一种基于ZVDD和PWM混合输入成型器的挠性航天器控制方法

摘要

一种基于ZVDD和PWM混合输入成型器的挠性航天器控制方法，它有五大步骤：步骤一：挠性航天器系统模型分析与构建；步骤二：挠性航天器的PD控制器设计及稳定性分析；步骤三：ZVDD和PWM混合输入成型器设计；步骤四：跟踪性能检验；步骤五：设计结束。本发明针对大挠性航天器系统，而给出的一种基于ZVDD和PWM混合输入成型器的挠性航天器PD控制方法，用于控制挠性航天器的姿态角度，它在航天航空自动控制技术领域里具有较好的实用价值和广阔的应用前景。

说明书

(一)技术领域

本发明涉及一种基于ZVDD和PWM混合输入成型器的挠性航天器控制方法，它是针 对大挠性航天器系统，而给出的一种基于ZVDD和PWM混合输入成型器的挠性航天器 PD控制方法，用于控制挠性航天器的姿态角度，属于自动控制技术领域。

(二)背景技术

为了达到速度最快和燃料消耗最少的目的，质量较轻的挠性材料在航天器中得到了 广泛的应用。这种大挠性、低阻尼的系统一旦受到其它扰动时很容易产生结构振动响应， 这将会影响航天器的定位精度和它上面精密仪器的正常工作，同时会引起构件的疲劳和 损伤。实际中如美国的Explorer－I，由于刚体本体附带的四根鞭状天线的不期望振动导 致卫星姿态翻转而失效；东方红三号卫星由于帆板挠性参数估计不准，导致频繁喷气， 帆板振荡。因此航天器挠性结构的振动控制问题的研究成为航天技术研究领域的一个重 要课题。

同时，在实现姿态再定向、挠性结构在空间展开、或者为了跟踪某空间目标，需要 挠性附件进行大角度和快速机动控制，由于动力学方程中许多非线性项都不能看成小量， 使得相应的机动动力学和控制问题成为强耦合的非线性问题。同时，由于各种干扰因素 的存在，以及航天器的模型不确定性问题，需要控制具有良好的鲁棒性。

近些年来，输入成型技术由于其良好的抑制振动能力以及较强的鲁棒性被广泛应用 于挠性航天器的控制当中。自上世纪50年代Smith提出了最早的输入成型形式，经过多年 的发展，输入成型，作为一种前馈控制方法在挠性结构体控制中已取得令人瞩目的成就。 这种技术的应用使得对挠性结构体的控制只带来很小的振动，甚至是在模型不确定和结 构非线性的情况下也可以取得较好的效果。在输入成型技术中，输入信号被一系列脉冲 调制(卷积)后再作用于控制对象，以产生比没有成型的输入信号小得多的振动。输入成 型的目标是设计这些脉冲的大小和时间来消除余振，在输入成型控制器中只有时间和幅 度需要存储，所以输入成型是一种非常实用的消除余振的方法。

在输入成型器的设计中需要考虑的一个问题就是：输入成型器的鲁棒性和持续时间 的冲突。由于系统建模误差的存在，所以输入成型器的设计要有一定鲁棒性标准。一般 来说，增加成型器的鲁棒性的代价就是增大成型器的持续时间，反之亦然。通过在系统 自然频率点求解振动方程的高阶导数，并使其为零，这样就可以增加系统的鲁棒性，例 如零振动零微分（ZVDD）输入成型器。与之对应，通过在成型器中加入负脉冲，可以大 大减少成型器的持续时间，即负脉冲输入成型器（Negative input shaper）。负脉冲成型器 又可分为单一幅值（Unity Magnitude，简称UM）负脉冲成型器和特殊幅值（Specified Negative Amplitude）负脉冲成型器，本发明就是采用的UM成型器，在UM成型器中脉冲 幅值A_i=±1。

但是，对于UM输入成型器脉冲作用时间，常规的解析法是无法求解的。即使是采用 数值法或者图形法这些非解析法求解，一旦脉冲的作用时间数量太多，就会使得求解过 程非常复杂和困难。针对上述问题，本发明采用脉宽调制（Pulse Width Modulation，简 称PWM）方法求解脉冲作用时间，大大简化计算过程，使得脉冲作用时间方便易得。

