一种基于自适应代理模型的平动点航天器编队重构方法

摘要

本发明涉及航天器编队重构技术领域，提供一种基于自适应代理模型的平动点航天器编队重构方法，所述方法包括：步骤100，建立日地系统平动点附近航天器编队受控动力学方程；步骤200，根据航天器编队重构的任务需求，选择优化目标，得到航天器编队重构的优化问题；步骤300，建立航天器编队重构的自适应代理模型，并利用自适应代理模型得到航天器编队的最优重构轨迹；步骤400，缩小自适应代理模型中变量的取值范围，依次重复步骤300，并验证自适应代理模型的有效性。本发明能够在计算效率较高的前提下得到与真实最优解非常接近的编队重构结果。

说明书

技术领域

本发明涉及航天器编队重构技术领域，尤其涉及一种基于自适应代理模型 的平动点航天器编队重构方法。

背景技术

航天器编队是指多个航天器联合组成一个虚拟大型航天器，用以完成单 个航天器难以完成的任务，在航天器编队任务发生变化或者遇到突发情况时， 需要通过编队构型的重构来保证其任务的完成。当目标编队构型已知，只需 要根据最优控制理论求解出航天器编队重构的最优轨迹。目前大部分文献和 科研工作都属于已知目标构型的情况。但是，在许多突发情况下航天器最终 构型需要根据编队的任务和实际情况确定，这时候编队重构问题就会变成复 杂的优化问题。在执行深空探测任务的航天器编队中，探测分辨率和工作寿 命最为重要，因此在编队重构时需要保证较大的探测范围就必须使编队构成 的展开面积最大；若需要保证尽可能长的工作寿命，就必须保证重构过程中 能量消耗尽可能少。传统的基于梯度的参数优化方法求解速度快，但是缺点 是只能得到局部最优解。而智能类参数优化算法，比如遗传算法或者蚁群算 法等，具有很强搜索全局最优解能力，但智能算法的缺点是计算量大、计算 效率低下。由于航天器编队重构之后仍然会执行较长时间的工作任务，这时 如果利用传统的梯度类算法，会对编队之后任务执行产生持续性的影响，所 以梯度算法并不适用。如果采用智能算法，由于计算效率十分低下，在计算 过程中航天器编队只能保持原有的构型，使得这期间内就无法执行正常工作 任务，所以智能算法对于编队重构问题也不是非常适合。

发明内容

本发明主要解决日地系统中平动点附近航天器编队重构过程中，现有技 术获得最优重构构型及最优重构轨迹的方法不能解决计算效率与计算精度之 间的矛盾的问题，提出一种基于自适应代理模型的平动点航天器编队重构方 法，能够在计算效率较高的前提下得到与真实最优解非常接近的编队重构结 果。

本发明提供了一种基于自适应代理模型的平动点航天器编队重构方法， 所述基于自适应代理模型的平动点航天器编队重构方法包括以下步骤：

步骤100，建立日地系统平动点附近航天器编队受控动力学方程；

步骤200，根据航天器编队重构的任务需求，选择优化目标，得到航天 器编队重构的优化问题；

步骤300，建立航天器编队重构的自适应代理模型，并利用自适应代理 模型得到航天器编队的最优重构轨迹，包括以下子步骤：

步骤301，对初始试验点进行超曲面的拟合得到代理模型，并获得代理 模型的全局最优解；

步骤302，在代理模型的最优解附近增加试验点，判断前后两个代理模 型得到的最优解是否一致，否则继续增加试验点并更新代理模型，直至最终 获得收敛解；

步骤303，利用获得的收敛解，得到航天器编队的最优重构构型，进而 获得航天器编队的最优重构轨迹。

进一步的，在步骤300之后，还包括：

步骤400，缩小自适应代理模型中变量的取值范围，依次重复步骤300， 并验证自适应代理模型的有效性。

进一步的，所述建立日地系统平动点附近航天器编队受控动力学方程， 包括：

基于圆形限制性三体模型，将局部坐标系原点选择在日地系统第二平动 点L₂上，局部坐标系的x轴从太阳指向地球，y轴垂直于x轴，并且在日地 旋转面内，z轴根据右手法则确定，得到如下航天器受控动力学方程：

