一种粒径测量的有限分布积分反演算法

摘要

本发明涉及一种粒径测量的有限分布积分反演算法，其特征在于：包括下列步骤：(1)通过测量得到颗粒尺寸参数分布为f

说明书

【技术领域】

本发明涉及一种粒径测量的有限分布积分反演算法，属于颗粒粒度测量领域。

【背景技术】

目前利用激光衍射法测量粒径分布的积分反演算法一般采用Chin-Shifrin积分变换方法，设f(x)为粒子群的质量分布概率密度函数，则

$\mathrm{xf}\left(x\right)=-\frac{8{\pi }^3{F}^2}{{\lambda }^2}{\int }_0^{\infty }{J}_1\left(\mathrm{\theta x}\right)Y_1\left(\mathrm{\theta x}\right)\theta \frac{d}{\mathrm{d\theta }}\left[{\theta }^3\frac{I\left(\theta \right)}{I_0}\right]\mathrm{d\theta }---\left(1\right)$

其中颗粒参数x＝πD/λ，D为粒径，θ为衍射角，λ为波长，F为透镜焦距，I₀为入射光强。

由于测量值I(θ)不可避免地带有噪声，公式(1)对含噪声的数据进行数值微分，不仅会放大噪声，而且是不适定性问题，从而会引起很大的误差。表现为在大粒径与小粒径分布范围内的反演结果出现不应有的过度震荡。

在专利“一种粒径测量的积分反演算法”中提出了一种新型积分反演算法(申请号：200810240158.0)，该算法通过Hankel变换和Scholmilch方程的解析解，得到了粒度分布的一种双积分形式反演表达式

$f\left(x\right)=\frac{{\pi }^2{F}^2}{{\lambda }^2{I}_{0}x}{\int }_0^{\infty }\theta J_2\left(\mathrm{\theta x}\right)\frac{d\left[{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\left(\theta \sin \phi \right)}^{3}I\left(\frac{\theta \sin \phi }{2}\right)d\right]\phi }{\mathrm{d\theta }}\mathrm{d\theta }---\left(2\right)$

由于采用了公式(2)所述的积分反演算法，内部积分相当于一个低通滤波器，从而降低了噪声对测量信号的影响。在公式(2)中粒径的积分范围为[0，+∞)，然而实际应用中粒径分布范围并不能都近似为[0，+∞)，因此有必要研究粒径分布范围有限的积分反演算法，即有限分布积分反演算法。

【发明内容】

本发明的目的在于提供一种粒径测量的有限分布积分反演算法，以降低噪声对反演结果的影响并获得在有限粒径分布范围内更准确的粒径分布。

本发明所提出的一种粒径测量的有限分布积分反演算法，包括下列步骤：

步骤一：首先通过测量得到颗粒尺寸参数分布为f_a^b(x)的颗粒群在有限颗粒粒度区间[a，b]上的颗粒群衍射光强分布I(θ)；

步骤二：通过Hankel变换和Scholmilch方程的解析解，得到反演表达式

步骤三：利用高斯插值方法将公式(3)离散化处理得到

$f_a^b\left(x\right)=\frac{1}{2b^2}\frac{{\pi }^3{F}^2}{{\lambda }^2{I}_{0}x}\underset{k}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{{{\lambda }_k}^2{J}_2\left({\lambda }_{k}x\right)}{J_3^2\left({\lambda }_{k}b\right)}\underset{m=1}{\overset{M}{\Sigma }}{l}_m[3{\left(\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}{t}_m)\right)}^{3}I\left(\frac{{\lambda }_k\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}{t}_m)}{2}\right)+\frac{{\lambda }_k{\left(\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}{t}_m)\right)}^4}{2}{I}^{\prime }\left(\frac{{\lambda }_k\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}{t}_m)}{2}\right)]---\left(4\right)$

其中，l_m和t_m分别为插值系数和插值节点，N表示衍射角分区的总数，M表示插值节点总数。

步骤四：将高斯插值系数和插值节点带入离散化处理后的公式(4)中，从而获得粒径分布f_a^b(x)。

本发明给出的一种粒径测量的有限分布积分反演算法，其优点及功效在于：由于采用了粒径分布范围有限的积分反演算法，本发明适用于实际测量中粒径分布在有限区间的情况。(3)式中不用差分而直接采用样条函数微分的形式，减小了原理性误差，新算法中只含有一个贝赛尔函数，则反演结果震荡显著减少。

