基于加速因子可行域选择的非平行贮存寿命试验评估方法

摘要

一种基于加速因子可行域选择的非平行贮存寿命试验评估方法，步骤如下：步骤一：计算加速因子和综合失效时间；步骤二：对加速因子可行域进行讨论；步骤三：运用最佳线性无偏估计方法进行参数选择；步骤四：计算对数可靠寿命的点估计和区间估计。本发明针对非平行贮存产品寿命评估中遗漏贮存数据的现象，在寿命服从威布尔分布的基础上，通过加速因子将贮存数据与试验数据综合，充分利用数据进行计算，保证了寿命模型参数估计的准确性，其算法对参数的初值要求较低，算法迭代快速简单，可操作性强。

说明书

技术领域

本发明涉及一种基于加速因子可行域选择的非平行贮存寿命试验评估方法，它针对威布 尔分布寿命模型，以产品不同的贮存数据和恒定应力加速寿命试验数据为基础，对加速因子 的可行域进行讨论，并运用最佳线性无偏估计的方法，对产品的寿命进行评估。适用于延寿 试验寿命评估等领域。

背景技术

对于价值昂贵的军用装备，到达贮存期之后，需要进行延寿试验重新评估其贮存寿命， 为下一步的工作计划做准备。由于样本数的限制，进行延寿试验的产品在试验前所经历的贮 存时间可能不相同，我们把这些产品称为非平行贮存产品。面对高可靠长寿命的产品，依靠 传统试验获得完全数据的方法不仅在时间周期上赶不上产品更新换代的速度，对经济也造成 很大的负担，所以延寿试验主要采用加速寿命试验。

目前的加速寿命试验评估方法主要针对的是新产品，而在实际应用中，非平行贮存产品 的寿命评估是在贮存了一定时间后进行的，贮存过程中温度、湿度、辐射等环境因素会导致 产品性能退化，贮存对于产品来说同样相当于一段试验过程。由于贮存过程中的环境应力与 试验应力相比相对较小，所以经常忽略贮存数据，只考虑加速寿命试验数据，但是贮存是一 个长期的过程，若忽略贮存信息，将造成评估的结果与真实值之间存在一定的误差，所以非 平行贮存产品的寿命评估不能简单的运用现有的方法来进行，必须考虑贮存过程中环境应力 对产品的影响。

基于此本发明提出一种基于加速因子可行域选择的非平行贮存寿命试验评估方法，将贮 存数据与加速寿命试验数据相结合，从而更加准确的评估出产品的寿命。

发明内容

(1)本发明的目的：针对非平行贮存产品在寿命评估时的贮存信息遗漏现象，提供一种综合 利用数据的寿命评估方法。以产品的贮存数据和恒定应力加速寿命试验数据为基础，对加速 因子的可行域进行讨论，并运用最佳线性无偏估计的方法，对产品的寿命进行评估。

(2)技术方案：

本发明提出的基本假设如下：

假设1产品寿命t服从威布尔分布，累计失效函数为

$F\left(t\right)=1-\exp (-{\left(\frac{t}{\eta }\right)}^m)---\left(1\right)$

其中，η为特征寿命，m为形状参数。

令y＝lnt，则转化为极值分布，其累积失效函数为

$F\left(t\right)=1-\exp (-\exp \left(\frac{y-\mu }{\sigma }\right))---\left(2\right)$

其中，位置参数μ＝lnη，尺度参数σ＝1/m。

假设2加速寿命试验各个应力水平下所有产品的失效机理一样，即寿命分布的尺度参数 σ相等。

假设3位置参数为应力的广义线性函数

其中S表示应力，表示跟应力有关的已知函数，。

假设4产品的残存寿命仅依赖于已累积的失效概率，和当时的应力水平、累积方式无关， 该假定被称为Nelson假设。

已知贮存一定时间的某产品进行恒定应力加速寿命试验，在应力水平S_j(j＝1,2,…,p) 下有n_j个样品进行定数截尾试验，贮存应力为S₀。共有q_j个样品失效，失效时间分别为 试验前的贮存时间依次为截尾时间为未失效产品的贮存时间 依次为

本发明提出的方法主要包括计算加速因子和综合失效时间、对加速因子可行域进行讨论、 运用最佳线性无偏估计进行参数选择、计算对数可靠寿命的点估计和区间估计。

基于上述假设与思路，本发明提供的一种基于加速因子可行域选择的非平行贮存寿命试 验评估方法，通过如下步骤实现：

步骤一：计算加速因子和综合失效时间。

根据假设4，我们可以得到：若产品在应力水平S_i下工作时间t_i的累积失效概率F_i等于在 应力水平S_j下工作时间t_j的累积失效概率F_j，则应力水平S_j下工作时间t_j可化为应力水平S_i下工作时间t_i。

