使用光谱分析的伸展驱动的网格参数化

摘要

使用光谱分析的伸展驱动的网格参数化一种执行伸展驱动网格参数化的方法。该执行伸展驱动网格参数化的方法包括，计算一光谱分析以参数化一网格，以及对伸展优化计算进行迭代以进一步优化初始的参数化。

说明书

本申请是申请日为2005年6月8日、申请号为201010227004.5、发明名称为“使用光谱分析的伸展驱动的网格参数化”的中国专利申请的分案申请。

交叉引用的相关申请

本申请要求2004年6月8日提交的美国临时专利申请No.60/577,775的优先权，该美国申请公开的内容在此引入作为参考。

背景技术

本申请涉及计算机图形的产生。特别地涉及用二维逼真地表示三维物体。

用来将纹理映射到三维表面的计算机图形技术已经产生并已经用软件和硬件实现。这些传统的实现通常将由网格结构确定的矩形纹理采样映射到被呈现的表面。该纹理采样或映射会产生某些限定，这些限定反映在来自这些映射的被呈现的图像的品质中。

概述

以下内容提供了本公开内容的简要概述，以便使读者有一个基本的了解。该概述不是该公开内容的扩展的总的看法，它不确定本发明的关键/紧要的元件，也不描述本发明的范围。它的唯一目的是用简要的形式提供在此公开的一些概念，作为稍后更详细描述的前奏。

本例提供了一种用二维表示三维物体的方法。典型地一个或多个网格被布置在一个物体上以映射它的轮廓。该物体的表面可以分解成多个子表面(每一个都有它们自己的网格)，子表面可以被选择以减少由于表面高度变化引起的伸展失真。

本例提供了一个完全自动的方法，称为均匀图表(iso-charts)，能够在任意网格上创建纹理图谱集。它认为伸展不仅发生在参数化图表(例如测量失真)时，而且也发生在形成图表时。一个输出图谱可以由用户指定常数限制该伸展，允许用户对照它们的伸展平衡图表的数量。

通过参考以下结合附图的详细描述，本发明的许多附属特征将更加易于评价也更好理解。

附图描述

本专利或申请文件包括至少一张彩绘的图。带有彩图的本专利或专利申请公开的拷贝由被请求的机构提供并要支付必需的费用。根据附图阅读以下的详细描述，本发明的这些或其它特征和优点将会被更好地理解，其中：

图1是显示使用光谱分析的伸展驱动的网格参数化的框图。

图2显示一个小兔子模型的图表化和参数化结果。

图3显示寻找图形分割问题的优化分割边界。

图4显示不同的图形分割能力的比较。

图5显示以分成五个图表的具有光谱聚类的小兔子耳朵形状为例的管状形状的分割。

图6显示了一个示例性的计算环境600，在其中本申请中描述的系统和方法可以被实现。

在附图中同一标记被用来标识同一部件。

详细描述

以下结合附图提供的详细描述是为了描述本发明的例子而不是为了表示本发明可以被构建或使用的唯一形式。结合所说明的例子，该描述阐明了本发明的功能以及构建和操作本发明的步骤顺序。本领域技术人员可以理解所说明的行为或步骤的顺序是示例性的，该次序可以改变以完成同一结果。而且，相同或相等的功能和顺序可以通过本发明的不同的例子来完成。

虽然在此描述和说明的例子是用二维计算机图形系统实现的，但所描述的系统是作为例子而不是限制。本领域技术人员将会理解，本发明适合应用于各种不同类型的图像产生系统中，包括由计算机制图或类似的东西产生的三维模型。

介绍

所提供的例子包括一种使用多个图表来参数化任意网格(网格参数化)的方法。分解成图表且参数化每个图表可以在一个顶点和参数化伸展之间的测量距离的矩阵上自动且基于光谱分析的概念进行。

网格参数化可以被用于三维图形的再现。许多信号包括法线、颜色或阴影参数可以被用于呈现三维图形，且能够与三维表面相联系以努力产生出更逼真的图像。特别地，“纹理映射”可以被用来描述一个表面的纹理，这样更逼真的图像被再现。

