基于单种群和预交叉的差分进化算法的间歇反应器最优控制方法

摘要

一种基于单种群和预交叉的差分进化算法的间歇反应器最优控制方法，包括以下步骤：1)令进化代数g＝1，个体编号i＝1，参数初始化；2)初始化种群；3)令S

说明书

技术领域

本发明涉及工业优化技术，尤其是一种间歇反应器最优控制方法。

背景技术

差分进化(Differential Evolution，DE)是一种新兴的进化计算方法，最初由Storn等人在1995年提出，当时的设想是用于解决切比雪夫多项式问题，后来发现DE也是解决复杂优化问题的有效技术。DE与人工生命，特别是进化算法有着极为特殊的联系，和遗传算法以及粒子群算法一样，都是基于群体智能理论的优化算法，通过群体内个体间的合作与竞争产生的群体智能指导优化搜索。相比于进化算法，DE保留了基于种群的全局搜索策略，采用实数编码，基于差分的简单变异操作和一对一的竞争生存策略降低了遗传操作的复杂性；同时，DE特有的记忆能力使其可以动态跟踪当前的搜索情况以调整其搜索策略，具有较强的全局收敛能力和鲁棒性，且不需要借助问题的特征信息，适于求解一些利用常规的数学规划方法所无法求解的复杂环境中的优化问题。因此，DE作为一种高效的并行搜索算法，对其进行理论和应用研究具有重要的学术意义和工程价值。

近年来差分进化算法在工业优化领域内得到了广泛的应用：Wang将间歇燃料酒精发酵生产过程的最优加料策略转变为一个模糊决策分析问题，同时利用DE解决该问题，求得最优加料策略；Chiou利用改进的DE算法解决间歇发酵过程的最优控制和最优参数选择问题；Chakraborti利用DE对钢厂重加热炉进行优化配置，并通过调节轧钢速度使得到的温度曲线满足轧钢退温约束。和传统优化算法相比，上述改进的DE算法仍存在运算耗时长，运算量大的缺点，因此如何提高DE算法的运算效率是当前的一个研究重点。

差分进化算法的基本思想是通过不断替换种群中较差的个体从而搜索到全局最优解。算法由选择、变异、交叉三步组成，首先由父代个体间的差分矢量构成变异算子；接着按一定概率，父代个体与变异个体之间进行交叉操作，生成试验个体；然后在父代个体与试验个体之间根据适应度的大小进行选择操作，选择适应度更优的个体作为子代。从种群S中随机选择三个互不相同的个体x_p(1)，x_p(2)与x_p(3)。变异过程可以表示为：

${\hat{x}}_i^{g+1}=x_{p\left(1\right)}^g+F(x_{p\left(2\right)}^g-x_{p\left(3\right)}^g)$

上式中为实验个体，F为缩放因子，子代个体通过实验个体与父代个体进行交叉操作得到，由下式表示：

$x_{\mathrm{ij}}^{g+1}=\left(\begin{array}{cc}{\hat{x}}_{\mathrm{ij}}^{g+1}& \mathrm{ifRAND}\le \mathrm{CR}\\ x_{\mathrm{ij}}^g& \mathrm{ifRAND}>\mathrm{CR}\end{array}\right)$

其中RAND为(0，1)之间的随机数，CR为交叉因子，取值范围为(0，1)，j代表个体中的第j位。

差分进化采用“贪婪”的保存策略，子代个体与父代个体竞争，若对应的目标函数值优于则用替换反之，则用替换算法终止条件为达到最大进化代数或当前代中最优个体与最差个体的适应度之差小于某一设定值，即满足下式：

|f_max-f_min|≤eps

其中的f_max与f_min分别为最优个体与最差个体的适应度，eps为设定值。

传统DE算法虽然在应用上获得了很大的成功，然而仍然存在计算耗时长、运算量大的局限性。因此如何提高DE的计算效率仍是当前的一个研究重点，许多学者在这方面做出了建设性的工作。Babu提出了DES算法(Differentialevolution with single string)，并将其应用于化工过程优化中，取得了较好的结果。不同于DE，DES在进化过程中仅仅保留一个种群，得到的子代个体随即参与到后续的进化过程中，提高了算法的收敛速度并且减少了存储耗费。Ali提出的DEPC(Differential evolution with preferential crossover)算法引进了预交叉操作，减少了算法的计算消耗，引进了辅助种群用于保存在选择过程中被拒绝的潜在实验解，在算法经过一段迭代以后，用辅助种群中的若干较好的解代替主种群中的较差解，以减少算法的计算时间。

