一种预测圆形金属薄板低速冲击凹坑尺寸的方法

摘要

本发明提供了一种预测圆形金属薄板低速冲击凹坑尺寸的新方法，该方法具有计算简便，精度高等优点。本发明所采用的技术方案如下：提出预测圆形金属薄板低速冲击凹坑尺寸的新方法的假设条件；根据圆形金属薄板低速冲击时的受载形式和凹坑特征，确定冲击凹坑的变形函数；利用提出的圆形金属薄板冲击凹坑变形函数，进一步建立对应的应变关系；根据功能原理，建立圆形金属薄板在低速冲击条件下控制方程，再利用数值求解方法求解控制方程的待定参数，最终很方便的确定金属薄板的冲击凹坑尺寸。

说明书

技术领域

本发明提供一种预测圆形金属薄板低速冲击凹坑尺寸的方法，属于力学设计领域。

背景技术

金属薄板经常容易受到沙石、维修工具等意外低速冲击事件，导致不可恢复的塑性变形，形成冲击凹坑，直接影响其静强度和疲劳等性能，因此，需要对这类低速冲击碰撞现象进行评估金属薄板受低速冲击下的冲击凹坑尺寸对于设计人员是非常关键的输入参数之一，尤其对材料选取和尺寸设计至关重要，因此，如何获取金属薄板在低速冲击下的冲击凹坑尺寸一直以来都是工程人员需要解决的课题。通过金属薄板低速冲击试验可以直接测定其冲击凹坑尺寸，但是试验成本比较高，并且费时费力周期长，尤其在初始设计阶段，把任意材料、尺寸和冲击速度情况下的冲击凹坑尺寸都通过试验确定是不切实际的；有限元数值模拟方法需要建立复杂的有限元模型，计算复杂，计算效率低；现有的一些解析方法比较复杂，理论求解也不方便。在评估金属薄板受低速冲击下的冲击凹坑尺寸时，常采用经典的圆形金属薄板作为受冲击的靶板。因此，本发明提出了一种预测圆形金属薄板低速冲击凹坑尺寸的解析方法，该方法非常简单实用，仅仅需要少量金属薄板材料参数和几何参数，就可以很容易得到与不同冲击速度下的冲击凹坑尺寸，可见本发明具有重要学术意义和工程应用价值。

发明内容

本发明提供了一种预测圆形金属薄板低速冲击凹坑尺寸的新方法，该方法具有计算简便，精度高等优点，其技术方案如下：

步骤一、提出预测圆形金属薄板低速冲击凹坑尺寸的新方法的假设条件。

假设条件包括：

(1)金属薄板的冲击凹坑形状为旋转对称的，并且不考虑回弹变形对凹坑尺寸的影响；

(2)满足基尔霍夫-乐甫薄板假设，因此可忽略面外法向应力和横向剪切应力的影响，主要为径向拉伸应力、径向弯曲应力和周向弯曲应力；

(3)金属薄板的材料为弹塑性线性强化材料，其应力-应变关系如图3所示，弹性阶段，线和为塑性阶段，其对应的斜率分别为E和E^*，ε_e为弹性极限应变；

(4)忽略空气阻力、冲击过程摩擦力等能量耗散，认为冲击能量全部转化为应变能。

步骤二、根据圆形金属薄板低速冲击时的受载形式和凹坑特征，确定冲击凹坑的变形函数。

根据前面基本假设(1)，由于冲击凹坑形状具有旋转对称性，因此，可在圆柱坐标系rθz下来描述冲击凹坑形状，其中，r为径向距离坐标，θ方位角坐标。冲击凹坑区域中面的z向变形用w表示，可知w仅为关于r的函数，而与θ无关。圆形金属薄板边缘固支，中心作用有集中载荷p，则距中心为r的同心圆处有总剪力需与集中载荷p平衡，具体可表示为

2πrQ_r＝p   (1)

式中，Q_r为距板中心为r的同心圆处的剪力。

根据剪力的极坐标公式：

$Q_r=-D\frac{d}{dr}(\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{1}{r}\frac{dw}{dr})---\left(2\right)$

