获取秩约束条件下优化变量的方法及设备

摘要

本发明提供一种获取秩约束条件下优化变量的方法及设备。该方法包括确定通信系统中数据传输时待优化的系统性能对应的目标函数及其约束条件，所述目标函数满足Schur-凸/凹条件，所述约束条件包括秩约束；获取Stiefel流形上的矩阵及r个非负实数，所述Stiefel流形上的矩阵及r个非负实数能够使得所述目标函数对应的花费函数收敛到最优局部点，其中，r为满足所述秩约束时优化变量的秩，所述花费函数的自变量为Stiefel流形上的矩阵及r个非负实数；根据所述Stiefel流形上的矩阵及r个非负实数，获取优化变量，以便根据所述优化变量对待传输的数据进行处理，实现所述待优化的系统性能。本发明实施例可以提高系统性能及适用范围。

说明书

技术领域

本发明涉及信号处理技术，尤其涉及一种获取秩约束条件下优化变量的 方法及设备。

背景技术

在通信和信号处理中的许多应用都可以被归结为一类带有秩约束的 优化问题。例如，在多入多出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO) 通信系统中，传输的数据流数应该小于等于接收天线的数量。对于这类带 有秩约束的问题，一般性的例子如下：

(P1)：

s.t.log det(I+QR_j)≥b_j  j＝1，2，...    (2)

Tr(QP_i)≤a_i i＝1，2，...                (3)

Q≥0                                    (4)

rank(Q)≤r(r≤n)                        (5)

其中，公式(1)为待优化的目标函数；公式(2)～(4)为约束条件； 公式(5)为额外的秩约束条件。α，A，R_j，P_i，α_i为常数或常矩阵，I为 单位矩阵，Q为优化变量。

即使简单的凸优化问题加入秩约束条件后，其优化问题也非常复杂。 现有技术一是采用秩放松的方式，即首先不考虑秩约束条件，并使用一些 低复杂度的迭代算法来解决放松后的凸优化问题。之后使用了一种随机化 过程来产生一个原始问题的次优解。这种方法实际上是一种仅仅能够得到 次优解的启发式算法，实际的仿真结果也表明这种方案的性能并不理想。 现有技术二是针对具有线性目标函数和线性约束条件的秩约束优化问题， 提出了一种较好的降秩算法。

但是，现有技术二要求优化目标函数和约束条件都是线性的，并且对 秩约束条件也进行了限定，这些限制了实际应用中能够解决的问题类型。

发明内容

本发明实施例是提供一种获取秩约束条件下优化变量的方法及设备，提 高秩约束条件下的系统性能及适用范围。

本发明实施例提供了一种获取秩约束条件下优化变量的方法，包括：

确定通信系统中数据传输时待优化的系统性能对应的目标函数及其约束 条件，所述目标函数满足Schur-凸/凹条件，所述约束条件包括秩约束；

获取Stiefel流形上的矩阵及r个非负实数，所述Stiefel流形上的矩阵及 r个非负实数能够使得所述目标函数对应的花费函数收敛到最优局部点，其 中，r为满足所述秩约束时优化变量的秩，所述花费函数的自变量为Stiefel 流形上的矩阵及r个非负实数；

根据所述Stiefel流形上的矩阵及r个非负实数，获取优化变量，以便根 据所述优化变量对待传输的数据进行处理，实现所述待优化的系统性能。

本发明实施例提供了一种获取秩约束条件下优化变量的设备，包括：

确定模块，用于确定通信系统中数据传输时待优化的系统性能对应的目 标函数及其约束条件，所述目标函数满足Schur-凸/凹条件，所述约束条件包 括秩约束；

第一获取模块，用于获取Stiefel流形上的矩阵及r个非负实数，所述Stiefel 流形上的矩阵及r个非负实数能够使得所述目标函数对应的花费函数收敛到 最优局部点，其中，r为满足所述秩约束时优化变量的秩，所述花费函数的自 变量为Stiefel流形上的矩阵及r个非负实数；

