多重表征辅助几何证明的交互式数字学习系统与方法

摘要

本发明为一种多重表征辅助几何证明的交互式数字学习系统及方法，供计算机使用，其包含有：数据库、题目表征显示单元、证明表征显示单元及视觉表征显示单元；由于数据库分别与该计算机、题目表征显示单元、证明表征显示单元及视觉表征显示单元连结设置，数据库储存包含有已知条件、欲证目标及静态几何图形的几何证明题目以及解答，再通过题目表征显示单元中显示出几何证明题目，而解答以形式证明单元及证明树单元表示，形式证明单元及证明树证明单元能以填充题、选择题及顺序排列作为训练应用，而视觉表征显示单元能由其内设的静态及动态几何图形，以增加使用者对几何证明题目的了解及熟悉。

说明书

技术领域

本发明涉及提升学生对于几何证明题型的了解及熟悉，尤其涉及利用多重表征概念而进行辅助的一种多重表征辅助几何证明的交互式数字学习系统及方法。

背景技术

几何数学在基础数学上扮演相当重要的角色，其证明的应用目的是用来提高构思、探究及推理的过程。

一般数学概念都具有一个正规且严密的定义，称为概念定义，此定义会由学校的几何数学课程中被介绍出来，但学生在决定一个数学题目是否为某个概念的例子时，并不一定以正规的定义来审视，而是常常以一个心中对概念定义所存在的影像来决定，称为概念心像(concept image)。

由于从学生对几何图形的思考、发展及学习历程，都是由具体的形体开始，也就是由生活环境中的对象接触的视觉及操弄等行为，形成对几何图形的概念心像，而概念定义本身则是在很后期的学习阶段才会赋予上去，因此学生对几何图形的辨识认知，往往不是通过概念定义本身，而是通过几何图形的概念心像，然而概念心像的形成是通过个人视觉直观，而视觉直观则筑基于生活中对于几何图形的经验累积。

而一般学生在几何数学的学习上，也多是由模仿开始，首先由学校教导概念定义，再由老师对几何证明题型解出证明步骤，而学生的学习方式，也多流于模仿、背诵而多过于理解，此则相当容易造成以下问题：1.不知几何证明要如何开始；2.依赖典型心像；3.用直观的视觉做证明，且对于数学符号认知不足；4.不清楚题意；5.统整有用信息的能力不足；6.过度一般化的论证；7.抄写证明步骤时忽略某些步骤等。

所以，经过统整数学教育及认知发展后，荷兰数学教育家(VanHiele，1986)提出几何的五个学习发展层次：(0)可视化：以形状轮廓来辨认图形，但不了解抽象意义；(1)分析：可分析图形的构成(如平行四边形的对角是相等的)，但不会解释说明不同图形间的关系；(2)非形式演绎：能了解在几何图形中每个属性间的关系(例如：一个四边形如果对角的角度是相等的，是因有平行的关系)；(3)形式演绎：可根据对几何定理去建构图形，但可能因为对定理不了解而建出错的图形；(4)严谨性：可利用不同定理建立新定理，并分析、比较其特性，一般人难以达到此层次，此层次只是理论需要，缺乏实用性。以上五个学习发展层次，最先发展的则是由视觉开始发展学习。

另外，Schwarz和Hershkowitz学者(1999)认为学生对几何图形的了解，尤其是在几何思考层次尚未完全达到层次(3)形式演绎的学生来说，概念心像比概念定义扮演更重要的角色，所以对于初学的学生来说，图像本身所扮演意义相当重大。

目前的计算机辅助教学是相当普遍的教学方式，而通过计算机辅助应用在几何证明方面，其已经能够通过计算机的操作完成一些繁琐的证明推论的过程，还因此发展出许多由计算机辅助的几何教学学习系统，如Geometry Expert(GEX)(Gao，Zhang andChou，1998)、Cabri Geometry(Laborde，1990)、Geometer’sSketchpad(Jackiw，1991)、Cinderella(Richter-Gebert andKortenkamp，1999)及ARGOS(Spagnol，2002)等系统，使得学生或使用者在几何证明学习方面，能够提供帮助。

GSP(Geometer’s Sketchpad)是知名的动态几何工具，由美国国家科学基金会(National Science Foundation)资助执行的VisualGeometry Project研究并发展成商业产品，1991年开始在美国推出。国内近年有全任重、林保平、吴政勋及陈创义等多位学者大力推动，相信应会有更多的中小学数学老师，能够运用此方式教导学生，因为比起传统教学它能够更容易地展现动态图形，对于教师在教导几何单元时能够更便利、更有效。