若

F_i(t_i)＝F_j(t_j)

其中

则

并由此得到加速因子

K_ij表示应力水平S_j下工作时间t_j转化为应力水平S_i下工作时间t_i时的加速因子。

将贮存时间转化为应力水平S_j下的等效时间

$t_{\mathrm{ji}}^{S_0~S_j}=K_{j0}·t_{\mathrm{ji}}^0$

计算综合失效时间

步骤二：对加速因子可行域进行讨论。

由于加速因子中含有未知参数b，根据参数b的不同取值，加速因子会发生变化，导致综 合失效时间的大小发生变化，对步骤三的计算造成影响，所以需对b进行讨论，分情况进行 计算。

以应力水平S₁为例，共有n₁个样品进行定时截尾试验，其中q₁个样品失效，失效时间一 次为贮存时间依次为截尾时间为未失效产品的贮存时间分别 为综合失效时间依次为

将两两比较：

若t_1r＞t_1s，且r,s＝1,2…,n₁且r≠s，则T_1r＞T_1s；

若t_1r＞t_1s，或t_1r＜t_1s，则令T_1r＝T_1s，求出临界值b。

在应力水平S₁，可得到一组临界值

每个应力水平下分别进行讨论，得到j组b的临界值，将其按从小到大的顺序排列 b₁,b₂,…,b_f，其中f＝f₁+…+f_j，得到f+1个b的区间。

步骤三：运用最佳线性无偏估计方法进行参数选择。

以区间(b₁,b₂)为例

I、选择待估参数a,b,σ的初值其中

a,σ的初值建议选择：在忽略贮存时间的情况下运用最佳线性无偏估计的计算结果。

II、求出加速因子K_j0(j＝1,2,3,…,p)。

将贮存时间转化为应力水平S_j下的等效时间

$t_{\mathrm{ji}}^{S_0~S_j}=K_{j0}·t_{\mathrm{ji}}^0$

计算综合失效时间

$T_{\mathrm{ji}}=t_{\mathrm{ji}}+t_{\mathrm{ji}}^{S_0~S_j}$

III、根据综合失效时间的大小判断顺序统计量和区间统计量。

将按照从小到大的顺序排列得到即威布尔分布的前q₁个顺序 统计量，由此得到q₁+1个区间进行讨论。将按照从小到大的顺序排列得到 从中选取区间统计量。

以区间(Y₁₁,Y₁₂)为例，若中有s(s＝1,…,n₁-q₁+1)个在区间(Y₁₁,Y₁₂)中，则选 取最小的为第1个区间统计量。

对另外q₁个区间分别进行分析，选取所有的区间统计量。最终得到威布尔分布的顺序统 计量和区间统计量。

令y＝lnY，得到极值分布的顺序统计量和区间统计量。令得到标准极值 分布的顺序统计量和区间统计量。

用最佳线性无偏估计的方法求出参数估计值

IV、将估计值与初始值对比

若

$\left|\frac{{\hat{b}}_1-{\hat{b}}_0}{{\hat{b}}_0}\right|+\left|\frac{{\hat{a}}_1-{\hat{a}}_0}{{\hat{a}}_0}\right|+\left|\frac{{\hat{\sigma }}_1-{\hat{\sigma }}_0}{{\hat{\sigma }}_0}\right|<\Delta$

其中Δ为规定的误差值。

则得到a,b,σ的估计值

${\hat{b}=\hat{b}}_1,\hat{a}={\hat{a}}_1,\hat{\sigma }={\hat{\sigma }}_1$

否则，令

${\hat{b}}_0={\hat{b}}_1,{\hat{a}}_0={\hat{a}}_1,{\hat{\sigma }}_0={\hat{\sigma }}_1$

转入II。

步骤四：计算对数可靠寿命的点估计和区间估计。

给定可靠度R，置信度γ

对数可靠寿命的点估计

${\hat{y}}_R=\hat{a}+\hat{b}x+\hat{\sigma }\ln \ln \frac{1}{R}---\left(5\right)$

对数可靠寿命区间估计

${\hat{y}}_{R_L}=\hat{a}+{\hat{b}x+\mu }_R\hat{\sigma }-k\hat{\sigma }---\left(6\right)$

