基于连续阶跃参考应力的满应力结构拓扑优化设计方法

摘要

本发明涉及一种基于连续阶跃参考应力的满应力结构拓扑优化设计方法：在结构的高应力区硬化材料，在低应力区软化材料。以一种可连续阶跃变化的参考应力作为评判标准，通过局部寻优和全局寻优两个寻优循环，避免寻优过程中的早熟现象，使结构的应力分布逐步趋优。

说明书

技术领域

本发明涉及一种结构设计技术，特别涉及一种基于连续阶跃参考应力的满应力结构拓扑优化设计方法。

背景技术

结构拓扑优化是指寻求结构材料分布的最优拓扑形态，以优化结构的某些性能或减轻结构的重量。结构拓扑优化已发展100多年，大体分为解析方法和数值方法。解析法应用经典的数学理论进行求解，不便于在工程实际中直接应用。近几十年来，由于计算机在结构分析中的普遍应用促使了结构优化数值方法的迅猛发展，它主要分为两大类：一类是可解决各类结构的尺寸、形状及拓扑优化，但计算效率和通用性并不理想的均匀化方法(homogenization method)；另一类是以渐进结构优化方法(evolutionary structural optimization)为代表的启发性优化算法，它的特点是在宏观的角度上对结构材料分布进行设计，计算效率高，通用性好，能得到近似最优解。在工程实际中，近似最优解通常被广泛采纳，因此这一类算法具有良好的发展前景。

本发明提出的结构拓扑优化方法基于“软杀”技术（SKO：soft kill option)，其基本原理是逐渐“软化”低应力的材料，“硬化”高应力的材料，使经过优化后的结构应力水平变得更均匀。它最初由德国Karlsruhe研究中心提出，基本原理如下：假定结构由不同的材料组成，将每个单元的弹性模量作为参数来改变结构的拓扑形态。材料的弹性模量被定义为温度的函数，即随着温度的升高，弹性模量变小，材料被“软化”，当材料“软”到一定程度，可认为材料被删除；同时随着温度的降低，材料的弹性模量变大，材料被“硬化”。温度T和弹性模量E间的关系可假设为线性关系，此处的温度没有物理意义，仅是单元弹性模量改变的控制器。

目前，国内外对SKO方法的研究大体上分为两种，一是采用以体积率作为删除准则的方法，二是以参考应力作为材料删除准则的方法。前者通过多次删除一定的体积使优化结果收敛于目标体积，每次删除过程中将体积率对应的应力值作为删除标准逐渐软硬化材料。这种方法由于体积率对应的应力值求取困难，运算耗时长。后者通过分析寻优迭代过程中的结构应力分布选择一参考应力，如果某节点的应力大于参考应力，则节点温度降低，材料的弹性模量增大，材料被“硬化”；否则节点温度升高，材料被“软化”。参考应力的选取通常为结构的平均应力等与结构迭代过程中材料分布相关的应力。这种方法参考应力选取简单，运算耗时短。然而不同的参考应力对优化结果影响较大，若参考应力取值过大会导致过删除，过小会导致寻优过程效率低，甚至因材料无法继续删除，导致迭代过早收敛，得不到最优解。

发明内容

本发明是针对现在结构拓扑优化存在的问题，提出了一种基于连续阶跃参考应力的满应力结构拓扑优化设计方法，通过局部寻优和全局寻优的两个寻优循环，避免在以参考应力作为删除准则的结构拓扑优化方法中的早熟现象，使结构的应力分布状态逐步趋优。

本发明的技术方案为：一种基于连续阶跃参考应力的满应力结构拓扑优化设计方法，具体包括如下步骤：

1）建立结构的力学模型，进行有限元网格划分。根据设计要求设置设计区域，初始化设计参数和材料参数；

2）令循环次数i=1，j=1；

3）进行结构线性静力有限元分析，提取节点应力；

4）计算连续阶跃参考应力σ^(i,j)_ref，计算公式为：                                                ，其中ζ^(i,j)为第i阶寻优过程中第j次迭代的权重系数，σ⁽ⁱ⁾_ave是第i阶寻优过程中第1次迭代时结构的平均应力。权重系数ζ^(i,j)计算公式如下：，其中ζ₀⁽ⁱ⁾为第i阶寻优权重系数初值，α为常数，取0.1，Δζ为权重系数增量。由该式计算的权重系数连续阶跃变化，但其最大值不得超过规定的权重系数上限ζ_max；

5）根据结构局部应力更新局部温度，公式为 ；，

式中上标i，j表示第i阶寻优过程中第j次迭代，T_n^(i,j)为在第i阶寻优过程中第j次迭代时n节点的温度；σ_n^(i,j-1)为第i阶寻优过程第j-1次迭代时n节点的应力；σ^(i,j)_ref为第i阶寻优过程中第j次迭代的连续阶跃参考应力，由步骤4）计算；s为步长因子，为根据第i阶寻优过程第j-1次迭代时的节点温度T_n^(i,j-1)确定的温度参考值，变化区间为（0,100）：当T_n^(i,j-1)超过100时，强制为100；当T_n^(i,j-1)小于0时，强制为0；当T_n^(i,j-1)在0-100之间时，则为T_n^(i,j-1)；