【附图说明】

图1所示为颗粒粒度测量装置示意图

图2所示为符合R-R分布的颗粒粒径分布图

图3所示为颗粒群的衍射光角谱分布图

图4所示为仿真实验反演结果分布图

图中具体标号为：

1、半导体激光器    2、扩束镜            3、样品池

4、傅里叶透镜      5、衍射图像采集系统  6、计算机系统

【具体实施方式】

本发明，即一种粒径测量的有限分布积分反演算法，包括下列步骤：

步骤一：首先通过测量得到颗粒尺寸参数分布为f_a^b(x)的颗粒群在有限颗粒粒度区间[a，b]上的颗粒群衍射光强分布I(θ)；

$I\left(\theta \right)=\frac{{\lambda }^2}{4{\pi }^2{F}^2{\theta }^2}{I}_0{\int }_a^b{x}^2{J}_1^2\left(\mathrm{x\theta }\right)f_a^b\left(x\right)\mathrm{dx}---\left(5\right)$

步骤二：根据Schlomilch方程的求解方法以及Hankel变换，有

式中{λ_kb}是J_n(x)的正零点，即

J_n(λ_kb)＝0(k＝1，2，…N)            (7)

式(6)中积分与导数交换，就得到了反演表达式

步骤三：利用高斯插值方法将方程(8)进行离散化处理得到

$f_a^b\left(x\right)=\frac{1}{2b^2}\frac{{\pi }^3{F}^2}{{\lambda }^2{I}_{0}x}\underset{k}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{{{\lambda }_k}^2{J}_2\left({\lambda }_{k}x\right)}{J_3^2\left({\lambda }_{k}b\right)}\underset{m=1}{\overset{M}{\Sigma }}{l}_m[3{\left(\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}{t}_m)\right)}^{3}I\left(\frac{{\lambda }_k\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}{t}_m)}{2}\right)+\frac{{\lambda }_k{\left(\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}{t}_m)\right)}^4}{2}{I}^{\prime }\left(\frac{{\lambda }_k\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}{t}_m)}{2}\right)]---\left(9\right)$

其中，l_m和t_m分别为插值系数和插值节点，N表示衍射角分区的总数，M表示插值节点总数。

步骤四：将高斯插值系数和插值节点带入离散化处理后的式子(9)中，从而获得粒径分布f_a^b(x)。

下面结合附图和实施例对本发明做进一步详细说明。

在本发明的颗粒粒度测量过程中，所应用的装置如图1所示，它主要由半导体激光器、扩束镜、样品池、傅里叶透镜、衍射图像采集系统、计算机系统组成。传统的激光粒度仪大部分都采用这种装置。

该测试系统工作原理为：半导体激光器输出的光经扩束镜扩束，平行入射到样品池，由于池内是经液体浮起的微粒，在傅里叶透镜的焦平面上将呈现这些粒子群的衍射图样，通过衍射图像采集系统将衍射图样数字化并送入计算机，计算机首先对该数字图像进行数字滤波，然后输出各像素点的灰度值并以此作为各点的光强I(θ)，有了衍射图样的测量值后，根据反演算法，设计计算程序，就可以得到样品池内的粒子群粒径分布。

本算法以夫琅和费衍射理论为基础。在光散射法颗粒粒度测量过程中，当粒径大于波长的4倍，颗粒的相对折射率大于1时，前向散射的小角度区域内(小于6度)的散射光角谱分布可以近似看成夫琅和费衍射：

$I\left(\theta \right)=I_0{\left[\frac{D{J}_1\left(\mathrm{x\theta }\right)}{2\theta }\right]}^2$

其中θ为衍射角，D为粒径，I₀为入射光强，颗粒参数x＝πD/λ，J₁是一阶贝塞儿函数。

若考虑在有限区间[a，b]上，颗粒尺寸参数分布为f_a^b(x)的颗粒群，在不相关单散射情况下，有

$I\left(\theta \right)=\frac{{\lambda }^2}{4{\pi }^2{F}^2{\theta }^2}{I}_0{\int }_a^b{x}^2{J}_1^2\left(\mathrm{x\theta }\right)f_a^b\left(x\right)\mathrm{dx}$

一般情况下，粉尘粒径分布f_a^b(x)符合Rosin-Rammler(简记为R-R)分布，如图2所示。则该颗粒群的衍射光角谱分布(衍射光强加入1％随机噪声)如图3所示。

仿真实验中假设，激光器发出波长为632.8nm的红光，散射光经过傅里叶透镜会聚于衍射图像采集器上，傅里叶透镜的焦距为1m，入射光强度为1cd，样品粒子的粒径分布服从1μm至100μm的R-R分布。算法中插值节点个数为100，颗粒参数x的上限b为10000。反演结果如图4所示。