将式(2)代入式(1)中，可得

$-2\pi rD\frac{d}{dr}(\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{1}{r}\frac{dw}{dr})=p---\left(3\right)$

$-D\frac{d}{dr}(\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{1}{r}\frac{dw}{dr})=\frac{p}{2\pi r}---\left(4\right)$

对式(4)积分三次，可得

$w=\frac{p}{8\pi D}(r^2\ln r+C_1{r}^2+C_2\ln r+C_3)---\left(5\right)$

式中，C₁、C₂和C₃为待定常数；D为弯曲刚度，具体可表示为

$D=\frac{E^{*}{t}_0^3}{12(1-v^2)}---\left(6\right)$

式中，E^*为屈服段模量，v为泊松比，t₀为板的厚度。 

圆形金属薄板固支约束时的边界条件需满足：

当r＝0变形函数需满足如下边界条件：

${\frac{dw}{dr}|}_{r=0}=f^{\prime }\left(0\right)=0---\left(7\right)$

当r＝r₀变形函数需满足如下边界条件：

$\left(\begin{array}{c}{w|}_{r=r_0}=f\left(r_0\right)=0\\ {\frac{dw}{dr}|}_{r=r_0}=f^{\prime }\left(r_0\right)=0\end{array}\right)---\left(8\right)$

将式(5)分别代入式(7)和式(8)中，可得

$\left(\begin{array}{c}{C}_1=-\frac{1}{2}-{\mathrm{lnr}}_0\\ C_2=0\\ C_3=\frac{1}{2}{r}_0^2\end{array}\right)---\left(9\right)$

将式(9)代入式(5)中，可得

$w=\frac{p}{8\pi D}(r^2\ln \frac{r}{r_0}+\frac{r_0^2-r^2}{2})---\left(10\right)$

步骤三、利用步骤二提出的圆形金属薄板冲击凹坑变形函数，进一步建立对应的应变关系。

根据前面基本假设(2)，圆形金属薄板在受低速冲击的变形过程中，主要靠径向拉伸变形、径向弯曲变形和周向弯曲变形吸收冲击能量。

圆形金属薄板径向拉伸应变ε_rt可表示为

${ϵ}_{rt}=\frac{\sqrt{{\mathrm{dw}}^2+{\mathrm{dr}}^2}-dr}{dr}=\sqrt{{\left(\frac{dw}{dr}\right)}^2+1}-1=\frac{1}{2}{\left(\frac{dw}{dr}\right)}^2---\left(11\right)$

将式(10)代入式(11)中，可得

${ϵ}_{rt}=\frac{p^2}{32{\pi }^2{D}^2}{r}^2{\left(ln\frac{r}{r_0}\right)}^2---\left(12\right)$

进行变量替换，令

$x=\frac{r}{r_0}---\left(13\right)$

式(13)的变量替换相当于对变量r进行了归一化处理，因此0≤x≤1。

将式(13)代入式(12)中，可得

${ϵ}_{rt}=\frac{p^2{r}_0^2}{32{\pi }^2{D}^2}{x}^2{\left(\ln x\right)}^2={\mathrm{Hp}}^2{x}^2{\left(\ln x\right)}^2---\left(14\right)$

式中，H为常数，可表示为

$H=\frac{r_0^2}{32{\pi }^2{D}^2}---\left(15\right)$

薄板的径向弯曲曲率κ_r和周向弯曲曲率κ_θ可表示为

$\left(\begin{array}{c}{\kappa }_r=\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}=\frac{p}{4\pi D}(ln\frac{r}{r_0}+1)\\ {\kappa }_{\theta }=\frac{1}{r}\left(\frac{dw}{dr}\right)=\frac{p}{4\pi D}\ln \frac{r}{r_0}\end{array}\right)---\left(16\right)$

将式(13)代入式(16)中，可得

$\left(\begin{array}{c}{\kappa }_r=\frac{p}{4\pi D}(\ln x+1)\\ {\kappa }_{\theta }=\frac{p}{4\pi D}\ln x\end{array}\right)---\left(17\right)$