在生产过程中，间歇反应器以其灵活多变的特性在制备多种类型的产品中占有十分重要的地位。近年来，间歇反应过程优化问题得到了广泛的关注。由于间歇反应过程所具有的强非线性以及反应过程的不确定性等特点，很难提出有效的优化算法。DE具有的特点特别适合于求解间歇反应器的优化问题。传统的DE算法应用于间歇反应器最优控制，存在以下缺陷：操作复杂、收敛速度较慢、搜索能力较差。目前国内关于间歇反应器的优化方法的专利尚无。

发明内容

为了克服已有间歇反应器最优控制方法的操作复杂、收敛速度较慢、搜索能力较差的缺点，本发明提供一种操作简单、收敛速度快、搜索能力强的基于单种群和预交叉的差分进化算法以解决间歇反应器最优控制方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种基于单种群和预交叉的差分进化算法的间歇反应器最优控制方法，所述控制方法包括以下步骤：

1)、令进化代数g＝1，个体编号i＝1，参数初始化，包括以下几个步骤：

1.1).设置种群规模pop；

1.2).设置杂交概率CR；

1.3).设置缩放因子F；

1.4).设置最大进化代数G_max；

1.5).设置优化变量的取值范围，其中优化变量为间歇反应器的反应时间和反应温度；

2)、初始化种群：设置规模为pop的种群S₁与S₂每次随机生成满足约束条件的两个个体x_i与令该两个体的适应度分别为f(x_i)和f(x′)_i，其中f为适应度函数，取间歇反应器中目标产物的产量，且将最大化目标产物的产量作为优化目标。将适应度较高的个体归入S₁，较低的归入S₂，重复该过程直到两个种群的个体数均为pop；

3)、令S₁中适应度最高与最低个体的适应度分别为f_max与f_min，若满足|f_max-f_min|≤eps，即最优解与最劣解的差在设定范围内，算法终止，输出目标产物产量的变化曲线；若否，令g＝g+1，i＝1；判断是否达到最大进化代数G_max，若是，则算法终止，输出目标产物产量的变化曲线，若否，则继续；

4)、进行预交叉操作，得到的实验个体为y_i，对应的S₁与S₂中的父代个体分别为x_i与，若f(y_i)>f(x_i)，即优化变量y_i对应的目标产量大于x_i对应的目标产量，则用y_i替换x_i，转步骤5)；若否，转步骤6)；其中预交叉操作的步骤如下：令S₁与S₂分别为主种群和辅助种群，预交叉操作由下式表示

$y_i^j=\left(\begin{array}{cc}{a}_i^j& \mathrm{ifRAND}\le \mathrm{CR}\\ x_i^j& \mathrm{ifRAND}>\mathrm{CR}\end{array}\right)$

其中y_i代表实验个体，a_i是从S₂中随机选出的个体，x_i代表y_i对应的S₁父代个体，上标j代表个体中的第j位，可以看出，预交叉操作与交叉操作很类似，不同的是a_i来自于种群S₂。若f(y_i)>f(x_i)，则用y_i替换x_i；若否，则从S₁中随机选择3个个体，按照前文中描述的过程进行交叉操作，得到的实验个体记为若$f\left({\hat{y}}_i\right)>f\left(x_i\right),$则用代替x_i；若$f\left({\hat{y}}_i\right)<f\left(x_i\right)$且$f\left({\hat{y}}_i\right)>f\left(x_i^{\prime }\right),$则用代替

5)、令i＝i+1，若i＝pop，转步骤3)；若否，转步骤4)；

6)、从S₁中随机选择3个个体进行变异交叉操作，得到的实验个体为若$f\left({\hat{y}}_i\right)>f\left(x_i\right),$则用替换x_i；若$f\left({\hat{y}}_i\right)<f\left(x_i\right)$且$f\left({\hat{y}}_i\right)>f\left(x_i^{\prime }\right),$则用替换转步骤5)。

