一种基于分解法建模的可靠性监测方法

摘要

本发明公开了一种基于分解法建模的可靠性监测方法。在状态空间分解法的基础上，建立单个部件的SPN模型，然后根据子系统的组成结构建立单个子系统的SPN模型；将子系统SPN模型集成为系统模型，得到系统模型的可达图及缩小的等效半马尔科夫率图，按图建立系统模型的状态方程并求解，根据求解结果得出机械系统的可靠度，并通过计算机显示，实现对系统可靠性的实时监测。分解法使得建模的难度和计算量减小，系统的可靠性监测也更加简单易行。在用马尔科夫模型对机械系统进行可靠性分析时，该方法能解决马尔科夫模型的状态空间爆炸问题，不仅能模拟系统中各个部分间的依赖关系及系统的动态特性，也使得设计者能够合理地选择部件以及了解部件的动态性能。

说明书

技术领域

本发明涉及一种基于分解法建模的可靠性监测方法，它主要用于机械系统的可靠性监测， 属于可靠性技术领域。

背景技术

对于可靠性的研究，国内外学者已做了大量工作，并提出了许多模型和方法，例如，可 靠性框图、故障树分析法、故障模式及影响分析法、马尔科夫模型和Petri网模型等。

随机Petri网(stochastic Petri nets，SPN)是一种用于离散异步并发系统的建模工 具，它通过对实际问题构造Petri网并对Petri网进行分析，从而揭示出系统的动态特性等 重要信息。随机Petri网为系统的性能监测提供了一条新的、有效的途径。库所中令牌的分 布决定变迁的使能和激发，变迁的激发又将改变令牌的分布。以变迁激发导致令牌在库所间 的流动，Petri网能够用于模拟系统的动态运行过程，反映系统实时的动态特性。

“状态空间法”是一种基于解答空间的问题表示和求解方法，它是以状态和操作符为基础 的。在利用状态空间图表示时，从某个初始状态开始，每次加一个操作符，递增地建立起操 作符的试验序列，直到达到目标状态为止。由于状态空间法需要扩展过多的节点，容易出现 “组合爆炸”，结合分解法有助于减少状态空间爆炸问题。

状态空间的分解定理，齐次马尔科夫链的状态空间S可唯一地分解成有限或无限多个互 不相交的状态子集的并，即：

S＝D∪C₁∪C₂∪…

其中，D是所有非常返状态构成的状态子集；C_n(n＝1,2,…)是所有常返状态构成的不 可约闭集。

马尔科夫模型广泛应用于相关系统及动态系统的模拟，然而，由于状态空间爆炸，当系 统成规模扩大时，马尔科夫模型就显得低效，整个系统难以用单一的模式进行建模。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于分解法建模的可靠性监测方法。将状态空间分解法应用 于马尔科夫模型的建立过程中，用得到的马尔科夫模型建立系统的状态方程，并通过计算机 快速求解，根据状态方程的解及计算机终端来对系统的可靠性进行监测。采用状态空间分解 法使得建模的难度和计算量减小，而且更易于操作。

本发明采取的技术方案如下：

步骤一：分析机械系统及其层级。根据机械系统的组成结构，利用分解法将系统分解成 三个层次。第一层为系统级；第二层将系统分解为若干个子系统；第三层将每个子系统分解 为若干个部件。

步骤二：单个部件SPN模型的建立。只考虑部件“工作”或“失效”两种状态，根据组 件的威布尔分布参数(形状参数β和尺度参数θ)能够得出模型的变迁率：

${\lambda }_i^3=\left(\frac{{\beta }_i}{{\theta }_i}\right){\left(\frac{t}{{\theta }_i}\right)}^{{\beta }_i^{-1}}$

其中，表示第i个部件由工作状态转为失效状态的变迁率。

步骤三：将部件模型集成为子系统模型。将子系统模型转换为等效单网模型。根据子系 统的组成结构及其部件的威布尔参数得出每个单网模型的等效转换率。

步骤四：系统模型的建立。结合系统的组成结构及其动态特征如维修，冗余备份等，通 过集成步骤三中所得的子系统单网模型得到系统级模型。

步骤五：系统模型的分析与求解。根据系统的SPN模型能够得出所有的可达标识和相应 的可达图，并将其转换为等效半马尔科夫率模型。根据得到的等效半马尔科夫率图列出系统 的状态方程并通过Matlab软件在计算机上求解。

步骤五1：可达标识的推导。将SPN模型当做系统模型以完成从初始状态到所有系统状 态的推导。初始标识M₀，是一个反映SPN模型中所有库所状态值的矩阵，当库所中无令牌时 矩阵中元素为0，当库所中有令牌时元素为1。根据激发的顺序和方式，利用下式能够完成系 统从初始标识到可达标识/状态的推导。

M_j＝M₀+CF^T

其中，M₀为初始标识；M_j为可达标识，j＝1到2ⁿ-1是由于变迁激发顺序的不同而导致 的不同的可达状态；C为邻接矩阵；F^T为计数向量的激发变换。

邻接矩阵C由系统SPN模型推导而来，其中的元素值代表模型中的联接方式，“-1”表示 联接库所到变迁的弧，“0”表示库所与变迁之间没有弧。“1”表示联接变迁到库所的弧。