薄板的径向弯曲应变ε_rb和周向弯曲应变ε_θb可表示为

$\left(\begin{array}{c}{ϵ}_{rb}={\kappa }_{r}z=\frac{p}{4\pi D}z(\ln x+1)\\ {ϵ}_{\theta b}={\kappa }_{\theta }z=\frac{p}{4\pi D}z\ln x\end{array}\right)---\left(18\right)$

步骤四、根据功能原理，建立圆形金属薄板在低速冲击条件下控制方程，再利用数值求解方法求解控制方程的待定参数，最终确定冲击凹坑尺寸。

根据前面基本假设(3)，圆形金属薄板径向拉伸变形的应变能可表示为

$U_t=\underset{V}{\int }(\int {\sigma }_{rt}dϵ)dV=\underset{V}{\int }[\frac{{\mathrm{Eϵ}}_e^2}{2}+{\sigma }_s({ϵ}_{rt}-{ϵ}_e)+\frac{E^{*}{({ϵ}_{rt}-{ϵ}_e)}^2}{2}]dV---\left(19\right)$

将式(14)代入式(19)中，可得

$\begin{array}{c}{U}_t={\int }_0^{r_0}{\int }_{-\frac{t_0}{2}}^{\frac{t_0}{2}}{\int }_0^{2\pi }\left[\frac{{\mathrm{Eϵ}}_e^2}{2}+{\sigma }_s\left({ϵ}_{rt}-{ϵ}_e\right)+\frac{E^{*}{\left({ϵ}_{rt}-{ϵ}_e\right)}^2}{2}\right]rd\theta dzdr\\ =2{\mathrm{\pi t}}_0{r}_0^2{\int }_0^1\left[\frac{{\mathrm{Eϵ}}_e^2}{2}+{\sigma }_s\left({ϵ}_{rt}-{ϵ}_e\right)+\frac{E^{*}{\left({ϵ}_{rt}-{ϵ}_e\right)}^2}{2}\right]xdx\\ =2{\mathrm{\pi t}}_0{r}_0^2\left(\frac{E^{*}{H}^2}{648}{p}^4+\frac{{\sigma }_{s}H-E^{*}{ϵ}_{e}H}{32}{p}^2+\frac{{\mathrm{Eϵ}}_e^2+E^{*}{ϵ}_e^2}{4}-\frac{{\sigma }_s{ϵ}_e}{2}\right)\end{array}---\left(20\right)$

为使式(20)表述更为清楚简洁，进行变量替换

U_t＝A₁p⁴+A₂p²+A₃   (21) 

式中，A₁、A₂和A₃为中间变量，可表示为

$A_1=\frac{{\mathrm{\pi E}}^{*}{t}_0{r}_0^2{H}^2}{324}---\left(22\right)$

$A_2=\frac{{\mathrm{\pi t}}_0{r}_0^2({\sigma }_{s}H-E^{*}{ϵ}_{e}H)}{16}---\left(23\right)$

$A_3={\mathrm{\pi t}}_0{r}_0^2(\frac{{\mathrm{Eϵ}}_e^2+E^{*}{ϵ}_e^2}{2}-{\sigma }_s{ϵ}_e)---\left(24\right)$

同理可得，圆形金属薄板弯曲变形的应变能

$\begin{array}{c}{U}_b=\underset{V}{\int }[\frac{{\mathrm{Eϵ}}_e^2}{2}+{\sigma }_s({ϵ}_{rb}-{ϵ}_e)+\frac{E^{*}{({ϵ}_{rb}-{ϵ}_e)}^2}{2}]dV+\underset{V}{\int }[\frac{{\mathrm{Eϵ}}_e^2}{2}+{\sigma }_s({ϵ}_{\theta b}-{ϵ}_e)+\frac{E^{*}{({ϵ}_{\theta b}-{ϵ}_e)}^2}{2}]dV\\ =4{\mathrm{\pi r}}_0^2[\frac{E^{*}{t}_0^3{p}^2}{3072{\pi }^2{D}^2}+\frac{{\sigma }_s{t}_0^{2}p}{32\pi D}(\frac{1}{2}+e^{-2})-\frac{E^{*}{ϵ}_e{t}_0^{2}p}{32\pi D}(\frac{1}{2}+e^{-2})+\frac{{\mathrm{Et}}_0{ϵ}_e^2+E^{*}{t}_0{ϵ}_e^2}{4}-\frac{{\sigma }_s{t}_0{ϵ}_e}{2}\\ =A_4{p}^2+A_{5}p+A_6\end{array}---\left(25\right)$

