基于高阶滑模微分器的电机间接自适应鲁棒输出反馈控制方法

摘要

本发明提供一种基于高阶滑模微分器的电机间接自适应鲁棒输出反馈控制方法，该方法的实现包括以下步骤：步骤一、建立电机位置伺服系统模型；步骤二、设计基于高阶滑模微分器的电机间接自适应鲁棒输出反馈控制器；步骤三、通过调节基于有限时间干扰估计的鲁棒控制器中的参数，使得系统满足控制性能指标。本发明提出的基于高阶滑膜微分器的电机间接自适应鲁棒输出反馈控制方法，针对电机位置伺服系统的特点，建立了电机位置伺服系统模型；设计的基于高阶滑模微分器的电机间接自适应鲁棒输出反馈控制器，对系统系统状态进行估计并用于控制器设计，避免了测量噪声对控制器的影响同时，能有效解决电机伺服系统中存在的参数不确定性和不确定非线性问题。

说明书

技术领域

本发明涉及一种控制方法，具体涉及一种电机位置伺服系统的间接自适应鲁棒输出反馈 控制方法。

背景技术

直线电机将电能直接转换成直线运动机械能，不需要任何中间转换机构的传动装置。具 有起动推力大、传动刚度高、动态响应快、定位精度高、行程长度不受限制等优点，因而在 工业中被广泛应用。

然而，为电机伺服系统设计高性能的控制器是不容易的，因为设计人员很可能会遇到很 多的模型不确定性，包括参数不确定性和不确定非线性等未建模的非线性。这些不确定性因 素可能会严重恶化能够取得的控制性能，从而导致低控制精度，极限环震荡，甚至不稳定性。 对于已知的非线性，可以通过反馈线性化技术处理。但是，无论动态非线性和参数识别的如 何准确的数学模型，都不可能得到实际非线性系统的整个非线性行为和确切的参数，进而进 行完美的补偿。始终存在着不能够用明确的函数来模拟的参数偏差和未建模非线性。

为了提高电机系统的跟踪性能，许多先进的非线性控制器应用到电机系统控制中，如鲁 棒自适应控制，自适应鲁棒控制(ARC)，滑模控制等。

然而，所有上述方法均基于全状态反馈开展控制器设计，在运动控制中，不仅需要位置 信号，还需要速度和/或加速度信号。但在许多实际系统中，受机械结构、体积、重量及成本 限制，往往仅位置信息可知。此外，即便速度及加速度信号可以获得，也存在严重的测量噪 声，进而恶化全状态反馈控制器可以获得的性能。非线性控制应用中所存在的这些实际问题， 导致了PID控制至今在电机控制领域仍处于主导地位。但是，在现代工业时代的新需求下， PID越来越难以满足日益追求的高性能控制。因此，迫切需要设计非线性输出反馈控制策略。 在线性系统中，这个问题可以利用分离设计原则解决，即对可观可控的线性系统，分别设计 状态反馈控制器和状态观测器就可以获得系统的输出反馈控制器。但在非线性系统，由于分 离原则不再成立，利用输出反馈实现系统的镇定问题就是一个非常困难问题，近年来，非线 性系统的输出反馈镇定问题得到了广泛的关注。只有系统输出是可量测的条件下如何实现控 制系统的镇定是控制理论一个重要的问题。

发明内容

本发明在只有位置状态已知的情况下，针对电机位置伺服系统中同时存在的参数确定性 和不确定非线性问题，提出一种基于高阶滑模微分器的电机间接自适应鲁棒输出反馈控制方 法。

本发明的上述目的通过独立权利要求的技术特征实现，从属权利要求以另选或有利的方 式发展独立权利要求的技术特征。

为达成上述目的，本发明提出一种基于高阶滑模微分器的电机间接自适应鲁棒输出反馈 控制方法，其实现包括以下步骤：

步骤一、建立电机位置伺服系统模型

根据牛顿第二定律，电机惯性负载的动力学模型方程为：

$m\stackrel{··}{y}=k_{f}u-b\stackrel{·}{y}-f(y,\stackrel{·}{y},t)---\left(1\right)$

