}}_8^d{W}_{16}^m\right)G\left({\mathrm{ZW}}_{16}^m\right)=0,d=1,...,D-1---\left(21\right)$

由调制的相关理论，式(21)可以简化为：

$H\left({\mathrm{ZW}}_8^d\right)G\left(Z\right)=0,d=0,...,D-1---\left(22\right)$

同理，为实现信号的有效传输，式(17)必须为分析滤波器组与综合滤波器组之间的整数 倍延迟，且分析滤波器与综合滤波器的中间处理部分的频率响应K(Z)满足：

K_16×16＝E_16×16(23)

上式中：E_16×16为16阶单位矩阵。

综上，有用的信号传输函数可以简化为：

$\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}H\left({\mathrm{ZW}}_{16}^m\right)G\left({\mathrm{ZW}}_{16}^m\right)=Z^{-8n}---\left(24\right)$

为了实现信号的几乎完全重构，分析滤波器组h(n)与综合滤波器组g(n)需要满足式(22) 和(23)的条件，式(22)、(23)称为信号精确重构条件。

在分析综合滤波器组的结构方面，第m个信道的综合滤波器频率响应可以表示为：

$G_m\left(Z\right)=G\left({\mathrm{ZW}}_{16}^m\right)=\underset{k=0}{\overset{15}{\Sigma }}{Z}^{-k}{W}_{16}^{-km}{F}_K\left(Z^{16}\right)---\left(25\right)$

式(25)中：$W_{16}=e^{-j\frac{2\pi }{16}},m=0,1,...,15,F_k\left(Z^{16}\right)=\underset{n=0}{\overset{P-1}{\Sigma }}G[16n+k]Z^{-16n},$P为大于N/16的最 小整数。

由上式分析可知，可以用IFFT傅立叶逆变换表示。基于综合滤波器结构，将8倍 上采样模块移动到带通滤波器组之后，则此时第m个信道的滤波器频率响应可以表示为：

${G_m}^p\left(Z\right)=\underset{k=0}{\overset{15}{\Sigma }}{Z}^{-k}{W}_{16}^{-km}{F}_k\left(Z^2\right)---\left(26\right)$

式(26)中：

为G(Z)的多相分量，P为大于N/16的最小整数。

本发明得到高效的综合滤波器组结构，如图4所示。

本发明中的一种基于DFT的非最大抽取系统综合滤波器组构造方法，主要包括以下几个 步骤：

步骤1：移频模块，有待综合的M个子带基带复信号为分别乘以 复指数调制因子，得到如图1所示的带宽相等、中心频率等间隔排列的信号频谱分布方式， 其中：复指数调制因子为e为自然数对数；j是虚数，满足j²＝-1；π为圆周率； M为子信道个数；D为上采样倍数，m＝0,1,...,M-1,n＝(-∞,∞)。

步骤2：复指数调制模块，当M/D＝1，即M＝D时为最大化抽取；当M/D＝F，(F为大 于1的整数)时，此时称为非最大化抽取，设计非最大化抽取系统复指数调制因子满 足以下条件：

$e^{j\frac{2\pi }{M}m·D·n}=\left(\begin{array}{c}1,m=0,2,\mathrm{4...}\\ {\left(-1\right)}^n,m=1,3,\mathrm{5...}\end{array}\right),n=\left(-\infty ,\infty \right)---\left(27\right)$

步骤3：傅立叶变换模块，对M个子信道进行IDFT离散傅立叶逆变换，得到变换数据； 其中当子带信道数M满足M＝2ⁿ,n＝0,1,2...时，IDFT模块可以用IFFT傅立叶变换替换，很 大程度的减小运算量。如16点IDFT计算时，IDFT模块替换为IFFT模块时，计算量对比如 表1所示。

表1IDFT模块与IFFT模块计算量对比

步骤4：滤波模块，M个子信道的变换数据经过多相带通滤波组进行滤波，得到M个子 信道滤波后的信号；

在滤波器组的设计方面，本例M＝16，D＝8，采取原型滤波器为FIR滤波器，运用Remez 函数设计滤波器，归一化通带截止频率为0.065，阻带起始频率分别为0.114，滤波器阶数为 192。原型滤波器频率响应如图5所示。

