一种橡胶材料结构动态性能的分步式分析与预测方法

摘要

本发明涉及橡胶材料结构动态性能的分析与预测方法，尤其是一种橡胶材料结构动态性能的分步式分析与预测方法。提出采用分步式分析与预测方法对橡胶材料结构进行高频动态特性的有限元分析与预测。包括以下试验预测步骤：第一步，橡胶材料超弹性本构关系的拟合；第二步，不同应变幅值下橡胶材料的粘弹性特性试验；第三步，橡胶材料粘弹性本构关系的拟合；第四步，橡胶材料结构动态性能的分析预测。计算结果即为最终结果，无需进行计算结果的叠加，降低了计算难度，减少了求解时间；实际的建模与分析过程更加简单、明确、易于理解和操作，预测精度更高，可以满足工程分析的需要。

说明书

一、技术领域

本发明涉及橡胶材料结构动态性能的分析与预测方法，尤其是一种橡胶材料结构动态性 能的分步式分析与预测方法。

二、背景技术

随着国民经济和现代工业的快速推进，机械设备逐渐向大型化、高速化和复杂化的方向 发展，由此导致的振动和噪声危害也日益突出，因此需要采取更加有效的措施控制机械设备 的振动和噪声水平。橡胶材料结构可以有效的衰减振源的振动或隔离振动的传递，是目前在 隔振和减振领域得到广泛采用的元器件之一。由于橡胶材料的弹性模量远小于金属，同时具 有一定的阻尼，采用橡胶与骨架材料(如金属、纤维等)相互硫化粘接制成的橡胶材料结构， 具有相对刚度小、阻尼大、质量轻、结构紧凑、可承受多向载荷、减振降噪效果显著、形状 不受限制、安装维护方便、制造成本低、工艺性好等一系列优点，已经广泛应用于机械、车 辆、能源、交通、船舶、航空以及建筑工业等各大工程领域。然而由于橡胶材料本身复杂的 动态特性以及橡胶材料结构多变的外形构造，目前尚没有理想的模型或解析公式可以准确地 描述其弹性特性与结构参数之间的关系，因而针对橡胶材料结构动态性能的分析与设计也没 有确定的方法，大多结合经验公式、仿真计算和试验测试等方式进行。

橡胶材料结构的动态性能主要包括动刚度特性和滞后角特性，对于给定材料和结构的橡 胶材料结构来说，其动态性能受预载载荷、激励频率、激励幅值以及环境温度等因素的影响 而变化。经验公式预估和试验测试是得到广泛采用的橡胶材料结构动态性能的获取方法，但 经验公式要求橡胶材料结构的外形简单规则，且计算结果往往与实际值存在一定误差；试验 测试的结果较为精确，但需要耗费较高的人力和物力成本，并不适合在具有反复迭代性质的 设计研发阶段采用。以有限元方法为基础的仿真分析技术是具有良好应用前景的橡胶材料结 构动态性能的预测手段，但由于橡胶材料本身复杂的动态特性以及结构在实际工作过程中复 杂的受力情况，在高频激励下的有限元分析过程往往难以获得满足工程精度需要的结果。

对于橡胶材料结构来说，实际的工作情况通常是在准静态负载下受到频率和幅值在一定 范围内不断变化的动态激励的过程。而橡胶材料在准静态载荷下表现出的是超弹性大变形特 性；在一定的预载和激励幅值下其动态特性又随激励频率发生变化，表现出频变动态特性； 在一定的预载和激励频率下其动态特性又随激励幅值发生变化，表现出幅变动态特性。橡胶 材料结构的实际性能通常是在上述复合载荷作用下的综合表现结果。而目前常用的描述橡胶 材料性能的本构关系模型主要有超弹性模型、粘弹性模型、弹塑性模型以及复合叠加模型等 几种：超弹性模型可以描述橡胶材料的非线性大变形特性，粘弹性模型可以描述橡胶材料的 频变动态特性，弹塑性模型可以描述橡胶材料的幅变动态特性。但有限元分析过程需要对橡 胶材料结构的实际加载过程进行完整的仿真后才有可能得到满足工程精度需要的结果，因此 采用上述单一一种材料模型是难以满足实际需求的。有些方法建立了较复杂的非线性本构关 系模型可以同时描述两种以上的橡胶材料性能，但这类材料模型通常并未内置在常用的有限 元软件中，需要进行二次开发才能使用，通用性不佳；还有些方法采用了复合的材料模型进 行橡胶材料结构的建模，但是这类模型需要同时构建超弹性、粘弹性和弹塑性等多种本构关 系模型，建模与计算完成后又要进行计算结果的叠加，而材料参数的获取和结果的叠加过程 均较为复杂且有一定难度，实际应用较少。