另一个几何学习软件是Geometry Expert(几何专家，简称GEX)，不仅可以提供图形展示、可视化和交互式的动态几何图形，还可以应用几何推论方法，以机械方式证明几何定理，其是由中国的高小山、张景中及周成青(1998)三位学者所设计的系统，将过去20年的证明方法加以融入并研发制作的机械证明系统，这些方法包括演绎数据库法(Synthetic Search Method)、吴方法(WuMethod)、面积法(Area Method)、Groebner法、向量法(VectorMethod)和全角法(Full-Angle Method)，但在证明系统中使用的符号不同于一般的数学符号，较难理解，不易阅读，但它是一套数学专家可以参考使用的工具。

根据Van Hiele学者主张：学习几何问题时，视觉是很重要的学习开始步骤；因此提供本发明人制作的一个系统，以能够针对数学几何问题，在每一个证明的步骤有明确的图形说明及文字说明，任意选择证明中的某一步骤单独观看这一步骤的图形说明及文字说明，或者利用各种空格填充题、选择题及顺序排列等方式，除了期望能够让使用者或学生更清楚地观察证明步骤外，也希望能够更为熟悉几何证明的概念定义。

发明内容

于是，本发明的目的在于设计能够提升学生对几何证明题型的了解及熟悉的一种多重表征辅助几何证明的交互式数字学习系统及方法。

基于上述目的，本发明为一种多重表征辅助几何证明的交互式数字学习系统及方法，供一计算机连结使用，其包含有：一数据库、一题目表征显示单元及一证明表征显示单元；该数据库与该计算机连结设置，且该数据库储存有至少一道题目，该题目包含有至少一个已知条件、至少一个欲证目标、一静态几何图形及相对应的一解答，该题目表征显示单元与该计算机连结设置，且该题目表征显示单元经该计算机而由该数据库提取并显示该题目的该已知条件、至少一个欲证目标及相对应的一静态几何图形，该证明表征显示单元与该数据库、该题目表征显示单元连结设置，通过该数据库的操作连结而显示出相对于该题目的解答，该解答并且以一形式证明单元及一证明树单元表示。

另外，本发明还包含一视觉表征显示单元，该视觉表征显示单元供该数据库与该题目表征显示单元连结设置，并设有符合该已知条件及该欲证目标的静态几何图形及一动态几何图形。

其中，该形式证明单元及该证明树单元再分别以多个解答步骤及多个节点解答元件呈现，而本发明的使用方式，其步骤包含有：先将一包含有至少一个已知条件、至少一个欲证目标及一静态几何图形的几何证明题目以及相对应的一解答输入该计算机，再通过该计算机对该几何证明题目进行操作，使该解答以多个解答步骤及呈现树状排列的多个节点解答元件呈现，且该解答步骤能以空格填充题形式、逻辑排列形式及选择题形式进行应用，该节点解答元件能以选择题形式及空格填充题形式进行应用。使用上述步骤时，可因该视觉表征显示单元与该题目表征显示单元连结设置，使用对应的静态几何图形以及动态几何图形。

通过上述技术方案，本发明为一种多重表征辅助几何证明的交互式数字学习系统及方法，其具有下列优点：

一、根据该数据库对该几何证明题目所产生的证明树单元、视觉表征显示单元及形式证明单元，其能够提供给学生一个在解题时，含有完整逻辑的概念心像，以相对于已知的教学互动方式，能更快速且正确地给予学生建立概念定义。

二、另外，关于该形式证明单元、该证明树单元及视觉表征显示单元的相关变化应用方式，能让学生在使用效益上，除了能够给予正确的解题顺序、建立确切的概念心像、熟习数学符号认知、解析题意、统整各种数学概念，减少直观视觉解题，以及建立完整的解题步骤等效用外，还能通过不同的变化、应用方式，从而得到熟悉及加深逻辑印象的几何数学概念，进而提高构思、探究及推理的过程。

三、由于本发明为通过该计算机的应用系统，进而得到多重表征的概念学习方式，能够一扫已知教学方式的缺点，其能在几何概念学习的刚开始，就能得到正确指引，以避免因为不同的生活体验，造成学生在学习进度上的落差，另外，计算机已是必备的应用与学习工具，及早让学生熟悉运作，对于往后各种因计算机衍生的各种产业或问题，都是相当良好的教育方向。

