信号创新的稀疏取样

摘要

获取信号(包括来自与香农定理相关联的带限信号的子空间外部的信号)同时仍提供可接受的重建。在一些方面中，结合稀疏取样技术来使用去噪声处理。举例来说，可使用利用卡德茨沃算法的去噪声处理来减少与所取样信息相关联的噪声的量。在一些方面中，所述去噪声处理可为迭代的，使得重复所述去噪声处理，直到将样本去噪声到足够程度为止。在一些方面中，所述去噪声处理将所接收样本集合转换成对应于具有有限创新速率(FRI)的信号或对应于此信号的近似的另一集合。在一些方面中，本发明涉及去噪声处理与消减滤波器方法的组合，以从有噪声的经稀疏取样的信号中检索信息。在一些方面中，本发明涉及基于与所述信号相关联的噪声来确定待用于对所述信号取样的取样核。在一些方面中，本发明涉及基于与信号相关联的噪声来确定在一时间周期内从所述信号获得的样本的数目。在一些方面中，本发明涉及确定所接收信号的有限的创新数目。

说明书

根据35U.S.C.§119主张优先权

本申请案主张2008年1月29日的申请且转让代理人案号为080467P1的共有美国临时专利申请案第61/024,490号及2008年5月28日申请的且转让代理人案号为080467P2的美国临时专利申请案第61/056,565号的权利及优先权，其每一者的揭示内容以引用的方式并入本文中。

相关申请案的交叉参考

本申请案涉及标题为“信号创新的稀疏取样(SPARSE SAMPLING OF SIGNALINNOVATIONS)”且转让代理人案号为080467U1的同时申请且共有的美国专利申请案第12/139,079号，其揭示内容以引用的方式并入本文中。

技术领域

本申请案大体上涉及信号处理，且更明确地说(但非独占地)涉及无线电信、信号获取及重建。

背景技术

信号获取及重建在信号处理中处于核心地位，且取样定理在连续时间现象与此类现象的离散时间表示之间提供桥梁。众所周知的取样定理通常被归为香农定理(Shannon)，且为精确取样及内插公式给出充分条件，即，带限性(bandlimitedness)。最小取样速率(模拟信号的带宽的两倍)通常被称作奈奎斯特(Nyquist)速率。

香农情况为特定实例，其中来自由BL表示的带限信号的子空间的任何信号可经由取样来获取且从所述样本极佳地内插。通过使用正弦(sinc)核或理想低通滤波器，将使非带限信号投影到子空间BL上。

以引用的方式并入的国际专利申请案WO 02/078197开发出用于较大类的非带限信号(例如，迪拉克(Dirac)流、非均一样条及分段多项式)的取样方案。这些信号的共同特征为其具有具有限数目的自由度(或为在每一周期中有限的数值)的参数表示，且可由有限样本集合来极佳地重建。

发明内容

本发明的样本方面的概要如下。应理解，本文中对术语方面的任何提及可指代本发明的一个或一个以上方面。

在一些方面中，本发明涉及获取信号(包括来自与香农定理相关联的带限信号的子空间外部的信号)，同时仍提供可接受的重建。在一些方面中，此可涉及利用正重建的信号的某类稀疏性。经由使用以由每单位时间信号分量的稀疏程度来表征的速率进行的稀疏取样，可避免奈奎斯特约束条件，同时对信号准确地取样及重建。在一些方面中，以信号创新的速率来执行取样。

在一些方面中，本发明涉及结合稀疏取样技术来使用去噪声处理。举例来说，可使用利用卡德茨沃(Cadzow)算法的去噪声处理来减少与所取样信息相关联的噪声的量。在一些方面中，去噪声处理可为迭代的，使得重复去噪声处理，直到将样本去噪声到足够程度为止。此去噪声处理在应用于以子奈奎斯特速率取样的信号时尤其有用，但也可用于以高于奈奎斯特速率的速率取样的带限信号。

在一些方面中，去噪声处理将所接收样本集合转换成对应于具有有限创新速率(FRI)的信号或对应于此信号的近似的另一集合。去噪声处理因此移除或减少噪声的至少一个分量，即，使信号具有非有限创新速率的分量。在一个方面中，由去噪声处理传递的样本集合的参数(振幅(权重)及位置(相位、位移))仍可为有噪声的，但信噪比通过此处理得以改进。

有限数目的卡德茨沃迭代的输出因此不仅经“去噪声”，且实际上为具有有限创新速率的信号，与有噪声的信号非常不同。通过使用足够数目的卡德茨沃迭代，所述输出可为FRI信号(即，约1e-10)。可由均一样本序列或由提供这些样本的参数集合(创新)来等效地表示此FRI信号。通过使用消减滤波器技术来执行所述两个表示之间的切换。在所揭示的方法中，此技术可被简化为取样操作的反向操作。

对于参数模型的检索，可使用子空间技术。更明确地说，从样本导出的系数矩阵具有可被利用的结构及秩条件。作为一实例，傅立叶系数矩阵为托普利兹矩阵，且在时域信号中存在K个迪拉克时具有秩K。因此，可使用奇异值分解来获得对有噪声矩阵的秩K近似，其为子空间近似。

在一些方面中，本发明涉及一种方法，其中具有非有限创新速率的信号(例如，有噪声信号)可经由取样而获取且被投影到具有有限创新速率的信号的子空间上，从而允许从所述样本进行的极佳或至少改进的内插。

在一些方面中，本发明涉及基于与信号相关联的噪声确定在时间周期内从所述信号获得的样本的数目。举例来说，可基于已知或假定的信噪比及/或基于所重建信号的所要准确度来选择样本数目。

在一些方面中，本发明涉及基于与所述信号相关联的噪声来确定(例如，界定)将用于对所述信号取样的取样核(sampling kernel)。举例来说，信号中噪声的量及类型可影响取样核的带宽及/或将用于对所述信号进行取样的取样核的类型。取样核的带宽又可影响要获取的样本数目。

