基于谐振频率法的MEMS薄膜泊松比在线测量方法

摘要

本发明公开了一种基于谐振频率法的MEMS薄膜泊松比在线测量方法，其步骤是：制作一个圆环形MEMS薄膜作为测试结构，其内边界固支在锚区上、外边界自由；锚区固定在衬底上；测量出圆环形MEMS薄膜的径向振动和横向振动的谐振频率，然后用径向振动和横向振动的谐振频率计算MEMS薄膜泊松比。本发明方法，无需预先知道薄膜杨氏模量及材料密度等的具体值，避免了因杨氏模量及材料密度等引起的误差，有利于精度的提高。由于圆环薄膜结构的对称性，锚区更接近理想固支。属于非接触式测量，测量过程不会对测试结构产生影响，可以保证测量的重复性。对于导体和非导体本方法均适用。测试结构制作简单。

说明书

技术领域：

本发明提供一种能够在线测量微机电系统(MEMS)薄膜泊松比的方法，属于MEMS材料参数测量技术领域。

技术背景：

MEMS薄膜在微机电系统中被广泛使用。薄膜力学性能的好坏对器件性能影响很大，尤其是制作可动部件的结构层薄膜的性能对MEMS器件制作的成败及性能的好坏至关重要。MEMS薄膜的力学参数主要包括泊松比、弹性模量、残余应力及沿厚度方向的应力梯度等。薄膜的力学性能与宏观大体积同种材料的性能会有很大差异，不能把宏观大体积材料的力学性能等同于MEMS薄膜的力学性能。而且材料的力学性能也会随着加工工艺条件(例如温度、反应气体压力等)的改变而改变，因而需要在工艺线上经常测量(在线测量)，以获得某一特定工艺条件下加工的薄膜的力学性能或检测工艺的稳定性。在工艺线上的测量(在线测量)必须简便、准确、占用芯片面积小、没有破坏性，无法采用测量宏观大体积材料力学性能的方法进行测量。泊松比的数值通常都比较小，在线测量更加困难。因此研究适用于MEMS实际加工过程的薄膜泊松比的在线测量方法就成为该领域的一项迫切需要。本发明研究了MEMS薄膜泊松比的在线测量方法。

目前在线测量MEMS薄膜泊松比的方法主要有：扭转法、拉伸法等。

扭转法：在结构层上制作两个相连的圆环(图1)，锚区在左右两边，释放后，在两个圆环相连处用纳米压痕计施加压力，两环相连处产生向下的位移。推导出圆环相连处的位移、压力、泊松比、杨氏模量之间的理论关系式，从纳米压痕计测出的两环相连处的位移与所加压力之间的关系，即可算出材料的泊松比。该方法的局限性在于要测量泊松比还必须预先知道材料的杨氏模量，这样就会影响泊松比的测量精度

拉伸法：制作一组悬臂梁结构，首先通过PZT(压电陶瓷)器件对梁的两端直接施加拉力，然后用原子力显微镜测出梁拉伸后的散斑图像，就可以得出外力变化引起的横向及纵向变形，从而得到泊松比。该方法是基于泊松比定义的直接测量，精度很高，但操作复杂，而且需要原子力显微镜等昂贵设备，不适用于在线测量。

发明内容：

本发明的目的在于解决现有技术存在的上述问题，提出了一种基于谐振频率法的MEMS薄膜泊松比在线测量方法。其基本思路是：

制作一个圆环形MEMS薄膜(简称圆环形薄膜)作为测试结构，其内边界固支在锚区上、外边界自由；外边界半径为a，内边界半径为b，厚度为h。锚区固定在衬底上。利用MSA-500显微激光测振仪测量出该结构的径向振动和横向(垂直薄膜面)振动的谐振频率后，代入推导出的计算泊松比的理论公式，就可得到材料的泊松比。本发明的原理如下：

1、圆环形薄膜的径向振动：

制作一个内边界固支于锚区、外边界自由的圆环形薄膜，圆环形薄膜的内半径为b，外半径为a，厚度为h，并以圆环中心为原点建立三维极坐标系(图2)。研究圆环形薄膜轴对称的径向振动。因为是薄膜，厚度远小于半径，所以属于平面应力情况，此时，z方向的应力为零。对于轴对称的径向振动，可以在圆环上任取一微元，并对其进行受力分析(图3)。由(图3)可得圆膜振动微分方程为：

其中：u为径向位移，σ_r为径向应力，为切向应力，ρ为密度，t为时间。化简后：

因为是径向轴对称振动，所以有下列关系成立：

${ϵ}_r=\frac{\partial u}{\partial r},$

其中，ε_r为径向线应变，为切向线应变，为切应变。

物理方程为：

把(3)式代入(4)(5)两式，再带入(2)式，经化简后可得：

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial r^2}+\frac{\partial u}{r\partial r}-\frac{u}{r^2}=\frac{{\partial }^{2}u}{k\partial t^2}---\left(6\right)$