以下描述的例子提供了一种产生有助于使用最小纹理采样提供保真度的纹理映射的自动方法。被提供的例子也可以被应用于纹理合成、几何形状压缩、再网格化和许多其它的几何处理。

根据映射区域如何被选择，这类细目分类可以倾向于最小化伸展。因此，在模型化一个用于计算机图形再现的图像中，任意网格在纹理图像上的单一展开可能在再现的图像里产生高失真的区域。因此，通常一个网格被分割成一组图表。该组图表构成了纹理图谱。每个图表由纹理域的一个区域分配了一组参数，这些参数共同形成了一个图谱。

一种被称为均匀图表的全自动方法可以在任意网格上创建纹理图谱集。它认为伸展不仅发生在参数化图表(例如测量失真)时，而且也发生在形成图表时。一个输出图谱可以由用户指定常数限制该伸展，允许用户对照它们的伸展平衡图表的数量。

使用光谱分析的伸展驱动的网格参数化方法组合了两种技术：1)根据局部公制张量的轨迹的球面积分，伸展最小化的参数化，和2)根据在成对的网格顶点之间的测量距离的平力矩阵的特征分析，“均匀映射”或MDS(多维比例)参数化。典型地，只有几个非线性伸展优化的迭代需要被应用于MDS参数化以得到低伸展的图谱集。在这两个参数化之间发现的紧密关系允许根据MDS应用光谱聚类来将网格分割成具有低伸展的图表。一种图形分割算法被应用于优化图表边界且进一步最小化伸展，遵循清晰特征，并避免弯曲。

使用光谱分析的伸展驱动的网格参数化方法有助于快速地创建纹理图谱集，其具有更少的图表和更低的伸展，这在象几何形状再网格化之类的应用中是有用的。另一个例子描述了一种扩展的专用信号图谱的创建，这有助于提升表面信号的有效采样，并有助于通过在图表构成中考虑信号伸展而产生更好的纹理映射。

参数化可以被用在许多几何形状处理算法中，比如纹理映射、形状形成、编辑、再网格化和压缩。为了参数化任意网格，一个纹理图谱可以被创建。将被建模的目标表面典型地被首先分割成一组图表，称为图表化，该组图表被参数化且被聚集到一个纹理域中。

特别地，当一个网格被应用于一个表面以尝试产生一个更逼真的图像时，创建一个纹理图谱可以包括考虑多大距离被收缩或“伸展”。

从纹理图谱重新创建的最终图象中的失真可以用各种方法进行纠正或最小化。一种方法涉及对纹理图谱中的图表的正确选择。在另一种方法中，图谱中图表的数量可以被改变。因此，目标表面被分割成图表的方法会对以二维呈现的三维对象的外观产生影响。

因为三维表面与二维平面不是等大的，所以参数化会引起失真。失真能够用多种方法测量，包括多大的角度或面积被保留，或在该表面上多大的参数距离被伸展或收缩。利用光谱分析的伸展驱动的网格参数化集中于距离失真，特别是几何形状伸展的定义，该光谱分析在表面上测量局部距离的平均或最坏情况下的伸展。

典型地，最小化伸展应用非线性优化。伸展最小化趋向于变慢，并且当形成图表有利于基于图表的紧密性和平面性对直通过明显的特征或簇的不相干启发式算法时，它趋向于忽视伸展。后者是正确的，因为如果对一个图表计算伸展最小化嵌入是成本昂贵的，那么对于所有可能的图表分区，计算它是完全不切实际的。

在一个对此进行改进的尝试中，一种被称为均匀映射的非线性维度减少的形式被应用。均匀映射有助于减少网格上的顶点对之间的测量距离失真。这一应用的关键是测量距离失真是与伸展密切相关的这一观察结果，虽然它们被定义得完全不同。因此均匀映射有助于在图谱的生成中提供两个特征。它提供了一个有效方法，称为光谱分析，以将模型分解成大的、在几何上富有意义的部分，象动物的附属肢体一样，这些部分能够以小的伸展而被参数化。不需要特别的计算，它也对每一部分提供了一个初始参数。事实上，典型地它为伸展最小化提供一个好的开始点，以便非线性伸展优化的少数几次迭代就可以快速收敛并且容易的消除“对折”(foldovers)问题。

