一种用于非球面环形子孔径拼接的中心偏移误差补偿方法

摘要

一种用于非球面环形子孔径拼接的中心偏移误差补偿方法，采用矩阵搜索及误差匹配的方式能够高精度地搜索得到非球面环形子孔径拼接测量时各子孔径的中心偏移量，并通过硬件补偿与软件补偿相结合的方式对中心偏移误差进行高精度补偿，得到中心偏移补偿后的子孔径面形数据，从而提高环形子孔径拼接测量的精度。

说明书

技术领域

本发明属于非球面光学检测技术领域，涉及一种用于非球面环形 子孔径拼接的中心偏移误差补偿方法。

背景技术

非球面光学零件正越来越多地被用于空间光学、军事国防、高科 技民用等领域。目前非球面的高精度检测方法主要有零透镜补偿、计 算全息及子孔径拼接等方法。其中，子孔径拼接干涉测量方法主要是 利用小口径干涉仪对大孔径非球面的各个局部子孔径区域进行测量， 然后通过合理的拼接算法将各局部子孔径测量数据拼接成全局的面 形测量结果。这种方法可以充分利用干涉仪的检测能力，提高其非球 面测量的横向分辨率及测量范围。

子孔径拼接干涉测量方法主要包括两种方法：圆形子孔径拼接和 环形子孔径拼接。圆形子孔径拼接的测量自由度较多，定位较为复杂， 对非球面装夹机构的精度要求非常高；而环形子孔径拼接的测量操作 较为简单方便，只有沿光轴方向的平移，没有沿光轴的旋转误差，测 量效率更高，因而环形子孔径拼接是一种适用于大口径、大偏离非球 面的高精度、高效率检测方法。环形子孔径拼接的基本原理是通过改 变待测非球面与干涉仪之间的距离以不同曲率半径的参考球面波来 匹配非球面不同的环带，再对不同环带的面形数据进行拼接，从而实 现大口径大偏离的非球面全口径的检测目的。

目前影响环形子孔径拼接测量精度的主要因素是测量过程中存 在的调整误差，在传统的拼接方法中只进行了x、y方向倾斜误差以 及离焦误差的补偿，并未针对测量中存在的中心偏移误差进行补偿。 由于非球面测量时存在非共轴检测和面形数据截取误差，导致面形测 量中心与非球面实际中心出现偏差。中心偏移误差是非球面测量中普 遍存在的情况，不仅会影响到初始面形数据的准确获取，同时也会降 低各子孔径的拼接精度。所以如何准确有效的降低或消除中心偏移误 差的影响是提高环形子孔径拼接检测精度的关键。

发明内容

为了克服上述现有技术的缺点，本发明的目的在于提供一种用于 非球面环形子孔径拼接的中心偏移误差补偿方法，实现对中心偏移误 差的高精度补偿，提高环形子孔径拼接检测的精度。

为了达到上述目的，本发明提出的技术方案为：

一种用于非球面环形子孔径拼接的中心偏移误差补偿方法，包括 以下步骤：

1)、利用干涉仪对待测非球面的各子孔径进行测量，得到初始 面形数据；

2)、根据待测非球面参数以及干涉条纹调整精度计算求解得到 中心偏移量的初始取值范围，待测非球面参数包括口径、顶点曲率半 径、二次项系数；

3)、建立中心偏移量的误差匹配评价指标，根据步骤2)计算 得到的初始取值范围生成像素级中心偏移量搜索矩阵，进行第一轮像 素级搜索，计算像素级中心偏移量的误差匹配评价指标，寻找到最小 误差匹配评价指标所对应的像素级中心偏移量，将此像素级中心偏移 量作为最接近非球面实际中心偏移量的像素级中心偏移量；

4)、在步骤3)搜索得到的最接近非球面实际中心偏移量的像 素级中心偏移量的±0.5个像素范围内生成亚像素级中心偏移量搜索 矩阵，进行亚像素级搜索，其搜索过程与步骤3)一致，计算亚像素 级中心偏移量的误差匹配评价指标，寻找到最小误差匹配评价指标所 对应的亚像素级中心偏移量，得到最接近非球面实际中心偏移量的亚 像素级中心偏移量，判断此时的最小误差匹配评价指标是否小于检测 精度要求，若小于，则进行步骤5)，若不小于，则取更小步长的亚 像素级中心偏移量搜索矩阵重复进行步骤4)，直到最小误差匹配评 价指标小于检测精度要求；