通过对ZVDD和PWM两者结合，既保证了输入成型器的鲁棒性，又能够降低输入成 型器的上升时间，保证了系统的响应速度。

这种技术背景下，本发明给出一种基于ZVDD和PWM混合输入成型器的挠性航天器 PD控制方法，用于大挠性航天器的姿态角度。采用这种控制不仅保证了闭环系统的稳定 性，还实现了大挠性航天器对预定姿态角度的快速且精确跟踪。

（三）发明内容

1、发明目的

本发明的目的是：为了克服现有控制技术的不足，而提供一种基于ZVDD和PWM混合 输入成型器的挠性航天器控制方法，它在保证闭环全局系统稳定的基础上，实现大挠性航天 器对预定姿态角度的快速且精确跟踪。

本发明是一种基于ZVDD和PWM混合输入成型器的挠性航天器控制方法，其设计思想 是：针对大挠性航天器系统模型，对第1挠性模态设计ZVDD输入成型器，对第2挠性模态设 计PWM输入成型器，之后将两个输入成型器进行耦合成一个混合成型器，然后再设计PD控 制器保证系统闭环的稳定性，同时实现了大挠性航天器对预定姿态角度的快速且精确跟踪。

2、技术方案

下面结合流程框图3中的步骤，具体介绍该设计方法的技术方案。

挠性航天器系统示意图如图2所示。

本发明一种基于ZVDD和PWM混合输入成型器的挠性航天器控制方法，该方法具体步 骤如下：

第一步挠性航天器系统模型分析与构建

闭环控制系统采用负反馈的控制结构，输出量是航天器的姿态角度。所设计的闭环控制 系统主要包括控制器环节和系统模型这两个部分，其结构布局情况见图1所示。

挠性航天器系统模型描述如下：

$\left(\begin{array}{c}J\stackrel{··}{\theta }+G\stackrel{··}{q}=u\\ G^T\stackrel{··}{\theta }+\stackrel{··}{q}+G\stackrel{·}{q}+\mathrm{Kq}=0\end{array},-,-,-,\left(1\right)\right)$

其中，J∈R^1×1，θ∈R^1×1，G∈R^1×2，q∈R^2×1，u∈R^1×1，C∈R^2×2，K∈R^2×2，R^m×n表 示m×n维的实数矩阵。另外，上述矩阵的具体表达式给出如下：

G=[G₁ G₂]，

q=[q₁ q₂]^Τ，

$C=\left(\begin{array}{cc}{2\zeta }_1{\omega }_1& 0\\ 0& {2\zeta }_2{\omega }_2\end{array}\right),$

$K=\left(\begin{array}{cc}{\omega }_1^2& 0\\ 0& {\omega }_2^2\end{array}\right),$

以上表达式中的各个参数的物理意义说明如下：

表1挠性航天器模型中参数的物理意义

为了便于设计，式（1）改写成如下形式：

$M\stackrel{··}{X}+N\stackrel{·}{X}+\mathrm{KX}=\mathrm{Bu}---\left(2\right)$

其中，$M=\left(\begin{array}{cc}J& G\\ G^T& I\end{array}\right),$X=[θ q₁ q₂]^T，$N=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& {2\zeta }_1{\omega }_1& 0\\ 0& 0& {2\zeta }_2{\omega }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& \Lambda \end{array}\right),$$K=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& {\omega }_1^2& 0\\ 0& 0& {\omega }_2^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& \Gamma \end{array}\right),$B=[1 0 0]^T。

如此处理的目的是将系统化为清晰简明系统方程，便于控制设计。

第二步挠性航天器的PD控制器设计及稳定性分析

为了保证系统的闭环稳定性，需要设计反馈控制器，本发明采用的是常见的PD控制 器。

考虑如下的PD控制器：

$T_h=-K_p(\theta -{\theta }_d)-K_d\stackrel{·}{\theta }---\left(3\right)$

其中，θ_d为期望的旋转姿态角，控制参数K_p>0，K_d>0。将控制律代入式（2），可得到 如下闭环系统：

$M\stackrel{··}{X}+N\stackrel{·}{X}+\mathrm{KX}=\left(\begin{array}{c}-K_p(\theta -{\theta }_d)-K_d\stackrel{·}{\theta }\\ 0\\ 0\end{array}\right)---\left(4\right)$