在使用光谱分析的伸展驱动的网格参数化中的一个特征是伸展驱动的图表化方法，该方法根据测量距离矩阵的光谱分析进行群集。它能够允许用户限制伸展而典型地保持小的图表数。该光谱分析同时快速得到图表的低伸展的参数化。图形切割可以用来优化图表边界，并修改公制容量以考虑测量距离的失真并因此伸展，给出两种公制间揭露的关系。使用光谱分析的伸展驱动的网格参数化利用“特殊的光谱聚类”以典型地创建更好的图表以防当几何形状部分具有周期的(管状的)结构。最后，该方法已经被推广于专用信号图谱的创建。使用光谱分析图谱集的伸展驱动的网格参数化可以是第一个，它的图表分割以及参数化以适合于特别的信号比如法线或颜色映射。

处理概述

图1是显示使用光谱分析的伸展驱动的网格参数化的框图。使用光谱分析的伸展驱动的网格参数化的方法可以被认为是自上而下的伸展驱动方法。给出一个表面并且在在块101中给出用户指定的伸展值，以下内容被执行：在块102中，该表面的光谱分析被计算，提供了一个初始参数化。块102在标题为“表面的光谱分析”的小节中被进一步地详细描述。在块103中，对传统伸展优化的几次迭代被执行。在块104中，如果该导出的参数化的伸展小于门限值，则停止处理。在块105中，将该表面分割成图表的光谱聚类被执行。在块106中，使用图形分割技术的图表边界的优化被执行。在块107中，该图表被递归地分裂直到伸展标准被满足。

该处理的结果是一组其参数化被有限制地伸展的图表。图表拓扑不需要明确地检查；由于其它的参数化伸展是无限的，因此该伸展驱动处理确保所有的图表最终被细分成拓扑盘。一个检查被进行以了解该参数化域本身没有重叠并在那种典型的极少的情况下细分。作为后续处理步骤，如果该合并的图表的参数化伸展小于用户指定的伸展值，小图表被合并在一起。

在几何形状或信号伸展中使用两个标准来限制失真。L2标准在该表面上对(γ²_max+γ²_min)/2积分，跟随着总的平方根。L∞标准在整个表面上取最大值max{γ_max，1/γ_min}。这里，γ_max和γ_min是在该表面上的标量函数，代表了在任何点上从纹理空间到模型或信号空间的仿射映射的函数行列式(Jacobian)的最大和最小单一值。在L∞标准中的收缩的1/γ_min含义是一种不利于低采样的修正。在几何形状或信号伸展中使用两个标准的失真的限制被描述在“提供特殊信号参数化的系统和方法”(System and Method for Providing Signal-SpecializedParamaterization)中，其美国专利申请号为10/138289，申请日为2002年5月1日，它的内容在此结合作为参考。

图2显示了一个小兔子模型的图表化和参数化结果。为小兔子模型201创建的一个均匀图表图谱200被显示。如同所能看见的，小兔子的表面已经被分割成15个大的图表，这些图表能够典型地用比先前的方法(L2＝1.01，L∞＝2.26)更低的伸展而变平。如同能看见的，模型的各个部分，象它的头、耳朵和身体，被分解成大的图表。在该显示的例子中计算需要约1分钟。

图表化和参数化

图表化和参数化包括表面光谱分析的应用、具有光谱分析的伸展的减少、表面光谱聚类、计算优化参数边界、中间区域嵌入、用于管状形状的光谱聚类、执行和特殊信号图谱的创建。

表面光谱分析

这个处理建立在传统的维度减少方法均匀映射(等大特征映射)上。给出一组高维点，均匀映射沿着一个依照在相邻点之间的跳变的顺序的流形来计算测量距离。然后，它将MDS(多维比例)应用于这些测量距离以找出一组具有相同成对距离的嵌入在低维空间中的点。