${\stackrel{··}{x}}^i-{2\stackrel{·}{y}}^i-x^i=-\frac{(1-\mu )(x^i+1+1/\gamma )}{{\gamma }^3{d_1}^3}-\frac{\mu (x^i+1)}{{\gamma }^3{d_2}^3}+\frac{1-\mu +\gamma }{\gamma }+u_x^i---\left(1\right)$

${\stackrel{··}{y}}^i+{2\stackrel{·}{x}}^i-y^i=-\frac{(1-\mu )y^i}{{\gamma }^3{d_1}^3}-\frac{{\mathrm{\mu y}}^i}{{\gamma }^3{d_2}^3}+u_y^i---\left(2\right)$

${\stackrel{··}{z}}^i=-\frac{(1-\mu )y^i}{{\gamma }^3{d_1}^3}-\frac{{\mathrm{\mu z}}^i}{{\gamma }^3{d_2}^3}+u_z^i---\left(3\right)$

其中，i＝1,2,…,n_，n是编队航天器的数目，μ表示地球质量与地球和太阳 质量之和的比值，$d_1=\sqrt{{(x^i+1+1/\gamma )}^2+{\left(y^i\right)}^2+{\left(z^i\right)}^2},d_2=\sqrt{{(x^i+1)}^2+{\left(y^i\right)}^2+{\left(z^i\right)}^2},$γ表示地球到第二平动点L₂的距离，和表示第i个航天器的控制输入 变量，上标i表示第i个航天器，和分别表示坐标x对时间的一阶导数和二 阶导数，将航天器的推力作为控制输入变量。

进一步的，步骤200中，将编队航天器的展开面积和燃料消耗作为优化目 标，得到航天器编队重构的多目标优化问题。

进一步的，所述将编队航天器的展开面积和燃料消耗作为优化目标，得 到航天器编队重构的多目标优化问题，包括：

通过以下公式对航天器编队重构进行优化：

其中，x_c、y_c和θ分别表示整个航天器编队构型的几何形心和相对于局 部坐标x轴的旋转角，s表示航天器编队的展开面积，Δv表示速度增量，x_c,min、 x_c,max、y_c,min、y_c,max、θ_c,min和θ_c,max分别表示航天器编队构型的几何中心 x_c、y_c和旋转角θ的最小值和最大值，x_i和y_i分别表示局部坐标系下第i个 航天器的位置，x_i,min、x_i,max、y_i,min和y_i,max是第i个航天器的位置最小值和 最大值，i≠j，d_ij表示第i和j颗航天器之间的距 离，d_ij,min和d_ij,max分别表示第i和j颗航天器之间距离的最小值和最大值；

通过公式(4)以编队航天器的展开面积最大作为优化目标，得到展开面 积最大时，航天器编队的形状；

在得到的所有满足展开面积最大的结果中，以燃料消耗最少作为优化目 标，形成基于展开面积最大和燃料消耗最小的多目标航天器编队优化问题。

进一步的，步骤301中获得初始试验点的方法包括：均匀实验、正交试 验或者超拉丁实验。

进一步的，步骤301中获得代理模型的方法包括：径向基函数或者 kriging模型。

进一步的，步骤302中获得收敛解的条件为：最大相对误差小于相对误 差阈值或者最大广义绝对误差小于广义绝对误差阈值时，收敛；

其中，相对误差表示为：

RE＝|(xⁱ⁺¹-xⁱ)/xⁱ⁺¹|×100％  (8)

广义绝对误差表示为：

GAE＝|(xⁱ⁺¹-xⁱ)/R|×100％  (9)

公式(8)、(9)中，xⁱ表示第i次迭代得到的最优值，xⁱ⁺¹是第i+1次迭代 得到的最优值，R表示变量的取值范围，RE表示相对误差，GAE表示广义绝 对误差，MRE表示最大相对误差，MGAE表示最大广义绝对误差。