因此，虽然目前有关橡胶材料本构关系及其动态性能分析方法的研究内容较为丰富，但 是在实际应用时仍然存在诸多不足，需要开发一种可直接应用于橡胶材料结构高频动态特性 的有限元分析过程、材料参数的获取方法简便易操作、试验和计算流程清晰明确、具有实际 应用价值且能够满足工程精度需要的分析与预测方法。

三、发明内容

本发明的目的是弥补现有橡胶材料结构动态性能的分析与预测方法存在的不足，提供一 种橡胶材料结构动态性能的分步式分析与预测方法。

本发明针对橡胶材料结构在高频、小振幅激励条件下的实际加载过程和动态行为，提出 采用分步式分析与预测方法对橡胶材料结构进行高频动态特性的有限元分析与预测，以分步 处理的方式综合考虑橡胶材料的准静态大变形特性、频变动态特性和幅变动态特性，其技术 方案包括以下试验预测步骤：

第一步，橡胶材料超弹性本构关系的拟合

(1)首先通过橡胶拉压试件的准静态弹性特性试验获取橡胶材料的超弹性应力-应变关 系：采用与目标橡胶材料结构中相同批次的橡胶材料制取的圆柱形试块和哑铃形试片，在液 压伺服实验台上进行准静态加载，记录加载的载荷和试件的变形，测得不同伸长比λ下的应 力值σ；

(2)根据测出的不同伸长比λ下的应力σ，采用多元线性回归将实验数据拟合为如下形式：

σ＝2[C₁(λ²-λ^-1)+C₂(λ-λ^-2)]

其中σ为应力，λ为伸长比，λ＝1+ε，ε为材料的应变。C₁和C₂是拟合得到的特征参数， 将其作为第一步的输出数据，输入第三步；

第二步，不同应变幅值下橡胶材料的粘弹性特性试验

当前，由一个弹簧单元与若干个Maxwell单元并联得到的广义Maxwell模型是目前得到 广泛采用的描述橡胶材料粘弹性特性的材料模型，其应力-应变关系如下：

$\sigma \left(t\right)={\int }_0^{t}E(t-\tau )\frac{dϵ\left(\tau \right)}{d\tau }d\tau$

其中，时域松弛模量

$E\left(t\right)=E_{\infty }(1+\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{E}_i{e}^{-{\alpha }_{i}t})$

其中e为自然常数，t为时间，E_∞为材料的准静态弹性模量，E_i为广义Maxwell模型内 弹簧-粘壶单元中的各弹簧刚度，i＝1,2,…,N，N为广义Maxwell模型中的弹簧-粘壶单元 数目，工程中可初步取为3。α_i＝E_i/η_i，η_i为广义Maxwell模型内弹簧-粘壶单元中的各 粘壶的粘度。E_∞、E_i和α_i通常可以通过橡胶材料的松弛特性试验拟合得到，也是有限元计 算时所需输入的广义Maxwell材料模型参数。但是研究表明，通过松弛特性试验拟合得到的 广义Maxwell模型可以体现橡胶材料的动态特性随激励频率的变化关系，却难以描述动态特 性随激励幅值的变化关系；

橡胶材料的频域动态特性参数主要包括材料的贮能模量E′(ω)、损耗模量E″(ω)、动刚 度E(ω)和滞后角等，其中ω为圆频率。由于高频激励具有频率高、幅值小的特点， 对于实际的橡胶材料结构来说，其高频激励幅值与结构在激励方向上的有效可变形尺寸之比 (可定义为动态变形率，数值上等于材料的应变)通常局限在一个较小的范围，如20％以内。 试验表明，在确定的激励频率下和较小的变形率范围内，橡胶材料的贮能模量E′(ω)和损耗 模量E″(ω)均随激励幅值呈近似线性关系变化；

因此，可以通过如下方法获取能够同时反映动态特性随激励频率和幅值变化的可用于有 限元计算的广义Maxwell材料模型参数E_∞、E_i和α_i：

(1)利用橡胶剪切试件在液压伺服实验台上进行准静态试验，获取橡胶材料的准静态剪切 模量G_∞；

(2)利用橡胶剪切试件在液压伺服实验台上进行若干组动态特性试验，获取橡胶材料在若 干组不同的激励幅值x下，也就是若干组不同应变下的剪切损耗模量G″(ω)随激励频率的变 化关系；

