一种全局稳定的电机伺服系统自适应输出反馈鲁棒控制方法

摘要

本发明提供一种全局稳定的电机伺服系统自适应输出反馈鲁棒控制方法，属于电机伺服控制领域。本发明针对电机位置伺服系统的特点，建立了电机位置伺服系统模型；本发明设计的基于一致鲁棒精确微分器的电机间接自适应鲁棒输出反馈控制器，能够准确估计出系统状态并用于控制器设计，避免了测量噪声对控制器的影响同时，能有效解决电机伺服系统的参数不确定性和不确定非线性问题；本发明所设计的全局稳定的电机伺服系统自适应输出反馈鲁棒控制器能保证电机伺服系统的位置输出能准确地跟踪期望的位置指令；本发明简化了控制器设计，更利于在工程实际中应用。

说明书

技术领域

本发明涉及一种电机伺服系统控制技术领域，具体涉及一种全局稳定的电机伺服系统自 适应输出反馈鲁棒控制方法。

背景技术

直流电机具有响应快速、起动转矩大、从零转速至额定转速具备可提供额定转矩的性能 等优点，因而在工农业生产，交通运输，国防，航空航天，医疗卫生，商务办公设备以及家 用电器中应用广泛。随着工业发展的需求，高精度的运动控制已成为现代直流电机的主要发 展方向。然而，为电机伺服系统设计高性能的控制器时，设计人员很可能会遇到很多的模型 不确定性，包括结构不确定性(参数不确定性)和非结构不确定性等未建模的非线性。这些 不确定性因素可能会严重恶化能够取得的控制性能，从而导致低控制精度，极限环震荡，甚 至不稳定性。对于已知的非线性，可以通过反馈线性化技术处理。但是，无论动态非线性和 参数识别的如何准确的数学模型，都不可能得到实际非线性系统的整个非线性行为和确切的 参数，进而进行完美的补偿。始终存在着不能够用明确的函数来模拟的参数偏差和未建模非 线性。这些不确定性因素增加了控制系统的设计难度。为了提高电机系统的跟踪性能，许多 先进的非线性控制器进行了研究，如鲁棒自适应控制，自适应鲁棒控制(ARC)，滑模控制等 等。然而，所有上述方法中均基于全状态反馈开展控制器设计，也就是说，在运动控制中， 除了需要位置信号，还需要速度和/或加速度信号。但在许多实际系统中，受机械结构、体积、 重量及成本限制，往往仅位置信息可知。此外，即便速度及加速度信号可以获得，也存在严 重的测量噪声，进而恶化全状态反馈控制器可以获得的性能。非线性控制应用中所存在的这 些实际问题，导致了PID控制至今在电机控制领域仍处于主导地位。但同时不可否认，在现 代工业时代的新需求下，PID越来越难以满足日益追求的高性能控制。因此，迫切需要设计 非线性输出反馈控制策略。在线性系统中，这个问题可以利用分离设计原则解决，即对可观 可控的线性系统，分别设计状态反馈控制器和状态观测器就可以获得系统的输出反馈控制器。 但在非线性系统，由于分离原则不再成立，利用输出反馈实现系统的镇定问题就是一个非常 困难问题，近年来，非线性系统的输出反馈镇定问题得到了广泛的关注。只有系统输出是可 量测的条件下如何实现控制系统的镇定是控制理论一个重要的问题。

发明内容

本发明为解决电机位置伺服系统中只有位置状态可知情况下的参数确定性和不确定非线 性问题，进而提出一种全局稳定的电机伺服系统自适应输出反馈鲁棒控制方法。

为实现上述目的，本发明所采用的技术方案如下：

一种全局稳定的电机伺服系统自适应输出反馈鲁棒控制方法，包括以下步骤：

步骤一、建立电机位置伺服系统模型，根据牛顿第二定律，电机惯性负载的动力学模型 方程为：

$m\stackrel{··}{y}=k_{f}u-B\stackrel{·}{y}-B_1{F}_f\left(\stackrel{·}{y}\right)-f(y,\stackrel{·}{y},t)---\left(1\right)$

式中y表示角位移，m表示惯性负载，k_f表示扭矩常数，u是系统控制输入，B代表粘性 摩擦系数，B₁代表连续摩擦系统,代表连续静摩擦模型，f代表其他未建模干扰，包括 非线性摩擦、外部干扰以及未建模动态；