定义Lyapunov函数：

$V=\frac{1}{2}{\stackrel{·}{X}}^{T}M\stackrel{·}{X}+\frac{1}{2}{q}^T\mathrm{\Lambda q}+\frac{1}{2}{e}^T{K}_{p}e---\left(5\right)$

其中，e=θ-θ_d。由式（2）可知，M、Λ正定对称矩阵，K_p>0，则V≥0,当且仅当 θ=θ_d,$\stackrel{·}{\theta }=0,$$q=\stackrel{·}{q}=0$时，V≥0。

对上述Lyapunov函数求导并整理，则：

$\stackrel{·}{V}=-{\stackrel{·}{q}}^T\Gamma \stackrel{·}{q}-\stackrel{·}{\theta }{K}_d\stackrel{·}{\theta }---\left(6\right)$

由于Γ正定，且K_d>0，所以当且仅当时，所以闭环系统 的能量是不增的，从Lyapunov稳定意义上，系统是稳定的。

第三步ZVDD和PWM混合输入成型器设计

由于挠性航天器中含有两个挠性模态，所以在设计输入成型器时需要首先针对每个模态 设计输入成型脉冲，然后再将两个脉冲序列耦合，所以设计过程要分三个小步。

输入成型器的基本约束为：所有脉冲的幅度大小之和等于1，且每一个脉冲都是正脉 冲。即

$\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}{A}_i=1,A_i>0---\left(7\right)$

如果所有的脉冲幅度之和等于1，则经过成型后的输入信号的最后输出和没经过成型的 输入信号的最后输出完全一样，即该约束使加入输入成型器后不改变系统的最后输出。

对于给定的振动系统，其受m个脉冲力作用的余振方程可表示为：

$V(\omega ,\zeta )=e^{-\xi {\mathrm{\omega T}}_m}[{\left(\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}{A}_i{e}^{\xi {\mathrm{\omega T}}_i}\cos \left({\omega }_d{T}_i\right)\right)}^2+{{\left(\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}{A}_i{e}^{\mathrm{\xi \omega }{T}_i}\sin \left({\omega }_d{T}_i\right)\right)}^2]}^{1/2}---\left(8\right)$

其中，ω为系统的自然频率，ζ为系统的阻尼系数，A_i和T_i分别为第i 个脉冲力的幅值和作用时间，一般取T₁=0（即第一个脉冲时间为0时刻），T_m为最后一个脉 冲的作用时间，也是成型器的总长度。

第一小步：为第1个模态设计4脉冲零振动零微分（ZVDD）输入成型器。

根据高阶鲁棒成型器原理，m=4脉冲输入成型器的脉冲序列幅值A_i和作用时间T_i满足 以下约束条件：

$\left(\begin{array}{c}V({\omega }_1,{\zeta }_1)=0\\ \frac{\partial V({\omega }_1,{\zeta }_1)}{{\partial \omega }_1}=0\\ \frac{{\partial }^{2}V({\omega }_1,{\zeta }_1)}{{\partial \omega }_1^2}=0\\ T_{\mathrm{1,1}}=0\end{array},-,-,-,\left(9\right)\right)$

由式（7）、（8）、（9）可得第一模态的4脉冲输入成型器的脉冲序列幅值A_i和作用时 间T_i如下：

$A_{1,i}=\frac{\left(\begin{array}{c}i-1\\ 3\end{array}\right){\bar{K}}_1^{i-1}}{\underset{i=1}{\overset{4}{\Sigma }}\left(\begin{array}{c}i-1\\ 3\end{array}\right){\bar{K}}_1^{i-1}},$$T_{1,i}=\frac{(i-1)\pi }{{\omega }_1\sqrt{1-{{\zeta }_1}^2}}$(i=1,2,3,4)（10）

其中，ζ₁为1阶振动模态的阻尼系数；ω₁为1阶振动模态的振动频率， $\left(\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right)=\frac{m!}{n!(m-n)!}.$