G_∞和G″(ω)作为第二步的输出数据，将其输入第三步；

第三步，橡胶材料粘弹性本构关系的拟合

(1)在常用的有限元分析软件(如Ansys、Abaqus、Adina等)中对目标橡胶材料结构的 三维CAD模型进行约束和网格划分。首先赋予橡胶材料通过拟合得到的超弹性本构模型参数 C₁和C₂，并对模型施加准静态预载荷；

(2)准静态加载结束后，根据拟施加的位移激励的幅值计算得到动态变形率，数值上等于 材料应变：

动态变形率＝位移激励的幅值/当前状态下橡胶材料结构在激励方向上的有效可变形尺寸

根据该变形率，以已获取的不同应变下剪切损耗模量G″(ω)随激励频率的变化关系为基 础，采用线性插值的方法得到对应动态变形率下橡胶材料的剪切损耗模量G″(ω)随激励频率 的变化关系，并进一步通过材料力学关系换算得到弹性损耗模量E″(ω)＝2(1+μ)G″(ω)随 激励频率的变化关系；

(3)采用非线性最小二乘方法将损耗模量E″(ω)随激励频率变化的数据拟合为以下形式：

$E^{\prime \prime }\left(\omega \right)=E_{\infty }\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{E_i{\mathrm{\omega \alpha }}_i}{{\omega }^2+{\alpha }_i^2}$

其中准静态弹性模量E_∞＝2(1+μ)G_∞οE_∞、E_i和α_i即为有限元计算时所需输入的橡 胶粘弹性本构模型——广义Maxwell模型的参数，作为第三步的输出数据，将其输入第四步；

第四步，橡胶材料结构动态性能的分析预测

(1)在保持橡胶材料结构的有限元模型内各个单元的当前应力和应变状态的情况下，进一 步赋予橡胶材料上述动态变形率下的广义Maxwell模型参数，并在模型的预载荷上叠加正弦 动态载荷，进行结构动态特性的计算，得到当前激励频率和幅值下橡胶材料结构的载荷—位 移关系。设T为动态载荷在正负峰值之间的幅值，D为动态位移在正负峰值之间的幅值，O 为载荷—位移曲线包围的面积。根据复模态理论，橡胶材料结构在当前激励幅值和频率下的 动刚度K和滞后角ψ为：

K＝T/D

$\psi ={\sin }^{-1}\left(\frac{4O}{\pi TD}\right)$

(2)保持激励幅值不变，改变激励频率，可以获得当前激励幅值下的动刚度—频率特性 K(ω)和滞后角—频率特性ψ(ω)，即橡胶材料结构的动态特性。若需要获取其它激励幅值下 的动态特性，可从第三步的子步骤(2)开始重复第三步和第四步的过程，即可得到不同激励幅 值下橡胶材料结构的动刚度特性和滞后角特性；K(ω)和ψ(ω)即为输出数据。

优异效果：本方法能够同时考虑橡胶材料在大变形状态下的超弹性特性、在动态激励下 的频变动态特性和在动态激励下的幅变动态特性，从而可以更加精确的分析橡胶材料结构在 高频激励下的动态行为；同时该方法的计算分析过程可以直接利用常用有限元分析软件内置 的材料本构关系模型，无需在有限元软件中进行二次开发，从而可以更加简便快捷的利用有 限元分析技术对橡胶材料结构的实际加载和激励过程进行完整的模拟；计算时仅涉及到超弹 性和粘弹性2种橡胶材料模型，因此需要通过试验建立的材料模型数量相对较少；计算结果 即为最终结果，无需进行计算结果的叠加，降低了计算难度，减少了求解时间；实际的建模 与分析过程更加简单、明确、易于理解和操作，预测精度更高，可以满足工程分析的需要。

四、附图说明

图1为本方法试验预测步骤整体系统框图；

图2为一种车用橡胶隔振器样品结构示意图；

图3为圆柱形试块的结构示意图；

图4为哑铃形试片的结构示意图；

图5为50-200％的应力-伸长比曲线图表；

图6为橡胶剪切试件的结构示意图的主视图；

图7为橡胶剪切试件的结构示意图的侧视图；

图8为剪切试验装置结构示意图；

图9为剪切损耗模量G″(ω)随激励频率的变化关系图表；

图10为橡胶隔振器的有限元模型；

图11为应变为0.08时橡胶材料的剪切损耗模量随频率的变化关系图表；

图12为计算得到的橡胶隔振器的载荷—位移关系图表；

图13为橡胶隔振器在不同激励幅值下的动刚度特性图表；

图14为橡胶隔振器在不同激励幅值下的滞后角特性图表。

附图标记：

1、液压伺服实验台主体2、位移传感器3、作动器4、上夹具5、橡胶剪切试件 5-1、金属内骨架5-2、金属左骨架5-3、金属右骨架5-4、左橡胶块5-5、右橡胶块 6、下夹具7、力传感器8、金属上骨架9、金属下骨架10、橡胶材料软垫