均匀映射的这一应用被称为“表面光谱分析”并且它的计算的概要如下所述。给定一个具有N个顶点x_i的表面，其中每个x_i是三维(3D)空间中的位置

·在表面的顶点之间，计算测量距离的平方的对称矩阵D_N。

·接着应用双倍定中心和标准化至D_N以产生出B_N＝-(1/2)J_ND_NJ_N，其中，J_N是由J_N＝I-(1/N)11^T确定的N×N定中心矩阵，I是恒等矩阵，1是长度N的向量。这限制了计算出的设置位于原点的点集的重心。

·计算特征值λ_i和它们对应的B_N的特征向量v_i，(i＝1，2，...，N)。

·对于初始表面的每个顶点i，在新空间中它的嵌入是一个N维向量y_i，该向量的第j分量由(j＝1，2，...，N)给出。

该特征值λ_i和它们对应的B_N的特征向量(i＝1，2，...，N)形成了表面形状的光谱分解。向量y_i代表偏差模型(warped model)，并与初始顶点x_i一一对应。对应于大特征值的特征向量代表在该表面上的全局的、低频的特征，而对应于小特征值的特征向量代表高频细节。很自然会考虑高能低频的分量作为图表化和参数化的基础。

虽然需要N个特征值来全部代表具有N个顶点的一个表面，但典型地少数特征值支配了能量。对于如图2显示的小兔子模型，最大的5个特征值组成了超过85％的平方能量；换言之，因此只有最大的n＜＜N个特征值及其对应的特征向量被计算，导致对所有顶点的n维嵌入。

该n维嵌入的失真能够被计算出来作为所有顶点的测量距离失真的总和。对于每个顶点i，它的在嵌入下的测量距离失真(“GDD”)由下式定义：

$>\mathrm{GDD}\left(i\right)=\sqrt{\frac{1}{N-1}\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\left(\right||{\bar{y}}_i-{\bar{y}}_j||-d_{\mathrm{geo}}(i,j))}^2}---\left(1\right)$>

其中是顶点i的n维嵌入坐标，d_geo(i，j)是顶点i和j之间的测量距离。该定义能够通过平均它的三个顶点的失真从一个顶点扩展到一个三角，且被用在后面的标题为“计算优化分割边界”的小节中。

当n＝2时，表面光谱分析产生出最小化所有顶点的平方GDD的总和的表面参数化。因此应注意，表面光谱分析能够被同时用于两个问题：分解以图表化，以及参数化。

为了计算多边模型的表面点之间的测量距离，一种传统的快速匹配方法被使用，该方法运行在O(N²lgN)上且由于它允许直通过网格三角的路径因此典型地得到比迪杰斯特拉图搜索方法更精确的结果。

光谱分析和伸展

GDD最小化和伸展最小化参数化都集中于距离失真。而且，GDD在几个方面与伸展不同。它是全局的而不是局部的，因为它考虑了在表面上任意远的顶点之间的距离，而不是在一个点上由函数行列式(Jacobian)诱发的局部伸展。它是基于差值而不是基于比率，因为它不利于在初始的和参数的距离之间的差值，而不是正切向量被伸展多大单位长度。并且，它是离散的而不是连续的，因为它只考虑了顶点对之间的距离失真，而不是在每个三角和每个方向中的伸展。

只在顶点对之间检测距离失真的光谱分析的离散性，产生了三角跳变的问题。我们的用于计算光谱分析和伸展的处理提供了一个简单的解决方法。由于三角跳变被确定会引起无限伸展，并且我们的算法典型地分裂其伸展在用户的门限值之上的图表，因此任何有限的门限值保证了最终图谱将不会包括跳变。

光谱分析典型地要求低维特征值问题的解决方法而不是通常的非线性优化。使用如下所述的“地界标”(landmark)扩展能够进一步加快计算。尽管在伸展和GDD之间有差别，典型地，光谱分析有效地减少了伸展。

表面光谱聚类

如果由光谱分析导出的参数化不能满足用户的伸展门限值，那么它将被分割成几个更小的图表。恢复模型的全局特征，比如相应于更大的特征值的动物的头、耳朵、腿和尾，它们被用于分割。使用光谱分析结果的几个代表顶点被计算。然后根据一个被称为“表面光谱聚类”的方法，围绕这些代表点的图表被同时生成。该处理如下：