式中，A₄、A₅和A₆为中间变量，可表示为

$A_4=\frac{E^{*}{r}_0^2{t}_0^3}{768{\mathrm{\pi D}}^2}---\left(26\right)$

$A_5=\frac{{\sigma }_s{r}_0^2{t}_0^2}{8D}(\frac{1}{2}+e^{-2})-\frac{E^{*}{ϵ}_e{r}_0^2{t}_0^2}{8D}(\frac{1}{2}+e^{-2})---\left(27\right)$

$A_6={\mathrm{\pi t}}_0{r}_0^2({\mathrm{Eϵ}}_e^2+E^{*}{ϵ}_e^2-2{\sigma }_s{ϵ}_e)---\left(28\right)$

圆形金属薄板总应变能可表示为

U＝U_t+U_b＝A₁p⁴+(A₂+A₄)p²+A₅p+(A₃+A₆)   (29) 

冲击物的冲击能量为

Q＝mgh   (30)

式中，m为冲击物质量，g为重力加速度，h为冲击高度。习惯上通常用Q表征冲击能量。

总的冲击能量还需要考虑凹坑深度的影响，即

Q^*＝mg(h+δ)   (31)

式中，δ为凹坑深度。

冲击凹坑深度可表示为

$\delta ={w|}_{r=0}=\frac{{\mathrm{pr}}_0^2}{16\pi D}---\left(32\right)$

根据前面基本假设(4)，由于冲击能量全部转化为应变能，即

Q^*＝U   (33)

$mg(h+\frac{{\mathrm{pr}}_0^2}{16\pi D})=A_1{p}^4+(A_2+A_4)p^2+A_{5}p+A_3+A_6---\left(34\right)$

$A_1{p}^4+(A_2+A_4)p^2+A_{5}p-\frac{{\mathrm{mgr}}_0^2}{16\pi D}p+A_3+A_6-Q=0---\left(35\right)$

A₁p⁴+(A₂+A₄)p²+(A₅-B₁)p+A₃+A₆-Q＝0   (37)

其中，B₁为中间变量，可表示为

$B_1=\frac{{\mathrm{mgr}}_0^2}{16\pi D}---\left(38\right)$

通过数值方法很容易求出方程式(37)中的未知量p，再将p的解代入式(10)和式(32)中，即可确定与冲击能量Q对应的冲击凹坑变形和冲击凹坑深度δ。此外，当冲击物为水平冲击时，即凹坑深度不会导致额外冲击能能量时，只需令式(37)中的B₁为0即可。

附图说明

图1为固支约束的圆形金属薄板受低速冲击的示意图。

图2为固支约束的圆形金属薄板受低速冲击时简化的受力形式。

图3为刚塑性线性强化材料应力-应变本构关系。

图4为是本发明所述方法的流程框图。

图中符号说明如下：

图1中的x为直角坐标系下的坐标，y为直角坐标系下的坐标，z为直角坐标系下的距离坐标，o为直角坐标系下的原点，r为圆柱坐标系下径向距离坐标，θ为圆柱坐标系下方位角坐标。

图2中的p为圆形金属薄板中心作用的集中载荷，Q_r为距圆形金属薄板中心为r的同心圆处的面外剪力。

图3中的E为线性强化材料模型中应力-应变曲线在弹性阶段的曲线斜率，E^*为线性强化材料模型中应力-应变曲线在塑性阶段的曲线斜率，σ为应力，σ_s为线形强化材料模型的屈服应力，ε为应变，ε_e为最大弹性应变。

具体实施方式

图4为本发明所述方法的流程框图，本发明份4步实现，具体为：

步骤一、提出预测圆形金属薄板低速冲击凹坑尺寸的新方法的假设条件。

假设条件包括：

(1)金属薄板的冲击凹坑形状为旋转对称的，并且不考虑回弹变形对凹坑尺寸的影响；

(2)满足基尔霍夫-乐甫薄板假设，因此可忽略面外法向应力和横向剪切应力的影响，主要为径向拉伸应力、径向弯曲应力和周向弯曲应力；

(3)金属薄板的材料为弹塑性线性强化材料，其应力-应变关系如图3所示，其中线段OA为弹性阶段，线段AB为塑性阶段，其对应的斜率分别为E和E^*，ε_e为弹性极限应变；