第二获取模块，用于根据所述Stiefel流形上的矩阵及r个非负实数，获 取优化变量，以便根据所述优化变量对待传输的数据进行处理，实现所述 待优化的系统性能。

由上述技术方案可知，本发明实施例的获取秩约束条件下优化变量的方 法及设备，通过获取使得花费函数收敛到局部最优点的自变量，并根据该自 变量获取优化变量，可以提高系统性能；并且，本发明实施例并没有对秩约 束条件下再进行特别限制，可以提高适用范围。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例中的技术方案，下面将对实施例描述中 所需要使用的附图作一简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图是本发 明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的 前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明第一实施例的方法流程示意图；

图2为本发明实施例中步骤12的方法流程示意图；

图3为本发明实施例中花费函数的自变量进行迭代更新的方法流程示意 图；

图4为本发明实施例中应用场景结构示意图；

图5为本发明实施例中应用场景对应的获取优化变量的方法流程示意 图；

图6为本发明实施例与现有技术对应的仿真结果比较示意图；

图7为本发明第二实施例的设备结构示意图。

具体实施方式

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发 明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述， 显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于 本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获 得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

为了更好地说明本发明实施例，首先对本发明实施例中采用的数学术语 进行说明：

定义1：Schur-凸/凹(Schur-convex/concave)函数：

1)一个定义在集合上的实函数Φ满足如下条件，则实函数Φ在A 上是Schur-convex函数：

2)如果实函数Φ满足如下条件，则实函数Φ在A上是Schur-concave函 数：

其中，＜表示majorization(优化)，定义为：

对x，y∈Rⁿ，

x＜y  if$\left(\begin{array}{c}{\Sigma }_{i=1}^k{x}_i\le {\Sigma }_{i=1}^{k}y,k=1,...,n-1\\ {\Sigma }_{i=1}^n{x}_i\le {\Sigma }_{i=1}^n{y}_i\end{array}\right).$

定义2：Stiefel流形

Stiefel流形(施蒂费尔流形)St(n，p)是满足如下条件的集合： St(n，p)＝{X∈C^n×p：X^HX＝I}

定义3：Stiefel流形上的投影

令X∈C^n×p为一个秩为p的矩阵，对Stiefel流形上的投影操作符 P_St：C^n×p→St(n，p)定义为：

定义4：非负实数域投影

令x∈R为一个实数，对非负实数域R₊的投影操作符P_NN：R→R₊定义为：

P_NN(x)＝max{0，x}。

图1为本发明第一实施例的方法流程示意图，包括：

步骤11：确定通信系统中数据传输时待优化的系统性能对应的目标函数 及其约束条件，所述目标函数满足Schur-凸/凹条件，所述约束条件包括秩约 束。

其中，对于不同的需求，对应的系统性能要求是不同的，对应的目标函 数及其约束条件也是不同的，例如，待优化的系统性能为：在主要用户和次 要用户共用频谱时，在保证干扰泄露限制条件被满足的同时最大化次要用户 的传输速率，则对应的的目标函数及其约束条件为：

(P3)

${\max }_{Q\in C^{N^t\times N^t}}\log |I+R^{-\frac{1}{2}}\mathrm{HQ}{H}^H{R}^{-\frac{1}{2}}|---\left(9\right)$

s.t.$\mathrm{Tr}\left(G_{j}Q{H}_j^H\right)\le {\Gamma }_j$j＝1，..，L       (10)

Tr(Q)≤P      (11)

Q≥0          (12)

rank(Q)≤r    (13)

当然，上述只是一种示例情况，对于其他情况也可以根据实际情况确定 目标函数及其约束条件。

以背景技术中提到的通信技术中的一般性例子为例，重写带有秩约束的 一般性例子如下：

(P1)：

s.t.logdet(I+QR_j)≥b_j j＝1，2，...    (2)