本发明提供的一种基于自适应代理模型的平动点航天器编队重构方法， 使用多层自适应代理模型求解编队重构优化问题，很好地解决了计算精度和 效率之间的矛盾。本发明首先基于圆形限制性三体问题，建立航天器的受控 动力学方程。然后，基于展开面积最大和燃料消耗最小，建立多层优化模型， 该多层优化模型可以将航天器编队重构过程的变量减少为3个，对于求解效 率的提高有着很大的帮助。另外，本发明建立了一种自适应代理模型，能够 在消耗时间非常少的情况下得到满足精度要求的近似最优解。通过实施例表 明，自适应代理模型对于航天器编队重构问题，是非常合适的求解方法，相 对于基于原始模型的智能算法有着非常大的优势。另外，本发明能够克服传 统的梯度类算法只能得到局部最优解和智能算法效率低下的不足。本发明针 对航天器编队重构问题，建立了合适的优化模型，并且利用自适应代理模型 进行求解，在保证求解精度的前提下，大幅度提高了航天器编队重构求解效 率。

附图说明

图1为本发明实施例提供的基于自适应代理模型的平动点航天器编队重构 方法的实现流程图；

图2a-b为日地系统平动点附近航天器编队重构示意图；

图3为本发明实施例提供的自适应代理模型的构造流程图。

具体实施方式

为使本发明解决的技术问题、采用的技术方案和达到的技术效果更加清楚， 下面结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。可以理解的是，此处所 描述的具体实施例仅仅用于解释本发明，而非对本发明的限定。另外还需要说 明的是，为了便于描述，附图中仅示出了与本发明相关的部分而非全部内容。

图1为本发明实施例提供的基于自适应代理模型的平动点航天器编队重构 方法的实现流程图。如图1所示，本发明实施例提供的基于自适应代理模型的 平动点航天器编队重构方法包括：

步骤100，建立日地系统平动点附近航天器编队受控动力学方程。

图2a-b表示了航天器编队在空间中的位置以及编队重构的过程，图2a为 日地系统平动点附近航天器编队重构的总体示意图，图2b为日地系统平动点附 近航天器编队重构的局部示意图。参照图2，本发明中的航天器编队在平动点附 近的周期轨道上运动，可以运用圆形限制性三体模型建立受控动力学方程。

具体过程为：基于圆形限制性三体模型，将局部坐标系原点选择在日地 系统第二平动点L₂上，局部坐标系的x轴从太阳指向地球，y轴垂直于x轴， 并且在日地旋转面内，z轴根据右手法则确定，得到如下航天器受控动力学 方程：

${\stackrel{··}{x}}^i-{2\stackrel{·}{y}}^i-x^i=-\frac{(1-\mu )(x^i+1+1/\gamma )}{{\gamma }^3{d_1}^3}-\frac{\mu (x^i+1)}{{\gamma }^3{d_2}^3}+\frac{1-\mu +\gamma }{\gamma }+u_x^i---\left(1\right)$

${\stackrel{··}{y}}^i+{2\stackrel{·}{x}}^i-y^i=-\frac{(1-\mu )y^i}{{\gamma }^3{d_1}^3}-\frac{{\mathrm{\mu y}}^i}{{\gamma }^3{d_2}^3}+u_y^i---\left(2\right)$

${\stackrel{··}{z}}^i=-\frac{(1-\mu )y^i}{{\gamma }^3{d_1}^3}-\frac{{\mathrm{\mu z}}^i}{{\gamma }^3{d_2}^3}+u_z^i---\left(3\right)$

其中，i＝1,2,…,n_，n是编队航天器的数目，μ表示地球质量与地球和太阳 质量之和的比值，$d_1=\sqrt{{(x^i+1+1/\gamma )}^2+{\left(y^i\right)}^2+{\left(z^i\right)}^2},d_2=\sqrt{{(x^i+1)}^2+{\left(y^i\right)}^2+{\left(z^i\right)}^2},$γ表示地球到第二平动点L₂的距离，和表示第i个航天器的控制输入 变量，上标i表示第i个航天器，和分别表示坐标x对时间的一阶导数和二 阶导数。在本发明中，将航天器的推力作为输入变量，即和表示在本 发明实施例中也表示第i个将航天器分别在x、y和z方向上的推力。