在一些方面中，本发明涉及确定所接收信号的有限创新数目。举例来说，可基于是基于所接收信号界定的至少一个矩阵的至少一个秩来确定信号的创新数目。在一些方面中，此矩阵可与消减滤波器相关联。

在一些方面中，本发明还涉及去噪声处理与消减滤波器方法的组合，以便从有噪声的经稀疏取样的信号检索信息。

附图说明

本发明的这些及其它样本方面将描述于下文的详细描述及所附权利要求书中及附图中，其中：

图1为通信接收器的若干样本方面的简化框图，具有对在模拟部分及在数字部分中的潜在噪声扰动的示意性指示；

图2为通信接收器的若干样本方面的简化框图，具有对在模拟部分及在数字部分中的潜在噪声扰动的示意性指示；

图3为通信系统的若干样本方面的简化框图；

图4为通信组件的若干样本方面的简化框图；以及

图5A及图5B为如本文所教示经配置以提供信号获取及重建的设备的若干样本方面的简化框图。

根据惯例，图式中所说明的各种特征可能并未按比例绘制。因此，为清楚起见，可任意扩大或缩小各种特征的尺寸。另外，为清楚起见，可简化图式中的一些。因此，所述图式可能未描绘给定设备(例如，装置)或方法的所有组件。最后，在整个说明书及图式中，可使用相同参考数字来表示相同特征。

具体实施方式

在下文描述本发明的各种方面。应显见，本文中的教示可以广泛各种形式来体现，且本文中所揭示的任何特定结构、功能或其两者仅为代表性的。基于本文中的教示，所属领域的技术人员应了解，本文中所揭示的方面可独立于任何其它方面来实施，且这些方面中的两者或两者以上可以各种方式组合。举例来说，可使用任何数目的本文中所陈述的方面来实施设备或实践方法。另外，可使用除了本文中所陈述的方面中的一者或一者以上之外或不同于本文中所陈述的方面中的一者或一者以上的其它结构、功能性或结构及功能性来实施此种设备或实践此种方法。此外，方面可包含权利要求书的至少一个元素。

最初参看图1及图2，将以理论方式来描述本发明的取样及重建方案。图1涉及一种系统，其可用于无噪声的情况，且潜在地，用于大体上无噪声的情况(例如，噪声的影响可被忽略或将被自动地补偿)。所述系统包含可能将模拟噪声ε(t)添加到所发射信号(“另一”信号)x(t)的传输信道。在所述传输信道上发射的模拟信号y(t)由设备302中的合适接收器305接收。接收器305可包含(例如)天线及射频部分(未图示)。在一些方面中，设备302可包含使用取样核对所接收信号y(t)进行取样的取样器。举例来说，在图1中，所接收信号y(t)通过具有合适带宽的合适取样核(例如，正弦滤波器)来滤波。接着以取样频率1/T对经滤波的信号取样且可能将其量化。应了解，在一些方面中，取样器可包含取样滤波器的至少一部分。在一些方面中，接收器305、取样核(例如，基于取样核的滤波器)或取样器中的至少一者可实施于设备302中的电路中。

接收器305或设备302中别处的量化处理、误差校正或各种扰动可将数字噪声ε(n)添加到经取样的信号y(n)(在本文中其可被称作y_n)。此处，应了解，“额外块”仅希望说明(例如)在某点可将数字噪声ε(n)赋予经取样的信号y(n)，借此估计器303的输入可为包含y(n)及ε(n)的复合信号。在图1所说明的实例中，如将描述的，模拟噪声ε(t)及数字噪声ε(n)均为空值或与信号相比至少为低的，使得可不需要去噪声处理。

为了重建原始信号x(t)，接着在频域中使用(例如)快速傅立叶变换(FFT)或另一合适变换来转换具有额外数字噪声ε(n)的经取样信号y(n)。接着计算消减滤波器(作为估计器303的部分)，以便通过在估计器中对线性系统解析来检索位移t_k，及接着检索权重x_k。接着可从所检索的创新集合t_k、x_k(例如，由对位移及权重的估计)来准确地重建原始信号x(t)。在一些情况下，不需要对另一信号x(t)(在本文中其可被称作x_t)进行完整重建，且检索对应于此信号的一些信息(“创新”)可为足够的，例如仅检索位移t_k、仅检索权重x_k，及/或其它与x(t)有关的信息。

图2涉及可用于有噪声信号的情况的系统。与图1相比较，在此系统中，估计器303还包含用于由不具有噪声或具有很少噪声的近似(即，样本的“经去噪声”序列(y′_n))来替换经取样的信号y(n)(或此信号的FFT变换)的去噪声器。在此上下文中，“经去噪声”意味着已移除或减少噪声的至少一部分。去噪声器因此为将有噪声信号转换成另一信号的设备、部分或软件模块，可从所述另一信号计算出对所需信息的更好、更少噪声的估计。

在图2的实例中，消减滤波器及线性系统显示为实施于处理器组件306中。因此使用类似消减滤波器及通过对类似线性系统解析而从经去噪声的信号y′(n)(在本文中其可被称作y′_n)检索权重x_k及位移t_k，或与另一信号x(t)有关的其它信息。可将去噪声应用于在时域中或如所说明在频域中在合适变换(例如，快速傅立叶变换(FFT))之后的样本。

在图1及图2的方面中，用于对(经滤波)所接收信号y(t)(在本文中其可被称作y_t)取样的取样速率1/T可为子奈奎斯特速率，即，低于应用于另一信号x(t)及/或所接收信号y(t)的由香农定理给出的最小取样速率，同时仍允许对另一信号x(t)的准确或(如果信噪比足够)甚至极佳的重建。与取样速率相关联的选项中的一者为选择其高于另一信号x(t)的有限创新速率ρ。所述方法因此甚至应用于非带限信号(例如，迪拉克序列、矩形信号、分段多项式信号、具有有限持续时间及在此持续时间期间有限数目的创新的任何信号、在每一周期期间具有有限数目的创新的任何周期信号等)，或应用于包括使其不为带限的噪声分量的信号y(t)。