Tr(QP_i)≤a_i i＝1，2，...              (3)

Q≥0                                  (4)

rank(Q)≤r(r≤n)                      (5)

其中，公式(1)为待优化的目标函数，可以取最大值或者最小值。约束 条件(2)表示一般性的log行列式约束，在通信系统中经常用来表达对传输 速率的约束。约束条件(3)代表一组线性约束条件，又可以称为迹约束条件， 在通信系统中可以用来表示发射功率约束和干扰功率泄露约束等。公式(2) ～(3)可以统称为线性约束，可以均为log行列式约束，均为迹约束，或者 分别为log行列式约束和迹约束，并且，线性约束的个数不限制。约束条件 (4)和(5)分别对应于矩阵变量Q的半正定约束条件和秩约束条件，其中， 公式(5)中的r为优化变量的秩。

步骤12：获取Stiefel流形上的矩阵及r个非负实数，所述Stiefel流形上 的矩阵及r个非负实数能够使得所述目标函数对应的花费函数收敛到最优局 部点，其中，r为满足所述秩约束时优化变量的秩，所述花费函数的自变量为 Stiefel流形上的矩阵及r个非负实数。

如果，公式(1)，即函数P1，满足Schur-convex/concave条件时，P1 可以等价地转化为如下形式：

(P2)：

${\min }_{U\in C^{n\times n},{\sigma }_i,i=\mathrm{1,2},...,r}g(U,{\sigma }_i)=f\left(\mathrm{diag}(\mathrm{\alpha I}+{\mathrm{\Sigma \Sigma }}^H)\right)+\frac{1}{t}\phi (U,{\sigma }_i),---\left(6\right)$

s.t.U∈St(n，n)            (7)

σ_i∈R₊，i＝1，2，…，r    (8)

其中，公式(6)中的函数g为对应于P1函数的花费函数。

上述公式中采用的参数说明如下：

$\Sigma =\left(\begin{array}{cccc}{\sigma }_1& & & \\ & {\sigma }_2& & \\ & & ...& \\ & & & {\sigma }_r\\ & & 0_{n-r,r}& \end{array}\right),$St为Stiefel流形；

公式(6)中的t是可以自行选取的正数，决定了算法的精度。t越大精 度越高，但是收敛的速度越慢；

φ(U，σ_i)是对数障碍函数，表达式如下：

$\phi (U,{\sigma }_i)=-({\Sigma }_i\log (-\mathrm{Tr}\left(U^H{\tilde{P}}_{i}U{\mathrm{\Sigma \Sigma }}^H\right)+{\alpha }_i)+{\Sigma }_j\log (\det (I+U^H{\tilde{R}}_{j}U{\mathrm{\Sigma \Sigma }}^H)-{10}^{b_j}))$

其中${\tilde{P}}_i=U_A{\Lambda }_A^{-\frac{1}{2}}{U}_A^H{P}_i{U}_A{\Lambda }_A^{-\frac{1}{2}}{U}_A^H,$i＝1，2，…，r，

${\tilde{R}}_j=U_A{\Lambda }_A^{-\frac{1}{2}}{U}_A^H{R}_j{U}_A{\Lambda }_A^{-\frac{1}{2}}{U}_A^H,$j＝1，2，…，r

U_A，Λ_A是对矩阵A的SVD分解，$A=U_A{\Lambda }_A{U}_A^H.$

本发明实施例即要寻找Stiefel流形上的矩阵U及r个非负实数σ_i，使得 花费函数g收敛到最优局部点。

步骤13：根据所述Stiefel流形上的矩阵及r个非负实数，获取优化变量， 以便根据所述优化变量对待传输的数据进行处理，实现所述待优化的系统性 能；

其中，优化变量的计算公式为：

Q＝FF^H

$F=U_A{\Lambda }_A^{-\frac{1}{2}}{U}_A^H\mathrm{U\Sigma }$

U为步骤12得到的Stiefel流形上的矩阵U，∑为步骤12得到的非负实 数σ_i组成的矩阵，具体表达式可以参数步骤12中的描述。

在获取优化变量之后，可以根据该优化变量对待传输的数据进行处理， 例如，获取次要用户发射端发射天线的协方差矩阵后，可以采用该协方差矩 阵对待发送的数据进行预编码处理，以实现上述待优化的保证干扰泄露限制 条件被满足的同时最大化次要用户的传输速率。