1.将来自表面光谱分析的特征值λ_i和相应的特征向量排序以使(λ₁≥λ₂≥...≥λ_N)。

2.取得最前面的n个特征值和特征向量以使λ_n/λ_n+1最大。

3.对网格的每个顶点i，计算它的n维嵌入坐标：(j＝1，2，...，N)。

4.对n个嵌入坐标中的每一个，找出两个具有最大和最小坐标值的顶点并设置它们为2n代表。

5.删除太接近的代表，产生出m≤2n代表。

6.通过使用在表面光谱分析中计算的测量距离围绕该代表同时生成图表，将网格分割成m部分。

步骤2等于发现“拐点”在与特征值的数量有关的能量的曲线中的相对错误的门限值。n的值是形状复杂度的量度标准：n＜3表示一个相当平的平面；大的n表示具有很多细节的复杂形状。消除保留的N-n个特征值忽略了高频细节且避免了分割成太多的图表。本实现也限制n≤10(参见标题为“实现细节”的小节)，这依次限制了子图表的最大数。

因为在步骤4中从不同维计算的代表点可能太接近且太过冗余，所以步骤5删除它们。10倍于输入网格的平均边长度的测量距离被使用。在步骤6中，从三角到代表顶点的测量距离被计算作为该三角的三个顶点到代表点的测量距离的平均值。

计算优化分割边界

在分裂图表后，它们之间的边界被优化。图表边界应该满足两个目标：1)它们应该通过高曲率的区域进行分割而不要有太多的锯齿，以及2)它们应该最小化它们邻接的图表的嵌入失真。

第一个目标已经由传统方法提出，该方法最小化各种图表紧密度的测量且选择最短长度或沿着具有高两面角的边的图表分割。传统的图表分割方法被用于分解网格，一种想法应用于网格参数化。第二个目标涉及具有伸展最小化的分割。

该第二个目标可以作为一个图表分割问题由优化边界问题的公式解决。为了简单，分裂该表面为两个的二进制情形被提出。当细分成多于两个的图表时，我们依次考虑每对相邻的图表。

图3显示查找作为图表分割问题的优化分割边界。在找出该边界的过程中：形状300被分解成三个部分，侧面区域301(红色)、302(蓝色)和中间区域303(绿色)。为中间区域303构建了一个图形304。在两个图表302和301之间的优化边界被搜索。该初始分割通过使用表面光谱聚类生成。然后，通过扩展一个区域到初始分裂边界的两侧，中间区域303被生成。中间区域的大小与未分裂块的总面积成比例；30％被用于所有例子。现在使用利用模糊聚类和分割的分层网格分解的传统方法的扩展，一个非定向流网络图形305能够从303被构建。在该方法中，在网格f_i和f_j的两个相邻的三角之间“容量”(capacity)的定义由下式限定

c(f_i，f_j)＝αc_ang(f_i，f_j)+(1-α)c_distort(f_i，f_j)    (2)

公式(2)的第一项相应于通过高两面角的边的非锯齿分割的第一个目标。这由下式完成：

$>c_{\mathrm{ang}}(f_i,f_j)={(1+\frac{d_{\mathrm{ang}}(f_i,f_j)}{\mathrm{avg}\left(d_{\mathrm{ang}}\right)})}^{-1}---\left(3\right)$>

其中，d_ang(f_i，f_j)被定义为(1-cosα_ij)，α_ij是三角f_i和f_j的法线之间的角度，avg(d_ang)是相邻三角之间的平均角度距离。

公式(2)的第二项测量嵌入失真，定义为

$>c_{\mathrm{distort}}(f_i,f_j)=\frac{d_{\mathrm{distort}}(f_i,f_j)}{\mathrm{avg}\left(d_{\mathrm{distort}}\right)}---\left(4\right)$>

d_distort(f_i，f_j)＝|GDD_A(f_i)-GDD_B(f_i)|+|GDD_A(f_j)-GDD_B(f_j)|    (5)

其中，GDD_A(f_i)和GDD_B(f_i)是在由302和301各自导出的嵌入之下的三角f_i的GDD。avg(d_distort)是所有相邻三角对上的平均d_distort(f_i，f_j)。c_distort(f_i，f_j)的这一定义选择边界边，这些边的相邻三角平衡在由302和301确定的嵌入之间的GDD。换言之，分割应当避免将一个三角放置在错误边上，在这个错误边上它会产生不必要的失真。