其中：E为杨氏模量，v为泊松比。

设(6)式的解为：u(r，t)＝δ(r)e^jωt，代入(6)式化简后的：

$r^2\frac{d^2\delta }{{\mathrm{dr}}^2}+r\frac{\mathrm{d\delta }}{\mathrm{dr}}+({\beta }^2{r}^2-1)\delta =0---\left(7\right)$

其中：${\beta }^2=\frac{{\omega }^2}{k}=\frac{\rho (1-v^2){\omega }^2}{E}---\left(8\right)$

很显然，(7)式是参数为β²的1阶Bessel方程。其通解为：

δ(r)＝AJ₁(βr)+BY₁(βr)                         (9)

A，B为任意常数，J₁(βr)为实宗量第1类1阶Bessel函数，Y₁(βr)为实宗量第2类1阶Bessel函数。所以(6)式的通解为：

u(r，t)＝δ(r)e^jωt＝[AJ₁(βr)+BY₁(βr)]e^jωt    (10)

因为圆环形薄膜内边界是固定的，外边界是自由的，所以，在内边界处径向位移为零，在外边界处圆膜的径向应力为零，即

把(10)式代入(11)式可得到：

$\left(\begin{array}{c}[\left(\mathrm{\beta a}\right)J_0\left(\mathrm{\beta a}\right)-(1-v)J_1\left(\mathrm{\beta a}\right)]A+[\left(\mathrm{\beta a}\right)Y_0\left(\mathrm{\beta a}\right)-(1-v)Y_1\left(\mathrm{\beta a}\right)]B=0\\ J_1\left(\mathrm{\beta b}\right)A+Y_1\left(\mathrm{\beta b}\right)B=0\end{array}\right)---\left(12\right)$

如果A，B有非零解，则(12)式的行列式为零。即：

$\left(\begin{array}{cc}\left(\mathrm{\beta a}\right)J_0\left(\mathrm{\beta a}\right)-(1-v)J_1\left(\mathrm{\beta a}\right)& \left(\mathrm{\beta a}\right)Y_0\left(\mathrm{\beta a}\right)-(1-v)Y_1\left(\mathrm{\beta a}\right)\\ J_1\left(\mathrm{\beta b}\right)& Y_1\left(\mathrm{\beta b}\right)\end{array}\right)=0---\left(13\right)$

化简(13)式，得到：

[J₀(βa)Y₁(βb)-Y₀(βa)J₁(βb)](βa)+

(14)

[Y₁(βa)J₁(βb)-J₁(βa)Y₁(βb)](1-v)＝0

(14)式是一个超越方程，无法得到方程的解析解，只能用数值方法得到数值解，然后用多项式拟合得到它的根，当a＝2b时，它的第一个解析正根为(对应径向对称振动节圆数为零)：

βa＝-0.1405v²+0.7444v+2.9728(二次拟合)

或：βa＝0.6742v+2.9786(一次拟合)

一次拟合和二次拟合的结果与(14)式数值解的比较见(图4)。可见二次拟合精度已经很高，所以取二次拟合结果为解析解，即：

βa＝-0.1405v²+0.7444v+2.9728                          (15)

由(8)式可得：$f_1=\frac{\mathrm{\beta a}}{2\mathrm{\pi a}}\sqrt{\frac{E}{\rho (1-v^2)}}$

把(15)式代入(16)式，得：

$f_1=\frac{-0.1405v^2+0.7444v+2.9728}{2\mathrm{\pi a}}\sqrt{\frac{E}{\rho (1-v^2)}}---\left(17\right)$

2、圆环的横向振动：

根据弹性力学理论，该圆环形薄膜在出现0条节径轴对称横向振动微分方程为：

$(\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r})(\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r})w+\frac{\mathrm{\rho h}}{D_0}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}=0---\left(18\right)$

式中：为薄板抗弯刚度，w为横向位移，h为厚度，ρ为密度，E为杨氏模量，v为泊松比。

式(18)的解为：

其中：z(r)＝[C₁J₀(βr)+C₂I₀(βr)+C₃Y₀(βr)+C₄K₀(βr)]   (20)

${\beta }^4=\frac{\mathrm{\rho h}}{D_0}·{\omega }^2---\left(21\right)$

J₀(βr)为实宗量第一类0阶bessel函数，Y₀(βr)为实宗量第二类0阶bessel函数，I₀(βr)为虚宗量第一类0阶bessel函数，K₀(βr)为虚宗量第二类0阶bessel函数。ω为角频率。