式中y表示角位移，m表示惯性负载，k_f表示扭矩常数，u是系统控制输入，b代表粘 性摩擦系数，f代表其他未建模干扰，包括非线性摩擦，外部干扰以及未建模动态。

把(1)式写成状态空间形式，如下：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2={\theta }_{1}u-{\theta }_2{x}_2-d(x,t)\end{array}\right)---\left(2\right)$

其中x＝[x₁,x₂]^T表示位置和速度的状态向量。参数θ＝[θ₁,θ₂]^T，其 中θ₁＝k_f/m，θ₂＝b/m，d(x,t)＝f/m表表示集中干扰；

以下假设总是成立的：

假设1：结构不确定性θ满足：

$\theta \in {\Omega }_{\theta }\stackrel{\Delta }{=}\{\theta :{\theta }_{\min }\le \theta \le {\theta }_{\max }\}---\left(3\right)$

其中θ_min＝[θ_1min,θ_2min]^T,θ_max＝[θ_1max,θ_2max]^T，它们都是已知的，此外θ_1min＞0，θ_2min＞0。

假设2：d(x,t)是有界的，即

|d(x,t)|≤δ_d    (4)

其中δ_d已知量；

步骤二、设计基于高阶滑模微分器的电机间接自适应鲁棒输出反馈控制器，具体步骤如 下：

步骤二(一)、带速率限制的投影自适应律结构

令表示θ的估计，表示θ的估计误差，即定义一个投影函数如下：

其中ζ∈R^p,Γ(t)∈R^p×p是一个随时间变化的正定对称矩阵，和分别表示Ω_θ的内部 和边界，表示时的外单位法向量；

对于投影函数(5)式，在控制参数估计过程中，要用到预设的自适应限制速度，因而，定 义一个饱和函数如下：

${\mathrm{sat}}_{{\stackrel{·}{\theta }}_M}=s_0\zeta ,s_0=\left(\begin{array}{cc}1& \left|\right|\zeta \left|\right|\le {\stackrel{·}{\theta }}_M\\ \frac{{\stackrel{·}{\theta }}_M}{\left|\right|\zeta \left|\right|}& \left|\right|\zeta \left|\right|>{\stackrel{·}{\theta }}_M\end{array}\right)---\left(6\right)$

其中是一个预先设置的限制速率，下面的引理总结了参数估计算法的结构特性：

引理1：假设使用下面的投影型自适应律和预设的自适应限制速率更新估计参数

$\stackrel{·}{\hat{\theta }}={\mathrm{sat}}_{{\stackrel{·}{\theta }}_M}\left({\mathrm{Proj}}_{{\stackrel{·}{\theta }}_M}\left(\mathrm{\Gamma \tau }\right)\right),\hat{\theta }\left(0\right)\in {\Omega }_{\theta }---\left(7\right)$

其中τ是自适应函数，Γ(t)＞0是连续的可微正对称自适应率矩阵，由此自适应律，可得 以下理想特性：

P1)参数估计值总在已知有界的Ω_θ集内，即对于任意t，总有因而由假设1 可得，${\theta }_{i\min }\le {\hat{\theta }}_i\left(t\right)\le {\theta }_{i\max },i=\mathrm{1,2},\forall t.$

P2)${\tilde{\theta }}^T[{\Gamma }^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\hat{\theta }}\left(\mathrm{\Gamma \tau }\right)-\tau ]\le 0,\forall \tau .$

P3)参数变化律是一致有界的：

$\stackrel{·}{\left|\right|\hat{\theta }}\left(t\right)\left|\right|\le {\stackrel{·}{\theta }}_M,\forall t.;$

步骤二(二)、构建电机的高阶滑模微分器，对系统未知状态进行估计

首先，系统模型(2)被重新转换成如下形式：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2={\hat{\theta }}_{1}u-{\hat{\theta }}_2{x}_2+D(x,t)\end{array}\right)---\left(8\right)$