附图说明

图1为本发明的系统工作的示意图。

图2为本发明的使用界面作用关系的示意图。

图3为本发明的使用界面的示意图。

图4为本发明的证明树单元作用的示意图。

图5为本发明的形式证明单元作用的示意图。

图6为本发明的形式证明单元另一作用的示意图。

图7为本发明的题目表征单元及形式证明单元作用的示意图。

图8为本发明的使用流程示意图。

具体实施方式

有关本发明的详细内容及技术说明，现以实施例来作进一步说明，但应了解的是，这些实施例仅为用来例示说明，而不应被解释为对本发明实施的限制。

参阅图1、2、3所示，为本发明的系统工作的示意图、使用界面作用关系的示意图以及使用界面的示意图，本发明为一种多重表征辅助几何证明的交互式数字学习系统及方法，供一计算机10连结使用，其包含有：一数据库20、一题目表征显示单元30及一证明表征显示单元40；该数据库20与该计算机10连结设置，且该数据库20储存有至少一道题目(图未示)，该题目包含有至少一个已知条件31、至少一个欲证目标32、一静态几何图形61及相对应的一解答50，该计算机10并且供一因特网(图未示)连结设置，该题目表征显示单元30与该计算机10连结设置，且该题目表征显示单元30经该计算机10而由该数据库20提取并显示该题目的已知条件31、欲证目标32及相对应的静态几何图形61。

而且该证明表征显示单元40与该数据库20、该题目表征显示单元30连结设置，通过该数据库20的操作连结而显示出相对于该题目的解答50，如图2、3中，该解答50并且以一形式证明单元51及一证明树单元52表示。

并且本发明还包含有一视觉表征显示单元60，该视觉表征显示单元60供该数据库20与该题目表征显示单元30连结设置，该视觉表征显示单元60含有该静态几何图形61及一动态几何图形62，且该视觉表征显示单元60符合该已知条件31及该欲证目标32，其中该静态几何图形61与该题目表征显示单元30、该证明表征显示单元40连结设置，并以选自图形、色彩、线条的任一种或其结合来表示连结关系，如：对该题目所设置的已知条件31或欲证目标32，在该静态几何图形中的边线、顶点、文字通过图形、色彩、线条等明显的视觉强调方式强调出来，并且据此同样方式对形式证明单元51及证明树单元52进行以上的视觉强调方式连结凸显。

再参阅图3、4、5、6、7、8所示，其为本发明的使用界面的示意图、证明树单元作用的示意图、形式证明单元作用的示意图、形式证明单元另一作用的示意图、题目表征单元及形式证明单元作用的示意图以及使用流程的示意图；如图3、4中，该解答50中的该证明树单元52通过树状排列的多个节点解答元件521表示，且该节点解答元件521的应用方式选自选择题形式及空格填充题形式的任一种或其结合；再如图5、6中，该解答50中的该形式证明单元51通过多个解答步骤511而表现，且该解答步骤511的应用方式选自选择题形式、逻辑排列形式或空格填充题形式的任一种或其结合，在图5中，该解答步骤511为空格填充题的应用方式，而在图6中，该解答步骤511为选择题形式与逻辑排列形式所结合的应用方式；而如图7中，该形式证明单元51及该证明树单元52均以空格填充题形式应用。

并且再如图8中所示，其为本发明的使用流程示意图，其使用步骤包含有：步骤S1：开始；步骤S2：将一包含有该已知条件31、该欲证目标32及该静态几何图形61的几何证明题目(图未示)以及该解答50输入该计算机10；步骤S3：该计算机10对该几何证明题目进行操作；步骤S4：使该解答50以该解答步骤511及该节点解答元件521呈现；步骤S5：该解答步骤511为完整呈现，而该节点解答元件521以空格填充题形式与选择题形式结合方式做变化应用，其中，步骤S5即如图4中，通过作为对该节点解答元件521的逻辑架构训练。

步骤S6：该证明表征显示单元40为完整呈现该解答50，该解答步骤511以选择题形式、逻辑排列形式或空格填充题形式中的任一种或其结合进行变化应用，其中，步骤S6即如图5中，使用者可以空格填充题形式作为测验的应用方式，由此让使用者对于该解答步骤511熟悉。

步骤S7：该证明表征显示单元40为完整呈现该解答50，而该形式证明51的该解答步骤511为采用选择题形式与逻辑排列形式所结合的应用方式，并如图6中，为本步骤S7的应用，使用者能由此获得该解答步骤511的排列逻辑推理。