${\hat{y}}_{R_U}=\hat{a}+\hat{b}x+{\mu }_R\hat{\sigma }-k\hat{\sigma }---\left(7\right)$

其中

$k=u_{\gamma }\frac{u_{\gamma }(c_{13}+c_{23}x+c_{33}{u}_R)-\sqrt{w}}{c_{33}{u}_{\gamma }-1}$

$w={u_{\gamma }}^2{(c_{13}+c_{23}x)}^2+(1-c_{33}{u_{\gamma }}^2)(c_{11}+c_{22}{x}^2+2c_{12}x)+c_{33}{u_R}^2+2c_{13}{u}_R+2c_{23}{u}_{R}x$

其中，在步骤三中提到的“最佳线性无偏估计方法”，具体作法如下：

在应力S_j下，样本总数为n_j，为极值分布的前q_j个顺序统计量， $y_{j1}^{*}\le ...\le y_{{\mathrm{jm}}_j}^{*}(m_j\in \{1,...,q_1+1\left\}\right)$为该样本的m_j个区间统计量。

令

$Q=\underset{j=1}{\overset{p}{\Sigma }}\underset{k,l=1}{\overset{q_j+m_j}{\Sigma }}(y_{\mathrm{ik}}-a-{\mathrm{bx}}_j-\sigma u_{\mathrm{jk}})g_{\mathrm{jkl}}(y_{\mathrm{jl}}-a-b{x}_j-\sigma u_{\mathrm{jl}})---\left(8\right)$

求偏导即可得到参数a、b、σ的估计值。

参数估计量的协方差阵为

$\mathrm{cov}(\hat{a},\hat{b},\hat{\sigma })={\sigma }^{2}C---\left(9\right)$

$C={\left(\begin{array}{ccc}\underset{j,i,k}{\Sigma }{g}_{\mathrm{jik}}& \underset{j,i,k}{\Sigma }{g}_{\mathrm{jik}}{x}_j& \underset{j,i,k}{\Sigma }{g}_{\mathrm{jik}}{\mu }_{\mathrm{ji}}\\ \underset{j,i,k}{\Sigma }{g}_{\mathrm{jik}}{x}_j& \underset{j,i,k}{\Sigma }{g}_{\mathrm{jil}}{x_j}^2& \underset{j,i,k}{\Sigma }{g}_{\mathrm{jik}}{x}_j{\mu }_{\mathrm{ji}}\\ \underset{j,i,k}{\Sigma }{g}_{\mathrm{jik}}{\mu }_{\mathrm{ji}}& \underset{j,i,k}{\Sigma }{g}_{\mathrm{jik}}{x}_j{\mu }_{\mathrm{ji}}& \underset{j,i,k}{\Sigma }{g}_{\mathrm{jik}}{\mu }_{\mathrm{ji}}{\mu }_{\mathrm{ji}}\end{array}\right)}^{-1}$

其中，$C={\left(g_{\mathrm{jkl}}\right)}_{(q_j+m_j)\times (q_j+m_j)}=V^{-1}={\left(v_{\mathrm{jkl}}\right)}_{(q_j+m_j)\times (q_j+m_j)},$u_jk(k＝1,2,…,q_j)是标准极值分布总体大 小为n_j的样本的第k个顺序统计量的均值，v_jkl(k,l＝1,2,…,q_j)为标准极值分布总体大小为nj 的样本的第k个与第l个顺序统计量的协方差；u_jk(k＝q_j+1,…,q_j+m_j)为标准极值分布总体 大小为n_j+1的样本的第k+1个顺序统计量的均值，v_jkl(k,l＝q_j+1,q_j+m_j,k≤l)为标准极值 分布总体大小为n_j+2的样本的第k+1与第l+2个顺序统计量的协方差， v_jkl(k,l＝q_j+1,q_j+m_j,k＞l)为标准极值分布总体大小为n_j+2的样本的第l+1与第k+2个顺 序统计量的协方差，v_jkl(k＝1,2,…,q_j；l＝q_j+1,q_j+m_j)为标准极值分布总体大小为n_j+1的样 本的第k与第l+1个顺序统计量的协方差，v_jkl(l＝1,2,…,q_j；k＝q_j+1,q_j+m_j)为标准极值分布 总体大小为n_j+1的样本的第k+1与第l+1个顺序统计量的协方差，这些均值和协方差可通过 公式计算或查表得到。