6）根据局部温度更新局部材料的弹性模量，更新方法为：当T_n^(i,j)在0～100之间时，材料弹性模量随温度的升高而线性减小；如果T_n^(i,j)≤0，则E=E_max，E_max为所选用材料的弹性模量，用以模拟固体区域；当T_n^(i,j)≥100时，则E=E_min，E_min为E_max/1000；

7）计算结构的体积变化量，确定是否达到局部最优，当结构前后两次迭代的体积变化大于给定的局部体积容差ε₁时，为未达到局部最优状态，继续本次局部寻优，更新 j=j+1，返回步骤3）；否则为局部最优，本次局部寻优结束，向下执行；

8）更新i=i+1、j=1，返回步骤3），直到满足全局寻优终止条件，即当结构前后两次迭代的体积变化小于给定的全局体积容差ε时，则得到最终的优化结果。

本发明的有益效果在于：本发明基于连续阶跃参考应力的满应力结构拓扑优化方法，避免在以参考应力作为删除准则的结构拓扑优化设计中的早熟现象，使结构的应力分布状态逐步趋优。

附图说明

图1为本发明基于连续阶跃参考应力的满应力结构拓扑优化方法中算法流程框图；

图2为本发明基于连续阶跃参考应力的满应力结构拓扑优化方法中温度与弹性模量关系图；

图3为本发明基于连续阶跃参考应力的满应力结构拓扑优化方法中权重系数ζ变化示意图；

图4为本发明实例1长方形悬臂板受两个面内力作用的力学模型；

图5为本发明实例1长方形悬臂板受两个面内力作用的无连续阶跃参考应力方法的设计结果图；

图6为本发明实例1长方形悬臂板受两个面内力作用的本发明提出方法的设计结果图；

图7为本发明实例2拱桥结构优化设计的力学模型和设计结果图。

具体实施方式

一、寻优迭代过程：在基于连续阶跃参考应力的满应力结构拓扑优化方法的寻优迭代过程中，需要经过多阶的局部寻优过程，每阶寻优都经过数次迭代，因此包含2个迭代循环，如图1所示。一是局部寻优循环（图1中的j循环），当结构前后两次迭代的体积变化小于给定的局部体积容差ε₁时，认为结构达到一个局部最优状态；二是全局寻优循环（图1中的i循环），当小于给定的全局体积容差ε时，则得到最终的优化结果。

根据SKO方法的基本原理，将温度作为材料弹性模量的控制器，其迭代公式为：

      ⑴

      ⑵

式中上标i，j表示第i阶寻优过程中第j次迭代。T_n^(i,j)为在第i阶寻优过程中第j次迭代时n节点的温度；σ_n^(i,j-1)为第i阶寻优过程第j-1次迭代时n节点的等效节点应力；σ_ref^(i,j)为第i阶局部寻优过程中第j次迭代的连续阶跃参考应力；s为步长因子。

由式⑴可知，如果节点n的应力大于参考应力，则节点温度降低，材料的弹性模量增大，材料被“硬化”；否则节点温度升高，材料被“软化”。E_max为所选用材料的弹性模量，用以模拟固体区域。当T_n^(i,j - 1)在0～100之间时，弹性模量和温度之间的关系满足如图2所示的线性关系。如果T_n^(i,j-1)≤0，则E=E_max；当T_n^(i,j-1)≥100时，则E=E_min。E_min非常小，为E_max /1000。

本发明的具体步骤如图1：

①建立初始力学模型，并确定设计空间，实际结构中某些具有特殊要求的边界或面需保留而不作为设计区域。

② 赋予结构具有如图2所示的材料属性，并用有限元离散网格，施加约束和载荷，T₀为环境温度。

③ 进行结构线性静力有限元分析，提取节点应力，计算连续阶跃参考应力，其中权重系数ζ^(i,j)不得超过规定的权重系数上限ζ_max。

④ 按公式⑴⑵实现“软硬化”单元的操作。

⑤ 未达到局部最优时，更新j，重复第③步，当达到局部最优结构后，更新i、j，再重复第③步，直到满足上文所述的迭代终止条件，终止迭代。

二、连续阶跃参考应力的确定：由上述的寻优过程可知，寻优结果是否理想，决定于公式（1）中参考应力的选择。本发明提出的参考应力为迭代过程中结构的平均应力乘以一连续阶跃变化的权重系数，计算公式为：