其中$D(x,t)=-{\tilde{\theta }}_{1}u+{\tilde{\theta }}_2{x}_2-d(x,t)$是一个广义干扰；

由和假设2可知D(x,t)也是有界的，即：

其中θ_m＝θ_max-θ_min，

由式(8)设计一个高阶滑模微分器，如下：

$\left(\begin{array}{c}{e}_0={\hat{x}}_1,e_1={\hat{x}}_2,e_2={\hat{x}}_3\\ {\stackrel{·}{e}}_0=v_0=-{\lambda }_0{|e_0-x_1|}^{2/3}\mathrm{sgn}(e_0-x_1)+e_1\\ {\stackrel{·}{e}}_1=v_1=-{\lambda }_1{|e_1-v_0|}^{1/2}\mathrm{sgn}(e_0-v_0)+e_2\\ {\stackrel{·}{e}}_2=v_2=-{\lambda }_2\mathrm{sgn}(e_2-v_1)\end{array}\right)---\left(10\right)$

其中x₁，x₂，x₃分别表示输出位置、速度和加速度，分别为为x₁、x₂、x₃的 估计值,λ₀，λ₁，λ₂为设计参数；

引理1：存在一个时间T₁，当时间t大于时间常数T₁时，其中 ${\tilde{x}}_i={\hat{x}}_i-x_i,i=\mathrm{1,2,3};$

步骤二(三)、设计基于高阶滑模微分器的电机间接自适应鲁棒输出反馈控制器，包括如 下步骤：

定义一组函数如下：

$\left(\begin{array}{c}{z}_2={\stackrel{·}{z}}_1+k_1{z}_1=x_2-x_{2\mathrm{eq}}\\ x_{2\mathrm{eq}}\stackrel{\Delta }{=}{\stackrel{·}{x}}_{1d}-k_1{z}_1\end{array}\right)---\left(11\right)$

其中z₁＝x₁-x_1d(t)是输出跟踪误差，k₁>0是一个反馈增益；

由于G(s)＝z₁(s)/z₂(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，让z₁很小或趋近于零就是让 z₂很小或趋近于零；因此，控制器设计转变成让z₂尽可能小或趋近于零；

对式(11)微分并把式(8)带入，可得：

${\stackrel{·}{z}}_2={\hat{\theta }}_{1}u-{\hat{\theta }}_2{x}_2-{\stackrel{·}{x}}_{2\mathrm{eq}}+D(x,t)---\left(12\right)$

基于状态估计的控制器如下：

$\left(\begin{array}{c}u=(u_a+u_s)/{\hat{\theta }}_1,u_s=u_{s1}+u_{s2}\\ u_a={\stackrel{·}{x}}_{2\mathrm{eq}}+{\hat{\theta }}_2{\hat{x}}_2\\ u_{s1}=-k_2({\hat{x}}_2-x_{2\mathrm{eq}})\end{array}\right)---\left(13\right)$

其中k₂＞0是一个反馈增益；

把式(13)带入式(12)，可得z₂的动态方程：

${\stackrel{·}{z}}_2=-k_2({\hat{x}}_2-x_{2\mathrm{eq}})+u_{s2}+D(x,t)+{\hat{\theta }}_2{\tilde{x}}_2---\left(14\right)$

u_s2满足如下条件：

z₂{u_s2-D}≤σ₁    (15a)

z₂u_s2≤0    (15b)

其中σ₁＞0为设计参数，式(15a)和式(15b)的u_s2的选取如下：令g为如下函数

其中是D(x,t)的上界，由此设计如下的u_s2：

$u_{s2}=-k_{s1}{z}_2\stackrel{\Delta }{=}-g^2{z}_2/\left(4{\sigma }_1\right)---\left(17\right)$