基于连续的静摩擦模型，其方程为：

$F_f\left(\stackrel{·}{y}\right)=l_1\tanh \left(s_1\stackrel{·}{y}\right)+l_2[\tanh \left(s_2\stackrel{·}{y}\right)-\tanh \left(s_3\stackrel{·}{y}\right)]---\left(2\right)$

其中l₁和l₂表示摩擦水平；s₁,s₂,s₃是摩擦形状系数；

连续可微函数tanh(y)满足以下性质

$0<\frac{\partial \tanh \left(y\right)}{\partial y}<1---\left(3\right)$

把(1)式写成状态空间形式，如下：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2={\theta }_{1}u-{\theta }_2{x}_2-{\theta }_3{F}_f\left(x_2\right)-d(x,t)\end{array}\right)---\left(4\right)$

其中x＝[x₁,x₂]^T表示位置和速度的状态向量；参数集θ＝[θ₁,θ₂,θ₃]^T， 其中θ₁＝k_f/m，θ₂＝B/m，θ₃＝B₁/m，表示集中干扰；

系统是结构不确定性的，且系统还有非结构不确定性d(x,t)，但系统的未建模动态和干扰 总是有界的，因而，以下假设总是成立的：

假设1：结构不确定性θ满足：其中θ_min＝[θ_1min,θ_2min,θ_3min]^T和θ_max＝[θ_1max,θ_2max,θ_3max]^T，它们都是已知的，此外θ_1min>0,θ_2min>0,θ_3min>0

假设2：d(x,t)是有界的，即|d(x,t)|≤δ_d，其中δ_d已知；

假设3：指令信号y是二阶可导的且二阶导有界，即其中L已知；

步骤二、设计基于状态估计的电机自适应鲁棒输出反馈控制器，具体步骤如下：

步骤二(一)、配置带速率限制的投影自适应律结构

令表示θ的估计，表示θ的估计误差，即

定义一个非连续投影函数

其中i＝1,2,3；·_i代表矩阵·的第i项；

设计自适应律如下：

$\stackrel{·}{\hat{\theta }}=\mathrm{Pr}{\mathrm{oj}}_{\hat{\theta }}\left(\mathrm{\Gamma \tau }\right),\hat{\theta }\left(0\right)\in {\Omega }_{\theta }---\left(6\right)$

其中τ是自适应函数，Γ(t)＞0是连续的可微正对称自适应律矩阵；

由此自适应律，可得以下性质：

P1)参数估计值总在已知有界的Ω_θ集内，即对于任意t，总有因而由假设1 可得

${\theta }_{i\min }\le {\hat{\theta }}_i\left(t\right)\le {\theta }_{i\max },i=\mathrm{1,2},\forall t.---\left(7\right)$

P2)$\left(\begin{array}{cc}{\tilde{\theta }}^T[{\Gamma }^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\hat{\theta }}\left(\mathrm{\Gamma \tau }\right)-\tau ]\le 0& \forall \tau .\end{array}\right)---\left(8\right)$

步骤二(二)、构建电机的一致鲁棒精确微分器，对输出状态进行估计

由(4)设计一个高阶滑模微分器，如下：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2-c_1{\mu }_1\left({\hat{x}}_1\right)\\ {\stackrel{·}{\hat{x}}}_2=-c_2{\mu }_2\left({\hat{x}}_1\right)\end{array}\right)---\left(9\right)$

其中x₁，x₂分别表示输出位置，速度，分别为为x₁，x₂的估计值，c₁和c₂为可调 的正参数，函数和表达式如下：

$\left(\begin{array}{c}{\mu }_1\left({\tilde{x}}_1\right)=b_1{\left|{\tilde{x}}_1\right|}^{\frac{1}{2}}\mathrm{sign}\left({\tilde{x}}_1\right)+b_2{\left|{\tilde{x}}_1\right|}^{\frac{3}{2}}\mathrm{sign}\left({\tilde{x}}_1\right)\\ {\mu }_2\left({\tilde{x}}_1\right)=\frac{b_1^2}{2}\mathrm{sign}\left({\tilde{x}}_1\right)+2b_1{b}_2{\tilde{x}}_1+\frac{{3b}_2^2}{2}{\left|{\tilde{x}}_1\right|}^2\mathrm{sign}\left({\tilde{x}}_1\right)\end{array}\right)---\left(10\right)$