对自由外边界：r＝a处，弯矩M_r和剪力Q_r都为零，即：M_r＝0，Q_r＝0，对固定内边界，r＝b处，挠度z(r)和转角都为零，即：可得下式：

$\left(\begin{array}{c}\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{v}{r}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dr}}{|}_{r=a}=0\\ \frac{d}{\mathrm{dr}}(\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dr}}^2}+\frac{1}{r}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dr}}){|}_{r=a}=0\\ z\left(r\right){|}_{r=b}=0\\ \frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dr}}{|}_{r=b}=0\end{array}\right)---\left(22\right)$

把(20)是代入(22)式可得：

$\left(\begin{array}{c}[J_0\left(\mathrm{\beta a}\right)-\frac{(1-v)}{\mathrm{\beta a}}{J}_1\left(\mathrm{\beta a}\right)]C_1-[I_0\left(\mathrm{\beta a}\right)-\frac{(1-v)}{\mathrm{\beta a}}{I}_1\left(\mathrm{\beta a}\right)]C_2\\ +[Y_0\left(\mathrm{\beta a}\right)-\frac{(1-v)}{\mathrm{\beta a}}{Y}_1\left(\mathrm{\beta a}\right)]C_3-\\ [K_0\left(\mathrm{\beta a}\right)+\frac{(1-v)}{\mathrm{\beta a}}{K}_1\left(\mathrm{\beta a}\right)]C_4=0\\ J_1\left(\mathrm{\beta a}\right)C_1+I_1\left(\mathrm{\beta a}\right)C_2+Y_1\left(\mathrm{\beta a}\right)C_3-K_1\left(\mathrm{\beta a}\right)C_4=0\\ J_0\left(\mathrm{\beta b}\right)C_1+I_0\left(\mathrm{\beta b}\right)C_2+Y_0\left(\mathrm{\beta b}\right)C_3+K_0\left(\mathrm{\beta b}\right)C_4=0\\ -J_1\left(\mathrm{\beta b}\right)C_1+I_1\left(\mathrm{\beta b}\right)C_2-Y_1\left(\mathrm{\beta b}\right)C_3-K_1\left(\mathrm{\beta b}\right)C_4=0\end{array}\right)---\left(23\right)$

式中，C₁，C₂，C₃，C₄要有非零解，则方程组的系数行列式必须为零，即：

$\left(\begin{array}{cccc}[J_0\left(\mathrm{\beta a}\right)-\frac{(1-v)}{\mathrm{\beta a}}{J}_1\left(\mathrm{\beta a}\right)]& -[I_0\left(\mathrm{\beta a}\right)-\frac{(1-v)}{\mathrm{\beta a}}{I}_1\left(\mathrm{\beta a}\right)]& [Y_0\left(\mathrm{\beta a}\right)-\frac{(1-v)}{\mathrm{\beta a}}{Y}_1\left(\mathrm{\beta a}\right)]& -[K_0\left(\mathrm{\beta a}\right)+\frac{(1-v)}{\mathrm{\beta a}}{K}_1\left(\mathrm{\beta a}\right)]\\ J_1\left(\mathrm{\beta a}\right)& I_1\left(\mathrm{\beta a}\right)& Y_1\left(\mathrm{\beta a}\right)& -K_1\left(\mathrm{\beta a}\right)\\ J_0\left(\mathrm{\beta b}\right)& I_0\left(\mathrm{\beta b}\right)& Y_0\left(\mathrm{\beta b}\right)& K_0\left(\mathrm{\beta b}\right)\\ J_1\left(\mathrm{\beta b}\right)& -I_1\left(\mathrm{\beta b}\right)& Y_1\left(\mathrm{\beta b}\right)& K_1\left(\mathrm{\beta b}\right)\end{array}\right)=0---\left(24\right)$

(24)式是一个对应0条节径内边界固定，外边界自由的圆环横向振动的超越方程，无法得到方程的解析解，只能用数值方法得到数值解，再用多项式拟合得到它的根，当a＝2b时，它的第一个正根(对应0条节径，0个节圆对称振动)的平方为：

(βa)²＝-0.5894v²+2.3321v+12.3780(二次拟合)

或：(βa)²＝2.0374v+12.4025(一次拟合)

一次拟合和二次拟合的结果与(24)式数值解的比较见(图5)，可见二次拟合精度已经很高，所以取二次拟合结果为解析解，即：

(βa)²＝-0.5894v²+2.3321v+12.3780          (25)