5)、根据步骤4)中的亚像素级中心偏移量，通过五维精密调 整架对被测非球面进行逆偏移方向的位姿调整，重复步骤1)～步骤 4)，对中心偏移误差进行初步的硬件补偿，直到亚像素级中心偏移 量小于五维精密调整架的分辨率；

6)、对于步骤5)中经过硬件补偿未能完全消除的部分中心偏 移误差，采用软件补偿的方式进一步消除，得到补偿后的各子孔径面 形数据；

7)、对步骤6)得到的补偿后的各子孔径面形数据，利用环形 子孔径拼接方法实现非球面全口径面形的高精度测量。

所述的步骤2)中的计算过程为：假设通过干涉图像观察及精密 调整架调整，使得沿偏移方向中心两侧的最大干涉条纹数量差在T 个之内，即由中心偏移所导致的干涉图像最外侧的最大光程差差值 Δd_max＝2Δδ_max小于T个波长，

建立如下方程组来求解经过初步调整后的中心偏移量范围，

$\left(\begin{array}{c}\delta {(x+\Delta x,y+\Delta y)}_{max}-\delta {(x+\Delta x,y+\Delta y)}_{min}\le \frac{T·\lambda }{2}\\ {(x+\Delta x)}^2{(y+\Delta y)}^2={\left(\frac{D}{2}\right)}^2\\ \delta (x+\Delta x,y+\Delta y)=\sqrt{{(R-f(x+\Delta x,y+\Delta y\left)\right)}^2+({(x+\Delta x)}^2+{(y+\Delta y)}^2)}-R\\ f(x+\Delta x,y+\Delta y)=\frac{c·({(x+\Delta x)}^2+{(y+\Delta y)}^2)}{1+\sqrt{1-(1+K)·c^2·({(x+\Delta x)}^2+{(y+\Delta y)}^2)}}\end{array}\right)---\left(1\right)$

其中，δ为波前理想偏差，f为非球面方程，x、y分别为x轴坐标和 y轴坐标，Δx、Δy分别为x方向偏移量和y方向偏移量，D为非球面 口径，R为非球面顶点曲率半径，c＝1/R，K为非球面二次项系数， λ为干涉仪波长，

对于旋转对称的非球面，只需求取特殊情况Δx＝Δr,Δy＝0下的方程 组：

$\left(\begin{array}{c}|\delta (-\frac{D}{2}+\Delta r)-\delta (\frac{D}{2}+\Delta r)|=\frac{T·\lambda }{2}\\ \delta (x+\Delta r)=\sqrt{{(R-f(x+\Delta r\left)\right)}^2+{(x+\Delta r)}^2}-R\\ f(x+\Delta r)=\frac{c·{(x+\Delta r)}^2}{1+\sqrt{1-(1+K)·c^2·{(x+\Delta r)}^2}}\end{array}\right)---\left(2\right)$

通过求解以上方程组，得到中心偏移边界值Δr，再由非球面的旋转对 称性得中心偏移量Δx、Δy的取值范围为：(Δx)²+(Δy)²≤(Δr)²。

所述的步骤3)建立中心偏移量的误差匹配评价指标的具体过程 如下：

对于非球面

$z=f\left(r\right)=\frac{{\mathrm{cr}}^2}{1+\sqrt{1-(1+K)c^2{r}^2}}---\left(3\right)$

其中，r²＝x²+y²，c＝1/R，R为非球面顶点曲率半径，K为非球面二 次项系数；

用顶点曲率半径的参考球面波测量非球面时，参考球面波与理想 非球面的波前理想偏差表达式为：

$\delta \left(r\right)=\sqrt{{(R-f(r\left)\right)}^2+r^2}-R---\left(4\right)$

δ(r)关于r²在r²＝0处进行泰勒级数展开为：

$\delta \left(r\right)=-\frac{1}{4}K·R^{-3}·r^4-\frac{3}{8}K·(1+K)R^{-5}·r^6-\frac{3}{16}K·(5K^2+11K+5)·R^{-7}{r}^8+\mathrm{.......}\left(5\right)$