第二小步：使用PWM方法为第2个模态设计3脉冲UM输入成型器。

由于设计的UM输入成型器，所以脉冲序列的幅值A_2,i=±1，且为了满足式（7），脉冲 个数m必须为奇数。

由V(ω₂,ζ₂)=0可得：

$\left(\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}{(-1)}^{i+1}{e}^{{\xi }_2{\omega }_2{T}_{2,i}}\cos \left({\omega }_d{T}_{2,i}\right)=0\\ \underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}{(-1)}^{i+1}{e}^{{\xi }_2{\omega }_2{T}_{2,i}}\sin \left({\omega }_d{T}_{2,i}\right)=0\end{array}\right)---\left(11\right)$

然后再用PWM方法求解脉冲序列的作用时间T_2i。

PWM方法的基本原理是：通过对参考信号（正弦波）和控制信号（三角波）的调制，在 两种信号的交点处获得脉冲作用时间点；然后将获得的时间序列代入式（8）中，检验是否满 足约束条件V(ω₂,ζ₂)=0；若满足，即为脉冲作用时间的解。

下面结合图4，简述一下PWM方法求解脉冲作用时间求解过程：

a)开始计算脉冲作用时间；

b)确定系统的自然频率ω₂和组尼系数ζ₂，控制信号（三角波）和参考信号（正弦波） 的幅值M_c、M_r。

c)确定参考信号的周期T_r=2π/ω₂；

d)确定控制信号的周期T_c；

e)减小控制信号的周期T_c；

f)获得控制信号与参考信号的交点的时间序列；

g)将时间序列代入式（8）中，验证是否V(ω₂,ζ₂)为最小值。是，则继续进行第h步； 否，则跳到第e步。

h)验证V(ω₂,ζ₂)=0。是，则进行第i步；否，则减小参考信号的幅值M_r，并跳到第d 步。

i)结束。

根据上述PWM算法，可以求解得到第2个模态的脉冲作用时间T_2,i(i=1,2,3)。

第三小步：将两个模态的脉冲序列做卷积运算，卷积结果在与输入信号进行卷积。

由第一、二小步的计算可得：

A_1,i(i＝1,2,3,4)第1模态输入成型器的脉冲幅值

T_1,i(i=1,2,3,4)第1模态输入成型器的脉冲作用时间

A_2,i(i=1,2,3)第2模态输入成型器的脉冲幅值

T_2,i(i＝1,2,3)第2模态输入成型器的脉冲作用时间

两个脉冲序列进行卷积：

A_mult=[A_1,1δ(t-T_1,1)+A_1,2δ(t-T_1,2)+A_1,3δ(t-T_1,3)+A_1,4δ(t-T_1,4)] （12）

*[A_2,1δ(t-T_2,1)+A_2,2δ(t-T_2，2)+A_2，3δ(t-T_2,2)]

卷积结果A_mult与输入信号r进行卷积，形成系统的最终输入信号：

u_r=r*A_mult    （13）

第四步跟踪性能检验

这一步将检验系统跟踪性能是否满足设计要求，见图4所示。借助于常用的数值计算和 控制系统仿真工具Matlab 7.0进行。

由于在实际应用中，挠性航天器的姿态角度预期信号一般为阶跃信号，所以在这一步中 对系统给定一个阶跃信号，然后检验系统的输出量（姿态角度）是否满足设计要求。

第五步设计结束

整个设计过程重点考虑了四个方面的控制需求，分别为设计的简便性，闭环系统的稳定 性，挠性模态的抑制、跟踪的快速精确性。围绕这四个方面，首先在上述第一步中确定了挠 性航天器系统模型；第二步中重点给出了挠性航天器PD控制控制器设计方法；第三步中主要 介绍了用输入成型器调制输入信号的过程，分三个小步进行；经上述各步骤后，设计结束。

3、优点及功效

本发明一种基于ZVDD和PWM混合输入成型器的挠性航天器控制方法，用于跟踪挠性 航天器的姿态角度。具体优点包括三个方面：其一，与目前存在的处理方法相比，这种方法 设计的PD控制器较简单易实现，并且在计算UM输入成型器时采用了PWM算法，大大简化 了计算的工作量；其二，采用的是PD控制器和UM输入成型器，所以系统能够快速精准的跟 踪输入信号，其三，采用了基于ZVDD和PWM混合输入成型器，降低了挠性航天器的挠性 振动，使其能够稳定的跟踪输入信号，又保证了系统的鲁棒性和响应时间。