其中k_s1为一非线性增益；

步骤二(四)、设计间接参数估计方法

假设3：系统不存在干扰，即D＝0；

重写系统动态模型，可得下式用于参数估计：

$y={\stackrel{·}{x}}_2={\theta }_{1}u-{\theta }_2{x}_2---\left(18\right)$

引入一个低通滤波器H_f，并把滤波器运用到式(18)中，可得：

$y_f=H_f\left[{\stackrel{·}{x}}_2\right]={\theta }_1{u}_f-{\theta }_2{x}_{2f}---\left(19\right)$

其中u_f,x_2f分别表示输入为u,x₂的滤波器H_f的输出；

为进行参数估计，如下定义参数向量和回归函数：

由(20)可得线性回归模型：

定义预测输出误差其中由(21)可得如下预测误差模型：

对于静态的线性回归模型，使用具有指数遗忘因子和协方差预设的最小二乘估计算法， 对于每一组的回归量和相应的未知参数向量，定义自适应速率矩阵如下：

其中Γ(0)＝Γ^T(0)＞0，α≥0是遗忘因子，是协方差的预设时间，即当λ_min(Γ(t))＝ρ_l，ρ_l为预设Γ(t)的最小限值并满足0＜ρ_l＜ρ₀，λ_min(Γ(t))是Γ(t)的最小特征值，I是单位矩阵，此 时自适应函数如下：

式中υ≥0是归一化因子，当υ＝0时，则此时的自适应函数为非标准型的自适应函数。在 含有遗忘因子的参数估计中，当回归器不是持续激励的，Γ(t)可能会无界，即λ_max(Γ(t))→∞ 和导致估计器的饱和，为了防止这种情况发生，将(23)式修改为：

式中ρ_M是预设的Γ(t)的范数的上界，且λ_max(Γ(t))≤ρ_M，且0＜ρ_l＜ρ＜ρ_M；

基于这种改进，可以保证ρ_lI＜Γ(t)＜ρ_MI。

当t≥T₁时，d＝0，如果持续激励(PE)条件满足：

则参数收敛到真值，即当t→∞时，

基于以上定义的参数自适应律，可得到如下引理：

引理2：由参数自适应律(7)，最小二乘自适应函数(23)，式(24)以及预测误差模型(22) 可得：ε∈L₂(0,∞)∩L_∞(0,∞),$\stackrel{·}{\hat{\theta }}\in L_2(0,\infty )\cap L_{\infty }(0,\infty ),\tilde{\theta }\in L_{\infty }(0,\infty ).$

步骤三、调节基于有限时间干扰估计的鲁棒控制器中u的参数k₁,k₂,a，v，λ₀，λ₁， λ₂，σ₁，使得系统满足控制性能指标。

由以上本发明的技术方案可知，本发明提出的基于高阶滑膜微分器的电机间接自适 应鲁棒输出反馈控制方法，针对电机位置伺服系统的特点，建立了电机位置伺服系统模 型；本发明设计的基于高阶滑模微分器的电机间接自适应鲁棒输出反馈控制器，对系统 系统状态进行估计并用于控制器设计，避免了测量噪声对控制器的影响同时，能有效解 决电机伺服系统的参数不确定性和不确定非线性问题，在上述干扰条件下系统控制精度 满足性能指标；本发明简化了控制器设计，仿真结果表明了其有效性。

应当理解，前述构思以及在下面更加详细地描述的额外构思的所有组合只要在这样的构 思不相互矛盾的情况下都可以被视为本公开的发明主题的一部分。另外，所要求保护的主题 的所有组合都被视为本公开的发明主题的一部分。

结合附图从下面的描述中可以更加全面地理解本发明教导的前述和其他方面、实施例和 特征。本发明的其他附加方面例如示例性实施方式的特征和/或有益效果将在下面的描述中显 见，或通过根据本发明教导的具体实施方式的实践中得知。

附图说明

附图不意在按比例绘制。在附图中，在各个图中示出的每个相同或近似相同的组成部分 可以用相同的标号表示。为了清晰起见，在每个图中，并非每个组成部分均被标记。现在， 将通过例子并参考附图来描述本发明的各个方面的实施例，其中：