      （3）

其中ζ^(i,j)为第i阶寻优过程中第j次迭代的权重系数；连续阶跃参考应力σ^(i,j)_ref是以第i阶寻优过程中第1次迭代平均应力σ⁽ⁱ⁾_ave为基数乘以一个权重系数ζ^(i,j)得到。权重系数ζ^(i,j)计算公式如下：

      ⑷

其中ζ₀⁽ⁱ⁾为第i阶寻优权重系数初值；α为常数，取0.1；Δζ为权重系数增量。第i阶权重系数初值ζ₀⁽ⁱ⁾ 为第i-1阶寻优过程中的最后一次迭代的权重系数，即      ⑸

由于相对于权重系数的变化，结构的平均应力在迭代过程的变化较小，因此连续阶跃参考应力的变化趋势与权重系数基本一致。权重系数ζ^(i,j)随着寻优阶数的增加而逐阶增加，为了更好地说明连续阶跃参考应力的变化规律，以ζ₀⁽⁰⁾=0.8，α=0.1，Δζ=0.05为参数，假定分别经过4阶局部寻优过程，来说明寻优过程中权重系数的变化，设每阶寻优的迭代次数均为10。如图3所示，曲线划分为5个区域。j在进入下一阶局部寻优过程时从1开始计数，i在原来的基础上增加一次，每阶寻优之初，10Δζ·α^j与Δζ刚好相等，等式变为ζ^(i,1)=ζ₀⁽ⁱ⁾=ζ^(i-1)，故局部寻优过程的第一步迭代与上一阶局部寻优过程的最后一步迭代的权重系数相等，函数不发生突变。而随着迭代次数的增加，10Δζ·α^j很快衰减为零，最终权重系数ζ^(i,j)等于第i阶权重系数初值ζ₀⁽ⁱ⁾与权重系数增量Δζ之和。1，3，4，5这4个区域的权重系数均满足以上所述的提升方式，而第2个区域经过的两次迭代都达到局部最优，说明权重系数上升得不够大，需再次提升，才能进入下一阶寻优过程，这是权重系数的自动调节过程。

三.应用例：本发明提出的设计方法可对各种结构进行拓扑优化设计，下面以两个设计例说明本发明的有效性。

1、受两个面内力的悬臂板拓扑优化设计

如图4所示的悬臂板的长宽比为2，板的一端固定，受两垂直向下的力P作用，通过结构的应力分析发现，应力值集中在[0.02,51.2]之间。

权重系数参数分别按如下表所示的2种方案进行选取,局部体积容差ε₁和体积容差ε如表所示。

方案1中初始权重系数ζ₀⁽⁰⁾与权重系数上限ζ_max相等，即采用无连续阶跃参考应力的SKO方法，始终以平均应力的0.8倍作为参考应力进行拓扑优化。优化后材料分布如图5(a)。结构的中间左上区域材料堆积，应力分析后发现结构应力值集中在[0,51.5]之间，相比于初始模型的应力水平的均匀程度无明显改善，优化结果仅得到局部最优。图5(b)为体积指标，权重系数和无量纲后的参考应力指标的迭代进程图。由图可知权重系数和参考应力不随迭代次数的增加而变化，结构的体积随迭代次数的增加而降低，直到达到体积容差而终止，最终体积为初始体积的0.61倍。

方案2采用了连续阶跃参考应力的方案，初始权重系数为ζ₀⁽⁰⁾为0.5，权重系数增量Δζ为0.05，权重系数上限ζ_max为1.25。优化后材料分布如图6(a)所示，与图5(a)相比有较多的细部结构，应力分析后发现结构应力值集中在[17.2,51.5]之间，与方案1相比应力水平的均匀程度有所提高，得到较为理想的近似最优解。图6(b)为性能指标的迭代进程图。权重系数连续阶跃上升最终达到权重系数上限ζ_max。参考应力变化与权重系数基本一致。体积随着迭代次数的增加一直减小，最终趋于体积容差而终止。与方案1相比，结构的最终体积变为原来的0.41倍，比方案1的多删除20%。

由本例可知，相对于传统的参考应力取值方法，本发明提出的连续阶跃参考应力的方法可以避免寻优过程的早熟现象，得到的优化结果边界清晰，结构合理，应力水平更均匀。 SHAPE  * MERGEFORMAT

2、拱桥的拓扑优化设计

如图7（a）所示的拱桥力学模型，假设桥底到桥面顶部的距离为H，桥面的曲率半径为R，R/H=5，桥底左右两端固支，桥上端面受均布载荷P。

图7(b)为拱桥优化后材料分布图，图7(c)为迭代过程中性能参数的变化图，初始权重系数ζ₀⁽⁰⁾为0.5，权重系数增量Δζ为0.12，经过195次迭代结束，权重系逐阶提升，达到ζ_max后不再增加，体积指标随着迭代次数增加而逐渐趋于平稳，最后达到总体体积容差而终止。最终体积为原来的0.41，得到的结果与实际拱桥结构相似。