原型滤波器的系数(*10^-6)如下：

h(n)＝[-6.728,-7.634,-0.111,-0.145,-0.176,-0.194,-0.192，-0.159,......]_1×196(28)

将原型滤波器系数转换成16×12的阵列，然后由抽取和插值的相关理论可知，综合滤波 器多相成分F_k(Z²)相当于在每个支路的多相滤波器间插一个0值。

即：

F₀(Z²)＝[-6.72*10^-600.00020-0.00060-0.000100.00610-0.01520 0.08390-0.016200.004800.00040-0.000700.00010]

F₁(Z²)＝[-7.63*10^-600.00020-0.00050-0.000800.0070-0.01290 0.08190-0.016000.003300.00100-0.000700.00010]

F₂(Z²)＝[-0.11*10^-600.00020-0.00040-0.001600.00760-0.00910 0.07800-0.014800.001800.00140-0.000600.00010]

F₃(Z²)＝[-0.14*10^-600.00020-0.00010-0.00200.00760-0.00390 0.07230-0.012700.000300.00170-0.000500.72620]

F₄(Z²)＝[-0.17*10^-60.000200.00010-0.003000.007100.00260 0.06510-0.01000-0.001000.00180-0.000400.44*10^-60]

F₅(Z²)＝[-0.1949*10^-600.000100.00040-0.003500.005900.01030 0.05680-0.00690-0.002100.00170-0.000300.21*10^-60]

F₆(Z²)＝[-0.19*10^-600.000100.00070-0.003800.004200.01900 0.04760-0.00380-0.003000.00160-0.000203.58*10^-60]

F₇(Z²)＝[-0.15*10^-600.16*10^-600.00110-0.003800.001900.02830 0.03800-0.00080-0.003500.00140-0.90*10^-60-8.59*10^-60]

F₈(Z²)＝[-8^.59*10^-60-0_.90*10^-600.0010-0.00350-0.000800.03800 0.028300.00190-0.003800.001100.16*10^-60-0.15*10^-60]

F₉(Z²)＝[3.58*10^-60-0.000200.00160-0.00300-0.003800.04760 0.019000.00420-0.003800.000700.00010-0.19*10^-60]

F₁₀(Z²)＝[0.21*10^-60-0.000300.00170-0.00210-0.006900.05680 0.010300.00590-0.003500.000400.00010-0.19*10^-60]

F₁₁(Z²)＝[0.44*10^-60-0.000400.00180-0.00100-0.010000.06510 0.002600.00710-0.003000.000100.00020-0.17*10^-60]

F₁₂(Z²)＝[0.72*10^-60-0.000500.00170]0.00030-0.012700.07230 -0.003900.00760-0.00230-0.000100.00020-0.14*10^-60]

F₁₃(Z²)＝[0.00010-0.000600.001400.00180-0.014800.07800 -0.009100.00760-0.00160-0.000400.00020-0.11*10^-60]

F₁₄(Z²)＝[0.00010-0.000700.001000.00330-0.016000.08190 -0.012900.00700-0.00080-0.000500.00020-7.63*10^-60]

F₁₅(Z²)＝[0.00010-0.000700.000400.00480-0.016200.08390 -0.015200.00610-0.00010-0.000600.00020-6.72*10^-60]

步骤5：上采样模块，对M个子信道滤波后的信号进行D倍插值，得到M个子信道插 值后数据；其中，D倍上采样模块与传统综合滤波器结构相比，位置在结构的后端，使本发 明在低采样率下进行，运算量减少。其理论在于，假设M个子信道采样速率为f_s，则D倍 上采样后M个子信道采样速率F_s满足F_s＝D·f_s，信道采样速率增大D倍，即本发明减少了 运算量。

步骤6：单位延时模块，对M个子信道插值后数据分别进行相应的延时，实现多相结构；

步骤7：求和模块，对M个子信道信号进行重叠相加，得到求和的数据，即综合的信道 信号。