(4)忽略空气阻力、冲击过程摩擦力等能量耗散，认为冲击能量全部转化为应变能。

步骤二、根据圆形金属薄板低速冲击时的受载形式和冲击凹坑特征，确定冲击凹坑的变形函数。

根据前面基本假设(1)，由于冲击凹坑形状具有旋转对称性，因此，可在圆柱坐标系rθz下来描述冲击凹坑形状，其中，r为径向距离坐标，θ方位角坐标。在图1和图2中，冲击凹坑区域中面的z向变形用w表示，可知w仅为关于r的函数，而与θ无关。圆形金属薄板边缘固支，中心作用有集中载荷p，则距中心为r的同心圆处有总剪力需与集中载荷p平衡，具体可表示为

2πrQ_r＝p   (1)

式中，Q_r为距板中心为r的同心圆处的剪力。

根据剪力的极坐标公式：

$Q_r=-D\frac{d}{dr}(\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{1}{r}\frac{dw}{dr})---\left(2\right)$

将式(2)代入式(1)中，可得

$-2\pi rD\frac{d}{dr}(\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{1}{r}\frac{dw}{dr})=p---\left(3\right)$

$-D\frac{d}{dr}(\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{1}{r}\frac{dw}{dr})=\frac{p}{2\pi r}---\left(4\right)$

对式(4)积分三次，可得

$w=\frac{p}{8\pi D}(r^2\ln r+C_1{r}^2+C_2\ln r+C_3)---\left(5\right)$

式中，C₁、C₂和C₃为待定常数；D为弯曲刚度，具体可表示为

$D=\frac{E^{*}{t}_0^3}{12(1-v^2)}---\left(6\right)$

式中，E^*为屈服段模量，v为泊松比，t₀为板的厚度。 

圆形金属薄板固支约束时的边界条件需满足：

当r＝0变形函数需满足如下边界条件：

${\frac{dw}{dr}|}_{r=0}=f^{\prime }\left(0\right)=0---\left(7\right)$

当r＝r₀变形函数需满足如下边界条件：

$\left(\begin{array}{c}{w|}_{r=r_0}=f\left(r_0\right)=0\\ {\frac{dw}{dr}|}_{r=r_0}=f^{\prime }\left(r_0\right)=0\end{array}\right)---\left(8\right)$

将式(5)分别代入式(7)和式(8)中，可得

$\left(\begin{array}{c}{C}_1=-\frac{1}{2}-{\mathrm{lnr}}_0\\ C_2=0\\ C_3=\frac{1}{2}{r}_0^2\end{array}\right)---\left(9\right)$

将式(9)代入式(5)中，可得

$w=\frac{p}{8\pi D}(r^2\ln \frac{r}{r_0}+\frac{r_0^2-r^2}{2})---\left(10\right)$

步骤三、利用步骤二提出的圆形金属薄板冲击凹坑变形函数，进一步建立对应的应变关系。

根据前面基本假设(2)，圆形金属薄板在受低速冲击的变形过程中，主要靠径向拉伸变形、径向弯曲变形和周向弯曲变形吸收冲击能量。

圆形金属薄板径向拉伸应变ε_rt可表示为

${ϵ}_{rt}=\frac{\sqrt{{\mathrm{dw}}^2+{\mathrm{dr}}^2}-dr}{dr}=\sqrt{{\left(\frac{dw}{dr}\right)}^2+1}-1=\frac{1}{2}{\left(\frac{dw}{dr}\right)}^2---\left(11\right)$

将式(10)代入式(11)中，可得

${ϵ}_{rt}=\frac{p^2}{32{\pi }^2{D}^2}{r}^2{\left(ln\frac{r}{r_0}\right)}^2---\left(12\right)$