五、具体实施方式

下面结合附图详细描述本发明的具体实施过程。

对如图2所示的一个橡胶隔振器进行动态性能的分析与预测，并与实验测试结果进行了 对比。橡胶隔振器的金属上、下骨架分别与橡胶材料软垫通过硫化粘接在一起。本发明包括 以下试验预测步骤：

第一步，橡胶材料超弹性本构关系的拟合

(1)首先通过橡胶拉压试件的准静态弹性特性试验获取橡胶材料的超弹性应力-应变关 系：采用与目标橡胶材料结构中相同批次的橡胶材料，制取如图3所示的圆柱形试块；如图 4所示的哑铃形试片。在液压伺服实验台上进行准静态加载，记录加载的载荷和试件的变形， 测得不同伸长比λ下的应力值σ。通过圆柱形试块的压缩试验获取橡胶材料50-100％的压缩应 力-伸长比关系，通过哑铃形试片的拉伸试验获取橡胶材料100-200％的拉伸应力-伸长比关系。 将2组试验数据组合成为50-200％的应力-伸长比关系如图5所示；

(2)根据测出的不同伸长比λ下的应力σ，采用多元线性回归将50-200％的应力-伸长比实 验数据拟合为如下形式

σ＝2[C₁(λ²-λ^-1)+C₂(λ-λ^-2)]

其中σ为应力，λ为伸长比，λ＝1+ε，ε为材料的应变。可得C₁＝41422Pa和C₂＝842661Pa。 特征参数C₁和C₂是准静态有限元分析时所需输入的Mooney-Rivlin超弹性材料模型参数。如 图1所示，将C₁和C₂作为第一步的输出数据，输入第三步的子步骤(1)。

第二步，不同应变幅值下橡胶材料的粘弹性特性试验

(1)如图6所示，利用橡胶剪切试件在液压伺服实验台1上进行准静态剪切试验，获取橡 胶材料的准静态剪切模量G_∞。如图7、图8所示，橡胶剪切试件的金属内骨架5-1的两侧分 别与左橡胶块5-4的右侧和右橡胶块5-5的左侧通过硫化粘接在一起，左橡胶块5-4的左侧与 金属左骨架5-2的右侧通过硫化粘接在一起，右橡胶块5-5的右侧与金属右骨架5-3的左侧通 过硫化粘接在一起。设A＝a·b＝90mm²为剪切试件上单一橡胶块的剪切面积，t₀＝5mm为橡胶 块的厚度。通过准静态剪切试验测试得到位移s和力F，准静态加载结束时位移s＝5mm，力 F＝91N。则剪切应变γ＝tan^-1s/t₀＝0.79，剪切应力τ＝F/2A＝0.51MPa。从而可以计算得到 G_∞＝τ/γ＝0.64MPa；

(2)如图6所示，利用橡胶剪切试件在液压伺服实验台1上进行若干组动态特性试验，获 取橡胶材料在若干组不同的激励幅值x下，也就是若干组不同应变下的剪切损耗模量G″(ω)随 0-200Hz的激励频率的变化关系。激励幅值x可在20％的应变范围内按等差级数选取，如选 取0.05d、0.1d、0.15d、0.2d四组。测试时，在作动器端分别施加选定激励幅值下不同频率的 正弦位移激励信号，记录固定端力传感器的信号。实验台可以直接输出橡胶剪切试件的损耗 刚度的计算结果。由于试件是由两块橡胶组成的左右对称结构，传感器测量到的载荷是单一 橡胶块的2倍，因此单一橡胶块的剪切损耗刚度K″(ω)随激励频率的变化关系可在实验台输 出结果的基础上乘以1/2得到。则橡胶材料的剪切损耗模量

$G^{\prime \prime }\left(\omega \right)=\frac{{\mathrm{xK}}^{\prime \prime }\left(\omega \right)}{2{\mathrm{Atan}}^{-1}(x/t_0)}$