由于泰勒级数的系数很小，而且中心偏移量Δx、Δy也很小，在近似 计算中忽略其高次项，则中心偏移导致的波前理想偏差的剔除误差 为：

$\begin{array}{c}\Delta \delta (x,y)=\delta (x+\Delta x,y+\Delta y)-\delta (x,y)\\ \approx -\frac{1}{4}K·R^{-3}·\{{[{(x+\Delta x)}^2+{(y+\Delta y)}^2]}^2-(x^2+y^2)\}\\ \approx -K·R^{-3}·\Delta x·x·(x^2+y^2)-K·R^{-3}·\Delta y·y·(x^2+y^2)\end{array}---\left(6\right)$

进一步将(6)式改写为Zernike多项式形式：

Δδ(x,y)＝z₂x+z₃y+z₇(-2x+3x(x²+y²))+z₈(-2y+3y(x²+y²))(7)

＝z₂Z₂(x,y)+z₃Z₃(x,y)+z₇Z₇(x,y)+z₈Z₈(x,y)

其中，z₂＝2·z₇，z₂＝2·z₇，$z_7=-\frac{1}{3}K·R^{-3}·\Delta x,z_8=-\frac{1}{3}K·R^{-3}·\Delta y,$Z₂(x,y)、 Z₃(x,y)、Z₇(x,y)、Z₈(x,y)分别为Zernike多项式的第2、3、7、8项，

最终将中心偏移的误差匹配评价指标定义为：

${\mathrm{RMS}}_C=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{({\mathrm{\Delta \delta }}_i-\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\mathrm{\Delta \delta }}_i)}^2}{N}}---\left(8\right)$

其中，Δδ_i为第i个数据点的波前理想偏差的剔除误差，N为面形数 据采样点数，

最小误差匹配评价指标所对应的中心偏移量为最接近非球面实 际中心偏移量的中心偏移量。

所述的步骤3)像素级中心偏移量的搜索过程为：根据步骤2) 中的中心偏移边界值Δr，计算大于Δr/p的最小整数n，得到像素级搜 索范围n×n，其中p＝D/P,D为非球面口径，P为实际测量所用CCD 像素尺寸，

以像素坐标原点为中心生成X、Y方向的像素级中心偏移量搜索 矩阵XC_n×n、YC_n×n，像素级中心偏移量搜索矩阵的步长为1个像素， 范围为n×n，每个矩阵元素对应一个像素级中心偏移量，转换成物面 坐标矩阵为p×XC_n×n、p×YC_n×n，

设w(x+Δx,y+Δy)为通过干涉仪测量得到的非球面面形数据， δ(x+p·XC(i,j),y+p·YC(i,j))为像素级中心偏移量[XC(i,j),YC(i,j)]所对 应的波前理想偏差，用Zernike多项式对非球面面形数据与波前理想 偏差的差值w(x+Δx,y+Δy)-δ(x+p·XC(i,j),y+p·YC(i,j))进行拟合，得到 相应的波前理想偏差的剔除误差为：

Δδ_kij＝z′₂Z₂(x_kij,y_kij)+z′₃Z₃(x_kij,y_kij)+z′₇Z₇(x_kij,y_kij)+z′₈Z₈(x_kij,y_kij)(9) 其中，$x_{kij}=\frac{[x_k+p·XC(i,j)]}{{[x_k+p·XC(i,j)]}_{max}},y_{kij}=\frac{[y_k+p·YC(i,j)]}{{[y_k+p·YC(i,j)]}_{max}},$x_k为第k个数据 点的X轴坐标，y_k为第k个数据点的y轴坐标，XC(i,j)为x方向的 像素级中心偏移量，YC(i,j)为y方向的像素级中心偏移量，k＝1,2,...,N， i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,n，z′₂、z′₃、z′₇、z′₈分别为Zernike多项式第2、3、 7、8项的拟合系数，Z₂(x_kij,y_kij)、Z₃(x_kij,y_kij)、Z₇(x_kij,y_kij)、Z₈(x_kij,y_kij)分 别为相应的Zernike多项式第2、3、7、8项，