进行变量替换，令

$x=\frac{r}{r_0}---\left(13\right)$

式(13)的变量替换相当于对变量r进行了归一化处理，因此0≤x≤1。

将式(13)代入式(12)中，可得

${ϵ}_{rt}=\frac{p^2{r}_0^2}{32{\pi }^2{D}^2}{x}^2{\left(\ln x\right)}^2={\mathrm{Hp}}^2{x}^2{\left(\ln x\right)}^2---\left(14\right)$

式中，H为常数，可表示为

$H=\frac{r_0^2}{32{\pi }^2{D}^2}---\left(15\right)$

薄板的径向弯曲曲率κ_r和周向弯曲曲率κ_θ可表示为

$\left(\begin{array}{c}{\kappa }_r=\frac{d^{2}w}{{\mathrm{dr}}^2}=\frac{p}{4\pi D}(ln\frac{r}{r_0}+1)\\ {\kappa }_{\theta }=\frac{1}{r}\left(\frac{dw}{dr}\right)=\frac{p}{4\pi D}\ln \frac{r}{r_0}\end{array}\right)---\left(16\right)$

将式(13)代入式(16)中，可得

$\left(\begin{array}{c}{\kappa }_r=\frac{p}{4\pi D}(\ln x+1)\\ {\kappa }_{\theta }=\frac{p}{4\pi D}\ln x\end{array}\right)---\left(17\right)$

薄板的径向弯曲应变ε_rb和周向弯曲应变ε_θb可表示为

$\left(\begin{array}{c}{ϵ}_{rb}={\kappa }_{r}z=\frac{p}{4\pi D}z(\ln x+1)\\ {ϵ}_{\theta b}={\kappa }_{\theta }z=\frac{p}{4\pi D}z\ln x\end{array}\right)---\left(18\right)$

步骤四、根据功能原理，建立圆形金属薄板在低速冲击条件下控制方程，再利用数值求解方法求解控制方程的待定参数，最终确定冲击凹坑尺寸。

根据前面基本假设(3)，圆形金属薄板径向拉伸变形的应变能可表示为

$U_t=\underset{V}{\int }(\int {\sigma }_{rt}dϵ)dV=\underset{V}{\int }[\frac{{\mathrm{Eϵ}}_e^2}{2}+{\sigma }_s({ϵ}_{rt}-{ϵ}_e)+\frac{E^{*}{({ϵ}_{rt}-{ϵ}_e)}^2}{2}]dV---\left(19\right)$

将式(14)代入式(19)中，可得

$\begin{array}{c}{U}_t={\int }_0^{r_0}{\int }_{-\frac{t_0}{2}}^{\frac{t_0}{2}}{\int }_0^{2\pi }\left[\frac{{\mathrm{Eϵ}}_e^2}{2}+{\sigma }_s\left({ϵ}_{rt}-{ϵ}_e\right)+\frac{E^{*}{\left({ϵ}_{rt}-{ϵ}_e\right)}^2}{2}\right]rd\theta dzdr\\ =2{\mathrm{\pi t}}_0{r}_0^2{\int }_0^1\left[\frac{{\mathrm{Eϵ}}_e^2}{2}+{\sigma }_s\left({ϵ}_{rt}-{ϵ}_e\right)+\frac{E^{*}{\left({ϵ}_{rt}-{ϵ}_e\right)}^2}{2}\right]xdx\\ =2{\mathrm{\pi t}}_0{r}_0^2\left(\frac{E^{*}{H}^2}{648}{p}^4+\frac{{\sigma }_{s}H-E^{*}{ϵ}_{e}H}{32}{p}^2+\frac{{\mathrm{Eϵ}}_e^2+E^{*}{ϵ}_e^2}{4}-\frac{{\sigma }_s{ϵ}_e}{2}\right)\end{array}---\left(20\right)$

为使式(20)表述更为清楚简洁，进行变量替换

U_t＝A₁p⁴+A₂p²+A₃   (21) 

式中，A₁、A₂和A₃为中间变量，可表示为

$A_1=\frac{{\mathrm{\pi E}}^{*}{t}_0{r}_0^2{H}^2}{324}---\left(22\right)$

$A_2=\frac{{\mathrm{\pi t}}_0{r}_0^2({\sigma }_{s}H-E^{*}{ϵ}_{e}H)}{16}---\left(23\right)$