本发明的技术构思为：基于单数组和预交叉的差分进化算法结合了单数组机制与预交叉操作，在维持了差分进化算法操作简单、全局收敛和鲁棒性等优点的基础上提高了差分进化算法的收敛速度，克服了早熟收敛问题，保证了算法的搜索能力。本发明给出的可行域剖分全局优化方法可广泛应用于能源、交通、冶金、石化、轻工、医药、建材、纺织等行业中优化问题。

本发明的有益效果主要表现在：操作简单、收敛速度快、搜索能力强。

附图说明

图1是改进差分进化算法流程图。

图2是三种算法求解实例的收敛情况图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。

参照图1，一种基于单种群和预交叉的差分进化算法的间歇反应器最优控制方法，所述控制方法包括以下步骤：

1)、令进化代数g＝1，个体编号i＝1，

1.1).设置种群规模pop；

1.2).设置杂交概率CR；

1.3).设置缩放因子F；

1.4).设置最大进化代数G_max；

1.5).设置优化变量的取值范围，其中优化变量为间歇反应器的反应时间和反应温度；

2)、初始化种群：设置规模为pop的种群S₁与S₂每次随机生成满足约束条件的两个个体x_i与令该两个体的适应度分别为f(x_i)和f(x′)_i，其中f为适应度函数，取间歇反应器中目标产物的产量，且将最大化目标产物的产量作为优化目标。其中适应度较高的个体归入S₁，较低的归入S₂，重复该过程直到两个种群的个体数均为pop；

3)、令S₁中适应度最高与最低个体的适应度分别为f_max与f_min，若满足|f_max-f_min|≤eps，则算法终止，输出目标产物产量的变化曲线；若否，令g＝g+1，i＝1；判断是否达到最大进化代数G_max，若是，则算法终止，输出目标产物产量的变化曲线，若否，则继续；

4)、进行预交叉操作，得到的实验个体为y_i，对应的S₁与S₂中的父代个体分别为x_i与若f(y_i)>f(x_i)，其中f为适应度函数，则用y_i替换x_i，转步骤5)；若否，转步骤6)；其中预交叉操作的步骤如下：令S₁与S₂分别为主种群和辅助种群，预交叉操作由下式表示

$y_i^j=\left(\begin{array}{cc}{a}_i^j& \mathrm{ifRAND}\le \mathrm{CR}\\ x_i^j& \mathrm{ifRAND}>\mathrm{CR}\end{array}\right)$

其中y_i代表实验个体，a_i是从S₂中随机选出的个体，x_i代表y_i对应的S₁父代个体，上标j代表个体中的第j位。可以看出，预交叉操作与交叉操作很类似，不同的是a_i来自于种群S₂。若f(y_i)>f(x_i)，则用y_i替换x_i；若否，则从S₁中随机选择3个个体，按照前文中描述的过程进行交叉操作，得到的实验个体记为若$f\left({\hat{y}}_i\right)>f\left(x_i\right),$则用代替x_i；若$f\left({\hat{y}}_i\right)<f\left(x_i\right)$且$f\left({\hat{y}}_i\right)>f\left(x_i^{\prime }\right),$则用代替

5)、令i＝i+1，若i＝pop，转步骤3)；若否，转步骤4)；

6)、从S₁中随机选择3个个体进行变异交叉操作，得到的实验个体为若$f\left({\hat{y}}_i\right)>f\left(x_i\right),$则用替换x_i；若$f\left({\hat{y}}_i\right)<f\left(x_i\right)$且$f\left({\hat{y}}_i\right)>f\left(x_i^{\prime }\right),$则用替换转步骤5)。