图4显示不同的图表分割容量的比较。该权参数α权衡这两个目标。设置α＝1可以对具有明显特征的模型达到好的结果。对于在中间区域两面角平稳改变的形状，它趋向于最短长度401的分割。但这一分裂在右边的图表中产生了太多的伸展，该右边的图表必须再次分裂以满足用户的门限值404。

在另一方面，设置α＝0会最小化GDD402，避免了图表增殖但产生了边界锯齿。一个具有α＝0.5的组合被显示在403。虽然参数化伸展略大于402，但在许多应用中可以期望更平稳的边界。

对中间区域嵌入的地界标均匀映射

回到图4，为了计算最佳分割，可能需要在未分裂图表上的两个嵌入：一个对应于A侧302，一个对应于B侧301。这两个嵌入限定了GDD_A和GDD_B。子图表“核心“A或B都不包括中间区域C303的内部的顶点。因此在A或B上使用光谱分析的C的顶点的嵌入坐标可以不被计算。由于还不知道C的哪个三角将由A和B加入，因此对每个由插入在其它子图表中结束的三角不适当扭曲的子图表的嵌入应当避免。一种均匀映射的扩展，称为地界标均匀映射(landmark IsoMap)，将中间区域嵌入，隐含给出只嵌入每个核心以及对每个核心的顶点的C的测量距离的关系。

假定在A中有N_A个顶点。在执行了表面光谱分析后，有n_A个特征值λ_i和相应的特征向量在A中所有顶点的n_A维嵌入形成了n_A×N_A矩阵L_A的列：

$>L_A={[\sqrt{{\lambda }_1}\overrightarrow{v_1},\sqrt{{\lambda }_2}\overrightarrow{v_2},...,\sqrt{{\lambda }_{n_A}}\overrightarrow{v_{n_A}}]}^T$>

通过使用它的在A中作为限制的到顶点的已知测量距离，在A之外的顶点p可以被定位于它的n_A维嵌入空间中。这个相似的想法使用在GPS中读出的距离有限数量来识别地理位置。令Δ_p表示p和A中顶点之间平方距离的列向量。n_A维嵌入坐标能够由以下公式计算：

其中是列平均，是L_A的伪逆转置矩阵：

现在对于在由A导出的嵌入之下的C中的所有顶点的GDD可以被计算，并且同样适合于B。

对管状形状的特殊光谱聚类

图5显示以分成五个图表的具有光谱聚类的小兔子耳朵形状。特别地，该图显示了管状形状的分割。栏a501显示了通常的光谱聚类(如在标题为“表面光谱聚类“的小节中描述的)，而栏b-d502、503、504显示了基于第一、第二和第三特征值的二进制聚类。给定n个支配的特征值，表面光谱聚类将该形状分割成最多2n个图表。这对于复杂形状会起很好的作用，但对n≤3的简单形状会产生太多的图表。如501所示，光谱聚类将小兔子的耳朵分割成5个图表。为了避免过度分割，我们可以按照嵌入坐标的第一个采用将该图表细分为两个来代替。这个方法经常会对典型网格中的普通特征起作用，但它对于管状/圆柱状的突起是不理想的。

另一种方法504观察距离矩阵的占支配的特征对能够被用来检测和分割循环分布的数据点。以下的启发式方法被证明是有效的，该方法将一个形状视为管状，如果它的特征值λ_i满足以下条件：

·即最大的3个特征值很好地代表了该形状。

·λ₁/λ₂＞3，意味着该形状足够长。

·λ₂/λ₃＜2，意味着该形状是循环的。

·λ₃/λ₄＞3，即第4特征值迅速减少到足够被忽略。

只要一个形状被检测为圆柱状/管状，它就可以被分割成两个子图表。第二和第三维能够被看成循环轴。根据相应于更短的循环轴的第三主要的维分割该形状，产生出更多的平面块。如504所示，使用第3分量的结果提供一个比使用第1或第2分量502、503更自然的分裂。