本实施例通过获取使得花费函数收敛到局部最优点的自变量，并根据该 自变量获取优化变量，可以提高系统性能；并且，本实施例并没有对秩约束 条件下再进行特别限制，可以提高适用范围。

本发明实施例中，在获取能够使得花费函数g收敛到最优局部点的Stiefel 流形上的矩阵U及r个非负实数σ_i后，则可以根据U和σ_i获取优化变量Q。

本发明实施例中，关键的是获取能够使得花费函数g收敛到最优局部点 的Stiefel流形上的矩阵U及r个非负实数σ_i。可以将本发明实施例中获取上 述的U和σ_i的算法称为改进的投影陡降算法(MPSDA)。具体如下：

图2为本发明实施例中步骤12的方法流程示意图，包括：

步骤21：计算花费函数g对矩阵U及各非负实数σ_i的偏导数，并根据g 对U的偏导数计算得到下降方向Z；

其中，g对U的偏导数可以表示为D_U，g对各非负实数σ_i的偏导数可以 表示为

下降方向Z为：$Z=U{D}_U^{H}U-D_U.$

步骤22：对矩阵U及各非负实数σ_i进行迭代更新，直至根据所述下降方 向Z及所述花费函数g对各非负实数σ_i的偏导数得到的参数和小于等于预先 设定的阈值，即此时使得g收敛到最优局部点；

其中，上述的参数和为：$<Z,Z>+{\Sigma }_{i=1}^r{\left|\right|\frac{\partial g}{\partial {\sigma }_i}\left|\right|}^2,$

$<Z,Z>=\mathrm{Tr}\left\{Z^H(1-\frac{1}{2}{\mathrm{UU}}^H)Z\right\};$

另外，U的初始值及σ_i的初始值为随机选取的，其中，U的初始值为n×n 的矩阵，满足U^HU＝I，σ_i的初始值满足σ_i≥0，i＝1，2，…，r；

当根据初始值计算得到的上述参数和大于预先设定的阈值，则采用如下 方式进行迭代更新：

图3为本发明实施例中花费函数的自变量进行迭代更新的方法流程示意 图，包括：

步骤31：根据更新前的步长、花费函数g、更新后的矩阵U在Stiefel流 形上的投影及更新后的非负实数σ_i在非负实数域上的投影，获取更新后的步 长。

其中，首先预先设置一个初始步长，例如，可以将初始步长γ设置为γ＝1；

之后，采用如下情形获取更新后的步长：

可能情形一：

如果则步长 采用如下方式进行更新：γ＝2γ，即更新后的步长为更新前的步长的两倍；循 环此过程，直至上式不成立，将临界成立时的步长作为更新后的步长。例如， γ＝4时上式成立，而当γ＝8时上式不成立，则更新后的步长为γ＝4；

可能情形二：

如果则步长 采用如下方式进行更新：即更新后的步长为更新前的步长的一半； 循环此过程，直至上式不成立，将临界成立时的步长作为更新后的步长。例 如，γ＝4时上式成立，而当γ＝2时上式不成立，则更新后的步长为γ＝4。