图1是电机执行装置的典型结构示意图。

图2是本发明基于高阶滑膜微分器的电机间接自适应鲁棒输出反馈控制方法的控制策略 图。

图3是系统外加干扰曲线的示意图。

图4是控制器输入电压u曲线的示意图。

图5是参数估计曲线的示意图。

图6是位置估计和估计误差曲线的示意图。

图7是速度估计和估计误差曲线的示意图。

图8是加速度估计和估计误差曲线的示意图。

图9是设计控制器和PID控制器跟踪误差曲线的示意图。

具体实施方式

为了更了解本发明的技术内容，特举具体实施例并配合所附图式说明如下。

在本公开中参照附图来描述本发明的各方面，附图中示出了许多说明的实施例。本公开 的实施例不必定意在包括本发明的所有方面。应当理解，上面介绍的多种构思和实施例，以 及下面更加详细地描述的那些构思和实施方式可以以很多方式中任意一种来实施，这是应为 本发明所公开的构思和实施例并不限于任何实施方式。另外，本发明公开的一些方面可以单 独使用，或者与本发明公开的其他方面的任何适当组合来使用。

下面结合附图说明本实施方式，本实施方式所述一种基于状态观测的电机输出反馈控制 方法的具体步骤如下：

步骤一、建立电机位置伺服系统模型；

步骤二、设计基于高阶滑模微分器的电机间接自适应鲁棒输出反馈控制器；以及

步骤三、通过调节基于有限时间干扰估计的鲁棒控制器中的参数，使得系统满足控制性 能指标。

下面结合附图1-9所示，详细说明前述实施方式的示例性实现过程。

步骤一、建立电机位置伺服系统模型，根据牛顿第二定律，电机惯性负载的动力学模型 方程为：

$m\stackrel{··}{y}=k_{f}u-b\stackrel{·}{y}-f(y,\stackrel{·}{y},t)---\left(1\right)$

式中y表示角位移，m表示惯性负载，k_f表示扭矩常数，u是系统控制输入，b代表粘性摩 擦系数，f代表其他未建模干扰，比如非线性摩擦，外部干扰以及未建模动态。

把(1)式写成状态空间形式，如下：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2={\theta }_{1}u-{\theta }_2{x}_2-d(x,t)\end{array}\right)---\left(2\right)$

其中x＝[x₁,x₂]^T表示位置和速度的状态向量。参数θ＝[θ₁,θ₂]^T，其中 θ₁＝k_f/m，θ₂＝b/m，d(x,t)＝f/m表示集中干扰。一般情况下，由于系统参数m，k_f，b是 变化的，系统是结构不确定性的，虽然我们不知道系统的具体信息，但系统的大致信息是可 以知道的。此外，系统还有非结构不确定性d(x,t)，显然它不能明确建模的，但系统的未建 模动态和干扰总是有界的。因而，以下假设总是成立的：

假设1：结构不确定性θ满足：

$\theta \in {\Omega }_{\theta }\stackrel{\Delta }{=}\{\theta :{\theta }_{\min }\le \theta \le {\theta }_{\max }\}---\left(3\right)$

其中θ_min＝[θ_1min,θ_2min]^T,θ_max＝[θ_1max,θ_2max]^T，它们都是已知的，此外θ_1min＞0，θ_2min＞0。

假设2：d(x,t)是有界的，即

|d(x,t)|≤δ_d   (4)

其中δ_d已知。

步骤二、设计基于高阶滑模微分器的电机间接自适应鲁棒输出反馈控制器的具体步骤如 下：

步骤二(一)、带速率限制的投影自适应律结构

令表示θ的估计，表示θ的估计误差，即定义一个投影函数如下

其中ζ∈R^p,Γ(t)∈R^p×p是一个随时间变化的正定对称矩阵，和分别表示Ω_θ的内部和边 界，表示时的外单位法向量。

对于投影函数(5)式，在控制参数估计过程中，要用到预设的自适应限制速度。因而，定 义一个饱和函数如下：

${\mathrm{sat}}_{{\stackrel{·}{\theta }}_M}=s_0\zeta ,s_0=\left(\begin{array}{cc}1& \left|\right|\zeta \left|\right|\le {\stackrel{·}{\theta }}_M\\ \frac{{\stackrel{·}{\theta }}_M}{\left|\right|\zeta \left|\right|}& \left|\right|\zeta \left|\right|>{\stackrel{·}{\theta }}_M\end{array}\right)---\left(6\right)$