步骤S8：该形式证明51及该证明树单元52均以空格填充题形式应用，也如图7中，可以同时将该题目表征单元30及该形式证明单元51作为测验应用，由此加强对该几何证明题目全面性的吸收了解；步骤S9：结束。以上，还在使用上述步骤时，同时由于该视觉表征显示单元60与该题目表征显示单元30连结设置，产生对应于该几何证明题目的该静态几何图形61以及该动态几何图形62，让使用者能以不同且多样化的方式，建立正确的几何概念。

由于已知学习历程，多是先阅读他人提供的正确证明，从阅读、理解、乃至模仿，完成译码，字面理解，推理理解和理解监控的阅读理解历程，往后才会要求学生自行写下证明，然而，如此的已知教育方式，容易产生出一种概念定义与概念心像冲突的情况，具体而言，即学生不知如何开始、过度依赖自我的典型概念心像，利用本身直观的视觉来做证明题目，不清楚题意、数学符号不熟悉以及统整能力不足等。

因此，Janvier学者提议：函数教学可以利用文字描述、表格、图表和公式表征。另外，Behr等学者则利用表征系统互动模式架构出有理数课程，衍生出一种对于同一个概念结构所具有或呈现出不同表征形式，即称为多重表征(multiple-representations)；表征所指的是一个概念的多重具体化(concretization)。依表征的形式可以区分成外在表征(external representation)与内在表征(internalrepresentation)，本发明是属于外在表征，外在表征是指心智过程中使用的具体符号系统，是将内在表征外在化，以不同的形式表现出来。在数学领域中，常用的表征有符号、表格、图形、算式及文字等，作为辅助或说明的工具。

因此Dufour-janvier，Bednarz&Belanger等学者(1987)对多重表征运用于数学教学主张：(1)表征是数学的一部分；(2)表征是对于同一概念的多种不同的具体化结果；(3)外在表征可以减少某些概念学习或作业的困难；(4)外在表征可增进数学学习的动机。由上述得知，多重表征运用在理解概念的层面上，确实可以让问题更清楚、更具体、更容易理解。

另外，Duval则主张通过不同表征间的协调，才能完成数学概念的发展，以及其它诸多学者认为，让学生在多重表征中精确且流畅地转换及转化，可以使学生通过多元观点的互相对照与不同层面的描述下，有机会去修正自己的认知结构。

据此，本发明的研发方向为：(1)建构出多重表征的表示方式：包含图形、着色、标记(如该视觉表征显示单元60)及文字的学习环境；(2)文字：产生题目、步骤及图形互动关系；(3)产生具有已知、结论及定理互动性的该证明表征显示单元40；以供学生对几何逻辑及结构进行理解。

综上所述，根据该数据库20连结的该题目表征显示单元30、该证明表征显示单元40及该视觉表征显示单元60，提供使用者对该几何证明题目能以多重表征的概念，得到最佳的学习效果，其能够提供给使用者在解题时，含有完整逻辑的概念心像，以相对于已知的教学互动方式，能更快速且正确地建立概念定义。

另外，该形式证明单元51具有选择题形式、逻辑排列形式或空格填充题形式的应用方式，而该证明树单元52的应用方式为选择题形式及空格填充题形式的变化应用，这样的应用变化能让学生的使用效益上，一方面能够建立概念心像、熟习数学符号、了解题意、统整数学概念，减少直观视觉解题以及建立完整的解题步骤等效用，另一方面还能通过不同的应用方式，得到熟悉及加深逻辑印象的几何数学概念。

由于本发明即为通过该计算机10的应用系统，进而根据多重表征的学习概念，期望能一扫已知教学方式的缺点，在几何概念学习的刚开始，就能得到正确指引，另外，根据信息学习与科技的关系，Jonassen(1996)学者主张：学计算机知识，从计算机学知识，用计算机学知识；其为由一开始要“学计算机知识”，以得到信息学习及科技的入门管道，再进展为“从计算机学知识”，为利用计算机具有的庞大数据及网络连结性，减少信息收集的时间，以得到优选的学习效率，但仍不脱离原有的学习模式，乃至于到“用计算机学知识”的阶段，利用计算机的功能对根本的学习模式作突破，才是今后使用者与学生所要面对的世界，由于计算机已是必备的应用工具，结合并熟悉计算机与理论的共同运作，对于学习效果及未来各种产业的走向，都是相当正确且良好的教育方向。

上述仅为本发明的优选实施例而已，并非用来限定本发明实施的范围。即凡依本发明申请专利范围所做的均等变化与修饰，皆为本发明专利范围所涵盖。