步骤32：根据更新后的步长，更新矩阵U及各非负实数σ_i；

其中，采用如下方式进行更新：

U＝P_St(U+γU)；σ_i＝P_NN(σ_i+γσ_i)，公式左侧为更新后的值，右侧中的参数 U及σ_i为更新前的值，γ为上述得到的更新后的步长。

在获取更新后的矩阵U及各非负实数σ_i后，重新计算上述步骤22中的 参数和，如果满足上述的阈值限制条件，则得到最终的U和σ_i，否则重新执 行步骤31～32进行U和σ_i的更新，直至满足上述的阈值限制条件。

上述算法中的步长算法来自Armijo步长设置法则，能够提供更快的算法 收敛速度。由于Armijo步长设置法则能保证陡降算法收敛到局部最优点，因 此，本发明实施例提出的MPSDA算法可以得到局部最优的结果。

关于MPSDA的复杂度，有如下结果：

如果算法的停止条件设置为则算法收敛的迭代次 数最多需要O(ε^-2)。

下面结合一个具体应用描述上述算法：

图4为本发明实施例中应用场景结构示意图，本应用场景的网络为多输 入多输出(Multiple Input Multiple Output，MIMO)感知无线电网络，包括L 个主要接收用户(Primary Receiver)、一个次要发送用户(Secondary Transmitter)及一个次要接收用户(Secondary Receiver)，G_j(j＝1，2...L)和 H分别为信道矩阵。

上述用户共用一段频谱，需要寻找的优化变量Q为次要发送用户发射天 线的协方差矩阵，优化目标为在保证干扰泄露限制条件被满足的同时最大化 次要用户的传输速率。

图5为本发明实施例中应用场景对应的获取优化变量的方法流程示意 图，包括：

步骤51：确定目标函数及约束条件；

其中，目标函数及约束条件如下：

(P3)

${\max }_{Q\in C^{N^t\times N^t}}\log |I+R^{-\frac{1}{2}}\mathrm{HQ}{H}^H{R}^{-\frac{1}{2}}|---\left(9\right)$

s.t.$\mathrm{Tr}\left(G_{j}Q{H}_j^H\right)\le {\Gamma }_j$j＝1，...，L      (10)

Tr(Q)≤P      (11)

Q≥0          (12)

rank(Q)≤r    (13)

其中，公式(9)为目标函数，其中的R是噪声的协方差矩阵；公式(10) 表示次要用户对L个主要用户的干扰泄漏约束条件，公式(11)表示次要用 户的传输功率约束条件，公式(12)～(13)表示次要用户的传输流数限制。

步骤52：确定目标函数对应的花费函数；

具体地，(P3)可以等价的写成如下形式：

(P4)

${\min }_{U\in C^{N^t\times N^t},{\sigma }_i,i=1,.r}\log |I+{\mathrm{\Sigma \Sigma }}^H|$

s.t.$\mathrm{Tr}\left(U^H\overline{G_j}U{\mathrm{\Sigma \Sigma }}^H\right)\le {\Gamma }_j$j＝1，...，L

$\mathrm{Tr}\left(U^H{U}_A{\Lambda }_A^{-1}{U}_A^{H}U{\mathrm{\Sigma \Sigma }}^H\right)\le P$

U∈St(N^t，N^t)

σ_i∈R₊    i＝1，...r

其中，A＝H^HRH，而U_A和Λ_A是从中定义得到； 等效信道矩阵定义为j＝1，...，L；

$\Sigma =\left(\begin{array}{cccc}{\sigma }_1& & & \\ & {\sigma }_2& & \\ & & ...& \\ & & & {\sigma }_r\\ & & 0_{N^t-r,r}& \end{array}\right).$