其中增益b₁,b₂>0,此外

$\mathrm{sign}(·)=\left(\begin{array}{c}1,\mathrm{if}·\ge 0\\ -1,\mathrm{if}·<0\end{array}\right)---\left(11\right)$

估计误差如下

${\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_1=-c_1{\mu }_1\left({\tilde{x}}_1\right)+{\tilde{x}}_2,{\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_2=-c_2{\mu }_2\left({\tilde{x}}_1\right)-\stackrel{··}{y}---\left(12\right)$

步骤二(三)、设计基于状态估计的电机自适应鲁棒输出反馈控制器

定义一组函数如下：

$\left(\begin{array}{c}{z}_2={\stackrel{·}{z}}_1+k_1{z}_1=x_2-x_{2\mathrm{eq}}\\ x_{2\mathrm{eq}}\stackrel{\Delta }{=}{\stackrel{·}{x}}_{1d}-k_1{z}_1\end{array}\right)---\left(19\right)$

其中z₁＝x₁-x_1d(t)是输出跟踪误差，k₁＞0是一个反馈增益，由于 G(s)＝z₁(s)/z₂(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，让z₁很小或趋近于零就是让z₂很小或趋 近于零，因此，控制器设计转变成让z₂尽可能小或趋近于零；

对式(19)微分并把式(4)代入，可得：

${\stackrel{·}{z}}_2={\theta }_{1}u-{\theta }_2{x}_2-{\theta }_3{F}_f\left(x_2\right)-{\stackrel{·}{x}}_{2\mathrm{eq}}-d(x,t)---\left(20\right)$

基于状态估计的控制器如下：

$\left(\begin{array}{c}u=(u_a+u_s)/{\hat{\theta }}_1\\ u_a={\widehat{\stackrel{·}{x}}}_{2\mathrm{eq}}+{\hat{\theta }}_2{\hat{x}}_2+{\hat{\theta }}_3{F}_f\left({\hat{x}}_2\right)\\ u_s=-k_2({\hat{x}}_2-x_{2\mathrm{eq}})\end{array}\right)---\left(21\right)$

其中${\widehat{\stackrel{·}{x}}}_{2\mathrm{eq}}=k_1{\stackrel{·}{x}}_{1d}+{\stackrel{··}{x}}_{1d}-k_1{\hat{x}}_2,k_2>0$是一个反馈增益；

把式(21)代入式(20)，可得z₂的动态方程：

其中${\tilde{F}}_f=F_f\left({\hat{x}}_2\right)-F_f\left(x_2\right);$

由式(3)中的tanh函数性质及中值定理可得：

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{F}}_f=F_f\left({\hat{x}}_2\right)-F_f\left(x_2\right)=l_1\tanh \left(s_1{\hat{x}}_2\right)-l_1\tanh \left(s_1{x}_2\right)+\\ l_2[\tanh \left(s_2{\hat{x}}_2\right)-\tanh \left(s_3{\hat{x}}_2\right)]-l_2[\tanh \left(s_2{x}_2\right)-\tanh \left(s_3{x}_2\right)]\\ \le (l_1{s}_1+l_2{s}_2+l_2{s}_3)\left|{\tilde{x}}_2\right|\end{array}\right)---\left(23\right)$

步骤三、调节控制器中u的参数k₁,k₂,b₁，b₂，c₁，c₂使系统满足控制性能指标。

本发明的有益效果是：本发明针对电机位置伺服系统的特点，建立了电机位置伺服系统 模型；本发明设计的基于一致鲁棒微分器的电机间接自适应鲁棒输出反馈控制器，对系统系 统状态进行估计并用于控制器设计，避免了测量噪声对控制器的影响同时，能有效解决电机 伺服系统的参数不确定性和不确定非线性问题，在上述干扰条件下系统控制精度满足性能指 标；本发明简化了控制器设计，仿真结果表明了其有效性。

应当理解，前述构思以及在下面更加详细地描述的额外构思的所有组合只要在这样的构 思不相互矛盾的情况下都可以被视为本公开的发明主题的一部分。另外，所要求保护的主题 的所有组合都被视为本公开的发明主题的一部分。