全部图表的细分处理可以总结如下。如果最大的3个特征值包括少于90％的能量，我们执行“通常的”光谱聚类(如先前在标题为“表面光谱聚类”部分中描述的)。否则，如果图表是管状的，在本节中描述的一个“特殊的”光谱聚类被执行。在所有其它情况中，使用对应于最大特征值的单一嵌入坐标，二进制光谱聚类被执行。典型地，只有单一的非二进制图表的细分被执行(在第一次迭代)；随后，二进制细分被满足。

实现细节

一种伸展驱动的图表化和参数化算法的自然实现是昂贵的，特另是当模型的顶点数增加时。为了加快计算，在上节中描述的地界标均匀映射处理被使用，以对在中间区域中的顶点计算嵌入坐标。地界标均匀映射选择q个顶点作为地界标点，其中q＜＜N。代替计算N×N测量距离的平方矩阵D_N，一个只测量从每个顶点到地界标点的距离的q×N矩阵D_q，N被计算。这q个地界标点的嵌入坐标使用表面光谱分析来计算，而剩余顶点使用在标题为“用于中间区域嵌入的地界标均匀映射”的小节中描述的方法来计算。

为了得到地界标点，通过基于二次曲面的错误公制执行一半边的失败操作，模型可以被简化。累进的网格可以使用户脱离不得不简化每个伸展的图表。足够的顶点分裂被执行且记录在PM中以获得在图表内的足够的地界标点。

对于所有图表，我们使用q＝100个地界标点，这使得即使在大图表上也可以快速进行处理。当该图表具有少于100个顶点时，简单地包括它们所有作为地界标点。虽然地界标嵌入能够展示比全面分析更大的伸展，但这只对具有高伸展的大图表是可能的且无论如何都需要改进。具有q个与图表大小无关的地界标嵌入因此提供了一个快速但典型地合理的启发式算法。

由于在测试模型中，最大的10个特征值典型地构成了超过95％的平方能量，因此另一个加快处理的方法将用表面光谱分析只计算前10个特征对。总之，测量距离的计算被减少到了O(qN log N)且光谱分解被减少到了O(q²)。

特殊信号图谱的创建

迄今为止，几何形状伸展已经被使用以驱动图表化和参数化。用于使用光谱分析的伸展驱动的网格参数化的均匀图表也能够被推广以产生特殊信号参数化，该特殊信号参数化代表使用尽可能密集的纹理的给定表面信号。

通过计算顶点间的成对信号距离，用于使用光谱分析的伸展驱动的网格参数化的均匀图表可以被扩展到表面信号。给定两个顶点i和j以及它们之间的测量路径，它们之间的信号距离被定义为沿着该路径的相邻点对之间信号差的总和。应用光谱分析到信号距离矩阵创建了一个保留它们的参数化，且因此采用与前面描述的应用到几何形状失真的处理相同的方法将用于使用光谱分析的伸展驱动的网格参数化的均匀图表和信号失真相联系。

典型的信号比如纹理颜色可以展示比下面的几何形状更多的变化。典型地，使用信号距离的表面光谱分析产生具有许多占支配地位的特征值的复杂嵌入，这些特征值可以导致过度分割。这导致了几何形状与信号伸展的组合，如描述在名为“用于一种参数化方案的优化几何形状伸展的系统和方法”(System andMethod for Optimizing Geometric Stretch of a Parametrization Scheme)的申请中的，美国专利申请号10/138,751，申请日为2002年5月1日，其内容在此结合作为参考。在此完成的该解决方法定义了具有测量距离和信号距离的相似组合的距离：

$>d_{\mathrm{comb}}(i,j)=\beta \frac{d_{\mathrm{geo}}(i,j)}{\mathrm{avg}\left(d_{\mathrm{geo}}\right)}+(1-\beta )\frac{d_{\mathrm{sig}}(i,j)}{\mathrm{avg}\left(d_{\mathrm{sig}}\right)}---\left(5\right)$>

其中，d_sig(i，j)是i与j之间的信号距离。在β＝0.5时一个好的结果被典型地得到。

图6显示了一个示例性的计算环境600，在其中本申请中描述的系统和方法可以被实现。示例性的计算环境600只是计算系统的一个例子，并不是将本申请中描述的例子限制到该特殊计算环境中。