其中是一个预先设置的限制速率。下面的引理总结了本文中将要用到的参数估计算法的结 构特性。

引理1：假设使用下面的投影型自适应律和预设的自适应限制速率更新估计参数

$\stackrel{·}{\hat{\theta }}={\mathrm{sat}}_{{\stackrel{·}{\theta }}_M}\left({\mathrm{Proj}}_{{\stackrel{·}{\theta }}_M}\left(\mathrm{\Gamma \tau }\right)\right),\hat{\theta }\left(0\right)\in {\Omega }_{\theta }---\left(7\right)$

其中τ是自适应函数，Γ(t)＞0是连续的可微正对称自适应率矩阵。由此自适应律，可得以下 理想特性：

P1)参数估计值总在已知有界的Ω_θ集内，即对于任意t，总有因而由假设1 可得，${\theta }_{i\min }\le {\hat{\theta }}_i\left(t\right)\le {\theta }_{i\max },i=\mathrm{1,2},\forall t.$

P2)${\tilde{\theta }}^T[{\Gamma }^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\hat{\theta }}\left(\mathrm{\Gamma \tau }\right)-\tau ]\le 0,\forall \tau .$

P3)参数变化律是一致有界的。

$\stackrel{·}{\left|\right|\hat{\theta }}\left(t\right)\left|\right|\le {\stackrel{·}{\theta }}_M,\forall t.$

步骤二(二)、构建电机的高阶滑模微分器，对系统未知状态进行估计。

首先，系统模型(2)可以被重新写成如下形式：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2={\hat{\theta }}_{1}u-{\hat{\theta }}_2{x}_2+D(x,t)\end{array}\right)---\left(8\right)$

其中$D(x,t)=-{\tilde{\theta }}_{1}u+{\tilde{\theta }}_2{x}_2-d(x,t)$是一个广义干扰。

由和假设2可知D(x,t)也是有界的。即

其中θ_m＝θ_max-θ_min，

由(8)可以设计一个高阶滑模微分器，如下：

$\left(\begin{array}{c}{e}_0={\hat{x}}_1,e_1={\hat{x}}_2,e_2={\hat{x}}_3\\ {\stackrel{·}{e}}_0=v_0=-{\lambda }_0{|e_0-x_1|}^{2/3}\mathrm{sgn}(e_0-x_1)+e_1\\ {\stackrel{·}{e}}_1=v_1=-{\lambda }_1{|e_1-v_0|}^{1/2}\mathrm{sgn}(e_0-v_0)+e_2\\ {\stackrel{·}{e}}_2=v_2=-{\lambda }_2\mathrm{sgn}(e_2-v_1)\end{array}\right)---\left(10\right)$

其中x₁，x₂，x₃分别表示输出位置，速度和加速度，分别为为x₁，x₂，x₃的估计 值,λ₀，λ₁，λ₂为设计参数。

引理1：存在一个时间T₁，当时间t大于时间常数T₁时，其中 ${\tilde{x}}_i={\hat{x}}_i-x_i,i=\mathrm{1,2,3}.$

步骤二(三)、设计基于高阶滑模微分器的电机间接自适应鲁棒输出反馈控制器如下：

定义一组函数如下

$\left(\begin{array}{c}{z}_2={\stackrel{·}{z}}_1+k_1{z}_1=x_2-x_{2\mathrm{eq}}\\ x_{2\mathrm{eq}}\stackrel{\Delta }{=}{\stackrel{·}{x}}_{1d}-k_1{z}_1\end{array}\right)---\left(11\right)$