结合附图从下面的描述中可以更加全面地理解本发明教导的前述和其他方面、实施例和 特征。本发明的其他附加方面例如示例性实施方式的特征和/或有益效果将在下面的描述中显 见，或通过根据本发明教导的具体实施方式的实践中得知。

附图说明

附图不意在按比例绘制。在附图中，在各个图中示出的每个相同或近似相同的组成部分 可以用相同的标号表示。为了清晰起见，在每个图中，并非每个组成部分均被标记。现在， 将通过例子并参考附图来描述本发明的各个方面的实施例，其中：

图1是电机执行装置示意图。

图2是控制策略图。

图3是控制器输入电压u曲线示意图。

图4是参数估计曲线示意图。

图5是系统状态估计和估计误差曲线示意图。

图6是设计控制器和PID控制器跟踪误差曲线示意图。

具体实施方式

为了更了解本发明的技术内容，特举具体实施例并配合所附图式说明如下。

在本公开中参照附图来描述本发明的各方面，附图中示出了许多说明的实施例。本公开 的实施例不必定意在包括本发明的所有方面。应当理解，上面介绍的多种构思和实施例，以 及下面更加详细地描述的那些构思和实施方式可以以很多方式中任意一种来实施，这是应为 本发明所公开的构思和实施例并不限于任何实施方式。另外，本发明公开的一些方面可以单 独使用，或者与本发明公开的其他方面的任何适当组合来使用。

下面结合附图1、图2所示说明本实施方式，本实施方式提出的一种基于状态观测的电 机输出反馈控制方法的具体步骤如下：

步骤一、建立电机位置伺服系统模型，根据牛顿第二定律，电机惯性负载的动力学模型 方程为：

$m\stackrel{··}{y}=k_{f}u-B\stackrel{·}{y}-B_1{F}_f\left(\stackrel{·}{y}\right)-f(y,\stackrel{·}{y},t)---\left(1\right)$

式中y表示角位移，m表示惯性负载，k_f表示扭矩常数，u是系统控制输入，B代表粘性摩擦 系数，B₁代表连续摩擦系统,代表连续静摩擦模型，f代表其他未建模干扰，比如非线 性摩擦，外部干扰以及未建模动态。

摩擦学的研究者提出许多摩擦模型，但是这些摩擦模型大多是不连续的，实际上，伺服 系统中存在的摩擦不可能是间断的，因此本发明采用一种连续的静摩擦模型，其方程为：

$F_f\left(\stackrel{·}{y}\right)=l_1\tanh \left(s_1\stackrel{·}{y}\right)+l_2[\tanh \left(s_2\stackrel{·}{y}\right)-\tanh \left(s_3\stackrel{·}{y}\right)]---\left(2\right)$

其中l₁和l₂表示摩擦水平；s₁,s₂,s₃是摩擦形状系数。连续可微函数tanh(y)满足以下性质

$0<\frac{\partial \tanh \left(y\right)}{\partial y}<1---\left(3\right)$

此性质将会在后面的控制器设计中使用，以保证控制系统的全局稳定性。

把(1)式写成状态空间形式，如下：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2={\theta }_{1}u-{\theta }_2{x}_2-{\theta }_3{F}_f\left(x_2\right)-d(x,t)\end{array}\right)---\left(4\right)$

其中x＝[x₁,x₂]^T表示位置和速度的状态向量。参数集θ＝[θ₁,θ₂,θ₃]^T，其中 θ₁＝k_f/m，θ₂＝B/m，θ₃＝B₁/m，表示集中干扰。一般情况下，由于系统参数 m,k_f,B和B₁是变化的，系统是结构不确定性的，虽然我们不知道系统的具体信息，但系统 的大致信息是可以知道的。此外，系统还有非结构不确定性d(x,t)，显然它不能明确建模的， 但系统的未建模动态和干扰总是有界的。因而，以下假设总是成立的：

假设1：结构不确定性θ满足：其中θ_min＝[θ_1min,θ_2min,θ_3min]^T和θ_max＝[θ_1max,θ_2max,θ_3max]^T，它们都是已知的，此外θ_1min>0,θ_2min>0,θ_3min>0。