其中，航天器受控动力学方程是航天器在空间运动需要满足的运动方程， 方程可以通过牛顿第二定律建立。另外，圆形限制性三体模型在航天问题中 非常常见，航天器在日-地系统，地-月系统的运动均可运用圆形限制性三体 问题求解，圆形限制性三体问题是对航天器在空间运动的一个简化模型，在 日-地系统中，只考虑地球和太阳对航天器运动的影响，并且假设地球绕太阳 的轨道是圆形，该模型能很好的求解日-地系统航天器的运动，结果与真实情 况近似。圆形限制性三体问题的坐标系建立在旋转坐标系上，原点在日地质 心，本发明为了研究方便，以第二个平动点附近的航天器编队为例，在第二 平动点L₂上建立局部坐标系。本发明利用圆形限制性三体问题较为方便地建 立了航天器受控动力学方程。

步骤200，根据航天器编队重构的任务需求，将编队航天器的展开面积 和燃料消耗作为优化目标，对航天器编队重构进行优化，得到航天器编队重 构的多目标优化问题。

不同的航天器编队重构任务具有不同的优化目标，即使是相同的航天器 编队，在执行不同任务时候也会有不同的优化目标。如果航天器编队需要执 行紧急任务，那么编队重构的时间就是优化目标；如果航天器编队需要执行 探测任务，航天器编队围成的几何面积就是优化目标。大多数日地系统平动 点附近航天器编队的主要任务是深空探测，所以编队需要构成一个尽可能大 的展开面积来提高探测系统的分辨率，并完成对目标的最大范围探测。另外， 编队航天器在执行任务过程中，燃料的消耗直接影响编队航天器的工作寿命， 所以燃料消耗也是需要优化的目标。

本发明中首先将航天器编队围成的面积作为优化目标。在满足几何面积 最大的前提下，确定编队构型的几何形状。这时编队中有n个航天器时，编 队构型的确定由2n个变量缩减变成3个变量，因此在编队中航天器数目较多 的情况下，这种方法对于求解效率的提高十分明显。另外，航天器编队构型 的不同除了影响编队围成的几何面积之外，还对编队重构的燃料消耗产生显 著影响。剩余燃料的多少直接决定航天器编队的工作寿命，所以在确保编队 航天器的展开面积最大的前提下，需要使编队消耗的燃料最少。

基于上述分析，通过以下公式对航天器编队重构进行优化：

其中，Δv表示燃料的消耗，s表示航天器编队的展开面积，Δv表示速度 增量，x_c、y_c和θ分别表示编队的质心和编队相对于局部坐标x轴的旋转角， 这里假设编队中的所有航天器处于一个平面，x_c,min、x_c,max、y_c,min、y_c,max、 θ_c,min和θ_c,max分别表示航天器编队的中心x_c、y_c和旋转角θ的最小值和最大 值，x_i和y_i表示局部坐标系下第i个航天器的位置,x_i,min、x_i,max、y_i,min和y_i,max表示第i个航天器的位置的最小值和最大值，i≠j， d_ij表示i和j颗航天器之间的距离，d_ij,min和d_ij,max表示第i和j颗航天器之间 的距离的最小值和最大值。在本实施例中，为了进一步说明给出具体参数， 规定-100m≤x_c≤100m，-50m≤y_c≤50m，0≤θ≤2π，规定-1500m≤x_i≤1500m， -1500m≤y_i≤1500m，d_ij,min＝20m，d_ij,max＝1000m。

由于在内层优化之后，航天器编队的形状可以确定，所以外层优化的变 量数目可以减少为3个，有利于提高计算效率和解的精度。

通过公式(4)以编队航天器的展开面积最大和燃料消耗最小作为优化目 标，得到满足优化目标时航天器编队的形状，由于两个优化目标首先需要满 足的是展开面积最大，其次需要满足的时燃料消耗最小，所以公式(4)实际 是一个双层优化模型；