其中z₁＝x₁-x_1d(t)是输出跟踪误差，k₁＞0是一个反馈增益。由于 G(s)＝z₁(s)/z₂(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，让z₁很小或趋近于零就是让z₂很小或趋 近于零。因此，控制器设计转变成让z₂尽可能小或趋近于零。对式(11)微分并把式(8)带入， 可得：

${\stackrel{·}{z}}_2={\hat{\theta }}_{1}u-{\hat{\theta }}_2{x}_2-{\stackrel{·}{x}}_{2\mathrm{eq}}+D(x,t)---\left(12\right)$

基于状态估计的控制器如下：

$\left(\begin{array}{c}u=(u_a+u_s)/{\hat{\theta }}_1,u_s=u_{s1}+u_{s2}\\ u_a={\stackrel{·}{x}}_{2\mathrm{eq}}+{\hat{\theta }}_2{\hat{x}}_2\\ u_{s1}=-k_2({\hat{x}}_2-x_{2\mathrm{eq}})\end{array}\right)---\left(13\right)$

其中k₂＞0是一个反馈增益。

把式(13)带入式(12)，可得z₂的动态方程：

${\stackrel{·}{z}}_2=-k_2({\hat{x}}_2-x_{2\mathrm{eq}})+u_{s2}+D(x,t)+{\hat{\theta }}_2{\tilde{x}}_2---\left(14\right)$

u_s2满足如下条件：

z₂{u_s2-D}≤σ₁    (15a)

z₂u_s2≤0    (15b)

其中σ₁＞0是一个设计参数，如何选取满足式(15a)和式(15b)的u_s2，这里给出一个例子， 如下：令g为如下函数

其中是D(x,t)的上界。由此设计如下的u_s2

$u_{s2}=-k_{s1}{z}_2\stackrel{\Delta }{=}-g^2{z}_2/\left(4{\sigma }_1\right)---\left(17\right)$

其中k_s1为一个非线性增益。

步骤二(四)、设计间接参数估计算法

这部分的主要任务是建立一个合适的参数估计算法，提高了参数估计的可获得性。

假设3：系统不存在干扰，即D＝0。

重写系统动态模型，可得到下式用于参数估计：

$y={\stackrel{·}{x}}_2={\theta }_{1}u-{\theta }_2{x}_2---\left(18\right)$

引入一个低通滤波器H_f，并把滤波器运用到式(18)中，可以得到

$y_f=H_f\left[{\stackrel{·}{x}}_2\right]={\theta }_1{u}_f-{\theta }_2{x}_{2f}---\left(19\right)$

其中u_f,x_2f分别表示输入为u,x₂的滤波器H_f的输出。为进行参数估计，如下定义参数向量 和回归函数：

由(20)可得线性回归模型

定义预测输出误差其中由(21)可得如下预测误差模型：

对于这种静态的线性回归模型，有多种不同的估计算法可以用来确定未知参数，我们使 用是一种具有指数遗忘因子和协方差预设的最小二乘估计算法。对于每一组的回归量和相应 的未知参数向量，我们可以定义的自适应速率矩阵如下：

其中Γ(0)＝Γ^T(0)＞0，α≥0是遗忘因子是协方差的预设时间，即当λ_min(Γ(t))＝ρ_l，ρ_l为预 设Γ(t)的最小限值并满足0＜ρ_l＜ρ₀，λ_min(Γ(t))是Γ(t)的最小特征值，I是单位矩阵。此时自 适应函数如下：

式中υ≥0是归一化因子，当υ＝0时，则此时的自适应函数为非标准型的自适应函数。但是， 在含有遗忘因子的参数估计的实施实现中，当回归器不是持续激励的，Γ(t)可能会无界。即 λ_max(Γ(t))→∞和导致估计器的饱和。为了防止这种情况发生，将(23)式修改为：