从而得到橡胶材料的剪切损耗模量G″(ω)随激励频率的变化关系如图9所示，其中起始频 率为2Hz；

如图1所示，G_∞和G″(ω)作为第二步的输出数据，将G_∞输入第三步的子步骤(3)，将G″(ω) 输入第三步的子步骤(2)。

第三步，橡胶材料粘弹性本构关系的拟合

(1)在有限元分析软件Adina中对橡胶隔振器的三维CAD模型进行约束和网格划分。首 先赋予橡胶材料通过拟合得到的超弹性本构模型参数C₁和C₂，得到如图10所示橡胶隔振器 的有限元模型。对模型施加垂向准静态预载荷1600N，计算得到其变形和应力情况。

(2)准静态加载结束后，根据拟施加的位移激励的幅值计算得到动态变形率，数值上等于 材料应变：

动态变形率＝位移激励的幅值/当前状态下橡胶材料结构在激励方向上的有效可变形尺寸

拟施加的垂向位移激励的幅值A为2mm。通过测量得到当前状态下橡胶隔振器的有限元 模型中橡胶垫在激励方向上的厚度S为25mm，则

动态变形率＝A/S*100％＝8％

该变形率介于0.05和0.1之间，根据该变形率，以已获取的在0.05d和0.1d的激励幅值 下剪切损耗模量G″(ω)随激励频率的变化关系为基础，采用线性插值的方法得到应变在0.08 时橡胶材料的剪切损耗模量G″(ω)随激励频率的变化关系，如图11所示，其中起始频率为 2Hz。并进一步通过材料力学关系换算得到弹性损耗模量E″(ω)＝2(1+μ)G″(ω)随激励频 率的变化关系，其中μ取0.49。

(3)采用非线性最小二乘方法将损耗模量E″(ω)随激励频率变化的数据拟合为以下形式

$E^{\prime \prime }\left(\omega \right)=E_{\infty }\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{E_i{\mathrm{\omega \alpha }}_i}{{\omega }^2+{\alpha }_i^2}$

其中准静态弹性模量E_∞＝2(1+μ)G_∞＝1.91MPa，N取3。拟合后得到 E₁＝4.98E-01、E₂＝1.05E+01、E₃＝3.08E-01、α₁＝1.36E+03、 α₂＝8.50E-02、α₃＝7.64E+01。E_∞、E_i和α_i即为有限元计算时所需进一步输入的 橡胶材料粘弹性本构模型——广义Maxwell模型的参数。如图1所示，将E_∞、E_i和α_i作为 第三步的输出数据，输入第四步；

第四步，橡胶材料结构动态性能的分析预测

(1)在保持橡胶材料结构的有限元模型内各个单元的当前应力和应变状态的情况下，进一 步赋予橡胶材料上述动态变形率下的广义Maxwell模型参数，并在模型的预载荷上叠加正弦 动态载荷x＝Asinωt，进行结构动态特性的计算，得到当前激励频率和幅值下橡胶材料结构的 载荷—位移关系如图12所示。其中动态力在正负峰值之间的幅值T＝2043N，动态位移在正 负峰值之间的幅值D＝4.0mm，载荷—位移变化关系所包围的面积O＝523N·mm。根据复模态 理论，橡胶隔振器在当前激励幅值和频率下的动刚度K和滞后角ψ为：

$K=\frac{T}{D}=511N/mm$

$\psi ={\sin }^{-1}\left(\frac{4O}{\pi TD}\right)=0.0816$

(2)保持激励幅值和其他参数不变，仅改变载荷的激励频率重新计算，可以获得当前激励 幅值下的动刚度—频率特性K(ω)和滞后角—频率特性ψ(ω)，即橡胶隔振器的动态特性如图 13和图14所示。改变激励幅值，并从第三步的子步骤(2)开始重复第三步和第四步的过程， 即可得到不同激励幅值下橡胶隔振器的动刚度特性(图13)和滞后角特性(图14)。橡胶隔 振器在不同激励幅值下K(ω)和ψ(ω)随激励频率的变化关系即为输出数据。

为进一步验证该方法的有效性，针对该橡胶隔振器进行了正弦激励下的动态特性试验， 试验结果和计算结果的对比如图13和图14所示。若采用常见的Mooney-Rivlin超弹性材料 模型进行橡胶材料结构动态特性的计算，则其动刚度为恒定值，不随频率和激励幅值变化； 滞后角恒为0，也不随频率和激励幅值变化，这是由于未考虑材料的阻尼效应而带来的必然 结果。因此，由本系统提供的计算结果与试验结果更加接近，既可以反映橡胶材料结构的频 变和幅变动态特性，又可以提供满足工程计算精度要求的结果。