其中内层优化是：

$\left(\begin{array}{cc}\mathrm{find}& x^i\mathrm{and}{y}^i\\ \max & s\\ s.t.& x_{i,\min }\le x^i\le x_{i,\max }\\ & y_{i,\min }\le y^i\le y_{i,\max }\\ & d_{\mathrm{ij},\min }\le d_{\mathrm{ij}}\le d_{\mathrm{ij},\max }\end{array}\right)---\left(5\right)$

通过内层优化可以得到航天器编队几何面积最大时编队构型的形状。因 此内层优化是一个几何优化问题，可以快速的得到结果，按照上面给定的参 数，在航天器数目是5个的情况下，得到的内层优化的结果是一个边长为 618m的正五边形，满足约束条件-1500m≤x_i≤1500m，-1500m≤y_i≤1500m的正 五边形均是内层优化的解。

其中外层优化是：

$\left(\begin{array}{cc}\mathrm{find}& x_c,y_c\mathrm{and\theta }\\ \min & \mathrm{\Delta v}\\ s.t.& x_{c,\min }\le x_c\le x_{c,\max }\\ & y_{c,\min }\le y_c\le y_{c,\max }\\ & {\theta }_{c,\min }\le \theta \le {\theta }_{c,\max }\end{array}\right)---\left(6\right)$

根据最优控制理论，外层优化又可以分解为一个双层优化问题：

其中，x表示状态变量，u表示控制变量，x_d表示目标状态向量，u_d表示目 标控制输入，t表示时间，ψ表示线性混合终端状态M_fx(t_f)的目标值，Q表 示半正定矩阵，R表示正定矩阵。

外层优化是找到一组x_c、y_c和θ，使航天器编队重构过程中的燃料消耗 最少，在实际情况下，速度增量Δv就可以近似表示燃料消耗的多少。根据最 优控制理论，在航天器编队的最终位置确定之后，需要找到满足动力学方程， 并且使性能指标J最小的航天器的推力，求解最优控制问题，可以确定推力， 航天器编队的重构轨迹也就可以确定，速度增量Δv也可以确定。本发明中性 能指标J是指能量最小和最终状态偏差最小的一个综合，在航天器的初始构 型和最终构型确定之后，可以根据该性能指标得到相应的燃料消耗，燃料消 耗最小是指在所有可能的最终构型中，找到燃料消耗最小的最终构型。

由于内层优化之后航天器编队的形状可以得到，所以对于任意航天器数 目的航天器编队，最终构型的确定都只需要三个变量，即航天器编队质心的 坐标和航天器编队的旋转角。所以在编队的质心(x_c、y_c)和编队相对于局 部坐标x轴的旋转角θ确定之后，编队的最终构型就可以确定，通过最优控 制理论就可以求解出在最终构型确定的情况下所消耗的燃料。最终的优化问 题就是一个输入变量的个数是3的优化问题。

步骤300，建立航天器编队重构的自适应代理模型，并利用自适应代理 模型得到航天器编队的最优重构轨迹。

其中，代理模型是根据实验设计试验点与真实模型响应这些已有数据， 利用插值拟合等方法获得一个与原始问题近似的解析模型，而在近似解析模 型上进一步进行参数优化或者其他操作，计算效率远高于原始模型，因此代 理模型技术是优化领域中重要的求解技术。一般情况代理模型是在已有数据 上做一次拟合得到近似解析模型，利用该解析模型进行优化并获得原问题的 近似解。但对于较为复杂的问题只进行一次代理模型的生成显然不能满足对 更高计算精度的需求。本发明提出一种自适应代理模型的生成方法，可以根 据当前代理模型的计算结果继续优化代理模型，直到代理模型的精度达到期 望要求。

图3为本发明实施例提供的自适应代理模型的构造流程图。参照图3， 步骤300包括以下子步骤：

步骤301，对初始试验点进行超曲面的拟合得到代理模型，并获得代理 模型的全局最优解。

其中，运用均匀实验、正交试验或者超拉丁实验等实验设计方案得到初 始试验点，然后运用径向基函数或者kriging模型等进行超曲面的拟合并得 到代理模型。由于代理模型一般具有解析的表达式，所以很容易求得当前代 理模型的全局最优解。