（四）附图说明

图1：本发明挠性航天器控制系统示意图

图2：本发明挠性航天器结构示意图

图3：本发明基于ZVDD和PWM混合输入成型器的挠性航天器PD控制方法流程示意图

图4：本发明PWM算法流程示意图

图5：输入信号和输入成型器调制后的输入信号

图6.1：未加输入成型器时第1挠性模态变化曲线

图6.2：未加输入成型器时第1挠性模态变化率曲线

图6.3：未加输入成型器时第2挠性模态变化曲线

图6.4：未加输入成型器时第2挠性模态变化率曲线

图6.5：加入输入成型器时第1挠性模态变化曲线

图6.6：加入输入成型器时第1挠性模态变化率曲线

图6.7：加入输入成型器时第2挠性模态变化曲线

图6.8：加入输入成型器时第2挠性模态变化率曲线

图7.1：未加输入成型器时挠性航天器输出量（姿态角度）曲线

图7.2：未加输入成型器时挠性航天器输出量（姿态角度）曲线

图8：PWM算法余振幅度变化曲线

图中的标号、符号和线条等说明如下：

图5、图6.1-6.8、图7.1-7.2中的横坐标表示仿真时间，单位是秒；图5中纵坐标表示输入 信号和调制后信号角度，单位是弧度；图6.1、6.3、6.5、6.7中纵坐标表示挠性航天器挠性模 态，单位是毫米；图6.2、6.4、6.6、6.8中纵坐标表示挠性航天器挠性模态变化率，单位是毫 米/秒；图7.1、7.2中纵坐标表示挠性航天器跟踪角度，单位是弧度；图8中x坐标表示参考信 号幅值与控制信号幅值比值，y坐标表示参考信号周期与控制信号周期的比值，z坐标表示 余振幅度。

（五）具体实施方式

本发明设计目标包括三个方面：其一，实现挠性航天器控制设计的简单化；其二，使用 输入成型器对输入信号进行调制，抑制挠性模态的振动；其三，实现闭环系统的挠性航天器 姿态角度快速精确跟踪预定轨迹。其三具体指标是：挠性航天器的姿态角度在10秒内跟踪误 差小于0.05弧度角，挠性航天器挠性模态的振动幅值小于0.1毫米。图1是本发明挠性航天器 系统示意图。

具体实施中，挠性航天器的输入成型器、控制方法和闭环控制系统的仿真和检验都 借助于Matlab7.0中的Simulink工具箱来实现。这里通过介绍一个具有一定代表性的实施 方式，来进一步说明本发明技术方案中的相关设计。

实施方式（一）通过设计输入成型器的脉冲幅值和作用时间以及PD控制器的K_p、K_d。 值以实现挠性航天器姿态角度跟踪的精确性和快速性。

实施方式（一）

见图3，本发明一种基于ZVDD和PWM混合输入成型器的挠性航天器控制方法，该方法 具体步骤如下：

第一步：挠性航天器控制系统模型分析与构建

闭环控制系统采用负反馈的控制结构，输出量为挠性航天器姿态角度。所设计的闭环控 制系统主要是出入成型器、控制器环节和系统模型这两个部分，其结构布局情况见图2所 示。

挠性航天器控制系统模型$\left(\begin{array}{c}J\stackrel{··}{\theta }+G\stackrel{··}{q}=u\\ G^T\stackrel{··}{\theta }+\stackrel{··}{q}+G\stackrel{·}{q}+\mathrm{Kq}=0\end{array}\right)$中，根据实际工程系统数据，参数选取 如下：

J＝176.9kg·m²，

G=[8.97 2.4]，

ω₁=1.2rad/s，ω₂=3.4rad/s，

ξ₁=ξ₂=0.01，

$C=\left(\begin{array}{cc}{2\zeta }_1{\omega }_1& 0\\ 0& {2\zeta }_2{\omega }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0.0024& 0\\ 0& 0.0068\end{array}\right),$