假设2：d(x,t)是有界的，即｜d(x,t)｜≤δ_d，其中δ_d已知。

假设3：指令信号y是二阶可导的且二阶导有界，即其中L已知。

步骤二、设计基于状态估计的电机自适应鲁棒输出反馈控制器，具体步骤如下：

步骤二(一)、带速率限制的投影自适应律结构

令表示θ的估计，表示θ的估计误差，即定义一个非连续投影函数

其中i＝1,2,3；·_i代表矩阵·的第i项。

设计自适应律如下：

$\stackrel{·}{\hat{\theta }}=\mathrm{Pr}{\mathrm{oj}}_{\hat{\theta }}\left(\mathrm{\Gamma \tau }\right),\hat{\theta }\left(0\right)\in {\Omega }_{\theta }---\left(6\right)$

其中τ是自适应函数，Γ(t)＞0是连续的可微正对称自适应律矩阵。由此自适应律，可得以下 性质：

P1)参数估计值总在已知有界的Ω_θ集内，即对于任意t，总有因而由假设1 可得

${\theta }_{i\min }\le {\hat{\theta }}_i\left(t\right)\le {\theta }_{i\max },i=\mathrm{1,2},\forall t.---\left(7\right)$

P2)$\left(\begin{array}{cc}{\tilde{\theta }}^T[{\Gamma }^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\hat{\theta }}\left(\mathrm{\Gamma \tau }\right)-\tau ]\le 0& \forall \tau .\end{array}\right)---\left(8\right)$

步骤二(二)、构建电机的一致鲁棒精确微分器，对输出状态进行估计。

由(4)可以设计一个高阶滑模微分器，如下：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2-c_1{\mu }_1\left({\hat{x}}_1\right)\\ {\stackrel{·}{\hat{x}}}_2=-c_2{\mu }_2\left({\hat{x}}_1\right)\end{array}\right)---\left(9\right)$

其中x₁，x₂分别表示输出位置，速度，分别为为x₁，x₂的估计值。c₁和c₂为可调的正 参数。函数和表达式如下：

$\left(\begin{array}{c}{\mu }_1\left({\tilde{x}}_1\right)=b_1{\left|{\tilde{x}}_1\right|}^{\frac{1}{2}}\mathrm{sign}\left({\tilde{x}}_1\right)+b_2{\left|{\tilde{x}}_1\right|}^{\frac{3}{2}}\mathrm{sign}\left({\tilde{x}}_1\right)\\ {\mu }_2\left({\tilde{x}}_1\right)=\frac{b_1^2}{2}\mathrm{sign}\left({\tilde{x}}_1\right)+2b_1{b}_2{\tilde{x}}_1+\frac{{3b}_2^2}{2}{\left|{\tilde{x}}_1\right|}^2\mathrm{sign}\left({\tilde{x}}_1\right)\end{array}\right)---\left(10\right)$

其中增益b₁,b₂>0,此外

$\mathrm{sign}(·)=\left(\begin{array}{c}1,\mathrm{if}·\ge 0\\ -1,\mathrm{if}·<0\end{array}\right)---\left(11\right)$

估计误差如下

${\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_1=-c_1{\mu }_1\left({\tilde{x}}_1\right)+{\tilde{x}}_2,{\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_2=-c_2{\mu }_2\left({\tilde{x}}_1\right)-\stackrel{··}{y}---\left(12\right)$

定理1:根据式(9)，如下定义李雅普诺夫函数:

其中矩阵P是对称正定矩阵。存在P＝P^T>0,选择合适的c₁,c₂,c₃使如下矩 阵满足

$\left(\begin{array}{cc}{A}^{T}P+\mathrm{PA}+c_{3}I+{4L}^2{C}^{T}C& \mathrm{PB}\\ B^{T}P& -1\end{array}\right)\le 0---\left(14\right)$

其中$(c_1,c_2)\in \{(c_1,c_2)\in R^2|0<c_1<2\sqrt{L},c_2>\frac{c_1^2}{4}+\frac{{4L}^2}{c_1^2}\}\cup \{(c_1,c_2)\in R^2|c_1>2\sqrt{L},c_2>2L\},$

$A=\left(\begin{array}{cc}-c_1& 1\\ -c_2& 0\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right).$

那么微分器能够保证状态的准确估计，李雅普诺夫函数的导数满足如下不等式

${\stackrel{·}{V}}_1\le -{\gamma }_1(P,c_3,b_1)V_1^{\frac{1}{2}}\left(\tilde{x}\right)-{\gamma }_2(P,c_3,b_2){\left|x_1\right|}^{\frac{1}{2}}{V}_1\left(\tilde{x}\right)---\left(15\right)$