计算偏移量[XC(i,j),YC(i,j)]处的误差匹配评价指标：

${\mathrm{RMS}}_C(i,j)=\sqrt{\frac{\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{({\mathrm{\Delta \delta }}_{kij}-\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\mathrm{\Delta \delta }}_{kij})}^2}{N}}---\left(10\right)$

找到最小误差匹配评价指标RMS_C(i,j)_min所对应的偏移量 [XC′(i,j),YC′(i,j)]，得到最接近非球面实际中心偏移量的像素级偏移 量。

所述的步骤6)中软件补偿的方式为：根据步骤3)的像素级偏 移量修正非球面中心，进行各子孔径面形数据的截取，根据步骤4) 中的亚像素级偏移量计算补偿后的波前理想偏差，对各子孔径数据进 行波前理想偏差的高精度剔除。

本发明的有益效果是：本发明采用矩阵搜索及误差匹配的方式能 够高精度地搜索得到非球面环形子孔径拼接测量时各子孔径的中心 偏移量，并通过硬件补偿与软件补偿相结合的方式对中心偏移误差进 行高精度补偿，得到中心偏移补偿后的子孔径面形数据，从而提高环 形子孔径拼接测量的精度。

附图说明

图1为本发明流程图。

图2为本发明存在中心偏移的波前理想偏差示意图。

图3为本发明非球面测量几何关系示意图。

图4为本发明中心偏移量搜索流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明进行详细说明。

参照图1，一种用于非球面环形子孔径拼接的中心偏移误差补偿 方法，包括以下步骤：

1)、利用干涉仪对待测非球面的各子孔径进行测量，得到初始 面形数据；

2)、根据待测非球面参数以及干涉条纹调整精度计算求解得到 中心偏移量的初始取值范围，待测非球面参数包括口径、顶点曲率半 径、二次项系数；

具体的计算过程如下：

参照图2和图3，假设通过干涉图像观察及精密调整架调整，使 得沿偏移方向中心两侧的最大干涉条纹数量差在T个之内，即由中心 偏移所导致的干涉图像最外侧的最大光程差差值Δd_max＝2Δδ_max小于T 个波长，

建立如下方程组来求解经过初步调整后的中心偏移量范围，

$\left(\begin{array}{c}\delta {(x+\Delta x,y+\Delta y)}_{max}-\delta {(x+\Delta x,y+\Delta y)}_{min}\le \frac{T·\lambda }{2}\\ {(x+\Delta x)}^2{(y+\Delta y)}^2={\left(\frac{D}{2}\right)}^2\\ \delta (x+\Delta x,y+\Delta y)=\sqrt{{(R-f(x+\Delta x,y+\Delta y\left)\right)}^2+({(x+\Delta x)}^2+{(y+\Delta y)}^2)}-R\\ f(x+\Delta x,y+\Delta y)=\frac{c·({(x+\Delta x)}^2+{(y+\Delta y)}^2)}{1+\sqrt{1-(1+K)·c^2·({(x+\Delta x)}^2+{(y+\Delta y)}^2)}}\end{array}\right)---\left(1\right)$

其中，δ为波前理想偏差，f为非球面方程，x、y分别为x轴坐标和 y轴坐标，Δx、Δy分别为x方向偏移量和y方向偏移量，D为非球面 口径，R为非球面顶点曲率半径，c＝1/R，K为非球面二次项系数， λ为干涉仪波长，

对于旋转对称的非球面，只需求取特殊情况Δx＝Δr,Δy＝0下的方程 组：

$\left(\begin{array}{c}|\delta (-\frac{D}{2}+\Delta r)-\delta (\frac{D}{2}+\Delta r)|=\frac{T·\lambda }{2}\\ \delta (x+\Delta r)=\sqrt{{(R-f(x+\Delta r\left)\right)}^2+{(x+\Delta r)}^2}-R\\ f(x+\Delta r)=\frac{c·{(x+\Delta r)}^2}{1+\sqrt{1-(1+K)·c^2·{(x+\Delta r)}^2}}\end{array}\right)---\left(2\right)$