用于对所接收信号y(t)取样的取样速率1/T因此主要取决于另一信号x(t)的创新速率。此创新速率可为先前已知、估计、假定或从信号本身检索的，例如在接收器中。取样速率还取决于噪声ε(t)及ε(n)的电平(例如，取决于信噪比)，其也可为先前已知、估计、假定或从所接收信号检索的。另外，对取样速率的确定取决于想要检索的信息的所要准确程度。在一方面中，对取样速率的确定是基于所重建信号的信噪比与所预期信噪比的假设之间的比较。因此，在一些方面中，可在由设备302在接收到另一信号x(t)之前界定取样速率。在一些方面中，设备302(例如，估计器、接收器、取样器或专用速率确定电路中的一者或一者以上)可基于对噪声的估计(例如，所估计的信噪比)、所要准确程度、信噪比的比较或创新速率(例如，基于如下文所论述可确定的K)来确定取样速率。

取样核(更明确地说，用作取样核的带宽及/或函数)也可取决于另一信号x(t)的创新速率及/或噪声，或信噪比，或噪声的类型，或更通常取决于对模拟噪声ε(t)及/或数字噪声ε(n)的估计。因此，在一些方面中，设备302(例如，估计器、接收器、取样器或专用核界定电路中的一者或一者以上)可基于噪声(例如，对噪声的估计)或创新速率(例如，基于如下文所论述可确定的K)来界定所述核(例如，通过调整可调整核滤波器的带宽)。

将结合图3来描述此方案的样本实施方案。图3说明具有发射器301的通信系统，发射器301在有噪声的通信信道(例如，无线或有线的通信信道)上发送模拟信号x(t)。如下文所描述，设备302接收基于x(t)及基于由通信信道添加的噪声ε(t)的信号y(t)(例如，信号y(t)为包含x(t)及ε(t)的复合信号)，及通过以子奈奎斯特速率对y(t)进行取样、可能对经取样的信号去噪声，及应用合适的消减滤波器及线性系统估计方法来检索对应于x(t)的信息。

具有有限创新速率的信号

使用正弦核(界定为sinc t＝sinπt/πt)，带限于[-B/2，B/2]的信号x(t)可表示成方程式1中所陈述的：

$>x\left(t\right)=\underset{k\in Z}{\Sigma }{x}_k\sin c(\mathrm{Bt}-k)---\left(1\right)$>

其中x_k＝＜B sinc(Bt-k)，x(t)＞＝x(k/B)。

或者，可说成信号x(t)具有每秒B自由度，因为由间隔T＝1/B秒的实数序列{x_k}_k∈Z精确地界定x(t)。此可被称作带限处理的创新速率，由ρ表示，且等于B。

带限信号的空间的推广为位移不变信号的空间。给定基底函数所述基底函数以T的倍数而正交于其位移或通过在(1)中用替换正弦函数获得的函数的空间界定位移不变空间S。对于此类函数，创新速率再次等于ρ＝1/T。

对于通用稀疏源，例如泊松(Poisson)处理，其为迪拉克脉冲集合，其中t_k-t_k-1为以ρ.d.f.λe^-λt来指数分布的。此处，创新为位置(或位移)集合{t_k}_k∈Z。因此，创新速率为每单位时间迪拉克的平均数：ρ＝lim_T→∞C_T/T，其中C_T为在时间间隔[-T/2，T/2]中迪拉克的数目。此类似基于由香农引入的每单位时间的平均熵的源的信息速率的概念。在具有衰减率λ的泊松情况下，两个迪拉克之间的平均延迟为1/λ；因此，创新速率ρ等于λ。

推广涉及加权的迪拉克，如方程式2中所陈述：

$>x\left(t\right)=\underset{k\in Z}{\Sigma }{x}_k\delta (t-t_k)---\left(2\right)$>

通过类似自变量，在此种情况中ρ＝2λ，因为位置(位移)及权重两者为自由度。

在下文描述用于经稀疏取样的信号类型的取样定理，其中每单位时间获取ρ个样本，所述样本极佳地描述原始信号，因此允许原始信号的极佳重建，如同香农取样程序但具有较少样本或较低取样速率。

根据一个方面，取样速率应(至少)为ρ(原始信号的创新速率)。在许多相关情况中，可展示所述取样速率为足够的。原型稀疏信号为经由合适取样核观测到的迪拉克的总和。在此情况下，可证明在创新速率下的取样定理。除了表示定理的问题之外，描述展示方法的实用性的有效计算程序。接下来，解决在这些条件下噪声的稳健性及最佳估计程序的问题。此处，将描述实现接近最佳的性能的在噪声中估计稀疏信号的算法。此可通过计算指示对创新参数的无偏估计的最佳性能的克拉美-罗界(Cramer-Rao bound)来进行。请注意，当信噪比弱时，算法是迭代的，且因此用计算复杂性来交换估计性能。为便利起见，表1陈述本文所使用的若干记号。

表1

以信号的创新速率对信号进行取样

位于时间t_k∈[0，τ]处的具有振幅x_k的K个迪拉克δ(t)的τ周期流可表示成：

$>x\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}\underset{k^{\prime }\in Z}{\Sigma }{x}_k\delta (t-t_k-k^{\prime }\tau )---\left(3\right)$>

此信号x(t)与带宽B的正弦窗口进行卷积运算(其中Bτ为奇整数)，且用取样周期T＝τ/N对其均一地取样。想要从n＝1、2、...、N个测量来检索原始信号中的创新x_k及t_k：

其中

为τ周期正弦函数或狄利克雷(Dirichlet)核。此处，x(t)具有创新速率ρ＝2K/τ。在每一周期τ期间，权重x_k及位移t_k各自取K个值。

希望提供能够通过在尽可能接近于ρ的取样速率下操作来检索x(t)的创新的取样方案。

由于x(t)为周期性的，所以可使用傅立叶(Fourier)级数来表示其。x(t)的傅立叶级数系数因此为：

$>x\left(t\right)=\underset{m\in Z}{\Sigma }{\hat{x}}_m{e}^{j2\mathrm{\pi mt}/\tau },$>其中