(3)优点和功效：本发明是一种基于加速因子可行域选择的非平行贮存寿命试验评估方 法，其优点是：

①本发明针对非平行贮存产品寿命评估中遗漏贮存数据的现象，在寿命服从威布尔分布 的基础上，通过加速因子将贮存数据与试验数据综合，充分利用数据进行计算，保证了寿命 模型参数估计的准确性。

②本发明的算法对参数的初值要求较低，算法迭代快速简单，可操作性强。

附图说明

图1本发明所述方法流程图

具体实施方式

下面将结合实施例对本发明做进一步详细说明。

本发明的前期工作：

某贮存陀螺寿命服从威布尔分布，进行定时截尾加速寿命试验，评估其寿命，贮存时间 见表1。

贮存温度为20℃，试验温度分别为45℃、57℃、69℃、80℃。

加速模型为阿伦尼斯模型：

η＝Aexp(E/kT)   (10)

其中A为正常数，E为激活能，k＝1.38×10^-23J/K，为玻尔兹曼常数。

两边取对数，可得

lnη＝a+bx

其中a＝lnA，因此，特征寿命的对数是温度倒数的线性函数。

试验数据如表1。

表1试验数据

注：d表示天。

本发明基于加速因子可行域选择的非平行贮存寿命试验评估方法，见图1所示，具体实 施步骤如下：

步骤一：计算加速因子和综合失效时间。

加速因子

K_ij＝exp(b(1/T_i-1/T_j))

将贮存时间转化为应力水平S_j下的等效时间

$t_{\mathrm{ji}}^{S_0~S_j}=K_{j0}·t_{\mathrm{ji}}^0$

计算综合失效时间

$T_{\mathrm{ji}}=t_{\mathrm{ji}}+t_{\mathrm{ji}}^{S_0~S_j}=t_{\mathrm{ji}}+K_{j0}{·t}_{\mathrm{ji}}^0=t_{\mathrm{ji}}+\exp \left(b\left(b(1/T_j-1/T_0)\right)\right)·t_{\mathrm{ji}}^0$

步骤二：对加速因子可行域进行讨论。

通过观察表1中第一组试验的3个样本数据可以发现随着加速因子的不同，1和2两个 样本的综合失效时间大小会发生改变，令样本1和2的综合失效时间相等，得到b＝3415，b>3415 时，综合失效时间1<2。

观察表1中其它组试验数据，可以发现第3组试验中样本1和2,1和3的综合失效时间 的大小也会随着加速因子的不同发生改变。令第三组中样本1和2的综合失效时间相等，得 到b＝8505；令样本1和3的失效时间相等，得到b＝5184。b>8505时，综合失效时间1<2<3； 5184<b<8505，综合失效时间2<1<3；b<5184，综合失效时间2<3<1。

综上得到b的四个区间(-∞,3415),(3415,5184),(5184,8505),(8505,+∞)

步骤三：运用最佳线性无偏估计进行参数选择。

确定不同b值下顺序统计量及区间统计量的位置，如表2所示。

表2顺序统计量和区间统计量的位置

根据表2中的分析结果，我们将计算分为4组，计算结果如表3。

表3计算结果

步骤四：计算对数可靠寿命的点估计和区间估计，计算结果如表4。

表4可靠度为0.9，置信度为0.7的区间估计结果

  对数可靠寿命 可靠寿命 点估计 8.3287 4141.0307d(11.345a) 置信上限 8.3320 4154.7187d(11.383a) 置信下限 8.3253 4126.9751d(11.307a)

注：d表示天，a表示年。

所以基于前面所有过程，评估得产品的贮存寿命为13.345年。

结果表明，采用本发明方法可以实现非平行贮存产品的寿命评估，并与实际相符合，达 到预期的目的。

综上所述，本发明给出了一种基于加速因子可行域选择的非平行贮存寿命试验评估方法。 该方法针对威布尔分布寿命模型，以产品不同的贮存数据和恒定应力加速寿命试验数据为基 础，对寿命模型参数进行讨论，并运用最佳线性无偏估计的方法，对产品的寿命进行评估。 该方法的具体步骤是：首先根据加速模型计算加速因子和综合失效时间，然后对加速因子可 行域进行讨论，根据不同情况分别运用最佳线性无偏估计进行计算，确定模型参数的估计值， 根据给定的可靠度和置信度计算对数可靠寿命的点估计和区间估计。本发明同样适用于可转 化为对数位置-尺度族的对数正态分布等，以及定数截尾加速寿命试验的寿命评估，具有很强 的操作性。