该计算环境600能够用许多其它通用目的或专用目的的计算系统配置被实现。已知的计算系统的例子，可以包括，但不限制于，个人计算机、手持或便携式设备、基于微处理器的系统、多处理器系统、机顶盒、可编程消费电子产品、游戏控制台、消费电子产品、移动电话、PDA及类似物。

计算机600包括形如计算设备601的通用计算系统。计算设备601的部件能够包括一个或多个处理器(包括CPU、GPU、微处理器及类似物)607、系统存储器609和连接各种系统部件的系统总线608。处理器607处理各种计算机可执行指令以控制计算设备601的操作，并与其它电子或计算设备(未示出)通信。系统总线608代表任何数量的几种总线结构，包括存储器总线或存储器控制器、外围设备总线、图形加速端口、以及使用各种总线体系结构的处理器或局部总线。

系统存储器609包括易失性存储器形式的计算机可读媒体，比如随机访问存储器(RAM)、和/或非易失性存储器，比如只读存储器(ROM)。一个基本输入/输出系统(BIOS)被存储在ROM中。典型地，RAM包括由一个或多个处理器607直接访问和/或立即操作的数据和/或程序模块。

海容量存储设备604可以连接到计算设备601或通过连接到总线而与计算设备合成一体。这样的海容量存储设备604可以包括读和写可移动非易失性磁盘(例如软盘)605的磁盘驱动器，或读和/或写可移动非易失性光盘比如CDROM或类似物606的光盘驱动器。计算机可读媒体605、606典型地包含由软盘、CD、便携式存储棒等提供的计算机可读指令、数据结构、程序模块和类似物。该均匀图表处理可以驻留在一个或多个计算机可读媒体上，以及系统存储器609或它的等同物中。

任何数量的程序模块能够被存储在硬盘610、海容量存储设备604、ROM和/或RAM609中，借由例子，包括操作系统、一个或多个应用程序、其它程序模块和程序数据。每个这样的操作系统、应用程序、其它程序模块和程序数据(或它们的一些组合)可以包括在此描述的系统和方法的一个实施例。

显示设备602能够通过一个接口比如视频适配卡611连接到系统总线608。用户能够通过任意数量的不同的输入设备603与计算设备702连接，输入设备603比如为键盘、指示设备、操纵杆、游戏垫、串口和/或类似物。这些和其它输入设备通过连接到系统总线608的输入/输出接口612而连接到处理器607，但也可以由其它接口和总线结构连接，比如并口、游戏口和/或通用串行总线(USB)。

计算设备600能够通过一个或多个局域网(LAN)、广域网(WAN)及类似物到一个或多个远程计算机的连接而在网络环境中操作。计算设备601通过网络适配器613或可选择地通过调制解调器、DSL、ISDN接口及类似物连接到网络614。

本领域技术人员可以实现被用来存储程序指令的存储设备能够跨网络分布。例如一个远程计算机可以存储一个工具程序，比如自适应的仪器运行时间监视和分析软件。一个本地或终端计算机可以访问远程计算机并下载部分或全部软件以运行程序。可选择地，本地计算机可以下载需要的软件片段或通过在本地终端上执行一些软件指令而在远程计算机(或计算机网络)上也执行一些软件指令来进行分布处理。本领域技术人员也可以通过使用本领域技术人员已知的传统技术来实现，或一部分软件指令可以由专用电路比如DSP、可编程逻辑阵列或类似物来执行。

正如在上面的例子中所见，对在一个表面中的点之间的测量距离矩阵进行光谱分析有助于提供快速、简单和有铲的方法以同时解决在图谱生成中的两个问题：将模型分割成图表和对这些图表参数化。该方法也可以简单地推广来计算信号而不是几何形状距离，以对特殊信号优化该图谱。如所示，光谱分析有助于减少伸展并提供一个开始点以进一步的使伸展最小化。最后，一个改进在几何形状再网格化和纹理映射创建中的先前技术的结果的伸展驱动图谱发生器已经被显示。