在此无噪声情况下，完全通过对K个振幅(权重)x_k及K个位置(位移)t_k的了解或等效地通过对u_k的了解来确定信号x(t)。通过在方程式6中考虑2K个连续值可构造2K个未知数的2K个方程式的系统，所述系统在权重x_k方面为线性的，但在位置t_k方面为高度非线性的且因此不可使用经典线性代数来求解。然而，在迪拉克位置不同时，此系统准许唯一解，所述解是通过使用下文所论述的消减滤波器方法来获得的。

将{h_k}_{k＝0，1，...，K}称作具有z变换的滤波器系数：

$>H\left(z\right)=\underset{k=0}{\overset{K}{\Sigma }}{h}_k{z}^{-k}=\underset{k=1}{\overset{K}{\Pi }}(1-u_k{z}^{-1})---\left(7\right)$>

即，H(z)的根对应于位置其遵照：

滤波器h_m因此可称作消减滤波器，因为其消减了离散信号此滤波器的零值唯一地界定迪拉克的位置t_k。由于h₀＝1，所以通过涉及的至少2K个连续值而从(8)找到滤波器系数h_m，从而产生方程式的线性系统；举例来说，如果具有针对m＝-K，-K+1，...，K-1，则此系统可写成方形托普利兹(Toeplitz)矩阵形式，如下：

如果x_k并未消失，则此方程式的K×K系统具有唯一解，因为满足其的任一h_m也使得H(u_k)＝0，针对k＝1，2，...K。给定滤波器系数h_m，从(7)中的z变换的零值u_k检索位置t_k。接着通过考虑(例如)在(6)中给出的K个连续傅立叶级数系数来获得权重x_k。通过将这K个系数的表达写成向量形式，提供范德蒙德(Vandermonde)方程式系统，其为权重x_k产生唯一解，因为u_k为不同的。此处，可需要不超过2K个连续系数来对托普利兹系统(9)及范德蒙德系统求解。此证实了仅对2K个傅立叶级数系数的了解足以检索x(t)。

接下来，使傅立叶级数系数与实际测量值y_n相关。假定N≥Bτ，则针对n＝1，2，...，N：

直到因数NT＝τ，此仅为带限于且在此带宽中与一致的离散信号的离散傅立叶逆变换(DFT)。因此，根据方程式11，y_n的离散傅立叶系数提供x(t)的傅立叶级数的Bτ个连续系数：

总而言之，使用消减滤波器方法需要至少2K个连续系数此意着Bτ≥2K。因此，正弦核的带宽B总是大于2K/τ＝ρ(创新速率)。然而，由于Bτ为奇数，所以每周期样本的最小数目实际上比其多一个：N≥B_minτ＝2K+1，此为对关键取样来说的次最佳情况。此外，此重建算法为快速的且不涉及任何迭代程序。通常，取决于样本数目N的唯一步骤为对样本y_n的DFT系数的计算，可使用FFT算法在O(N log₂N)个初等运算中实施所述计算。所述算法(更明确地说，多项式求根)的所有其它步骤仅取决于K；即，取决于创新速率ρ。

方程式8指示任何非平常滤波器{h_k}_{k＝0，1，...，L}(其中L≥K)具有因为零值将消减x(t)的傅立叶级数系数。以下转换为成立的：消减的具有变换函数H(z)的任何滤波器自动地使H(u_k)＝0，针对k＝1，2，...，K。考虑方程式11，此意味针对所述滤波器：

针对所有

可使用矩阵形式体系来表达这些线性方程式：使A为托普利兹矩阵：

其中

且H＝[h₀、h₁、...、h_L]^T，含有消减滤波器的系数的向量，则方程式12等效于：

AH＝0              (14)

可将其视为方程式9的矩形扩展。请注意，与方程式7不同，不限制H使其满足h₀＝1。现在，如果选择L＞K，则存在于{u_k}_{k＝1，2，...，K}处具有零值的具有次数L的L-K+1个独立多项式，此意味存在L-K+1个独立向量H满足方程式14。因此，矩阵A的秩决不超过K。在先验未知K时，此提供确定K的简单方法：找到最小L，使得根据(13)建置的矩阵A为奇异矩阵，因此K＝L-1。

由DFT系数满足的方程式12的消减性质与在取样之前使用的周期化正弦-狄利克雷窗口严密地关联。可将此方法推广到其它核，例如(非周期化)正弦、高斯窗口及满足类斯特朗-菲克斯(Strang-Fix)条件(即，多项式的再现)的任何窗口。

具有噪声的有限创新速率(FRI)信号

“噪声”或更大体来说模型失配不幸地普遍存在于数据获取中，使先前章节中所呈现的解决方案为理想情况。如图1及图2所示，对FRI模型的扰动可在(例如)发射程序期间出现于模拟域中及在取样期间及取样之后出现于数字域中——在此方面，量化也为噪声源。

根据本发明的一方面，执行取样速率的增加以实现抗噪声的稳健性。

考虑由τ周期FRI信号(方程式3)与带宽B的正弦窗口的卷积产生的信号，其中Bτ为奇整数。归因于噪声恶化，方程式4变成：

针对n＝1，2，...，N            (15)

其中T＝τ/N且为狄利克雷核(方程式5)。给定信号的创新速率为ρ，考虑N＞ρτ个样本以抗击扰动ε_n，从而使数据冗余达到因数N/(ρτ)。现将论述可应用于有效地利用此额外冗余的算法。

一种方法利用任选地通过本文中被称作卡德茨沃迭代算法的算法所提供的初始“去噪声”(或“模型匹配”)步骤来增强的总体最小平方近似(使用奇异值分解来实施)。在下文中还在两个主要分量方面对图2所描绘的全算法(full algorithm)进行详细描述。

通过计算关于创新参数的被称作克拉美-罗界的理论最小不定度，可看到这些算法展示降到约5dB(取决于样本数目)的噪声电平的准最佳行为。更明确地说，这些界对如何选择取样核的带宽有所启发。