其中γ₁(P,c₃)和γ₂(P,c₃)正数且${\gamma }_1(P,c_3)\stackrel{\Delta }{=}\frac{b_1^2{c}_3}{2{\lambda }_{\max }^{1/2}\left\{P\right\}},{\gamma }_2(P,c_3)\stackrel{\Delta }{=}\frac{{3b}_2{c}_3}{{2\lambda }_{\max }\left\{P\right\}}.$

这表明式(12)的轨迹曲线开始于初始误差并在有限时间T₀内到达原点,T₀满足如下不等式

$T_0\le \frac{{4\lambda }_{\max }^{1/2}\left\{P\right\}}{b_1^2{c}_3}{V}_1^{1/2}\left(\tilde{x}\left(0\right)\right)---\left(16\right)$

证明:由于${\mu }_2\left({\tilde{x}}_1\right)={\mu }_1^{\prime }\left({\tilde{x}}_1\right){\mu }_1\left({\tilde{x}}_1\right),{\mu }_1^{\prime }\left({\tilde{x}}_1\right)=(\frac{b_1}{2{|{\tilde{x}}_1|}^{1/2}}+\frac{3}{2}{b}_2{\left|{\tilde{x}}_1\right|}^{\frac{1}{2}}),$那么，式(12)可以写成

代入由式(17)可得

此外,由不等式及 那么李雅普诺夫函数满足

从式(18)可得，如果则有因此，是有限时间收敛到 原点的，收敛时间满足式(16)。

步骤二(三)、设计基于状态估计的电机自适应鲁棒输出反馈控制器

定义一组函数如下：

$\left(\begin{array}{c}{z}_2={\stackrel{·}{z}}_1+k_1{z}_1=x_2-x_{2\mathrm{eq}}\\ x_{2\mathrm{eq}}\stackrel{\Delta }{=}{\stackrel{·}{x}}_{1d}-k_1{z}_1\end{array}\right)---\left(19\right)$

其中z₁＝x₁-x_1d(t)是输出跟踪误差，k₁＞0是一个反馈增益。由于 G(s)＝z₁(s)/z₂(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，让z₁很小或趋近于零就是让z₂很小或趋 近于零。因此，控制器设计转变成让z₂尽可能小或趋近于零。对式(19)微分并把式(4)代入， 可得：

${\stackrel{·}{z}}_2={\theta }_{1}u-{\theta }_2{x}_2-{\theta }_3{F}_f\left(x_2\right)-{\stackrel{·}{x}}_{2\mathrm{eq}}-d(x,t)---\left(20\right)$

基于状态估计的控制器如下：

$\left(\begin{array}{c}u=(u_a+u_s)/{\hat{\theta }}_1\\ u_a={\widehat{\stackrel{·}{x}}}_{2\mathrm{eq}}+{\hat{\theta }}_2{\hat{x}}_2+{\hat{\theta }}_3{F}_f\left({\hat{x}}_2\right)\\ u_s=-k_2({\hat{x}}_2-x_{2\mathrm{eq}})\end{array}\right)---\left(21\right)$

其中${\widehat{\stackrel{·}{x}}}_{2\mathrm{eq}}=k_1{\stackrel{·}{x}}_{1d}+{\stackrel{··}{x}}_{1d}-k_1{\hat{x}}_2,k_2>0$是一个反馈增益.

把式(21)代入式(20)，可得z₂的动态方程：

其中由式(3)中的tanh函数性质及中值定理可得

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{F}}_f=F_f\left({\hat{x}}_2\right)-F_f\left(x_2\right)=l_1\tanh \left(s_1{\hat{x}}_2\right)-l_1\tanh \left(s_1{x}_2\right)+\\ l_2[\tanh \left(s_2{\hat{x}}_2\right)-\tanh \left(s_3{\hat{x}}_2\right)]-l_2[\tanh \left(s_2{x}_2\right)-\tanh \left(s_3{x}_2\right)]\\ \le (l_1{s}_1+l_2{s}_2+l_2{s}_3)\left|{\tilde{x}}_2\right|\end{array}\right)---\left(23\right)$

定理2：如果式(6)中的自适应函数如下定义：

由自适应律(24)并选择合适的反馈增益k₁和k₂使如下定义矩阵Λ正定

$\Lambda =\left(\begin{array}{cc}{k}_1& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& k_2-\frac{1}{2}\end{array}\right)---\left(25\right)$