式中ρ_M是预设的Γ(t)的范数的上界，且λ_max(Γ(t))≤ρ_M，且0＜ρ_l＜ρ＜ρ_M。基于这种改进，我 们可以保证ρ_lI＜Γ(t)＜ρ_MI。

当t≥T₁时，d＝0。如果持续激励(PE)条件满足：

则参数收敛到真值，即当t→∞时，

基于以上定义的参数自适应律，可得到如下引理：

引理2：由参数自适应律(7)，最小二乘自适应函数(23)，式(24)以及预测误差模型(22)可得： ε∈L₂(0,∞)∩L_∞(0,∞),$\stackrel{·}{\hat{\theta }}\in L_2(0,\infty )\cap L_{\infty }(0,\infty ),\tilde{\theta }\in L_{\infty }(0,\infty ).$

步骤三、通过调节基于有限时间干扰估计的鲁棒控制器中u的参数k₁,k₂,α，v，λ₀， λ₁，λ₂，σ₁，使得系统满足控制性能指标。

本例中，进一步地通过选取李雅普诺夫方程对前述设计的控制器及系统的稳定性进行验 证说明。

验证系统稳定性：

定理1：由高阶滑模微分器(10)，设计的基于高阶滑模微分器的电机间接自适应鲁棒输 出反馈控制器(13)具有如下性质：

A.在某一时刻T₁之后，高阶滑模微分器估计的状态精确，即定义如下的 李雅普诺夫方程

$V_1=\frac{1}{2}{z}_2^2+\frac{1}{2}{\tilde{x}}_2^2---\left(27\right)$

满足如下的不等式

$V\le \exp (-\lambda (t-T_1))V\left(0\right)+\frac{{\sigma }_2}{\lambda }[1-\exp (-\lambda (t-T_1))]\le ,\forall t\ge T_1.---\left(28\right)$

证明：对式(27)微分，并把式(14)带入可得

${\stackrel{·}{V}}_1=z_2{\stackrel{·}{z}}_2+{\tilde{x}}_2{\stackrel{·}{\stackrel{~}{x}}}_2=-k_2{z}_2^2+z_2(u_{s2}-D)+z_2({\theta }_{2n}{\tilde{x}}_2-k_2{\tilde{x}}_2)---\left(29\right)$

把式(15a)带入(29)可得

$\stackrel{·}{V}\le -k_2{z}_2^2+{\sigma }_1=-\mathrm{\lambda V}+{\sigma }_2---\left(30\right)$

对式(30)两端积分可得不等式(28)。因此控制器是收敛的，系统是稳定的。

下面结合一些具体的实例在仿真环境下进行试验：

在仿真中取如下参数对系统进行建模：m＝0.01kg·m²,k_f＝5,b＝1.25N·s/m。

取控制器参数k₁＝300,k₂＝500,σ₁＝1×10⁵，v＝22，α＝2，λ₀＝5,λ₁＝5,λ₂＝6； θ_min＝[0,0]^T,θ_max＝[200,1000]^T,所选取的远离于参数的真值，以考 核自适应控制律的效果。

位置角度输入信号y＝0.2sin(πt)[1-e^-0.01t3],单位rad。

系统所加外干扰如图3所示。

控制律作用效果：

图4是干扰作用下控制器输入电压u曲线，控制器输入电压满足-10V～+10V的输入范围， 符合实际应用。

图5是参数估计曲线。

图6是位置估计和估计误差曲线。

图7是速度估计和估计误差曲线。

图8是加速度估计和估计误差曲线。

图9是设计控制器和PID控制器跟踪误差曲线。

由以上图示的对比可知，本发明提出的方法在仿真环境下能够准确的估计出状态值，比 较准确的估计出系统参数。相比较传统的PID控制器，本发明设计的控制器能够取得良好的 控制精度。仿真结果表明在参数不确定性和不确定非线性性影响下，本实施例提出的方法能 够满足性能指标。

虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然其并非用以限定本发明。本发明所属技术领域 中具有通常知识者，在不脱离本发明的精神和范围内，当可作各种的更动与润饰。因此，本 发明的保护范围当视权利要求书所界定者为准。