总最小二乘法

在噪声存在的情况下，并不完全满足消减方程式14，但期望在约束‖H‖²＝1下最小化欧几里德(Euclidian)范数‖AH‖²可产生H的接近估计仍为合理的。特别关注针对L＝K(最小尺寸的消减滤波器)的解，因为所得滤波器的K个零值提供对K个位置t_k的唯一估计。可展示，可通过对如方程式13所界定的A执行奇异值分解(更精确地：矩阵A^TA的本征值分解)及为H选择对应于最小本征值的本征向量来解决此最小化。更明确地说，如果A＝USV^T，其中U为(Bτ-K)×(K+1)单位矩阵，S为具有递减正元素的(K+1)×(K+1)对角矩阵，及V为(K+1)×(K+1)单位矩阵，则H为V的最后一列。一旦检索到位移t_k，便根据样本y_n与FRI模型之间的差异的最小均方最小化来得到权重x_k(方程式15)。

现将描述用于从方程式15的有噪声样本检索创新x_k及t_k的总最小二乘法的可能方面。所述方法可包含以下步骤：

1)计算样本的N-DFT系数

2)选择L＝K及根据方程式13建置矩形托普利兹矩阵A；

3)对矩阵A执行奇异值分解，及选择对应于最小本征值的本征向量[h₀，h₁，...，h_k]^T，即，消减滤波器系数；

4)计算z变换的根及推断出{t_k}_{k＝1，...，K}；

5)计算N个方程式的最小均方解x_k

额外去噪声；卡德茨沃

总最小二乘算法相当适合于中等值的噪声——取决于迪拉克的数目的电平。然而，对于小信噪比(SNR)，所述结果可变得不可靠且应用稳健的去噪声处理为可取的。在一个方面中，去噪声处理将有噪声样本“投影”到方程式15的经取样FRI模型上。因此用无噪声信号的近似值来替换有噪声数字样本，或用仍可能有噪声(较少噪声)但具有有限创新速率或更接近于具有有限创新速率的信号的信号来替换有噪声数字样本。

在一个方面中，当样本y_n非常有噪声时，优选在应用上述总最小二乘法或用于检索另一信号的参数(t_k，x_k)的另一方法之前首先通过执行卡德茨沃算法的至少一次迭代来对样本y_n去噪声。

所述卡德茨沃处理传递FRI信号或大体上FRI信号，其可由均一样本序列或由提供这些样本的参数集合(创新)等效地表示。通过使用消减滤波器技术来执行所述两个表示之间的切换，所述技术可被简化为取样操作的“反向”操作。

如上所述，方程式13中的无噪声矩阵A具有秩K，无论何时L≥K。可提供A的奇异值分解(SVD)，其中A＝USV^T，且迫使矩阵S的L+1-K个最小对角系数为零以产生S′。所得矩阵A′＝US′V^T不再为托普利兹，但通过对A′的对角求平均来获得其最佳托普利兹近似。此导致新的“经去噪声”序列所述序列比原始更好地匹配无噪声FRI样本模型。这些迭代中的少许迭代导致可几乎精确地表达成FRI信号的样本的样本。此FRI信号最接近于无噪声信号，因为A更接近于方形矩阵，即，然而，此算法的计算成本(在下文总结)高于关于无噪声信号描述的先前消减滤波器方法，因为其要求执行大尺寸方形矩阵的SVD，通常为样本数目的一半。

现将描述用于将有噪声样本序列y_n转换成对应于FRI信号或近FRI信号的无噪声或较少噪声序列y′_n的卡德茨沃迭代去噪声方法的可能方面。

1)计算样本的N-DFT系数

2)选择[K，Bτ/2]中的整数L，及根据方程式13来建置矩形托普利兹矩阵A；

3)对A＝USV^T执行奇异值分解，其中U为(2M-L+1)×(L+1)单位矩阵，S为对角(L+1)×(L+1)矩阵，及V为(L+1)×(L+1)单位矩阵；

4)通过仅保留K个最有效对角元素来由S建置对角矩阵S′，及由A′＝US′V^T演绎出A的总最小二乘近似；

5)通过对矩阵A′的对角求平均来建置的经去噪声近似

6)使步骤2迭代，直到满足某条件为止，例如，直到S的第(K+1)个最大对角元素与第K个最大对角元素相比小了先决条件因数为止，所述因数取决于所请求的准确度及/或计算时间。还可使迭代重复预定次数，或直到已达到重建信号的所要信噪比为止，或当已达到与另一信号x(t)有关的信息的所要准确程度时。

可使用不同于奇异值分解的其它方法来找到消减滤波器的系数，包括基于线性方程式系统的解的方法。

对于许多应用来说，少量的迭代(通常小于10)为足够的。用实验方法，步骤2中L的最佳选择为L＝M。

单个迪拉克情况的不确定关系

考虑从N个有噪声样本的集合[y₁，y₂，..，y_N]找到[x₁，t₁]的有限创新速率问题

y_n＝μ_n+ε_n，其中

其中为τ周期、B带限狄利克雷核，且ε_n为稳态高斯(Gaussian)噪声。估计t₁及x₁的任何无偏算法将如此进行，直到到达由其标准差Δt₁及Δx₁量化的误差，其为由克拉美-罗公式限界的下界。用σ²表示噪声功率及用PSNR＝|x₁|²/σ²表示峰值信噪比，可考虑以下两种情况：

——如果噪声为白色噪声，即，其功率谱密度为恒定的且等于σ²，则：

$>\frac{\Delta t_1}{\tau }\ge \frac{1}{\pi }\sqrt{\frac{3\mathrm{B\tau }}{N(B^2{\tau }^2-1)}}·{\mathrm{PSNR}}^{-1/2}$>及$>\frac{\Delta x_1}{\left|x_1\right|}\ge \sqrt{\frac{\mathrm{B\tau }}{N}}·{\mathrm{PSNR}}^{-1/2}---\left(17\right)$>