通过求解以上方程组，可以得到中心偏移边界值Δr，再由非球面的旋 转对称性可得中心偏移量Δx、Δy的取值范围为：(Δx)²+(Δy)²≤(Δr)²；

3)、建立中心偏移量的误差匹配评价指标，根据步骤2)计算 得到的初始取值范围生成像素级中心偏移量搜索矩阵，进行第一轮像 素级搜索，计算像素级中心偏移量的误差匹配评价指标，寻找到最小 误差匹配评价指标所对应的像素级中心偏移量，将此像素级中心偏移 量作为最接近非球面实际中心偏移量的像素级中心偏移量；

建立中心偏移量的误差匹配评价指标的具体过程如下：

对于非球面

$z=f\left(r\right)=\frac{{\mathrm{cr}}^2}{1+\sqrt{1-(1+K)c^2{r}^2}}---\left(3\right)$

其中，r²＝x²+y²，c＝1/R，R为非球面顶点曲率半径，K为非球面二 次项系数；

用顶点曲率半径的参考球面波测量非球面时，参考球面波与理想 非球面的波前理想偏差表达式为：

$\delta \left(r\right)=\sqrt{{(R-f(r\left)\right)}^2+r^2}-R---\left(4\right)$ δ(r)关于r²在r²＝0处进行泰勒级数展开为：

$\delta \left(r\right)=-\frac{1}{4}K·R^{-3}·r^4-\frac{3}{8}K·(1+K)R^{-5}·r^6-\frac{3}{16}K·(5K^2+11K+5)·R^{-7}{r}^8+\mathrm{.......}\left(5\right)$

由于泰勒级数的系数很小，而且中心偏移量Δx、Δy也很小，在近似 计算中忽略其高次项，则中心偏移导致的波前理想偏差的剔除误差 为：

$\begin{array}{c}\Delta \delta (x,y)=\delta (x+\Delta x,y+\Delta y)-\delta (x,y)\\ \approx -\frac{1}{4}K·R^{-3}·\{{[{(x+\Delta x)}^2+{(y+\Delta y)}^2]}^2-(x^2+y^2)\}\\ \approx -K·R^{-3}·\Delta x·x·(x^2+y^2)-K·R^{-3}·\Delta y·y·(x^2+y^2)\end{array}---\left(6\right)$

进一步将(6)式改写为Zernike多项式形式：

Δδ(x,y)＝z₂x+z₃y+z₇(-2x+3x(x²+y²))+z₈(-2y+3y(x²+y²))(7)

＝z₂Z₂(x,y)+z₃Z₃(x,y)+z₇Z₇(x,y)+z₈Z₈(x,y)

其中，z₂＝2·z₇，z₂＝2·z₇，$z_7=-\frac{1}{3}K·R^{-3}·\Delta x,z_8=-\frac{1}{3}K·R^{-3}·\Delta y,$Z₂(x,y)、 Z₃(x,y)、Z₇(x,y)、Z₈(x,y)分别为Zernike多项式的第2、3、7、8项，

最终将中心偏移的误差匹配评价指标定义为：

${\mathrm{RMS}}_C=\sqrt{\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{({\mathrm{\Delta \delta }}_i-\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\mathrm{\Delta \delta }}_i)}^2}{N}}---\left(8\right)$

其中，Δδ_i为第i个数据点的波前理想偏差的剔除误差，N为面形数 据采样点数，

最小误差匹配评价指标所对应的中心偏移量为最接近非球面实 际中心偏移量的中心偏移量；

参照图4，像素级中心偏移量的搜索过程为：

根据步骤2)中的中心偏移边界值Δr，计算大于Δr/p的最小整 数n，得到像素级搜索范围n×n，其中p＝D/P,D为非球面口径，P为 实际测量所用CCD像素尺寸，

以像素坐标原点为中心生成X、Y方向的像素级中心偏移量搜索 矩阵XC_n×n、YC_n×n，像素级中心偏移量搜索矩阵的步长为1个像素， 范围为n×n，每个矩阵元素对应一个像素级中心偏移量，转换成物面 坐标矩阵为p×XC_n×n、p×YC_n×n，