那么设计的自适应输出反馈鲁棒控制器(21)具有如下性质：

A)所有信号是有界的。且如下定义的李雅普诺夫方程

$V=\frac{1}{2}{z}_1^2+\frac{1}{2}{z}_2^2---\left(26\right)$

满足如下的不等式

$V\le \exp (-\mathrm{\lambda t})V\left(0\right)+\frac{\sigma }{\lambda }[1-\exp (-\mathrm{\lambda t})]---\left(27\right)$

B)如果在某一时刻T₁后，系统不存在非线性不确定性，即d(x,t)＝0,当t>{T₀,T₁}_max时,除了能够得到定理2中的A)部分结论,还能保证系统的渐近跟踪性能，即当t→∞时 z₁(t),z₂(t)→0。

证明:微分式(26)并代入式(19),(22),可得

其中由此可以 得到式(27)。因此z₁和z₂有界的；状态估计也是有界的；由定义可知F_f是有界的。由式 (7)中的性质P1,系统参数也是有界的,因此系统控制输入u是有界的。由此，可以证明闭环 系统的所有信号都是有界的，得出定理2中的A)部分结论。

然后证明结论B),当t>{T₀,T₁}_max,d(x,t)＝0且有定理1可知，状态估计准确，即 如下定义李雅普诺夫函数V_s

$V_s=\frac{1}{2}{z}_1^2+\frac{1}{2}{z}_2^2+\frac{1}{2}{\tilde{\theta }}^T{\Gamma }^{-1}\tilde{\theta }---\left(29\right)$

微分V_s并代入式(6),(19),(22)and P2,可得

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{V}}_s=z_1{\stackrel{·}{z}}_1+z_2{\stackrel{·}{z}}_2+{\tilde{\theta }}^T{\Gamma }^{-1}\stackrel{·}{\hat{\theta }}\\ \le -k_1{z}_1^2+z_1{z}_2-(k_2-\frac{1}{2}{z}_2^2)+{\tilde{\theta }}^T({\Gamma }^{-1}\stackrel{·}{\hat{\theta }}-\tau )\\ =-\mathrm{\lambda V}=-W\end{array}\right)---\left(30\right)$

其中W非负数并且W∈L₂。由于所有信号有界，由式(19)和(22),可以得出是有界的且一致 连续的。由Barbalat’s引理可得,当t→∞时，有W→0，进而可以到的定理2中的B)部分结论。 因此控制器是收敛的，系统是稳定的。

步骤三、调节控制器中u的参数k₁,k₂,b₁，b₂，c₁，c₂使系统满足控制性能指标。

下面结合一个具体的实例说明上述过程示例性实现。

在仿真中取如下参数对系统进行建模：m＝0.01kg·m²,k_f＝5,B＝1.25N·s/m,B₁＝1,l₁＝0.1， l₂＝0.05，s₁＝700,s₂＝15,s₃＝1.5。取控制器参数k₁＝250,k₂＝200,σ₁＝1×10⁵，c₁＝12,c₂＝6,b₁＝1,b₂＝1, L＝5,k_p＝90,k_i＝45,k_d＝0.3；θ_min＝[10,10,10]^T,θ_max＝[1000,200,200]^T,Г＝diag{2300,640,350}，所选取的远离于参数的真值，以考核自适应控制律的效果。位 置角度输入信号单位rad。系统所加干扰f＝0.1sin(2πt)N·m。

控制律作用效果：结合图3的干扰作用下控制器输入电压u曲线，控制器输入电压满足 -10V～+10V的输入范围，符合实际应用。

结合图4的参数估计曲线、图5的系统状态估计和估计误差曲线、图6的设计控制器和 PID控制器跟踪误差曲线，可知，本发明提出的控制方法在仿真环境下能够准确的估计出状 态值和系统参数。相比较PID控制器，本发明设计的控制器能够取得良好的控制精度。结果 表明在参数不确定性和不确定非线性性影响下，本发明提出的方法能够满足性能指标。

虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然其并非用以限定本发明。本发明所属技术领域 中具有通常知识者，在不脱离本发明的精神和范围内，当可作各种的更动与润饰。因此，本 发明的保护范围当视权利要求书所界定者为准。