——如果噪声为通过滤波的白色噪声，则发现

$>\frac{\Delta t_1}{\tau }\ge \frac{1}{\pi }\sqrt{\frac{3}{B^2{\tau }^2-1}}·{\mathrm{PSNR}}^{-1/2}$>及$>\frac{\Delta x_1}{\left|x_1\right|}\ge {\mathrm{PSNR}}^{-1/2}---\left(18\right)$>

在两种配置下，得出结论：为了最小化对t₁的不确定性，最大化狄利克雷核的带宽是较好的，即，选择取样核的带宽B，使得在N为奇数的情况下Bτ＝N，或使得在N为偶数的情况下Bτ＝N-1。由于Bτ≤N，总是具有以下不确定关系

$>N·{\mathrm{PSNR}}^{1/2}·\frac{\Delta t_1}{\tau }\ge \frac{\sqrt{3}}{\pi }---\left(19\right)$>

涉及测量数目N、最终噪声电平及对位置的不确定性。

额外去噪声：不同于卡德茨沃

虽然上述卡德茨沃去噪声处理输出具有改进信噪比的信号，但其中参数(例如，迪拉克的位置及其振幅)仍有噪声。此处理的主要优势为传递为参量的信号，即，具有有限创新速率的信号，或至少具有大体上有限创新速率的信号，或为实现预期目的而足够接近于具有有限创新速率的信号。因此，卡德茨沃处理不仅为仅改进SNR比率(以维纳(Wiener)滤波器(例如)将执行的方式)的去噪声方法，且还将信号投影到重建方法可用的FRI信号的子空间中。

然而，在本发明的框架中可使用其它去噪声处理及方法。作为特定去噪声处理，已提及可用于获得对有噪声矩阵的秩K近似的奇异值分解，所述近似为子空间近似。可使用其它子空间技术(更明确地说，基于ESPRIT算法及/或小波阵列的变量)来减少噪声电平及找到想要重建或想要检索其信息的信号的参数。在此种情况下，对与另一信号(x_t)有关的信息的去噪声及估计可组合在一个共同处理中。

本文的教示可并入于使用各种组件与至少一个其它装置通信的装置中。图4描绘可用于促进装置之间的通信的若干样本组件。此处，第一装置702与第二装置704适合于在合适媒体上经由通信链路706(例如，无线通信链路)来通信。

最初，将论述将信息从装置702发送到装置704(例如，反向链路)所涉及的组件。发射(“TX”)数据处理器708从数据缓冲器710或某其它合适组件接收业务数据(例如，数据包)。发射数据处理器708基于选定译码及调制方案来处理(例如，编码、交错及符号映射)每一数据包，及提供数据符号。大体上，数据符号为数据的调制符号，且导频符号为导频(其为先验已知的)的调制符号。调制器712接收数据符号、导频符号及可能用于反向链路的信令，且执行调制(例如，OFDM、PPM或某其它合适调制)及/或系统所指定的其它处理，及提供输出码片流。发射器(“TMTR”)714处理(例如，转换成模拟、滤波、放大及增频转换)所述输出码片流及产生经调制信号，接着从天线716发射所述经调制信号。

装置704的天线718接收由装置702发射的经调制信号(连同来自与装置704通信的其它装置的信号)。可在经由信道传输期间及/或在接收期间添加噪声。接收器(“RCVR”)720处理(例如，调节及数字化)从天线718接收到的信号，且提供所接收的样本。解调器(“DEMOD”)722处理(例如，解调及检测)所接收的样本及提供所检测数据符号，所检测数据符号可为对由其它装置发射到装置704的数据符号的有噪声估计。接收(“RX”)数据处理器724处理(例如，符号解映射、解交错及解码)所检测数据符号，及提供与每一发射装置(例如，装置702)相关联的所解码数据。

现将论述将信息从装置704发送到装置702(例如，前向链路)所涉及的组件。在装置704处，通过发射(“TX”)数据处理器726处理业务数据以产生数据符号。调制器728接收数据符号、导频符号及用于前向链路的信令，执行调制(例如，OFDM或某其它合适调制)及/或其它相关处理，及提供输出码片流，所述输出码片流由发射器(“TMTR”)730进一步调节且从天线718发射。在一些实施方案中，用于前向链路的信令可包括功率控制命令及其它信息(例如，与通信信道有关)，所述其它信息由控制器732产生用于由所有装置(例如，终端)在反向链路上发射到装置704。

在装置702处，由装置704所发射的经调制信号连同噪声被天线716接收、由接收器(“RCVR”)734调节及数字化，及由解调器(“DEMOD”)736处理以获得所检测数据符号。接收(“RX”)数据处理器738处理所述所检测数据符号及为装置702提供经解码数据及提供前向链路信令。控制器740接收功率控制命令及其它信息以控制数据发射及控制在反向链路上到装置704的发射功率。

控制器740及732分别指导装置702及装置704的各种操作。举例来说，控制器可确定适当滤波器，报告关于所述滤波器的信息，及使用滤波器来对信息解码。数据存储器742及744可分别存储由控制器740及732所使用的程序代码及数据。

图4还说明通信组件可包括执行本文所教示的操作的一个或一个以上组件。举例来说，接收控制组件746可与控制器740及/或装置702的其它组件协作以从另一装置(例如，装置704)接收信息。类似地，接收控制组件748可与控制器732及/或装置704的其它组件协作以从另一装置(例如，装置702)接收信息。

无线装置可包括如本文所教示基于由无线装置发射或在无线装置处接收到的信号或其它信号来执行功能的各种组件。举例来说，无线头戴送受话器可包括经布置以如上所述基于所估计信息、所检索参数或至少一个样本来提供音频输出的转变器。无线表可包括经布置以如上所述基于所估计信息、所检索参数或至少一个样本来提供指示的用户接口。无线感测装置可包括经布置以如上所述基于所估计信息、所检索参数或至少一个样本(例如，控制感测的所接收信息)进行感测(例如，提供待发射的数据)的传感器。本文中的教示还可应用于光学或电化学传输信道，包括在光纤上进行的光学传输。