由(21)式，可得：

$f_2=\frac{{\left(\mathrm{\beta a}\right)}^2·h}{4\pi a^2}\sqrt{\frac{E}{3\rho (1-v^2)}}---\left(26\right)$

把(25)式代入(26)式，可得：

$f_2=\frac{(-0.5894v^2+2.3321v+12.3780)·h}{4\pi a^2}\sqrt{\frac{E}{3\rho (1-v^2)}}---\left(27\right)$

3.计算泊松比的理论公式

由式(17)除(27)可得计算泊松比的理论公式：

$(-0.5894*v^2+2.3321*v+12.3780)*h*f_1-$

$2*\sqrt{3}*a*(-0.1405*v^2+0.7444*v+2.9728)*f_2=0---\left(28\right)$

其中：*为乘号，在以下公式中均代表乘号。

4.仿真验证：

(28)式的正确性已由CoventorWare软件验证，具体验证过程和数据如下：

在CoventorWare软件中，设定多晶硅的泊松比为v＝0.22，杨氏模量E＝160GPa，密度ρ＝2.23E-15kg/μm³。用CoventorWare软件按照牺牲层工艺模拟生成一组内边界固支、外边界自由的圆环形薄膜的三维立体模型作为测试结构(图7)。其中，圆环形薄膜的外半径a分别为300微米、350微米、400微米、450微米，膜的厚度h为2微米，a＝2b。用CoventorWare仿真得到的径向振动谐振频率f₁和横向振动谐振频率f₂，以及用(28)式计算得到的泊松比的结果v′见(表1)。

表1：CoventorWare仿真数据及泊松比的计算结果

注：CoventorWare仿真中设定的泊松比v＝0.22。

本发明基于谐振频率法的MEMS薄膜泊松比在线测量方法，其步骤是：

制作一个圆环形MEMS薄膜作为测试结构，其内边界固支在锚区上、外边界自由；锚区固定在衬底上；测量出圆环形MEMS薄膜的径向振动和横向振动的谐振频率，然后用下式计算MEMS薄膜泊松比：

$(-0.5894*v^2+2.3321*v+12.3780)*h*f_1-$

$2*\sqrt{3}*a*(-0.1405*v^2+0.7444*v+2.9728)*f_2=0$

本发明的优点：

1.无需预先知道薄膜杨氏模量及材料密度等的具体值，避免了因杨氏模量及材料密度等引起的误差，有利于精度的提高。

2.由于圆环薄膜结构的对称性，锚区更接近理想固支。

3.本方法属于非接触式测量，测量过程不会对测试结构产生影响，可以保证测量的重复性。

4.对于导体和非导体本方法均适用。

5.测试结构制作简单。因此，该方法适合MEMS薄膜泊松比的在线测量。

附图说明：

图1是扭转法在线测量泊松比的结构图，箭头表示压力。

图2是牺牲层释放后，测试结构剖面示意图。

图3是在圆环形薄膜上任意取的一个微元受力分析图。

图4是径向振动βa值与泊松比关系的拟合曲线计算机界面截图，横坐标代表泊松比，纵坐标代表βa。点划线为一次拟合曲线，实线为二次拟合曲线，符号※为数值解。

图5是横向振动(βa)²值与泊松比关系的拟合曲线计算机界面截图，图中横坐标代表泊松比，纵坐标代表(βa)²。点划线为一次拟合曲线，实线为二次拟合曲线，符号※为数值解。

图6是内边界固支于锚区、外边界自由的圆环形薄膜测试结构制作过程示意图。其中：6-1～6-6代表了依次制作过程。

具体实施方式

下面结合实施例，对本发明做详细说明。

实施例：

如(图6-1)所示，在硅牺牲层工艺中，用LPCVD(低压化学气相沉淀)法在单晶硅衬底1上淀积一层0.3μm厚的二氧化硅(sio₂)层2，再淀积一层0.2μm厚的氮化硅层3(图6-1)，然后再淀积一层2μm厚的磷硅玻璃作牺牲层4(图6-2)，经涂胶、曝光、显影后用HF溶液在牺牲层4上刻蚀出一个半径为200微米的圆形凹洞5(图6-3)，再淀积一层2μm厚的多晶硅薄膜作结构层6(6-4)，在结构层上以锚区为中心，刻蚀出外半径为400μm的圆环形圆盘7(图6-5)，用HF溶液除去牺牲层，即可得到所要的结构(图6-6)。用MSA-500显微式激光测振仪量出径向振动的谐振频率f₁＝1.0650E07赫兹和横向振动的谐振频率f₂＝6.3160E04赫兹，把f₁＝1.0650E07赫兹，f₂＝6.3160E04赫兹，a＝400微米，h-2微米代入(28)式，可求得泊松比v＝0.2253。