下面可以应用提出的MPSDA算法来解决上面的问题并得到局部最优解。

步骤53：随机选取满足U^HU＝I的矩阵U及非负实数σ_i，i＝1，...r，并设置 初始步长γ。

步骤54：计算花费函数g对矩阵U及各非负实数σ_i的偏导数，并根据g 对U的偏导数计算得到下降方向Z；

具体计算公式可以参见步骤21。

步骤55：判断参数和是否小于等于预先设定的阈值，若 是，执行步骤56，否则，执行步骤58；

初始时采用随机选取的U和σ_i的初始值计算。

步骤56：得到使得花费函数g收敛到局部最优点的矩阵U及各非负实数 σ_i。

步骤57：根据使得花费函数g收敛到局部最优点的矩阵U及各非负实数 σ_i，得到优化变量；

其中，计算公式为：

Q＝FF^H

$F=U_A{\Lambda }_A^{-\frac{1}{2}}{U}_A^H\mathrm{U\Sigma }.$

步骤58：获取更新后的步长；

具体内容可以参见步骤31。

步骤59：根据更新后的步长，更新矩阵U及各非负实数σ_i；之后，重复 执行步骤54。

具体内容可以参见步骤32。

为了更好地说明本发明实施例的效果，下面给出仿真结果。

图6为本发明实施例与现有技术对应的仿真结果比较示意图。仿真条件 为：一个MIMO感知无线电网络包含3个主要用户和1个次要用户。其中每 个用户都装配6根天线。

参见图6，基线61是现有技术一中对秩放松后得到优化结果使用高斯分 布随机化降秩的仿真结果，基线62是现有方案二中对秩放松后得到优化结果 使用均匀分布随机化降秩的仿真结果；基线63为采用本发明实施例提出的算 法的仿真结果，参数设置为P＝Γ₁＝Γ₂＝Γ₃＝10dB。

从图6可以看出，本发明实施例可以显著提高次要用户的吞吐量。

图7为本发明第二实施例的设备结构示意图，包括确定模块71、第一获 取模块72和第二获取模块73；确定模块71用于确定通信系统中数据传输时 待优化的系统性能对应的目标函数及其约束条件，所述目标函数满足Schur- 凸/凹条件，所述约束条件包括秩约束；第一获取模块72用于获取Stiefel流 形上的矩阵及r个非负实数，所述Stiefel流形上的矩阵及r个非负实数能够 使得所述目标函数对应的花费函数收敛到最优局部点，其中，r为满足所述秩 约束时优化变量的秩，所述花费函数的自变量为Stiefel流形上的矩阵及r个 非负实数；第二获取模块73用于根据所述Stiefel流形上的矩阵及r个非负实 数，获取优化变量，以便根据所述优化变量对待传输的数据进行处理，实现 所述待优化的系统性能。

其中，第一获取模块72可以包括第一单元721和第二单元722；第一单 元721用于计算花费函数g对矩阵U及各非负实数σ_i的偏导数，并根据g对 U的偏导数计算得到下降方向Z；第二单元722用于对矩阵U及各非负实数σ_i进行迭代更新，直至根据所述下降方向Z及所述花费函数g对各非负实数σ_i的 偏导数得到的参数和小于等于预先设定的阈值。

进一步地，第二单元722可以具体用于根据更新前的步长、花费函数g、 更新后的矩阵U在Stiefel流形上的投影及更新后的非负实数σ_i在非负实数域 上的投影，获取更新后的步长；根据更新后的步长，更新矩阵U及各非负实 数σ_i。

本实施例通过获取使得花费函数收敛到局部最优点的自变量，并根据该 自变量获取优化变量，可以提高系统性能；并且，本实施例并没有对秩约束 条件下再进行特别限制，可以提高适用范围。

可以理解的是，上述方法及设备中的相关特征可以相互参考。另外，上 述实施例中的“第一”、“第二”等是用于区分各实施例，而并不代表各实 施例的优劣。

本领域普通技术人员可以理解：实现上述方法实施例的全部或部分步骤 可以通过程序指令相关的硬件来完成，前述的程序可以存储于计算机可读取 存储介质中，该程序在执行时，执行包括上述方法实施例的步骤；而前述的 存储介质包括：ROM、RAM、磁碟或者光盘等各种可以存储程序代码的介质。

最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其 限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术 人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或 者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技 术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的精神和范围。