无线装置可经由基于任何合适无线通信技术或者以其它方式支持任何合适无线通信技术的一个或一个以上无线通信链路来进行通信。举例来说，在一些方面中，无线装置可与网络相关联。在一些方面中，网络可包含人体域网络或个人域网络(例如，超宽带网络)。在一些方面中，网络可包含局域网络或广域网络。无线装置可支持或者以其它方式使用多种无线通信技术、协议或标准中的一者或一者以上，例如，UWB、CDMA、TDMA、OFDM、OFDMA、WiMAX及Wi-Fi。类似地，无线装置可支持或者以其它方式使用多种对应调制或多路复用方案中的一者或一者以上。无线装置因此可包括适当组件(例如，空中接口)以使用上述或其它无线通信技术建立一个或一个以上无线通信链路及经由一个或一个以上无线通信链路进行通信。举例来说，装置可包含具有相关联发射器及接收器组件的无线收发器，所述相关联发射器及接收器组件可包括促进在无线媒体上进行的通信的各种组件(例如，信号产生器及信号处理器)。

在一些方面中，无线装置可经由基于脉冲的无线通信链路来进行通信。举例来说，基于脉冲的无线通信链路可利用具有相对较短长度(例如，约几毫微秒或更少)及相对较宽带宽的超宽带脉冲。在一些方面中，超宽带脉冲可具有约大致20％或更多的分数带宽及/或具有约大致500MHz或更多的带宽。

可将本文中的教示并入于多种设备(例如，装置)中(例如，实施于多种设备内或由多种设备来执行)。举例来说，本文所教示的一个或一个以上方面可并入于电话(例如，蜂窝式电话)、个人数据助理(“PDA”)、娱乐装置(例如，音乐或视频装置)、头戴送受话器(例如，头戴式耳机、耳机等)、麦克风、医疗感测装置(例如，生物测定传感器、心率监视器、计步计、EKG装置、智能绷带等)、用户I/O装置(例如，表、遥控器、灯开关、键盘、鼠标等)、环境感测装置(例如，轮胎压力监视器)、计算机、销售点装置、娱乐装置、助听器、机顶盒、“智能”绷带，或任何其它合适装置中。

本文件中所揭示的方法及设备尤其可用于(但不限于)处理稀疏信号，即，具有与带宽相比较低的创新速率的信号。

如所提及，本申请案的方法及设备还可用于超宽带(UWB)通信。此通信方法可使用具有非常宽带的脉冲(达几千兆的带宽)的脉冲位置调制(PPM)。使用常规取样理论设计数字接收器将要求以非常高的频率(例如，超过5GHz)运行的模/数转换(ADC)。此种接收器在价格及功率消耗方面将为非常昂贵的。UWB脉冲的简单模型为与宽带、零均值脉冲卷积的迪拉克。在接收器处，信号为原始脉冲与信道脉冲响应的卷积，所述信道脉冲响应包括许多反射，且所有此种反射埋没于高电平的噪声中。

更大体来说，本文件中所揭示的方法及设备尤其可用于稀疏信号，即，具有与带宽相比较低的创新速率的信号(在时间及/或空间中)。然而，所述方法不限于稀疏信号且可用于具有有限创新速率的任何信号，包括带限信号。

不同于已知压缩感测工具、压缩感测框架所使用的方法，所述方法不限于离散值；实际上，所述方法所使用及检索的创新时间t_k及权重c_k可假定为任意实值。

这些装置可具有不同的功率及数据要求。在一些方面中，本文中的教示可适合于用于低功率应用中(例如，经由使用基于脉冲的信令方案及低工作循环模式)，及可支持多种数据速率(包括相对较高的数据速率)(例如，经由使用高带宽脉冲)。

在一些方面中，无线装置可包含用于通信系统的接入装置(例如，Wi-Fi接入点)。举例来说，此接入装置可提供经由有线或无线通信链路与另一网络(例如，例如因特网或蜂窝式网络的广域网络)的连接性。因此，所述接入装置可使另一装置(例如，Wi-Fi站)能够接入另一网络或某其它功能性。另外，应了解，所述装置中的一者或两者可为便携的且在一些情况下为相对非便携的。

可以各种方式来实施本文所描述的组件。参看图5A及图5B，将设备800、900、1000及1100表示为一系列相关功能块，所述功能块可表示由(例如)一个或一个以上集成电路(例如，ASIC)实施或如本文所教示可以某其它方式实施的功能。如本文所论述，集成电路可包括处理器、软件、其它组件或其某一组合。

设备800、900、1000及1100可包括可执行上文中关于各个图式描述的一个或一个以上功能的一个或一个以上模块。举例来说，用于获得数字信号的ASIC 802、902或1002可对应于(例如)取样器及/或本文所论述的一个或一个以上其它组件。用于估计信息的ASIC 804、1008或1108可对应于(例如)处理器及/或本文所论述的一个或一个以上其它组件。用于确定取样速率的ASIC 806或1118可对应于(例如)估计器及/或本文所论述的一个或一个以上其它组件。用于界定取样核的ASIC 808或1104可对应于(例如)估计器及/或本文所论述的一个或一个以上其它组件。用于转换数字信号的ASIC 904可对应于(例如)去噪声器及/或本文所论述的一个或一个以上其它组件。用于检索参数的ASIC 906可对应于(例如)处理器及/或本文所论述的一个或一个以上其它组件。用于建置托普利兹矩阵的ASIC 1004可对应于(例如)处理器及/或本文所论述的一个或一个以上其它组件。用于对托普利兹矩阵执行SVD的ASIC 1006可对应于(例如)处理器及/或本文所论述的一个或一个以上其它组件。用于获得模拟信号的ASIC 1102可对应于(例如)接收器及/或本文所论述的一个或一个以上其它组件。用于使用取样核的ASIC1106可对应于(例如)取样器及/或本文所论述的一个或一个以上其它组件。用于界定消减滤波器的ASIC 1110可对应于(例如)处理器及/或本文所论述的一个或一个以上其它组件。用于重建的ASIC 1112可对应于(例如)处理器及/或本文所论述的一个或一个以上其它组件。用于检索估计的ASIC 1114可对应于(例如)处理器及/或本文所论述的一个或一个以上其它组件。用于使用去噪声处理的ASIC 1116可对应于(例如)去噪声器及/或本文所论述的一个或一个以上其它组件。