步骤302，在代理模型的最优解附近增加试验点，判断前后两个代理模 型得到的最优解是否一致，否则继续增加试验点并更新代理模型，直至最终 获得收敛解。

为了方便得到收敛准则，相对误差(RE)表示为：

RE＝|(xⁱ⁺¹-xⁱ)/xⁱ⁺¹|×100％  (8)

广义绝对误差(GAE)表示为：

GAE＝|(xⁱ⁺¹-xⁱ)/R|×100％  (9)

公式(8)、(9)中，xⁱ表示第i次迭代得到的最优值，xⁱ⁺¹是第i+1次 迭代得到的最优值，R表示变量的取值范围，RE表示相对误差，GAE表示广 义绝对误差，MRE表示最大相对误差，MGAE表示最大广义绝对误差。获得收 敛解的条件为：最大相对误差小于相对误差阈值或者最大广义绝对误差小于 广义绝对误差阈值时，收敛。

具体的过程为：首先运用均匀实验设计在取值域内选取30个点作为初始 试验点，然后运用径向基函数和kriging模型分别进行拟合得到代理模型； 进而采用蚁群算法求得当前代理模型的全局最优解，接着利用均匀实验设计 在当前代理模型的最优解附近增加15个试验点，加点范围是取值范围的10％， 直到前后两个代理模型得到的最优解的MRE≤1％或者MGAE≤0.2％，获得收 敛结果。

步骤303，利用获得的收敛解，得到航天器编队的最优重构构型，进而 获得航天器编队的最优重构轨迹。

自适应代理模型收敛之后，得到的结果就是利用代理模型求出的编队重 构问题的近似结果，该结果就是得到的近似最优重构构型，有了最优重构构 型之后就可以得到最优重构轨迹。

步骤400，缩小自适应代理模型中变量的取值范围，依次重复步骤300， 并验证自适应代理模型的有效性。

其中，变量在本发明中具体指的是确定航天器编队的最终构型的参数， 即x_c、y_c和θ。基于步骤300中自适应代理模型求解航天器编队重构问题, 验证自适应代理模型的有效性。变量的取值范围缩小为第一次的10％，此时 收敛条件MRE≤0.5％或者MGAE≤0.1％。基于径向基函数的自适应代理模型 的结果为x_c＝92.0531m，y_c＝1.9386m，θ＝0rad，Δv＝10.9928m/s，基于kriging 模型的自适应代理模型的结果为x_c＝89.9998m，y_c＝2.4384m，θ＝0rad， Δv＝10.9867m/s，蚁群算法直接基于原始优化模型获得的结果为 x_c＝91.5542m，y_c＝0m，θ＝0rad，Δv＝10.9921m/s，可以看出基于自适应 代理模型和基于原始优化模型的结果非常接近，完全满足工程需要。然而重 要的是自适应代理模型的计算时间不到蚁群算法的5％。

本实施例提供的基于自适应代理模型的平动点航天器编队重构方法，使 用多层自适应代理模型求解编队重构优化问题，很好地解决了计算精度和效 率之间的矛盾。本发明首先基于圆形限制性三体问题，建立航天器的受控动 力学方程。然后，基于展开面积最大和燃料消耗最小，建立多层优化模型， 该多层优化模型可以将航天器编队重构过程的变量减少为3个，对于求解效 率的提高有着很大的帮助。另外，本发明建立了一种自适应代理模型，能够 在消耗时间非常少的情况下得到满足精度要求的近似最优解。通过实施例表 明，自适应代理模型对于航天器编队重构问题，是非常合适的求解方法，相 对于基于原始模型的智能算法有着非常大的优势。另外，本发明克服了传统 的梯度类算法只能得到局部最优解和智能算法效率低下的不足。本发明针对 航天器编队重构问题，建立了合适的优化模型，并且利用自适应代理模型进 行求解，在保证求解精度的前提下大幅度提高了航天器编队重构求解效率。

最后应说明的是：以上各实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其 限制；尽管参照前述各实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术 人员应当理解：其对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部 分或者全部技术特征进行等同替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各 实施例技术方案的范围。