$K=\left(\begin{array}{cc}{\omega }_1^2& 0\\ 0& {\omega }_2^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1.44& 0\\ 0& 11.56\end{array}\right),$

第二步：挠性航天器的PD控制器设计

如图1所示，采用状态量(角度和角速度信号)的负反馈控制结构。利用Matlab 7.0环 境下的.m语言编程实现挠性航天器PD控制器的结构和功能。即控制器的输入信号是误差信 号(由参考信号减去输出信号求得)以及误差信号的微分。根据设计步骤中第二步的稳定性分 析：PD控制器的两个参数满足K_p>0、K_d>0。同时为了保证系统满足设计指标，根据实际 的工程设计经验值K_p=200、K_d=250。

第三步：ZVDD和PWM混合输入成型器设计

由于挠性航天器中含有两个挠性模态，所以在设计输入成型器时需要首先针对两个挠性 模态分别输入成型器，然后再将两个脉冲序列耦合，所以设计过程要分三个小步。

第一小步：为第1个模态设计4脉冲零振动零微分（ZVDD）输入成型器。

第一模态的振动频率和阻尼系数分别为：ω₁=1.2rad/s、ξ₁=0.01。根据高阶鲁邦成型 器原理：

$A_{1,i}=\frac{\left(\begin{array}{c}i-1\\ 3\end{array}\right){\bar{K}}_1^{i-1}}{\underset{i=1}{\overset{4}{\Sigma }}\left(\begin{array}{c}i-1\\ 3\end{array}\right){\bar{K}}_1^{i-1}},$$T_{1,i}=\frac{(i-1)\pi }{{\omega }_1\sqrt{1-{{\zeta }_1}^2}}$(i＝1,2,3,4)

其中，ζ₁为1阶振动模态的阻尼系数；ω₁为1阶振动模态的振动频率， $\left(\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right)=\frac{m!}{n!(m-n)!}.$

由此可以得到第1模态输入成型器脉冲序列的幅值和作用时间，如表2所示：

表2第1模态输入成型器脉冲序列的幅值和作用时间

  幅值   作用时间   A_1，1  0.1310   T_1,1  0   A_1，2  0.3808   T_1,2  2.6181   A_1，3  0.3690   T_1,3  5.2362   A_1，4  0.1192   T_1,4  7.8544

第二小步：使用PWM方法为第2个模态设计3脉冲UM输入成型器。

第一模态的振动频率和阻尼系数分别为：ω₁=3.4rad/s、ξ₁=0.01，本发明采用的 3脉冲UM输入成型器。根据UM成型器原理，第2模态输入成型器脉冲序列的幅值 A_i=±1；根据PWM算法计算输入成型器的脉冲序列作用时间。具体PWM算法如下：

下面结合图4，简述一下PWM算法求解脉冲作用时间求解过程：

a)开始计算脉冲作用时间；

b)确定系统的自然频率ω₁=3.4rad/s和组尼系数ξ₁=0.01，控制信号（三角波）和参考 信号（正弦波）的幅值M_c=1、M_r=1。

c)确定参考信号的周期T_r=2π/ω₂=1.848；

d)确定控制信号的周期T_c=T_r；

e)减小控制信号的周期T_c=T_c-0.001；

f)获得控制信号与参考信号的交点的时间序列T_2，i(i=1,2,3)；

g)将时间序列代入式（8）中，验证是否V(ω₂,ζ₂)为最小值。是，则继续进行第h步；

否，则跳到第e步。

h)验证V(ω₂,ζ₂)=0。是，得到时间序列T_2,i(i=1,2,3)，且进行第i步；否，则减小参考 信号的幅值M_r=M_r-0.001，并跳到第d步。

i)结束。

在上述的算法中定义变量并设0≤MI≤1、3≤γ≤10，绘出余振幅 度V(ω₂,ζ₂)关于MI,γ的变化曲线如图8所示。

根据以上算法可以得到第2模态输入成型器脉冲序列的作用时间。

表3第2模态输入成型器脉冲序列的幅值和作用时间

  幅值   作用时间   A_2,1  1   T_2,1  0   A_2,2  -1   T_2,2  0.3130   A_2,3  1   T_2,3  0.6160