如上所述，在一些方面中，可经由适当处理器组件来实施这些组件。在一些方面中，可至少部分地使用本文所教示的结构来实施这些处理器组件。在一些方面中，处理器可适合于实施这些组件中的一者或一者以上的部分或所有功能性。在一些方面中，所述组件中的一者或一者以上(尤其，由虚线框表示的组件)为任选的。

如上所述，设备800、900、1000及1100可包含一个或一个以上集成电路。举例来说，在一些方面中，单一集成电路可实施所说明组件中的一者或一者以上的功能性，而在其它方面中，一个以上的集成电路可实施所说明组件中的一者或一者以上的功能性。

另外，可使用任何合适装置来实施由图5A及图5B表示的组件及功能以及本文所述的其它组件及功能。还可至少部分地使用本文所教示的对应结构来实施所述装置。举例来说，上文中结合图5A及图5B的“用于...的ASIC”组件描述的组件还可对应于类似地指定“用于...的装置”的功能性。因此，在一些方面中，可使用本文所教示的处理器组件、集成电路或其它合适结构中的一者或一者以上来实施所述装置中的一者或一者以上。可至少部分地使用由合适处理装置进行的软件模块来执行所描述及所主张的方法。

并且，应理解，在本文中使用例如“第一”、“第二”等等的指定来提及元素通常不限制那些元素的数量或次序。而是，这些指定在本文中可用作在两个或两个以上的元素或元素的例子之间进行区别的便利方法。因此，对第一元素及第二元素的提及并不意味仅可使用两个元素或第一元素必须以某方式领先于第二元素。并且，除非另有规定，否则元素集合可包含一个或一个以上元素。另外，描述或权利要求书中所使用的形式为“A、B或C中的至少一者”的术语意味“A或B或C或其任何组合”。

所属领域的技术人员应理解可使用多种不同技术中的任一者来表示信息及信号。举例来说，可由电压、电流、电磁波、磁场或磁粒子、光场或光粒子或其任何组合来表示可贯穿上文的描述而提及的数据、指令、命令、信息、信号、位、符号及码片。

所属领域的技术人员将进一步了解，结合本文所揭示的方面描述的各种说明性逻辑块、模块、处理器、装置、电路及算法步骤中的任一者可实施为电子硬件(例如，数字实施方案、模拟实施方案或所述两者的组合，其可使用源译码或某其它技术来予以设计)、并入有指令的各种形式的程序或设计代码(为便利起见，在本文中其可被称作“软件”或“软件模块”)，或两者的组合。为清楚说明硬件与软件的此互换性，在上文大体上在功能性方面描述各种说明性组件、块、模块、电路及步骤。此功能性是实施为硬件还是软件取决于特定应用及强加于整个系统上的设计约束。所属领域的技术人员可针对每一特定应用以不同方式来实施所描述的功能性，但所述实施决策不应被解释成造成脱离本发明的范围。

结合本文所揭示的方面描述的各种说明性逻辑块、模块及电路可实施于集成电路(“IC”)、接入终端或接入点内或由集成电路(“IC”)、接入终端或接入点执行。所述IC可包含通用处理器、数字信号处理器(DSP)、专用集成电路(ASIC)、现场可编程门阵列(FPGA)或其它可编程逻辑装置、离散门或晶体管逻辑、离散硬件组件、电组件、光学组件、机械组件，或经设计以执行本文所述的功能的其任何组合，且可执行驻存于所述IC内、在所述IC外或两者均有的代码或指令。通用处理器可为微处理器，但在替代方案中，处理器可为任何常规处理器、控制器、微控制器或状态机。还可将处理器实施为计算装置的组合，例如，DSP与微处理器的组合、多个微处理器、一个或一个以上微处理器与DSP核心的联合，或任何其它此种配置。

应理解，任何所揭示处理中的步骤的任何特定次序或阶层为样本方法的实例。基于设计偏好，应理解，可重排所述处理中的步骤的特定次序或阶层，同时使其保持于本发明的范围内。所附方法权利要求项以样本次序来呈现各种步骤的元素，且并不意味限于所呈现的特定次序或阶层。

可直接以硬件、由处理器执行的软件模块或所述两者的组合来体现结合本文所揭示的方面而描述的方法或算法的步骤。软件模块(例如，包括可执行指令及相关数据)及其它数据可驻存于数据存储器中，例如RAM存储器、快闪存储器、ROM存储器、EPROM存储器、EEPROM存储器、寄存器、硬磁盘、可装卸磁盘、CD-ROM，或此项技术已知的任何其它形式的计算机可读存储媒体。样本存储媒体可耦合到机器，例如计算机/处理器(为便利起见，其在本文中可被称作“处理器”)，使得所述处理器可从存储媒体读取信息(例如，代码)及将信息(例如，代码)写入到存储媒体。样本存储媒体可与处理器成一体。处理器及存储媒体可驻存于ASIC中。ASIC可驻存于用户装备中。在替代方案中，处理器及存储媒体可作为离散组件而驻存于用户装备中。此外，在一些方面中，任何合适的计算机程序产品可包含计算机可读媒体，所述计算机可读媒体包含与本发明的方面中的一者或一者以上有关的代码(例如，可由至少一个计算机执行)。在一些方面中，计算机程序产品可包含封装材料。

提供对所揭示方面的先前描述以使任何所属领域的技术人员能够制造或使用本发明。所属领域的技术人员将容易地明了对这些方面的各种修改，且在不脱离本发明的范围的情况下可将本文所界定的一般原理应用于其它方面。因此，并不希望将本发明限于本文所展示的方面，而是赋予其与本文所揭示的原理及新颖特征一致的最广泛范围。