$A_3={\mathrm{\pi t}}_0{r}_0^2(\frac{{\mathrm{Eϵ}}_e^2+E^{*}{ϵ}_e^2}{2}-{\sigma }_s{ϵ}_e)---\left(24\right)$

同理可得，圆形金属薄板弯曲变形的应变能

$\begin{array}{c}{U}_b=\underset{V}{\int }[\frac{{\mathrm{Eϵ}}_e^2}{2}+{\sigma }_s({ϵ}_{rb}-{ϵ}_e)+\frac{E^{*}{({ϵ}_{rb}-{ϵ}_e)}^2}{2}]dV+\underset{V}{\int }[\frac{{\mathrm{Eϵ}}_e^2}{2}+{\sigma }_s({ϵ}_{\theta b}-{ϵ}_e)+\frac{E^{*}{({ϵ}_{\theta b}-{ϵ}_e)}^2}{2}]dV\\ =4{\mathrm{\pi r}}_0^2[\frac{E^{*}{t}_0^3{p}^2}{3072{\pi }^2{D}^2}+\frac{{\sigma }_s{t}_0^{2}p}{32\pi D}(\frac{1}{2}+e^{-2})-\frac{E^{*}{ϵ}_e{t}_0^{2}p}{32\pi D}(\frac{1}{2}+e^{-2})+\frac{{\mathrm{Et}}_0{ϵ}_e^2+E^{*}{t}_0{ϵ}_e^2}{4}-\frac{{\sigma }_s{t}_0{ϵ}_e}{2}\\ =A_4{p}^2+A_{5}p+A_6\end{array}---\left(25\right)$

式中，A₄、A₅和A₆为中间变量，可表示为

$A_4=\frac{E^{*}{r}_0^2{t}_0^3}{768{\mathrm{\pi D}}^2}---\left(26\right)$

$A_5=\frac{{\sigma }_s{r}_0^2{t}_0^2}{8D}(\frac{1}{2}+e^{-2})-\frac{E^{*}{ϵ}_e{r}_0^2{t}_0^2}{8D}(\frac{1}{2}+e^{-2})---\left(27\right)$

$A_6={\mathrm{\pi t}}_0{r}_0^2({\mathrm{Eϵ}}_e^2+E^{*}{ϵ}_e^2-2{\sigma }_s{ϵ}_e)---\left(28\right)$

圆形金属薄板总应变能可表示为

U＝U_t+U_b＝A₁p⁴+(A₂+A₄)p²+A₅p+(A₃+A₆)   (29) 

冲击物的冲击能量为

Q＝mgh   (30)

式中，m为冲击物质量，g为重力加速度，h为冲击高度。习惯上通常用Q表征冲击能量。

总的冲击能量还需要考虑凹坑深度的影响，即

Q^*＝mg(h+δ)   (31)

式中，δ为凹坑深度。

冲击凹坑深度可表示为

$\delta ={w|}_{r=0}=\frac{{\mathrm{pr}}_0^2}{16\pi D}---\left(32\right)$

根据前面基本假设(4)，由于冲击能量全部转化为应变能，即

Q^*＝U   (33)

$mg(h+\frac{{\mathrm{pr}}_0^2}{16\pi D})=A_1{p}^4+(A_2+A_4)p^2+A_{5}p+A_3+A_6---\left(34\right)$

$A_1{p}^4+(A_2+A_4)p^2+A_{5}p-\frac{{\mathrm{mgr}}_0^2}{16\pi D}p+A_3+A_6-Q=0---\left(35\right)$

A₁p⁴+(A₂+A₄)p²+(A₅-B₁)p+A₃+A₆-Q＝0   (37)

其中，B₁为中间变量，可表示为

$B_1=\frac{{\mathrm{mgr}}_0^2}{16\pi D}---\left(38\right)$

通过数值方法很容易求出方程式(37)中的未知量p，再将p的解代入式(10)和式(32)中，即可确定与冲击能量Q对应的冲击凹坑变形和冲击凹坑深度δ。此外，当冲击物为水平冲击时，即凹坑深度不会导致额外冲击能能量时，只需令式(37)中的B₁为0即可。