第三小步，将两个模态的脉冲序列做卷积运算，卷积结果在与输入信号进行卷积。 根据上两步得到的结果，两个脉冲序列进行卷积：

A_mult=[A_1,1δ(t-T_1,1)+A_1,2δ(t-T_1,2)+A_1,3δ(t-T_1,3)+A_1,4δ(t-T_1,4)]

*[A_2,1δ(t-T_2,1)+A_2,2δ(t-T_2,2)+A_2,3δ(t-T_2,2)]

卷积结果A_mult与输入信号r进行卷积，形成系统的最终输入信号：

u_r＝r*A_mult

=r*[A_1,1δ(t-T_1,1)+A_1,2δ(t-T_1,2)+A_1,3δ(t-T_1,3)+A_1,4δ(t-T_1,4)]

*[A_2,1δ(t-T_2,1)+A_2,2δ(t-T_2,2)]

=A₁·r(t-t₁)+A₂·r(t-t₂)+A₃·r(t-t₃)+A₄·r(t-t₄)

+A₅·r(t-t₅)+A₆r(t-t₆)+A₇·r(t-t₇)+A₈·r(t-t₈)

+A₉·r(t-t₉)+A₁₀r(t-t₁₀)+A₁₁·r(t-t₁₁)+A₁₂·r(t-t₁₂)

其中，上式中各个符号的含义和具体数值为：

A₁=A_1,1·A_2,1=0.1310,t₁=T_1,1+T_2,1=0.0000;

A₂=A_1,1·A_2,2=-0.1310,t₂=T_1,1+T_2,2=0.3130;

A₃=A_1，1·A_2,3=0.1310,t₃=T_1,1+T_2,3=0.6160;

A₄=A_1,2·A_2,1=0.3808,t₄=T_1,2+T_2,1=2.6181;

A₅=A_1,2·A_2,2=-0.3808,t₅=T_1,2+T_2,2=2.9311;

A₆=A_1,2·A_2,3=0.3808,t₆=T_1,2+T_2,3=3.2341;

A₇=A_1，3·A_2,1=0.3690,t₇=T_1,3+T_2,1=5.2362;

A₈=A_1，3·A_2,2=-0.3690,t₈=T_1,3+T_2,2=5.5492;

A₉=A_1，3·A_2,3=0.3690,t₉=T_1,3+T_2,3=5.8522;

A₁₀=A_1,4·A_2,1=0.1192,t₁₀=T_1,4+T_2,1=7.8544;

A₁₁=A_1,4·A_2,2=-0.1192,t₁₁=T_1,4+T_2,2=8.1674;

A₁₂=A_1,4·A_2,3=0.1192,t₁₂=T_1,4+T_2,3=8.4704;

调制后的输入信号结果u_r如图5所示。

第四步：跟踪性能检验

这一步将检验系统跟踪性能是否满足设计要求，见图4所示。借助于常用的数 值计算和控制系统仿真工具Matlab 7.0进行。

由于在实际应用中，挠性航天器的姿态角度预期信号一般为阶跃信号，所以对挠性航天 器给定120°的大角度姿态机动，然后检验系统的输出量（姿态角度）是否满足设计要求。最 终仿真结果见图6.1-6.8所示。分别采用未加入输入成型器和加入输入成型器两种情况进行 闭环控制跟踪性能仿真实验，结果如图7.1和图7.2所示。

根据仿真结果得到以下结论：首先是闭环系统能够跟踪预期的输入信号；其次，加入输 入成型器之后，系统的挠性模态的振动得到了抑制，并且挠性航天器的输出量（姿态角度） 也能够更快速更精准的跟踪预定输入信号。

第四步：设计结束

整个设计过程重点考虑了四个方面的控制需求，分别为设计的简便性，闭环系统的稳定 性，挠性模态的抑制、跟踪的快速精确性。围绕这四个方面，首先在上述第一步中确定了挠 性航天器系统模型；第二步中重点给出了挠性航天器PD控制控制器设计方法；第三步中主要 介绍了用输入成型器调制输入信号的过程，分三个小步进行；经上述各步骤后，设计结束。