实例1：间歇式反应器动态优化问题属于化工连续优化问题范畴，这类问题的特点是约束条件为微分方程组，具有多个局部最优解和全局最优解，求解这一类问题具有挑战性。

考虑如下反应过程：

$\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}}=-(k_1+k_2+k_3)x_1$

$\frac{{\mathrm{dx}}_2}{\mathrm{dt}}=k_1{x}_1-k_4{x}_2$

$\frac{{\mathrm{dx}}_3}{\mathrm{dt}}=k_4{x}_2-k_5{x}_3$

其中x₁，x₂与x₃分别为反应物A，B，C的浓度(mol/L)，k₁，k₂，k₃，k₄，k₅均为反应速率常数，表达式为：

$k_i=C_i\exp \left\{\frac{{-E}_i}{R}(\frac{1}{T}-\frac{1}{658})\right\}$

式中C_i为常数因子，E_i为反应活化能(cal/mol)，R为气体常数(1.9872cal/mol/K)，T为温度(K)。C_i与E_i的取值如表1所示：

表1

该实例的优化变量是反应温度T与反应时间t，适应度函数为x₂(t)，优化目标是控制T与t使得目标产物B的产量最大。初始条件为：x₁(0)＝1.0；x₂(0)＝0.0；x₃(0)＝0.0。T的取值范围为[200，2000]，t的取值范围为[0，10]，该问题的最优值为0.4231。分别用DE，DES，DEPC与DEPCS算法求解以上优化问题，采用RI法处理变量约束，算法的参数设置为：种群大小pop＝10×dim，dim为优化变量的维数，缩放因子F＝0.5，交叉因子CR＝0.8，eps＝10^-4，ξ＝10×eps，最大进化代数G_max＝2000。每种算法计算30次后取平均值，实验结果如表2所示：

表2

其中P代表问题，dim代表问题的维数，SR代表算法的成功率，dim代表问题的维数，SR代表算法的成功率，FEN代表平均函数评价次数，单位为次，CPU代表平均运行消耗时间，单位为秒，AG代表平均收敛代数，单位为代。其中，DES，DEPC和DEPCS三种算法求解问题的收敛图如图2所示(DE的求解效果劣于以上三者因此未列出)。

从表2可以看出，针对该优化问题，四种算法均能成功找到全局最优解，从FEN，CPU和AG三个指标来看，DEPCS均为最小，因此针对该问题来看，DEPCS算法的收敛速度要优于其余3种算法，DE收敛速度最慢。

实例2：将本发明提出的优化算法应用于以下间歇反应器最优控制问题，反应过程为$A\stackrel{k_1}{\to }B\stackrel{k_2}{\to }C,$由以下的微分方程组描述：

$\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}}={-k}_1{x}_1^2$

$\frac{{\mathrm{dx}}_2}{\mathrm{dt}}=k_1{x}_1^2-k_2{x}_2$

其中x₁与x₂分别为反应物A，B的浓度(mol/L)，k₁与k₂均为反应速率常数，表达式如下：

$k_1=4000\exp \left(\frac{-2500}{T}\right)$

$k_2=620000\exp \left(\frac{-5000}{T}\right)$

优化目标是控制反应温度T，使反应产物B的产量最大化，适应度函数为x₂(t_f)，t_f为总的反应时间。该问题的约束为微分方程，许多化工动态优化问题都具有类似的形式，最优值为0.6101。

控制变量T的取值范围为[298，398]，初始值为x₁(0)＝1.0，x₂(0)＝0.0，反应时间tf为1小时，采用分段控制策略将tf平均离散为10段，得到一个10维优化问题，在每段时间内采用不同的控制变量。分别用DE，DES，DEPC与DEPCS算法求解以上优化问题，采用RI法处理变量约束，算法的参数设置为：种群大小pop＝10×dim，缩放因子F＝0.5，交叉因子CR＝0.8，eps＝10^-4，ξ＝10×eps，最大进化代数G_max＝2000。用Runge-Kutta法求解微分方程组。每种算法计算10次后取平均值，实验结果如表3所示：

表3

其中P代表问题，dim代表问题的维数，SR代表算法的成功率，FEN代表平均函数评价次数，CPU代表平均运行消耗时间，AG代表平均收敛代数。从上表可以看出，针对该优化问题，四种算法均能成功找到全局最优解，从FEN，CPU和AG三个指标来看，DEPCS均为最小，DEPCS的收敛速度要优于其余3种算法。

以上阐述的是本发明给出的实例表现出的优良优化效果，显然本发明不只是限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。本发明对求解其他的化工连续优化问题有一定的借鉴意义，可广泛应用于能源、交通、冶金、石化、轻工、医药、建材、纺织等行业中的优化问题。