设w(x+Δx,y+Δy)为通过干涉仪测量得到的非球面面形数据， δ(x+p·XC(i,j),y+p·YC(i,j))为像素级中心偏移量[XC(i,j),YC(i,j)]所对 应的波前理想偏差，用Zernike多项式对非球面面形数据与波前理想 偏差的差值w(x+Δx,y+Δy)-δ(x+p·XC(i,j),y+p·YC(i,j))进行拟合，得到 相应的波前理想偏差的剔除误差为：

Δδ_kij＝z′₂Z₂(x_kij,y_kij)+z′₃Z₃(x_kij,y_kij)+z′₇Z₇(x_kij,y_kij)+z′₈Z₈(x_kij,y_kij)(9) 其中，$x_{kij}=\frac{[x_k+p·XC(i,j)]}{{[x_k+p·XC(i,j)]}_{max}},y_{kij}=\frac{[y_k+p·YC(i,j)]}{{[y_k+p·YC(i,j)]}_{max}},$x_k为第k个数据 点的X轴坐标，y_k为第k个数据点的y轴坐标，XC(i,j)为x方向的 像素级中心偏移量，YC(i,j)为y方向的像素级中心偏移量，k＝1,2,...,N， i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,n，z′₂、z′₃、z′₇、z′₈分别为Zernike多项式第2、3、 7、8项的拟合系数，Z₂(x_kij,y_kij)、Z₃(x_kij,y_kij)、Z₇(x_kij,y_kij)、Z₈(x_kij,y_kij)分 别为相应的Zernike多项式第2、3、7、8项，

计算偏移量[XC(i,j),YC(i,j)]处的误差匹配评价指标：

${\mathrm{RMS}}_C(i,j)=\sqrt{\frac{\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{({\mathrm{\Delta \delta }}_{kij}-\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\mathrm{\Delta \delta }}_{kij})}^2}{N}}---\left(10\right)$

找到最小误差匹配评价指标RMS_C(i,j)_min所对应的偏移量 [XC′(i,j),YC′(i,j)]，得到最接近非球面实际中心偏移量的像素级偏移 量；

4)、参照图4，在步骤3)搜索得到的最接近非球面实际中心偏 移量的像素级中心偏移量的±0.5个像素范围内生成亚像素级中心偏 移量搜索矩阵，进行亚像素级搜索，其搜索过程与步骤3)一致，计 算亚像素级中心偏移量的误差匹配评价指标，寻找到最小误差匹配评 价指标所对应的亚像素级中心偏移量，得到最接近非球面实际中心偏 移量的亚像素级中心偏移量，判断此时的最小误差匹配评价指标是否 小于检测精度要求，若小于，则进行步骤5)，若不小于，则取更小 步长的亚像素级中心偏移量搜索矩阵重复进行步骤4)，直到最小误 差匹配评价指标小于检测精度要求；

5)、根据步骤4)中的亚像素级中心偏移量，通过五维精密调 整架对被测非球面进行逆偏移方向的位姿调整，重复步骤1)～步骤 4)，对中心偏移误差进行初步的硬件补偿，直到亚像素级中心偏移 量小于五维精密调整架的分辨率；

6)、对于步骤5)中经过硬件补偿未能完全消除的部分中心偏移 误差，采用软件补偿的方式进一步消除，得到补偿后的各子孔径面形 数据，其具体方法为：

根据步骤3)的像素级偏移量修正非球面中心，进行各子孔径面 形数据的截取，根据步骤4)中的亚像素级偏移量计算补偿后的波前 理想偏差，对各子孔径数据进行波前理想偏差的高精度剔除；

7)、对步骤6)得到的补偿后的各子孔径面形数据，利用环形 子孔径拼接方法实现非球面全口径面形的高精度测量。