在半马尔科夫模型中，系统的状态由部件(正常或失效)的组合方式来决定。矩阵M_j的 最后一列表示该特定标识下系统是否正常或失效，并用于监测系统的可靠性。

步骤五2：可达图及等效半马尔科夫率模型。根据步骤五1中得到的初始标识及所有可 达标识能够画出可达图。依据变迁的激发顺序能够得知可达状态互相之间的联系。可达图转 换为等效半马尔科夫率模型。从等效半马尔科夫率图中能够清楚地看到从前一状态转到后一 状态的路线及变迁率。

步骤五3：系统模型的状态方程。在马尔科夫模型中，状态方程为一阶微分方程。状态 方程中的变迁率为常数。系统的状态方程如下式所示。

$\frac{d{p}_i\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=-M{p}_i\left(t\right)+\underset{j=0}{\overset{n-1}{\Sigma }}N{p}_j\left(t\right)$

其中，为状态i随时间推移的变化率；M为从状态i转出的变迁率之和；N为从 状态j转入状态i的变迁率；p_i(t)为系统在时间t时为状态i的概率。

步骤六：系统可靠性监测。根据上一步对系统模型的分析与求解结果，对系统的可靠性 进行监测。

根据删除吸收状态的修复率后的等效半马尔科夫率图及上面所列出的微分方程组的解， 能够得出系统可靠性R(t)：

$R\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{n-1}{\Sigma }}{p}_i\left(t\right)$

其中p_i(t)表示时间t时系统处于第i个状态的概率。

根据上式得到的系统的可靠性数据得出系统可靠度随时间的变化图。

相对于现有技术，本发明的有益效果如下：

现有技术中，考虑到大多数机械系统的复杂性，对机械系统的可靠性进行实时监测是非 常困难的，而本发明创造性地将SPN模型、马尔科夫模型以及状态空间分解法结合起来应用 于可靠性监测领域，通过该方法，减少了状态空间的产生，从而避免了状态空间爆炸问题， 使得建模的难度和计算量减小。同时，在用马尔科夫模型对机械系统进行可靠性分析时，该 方法能解决马尔科夫模型的状态空间爆炸问题，此方法不仅能模拟系统中各个部分间的依赖 关系及系统的动态特性(常规RBD及FTA技术是无法做到的)，也使得设计者能够合理地选择 部件以及了解部件的动态性能。

附图说明

图1是机械系统可靠性监测的实施步骤。

图2是某型号泵送系统的SPN模型。

图3是某型号泵送系统的可达图。

图4是某型号泵送系统删除吸收状态的修复率后的等效半马尔科夫率图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步的说明：

见图1，本发明一种基于分解法建模的可靠性监测方法，该方法的具体实施步骤如下：

步骤一：将系统分解为三个层次。在图2中，系统(层次1)被分解为若干个子系统(层 次2)，每个子系统又被分解为若干个部件(层次3)。分解的过程有助于减少状态空间爆炸问 题。例如：一个系统共有九个部件(每个部件的状态都用二进制来表示)，则系统的状态将有 2⁹(＝512)种，但在使用分解法的模型中，将系统分为两个子系统，其中一个有四个部件， 另一个有五个部件，则分解模型只有2⁴+2⁵(＝48)种状态。可见，分解模型的状态数量远远 低于单个模型的状态数量。

步骤二：单个部件SPN模型的建立。只考虑部件“工作”或“失效”两种状态。失效变 迁的激发按照变迁失效率进行，部件由“工作”转为“失效”的状态变化由库所中令 牌的变化来显示，即由变为

步骤三：单个子系统模型的建立。层次2中的子系统由若干个部件组成。按照子系统的 组成结构(如串联、并联、串并联和混联等)来建立子系统模型，将SPN模型转换为等效的 单网模型。机械系统的子系统的基本结构有串联、并联、串并联和混联。不同的结构对应的 子系统模型也不同。

步骤三中，串联子系统的SPN模型集成过程如下：假设一个串联子系统由三个部件组成， 在其SPN模型中，有令牌的库所表示与其对应的状态，如表示第j个层次中第i个部件 的正常状态；表示第i个部件的失效变迁；表示第i个部件失效变迁的变迁率； 符号中的参数“f”表示对应部件为失效状态；符号中参数“o”表示对应部件为正常状态。 在该模型中，失效变迁率按威布尔分布；如果串联子系统中的任何一个部件的失效变迁被激 发则整个系统将失效；然而，根据具体情况，子系统的失效变迁在瞬间发生或延迟发生；矩 形代表延迟变迁，单实线代表直接或瞬发变迁；在此例中，如果部件失效后系统立即随之失 效，则称之为瞬发变迁；变迁率或失效率的威布尔参数用公式：

${\lambda }_i^3=\left(\frac{{\beta }_i}{{\theta }_i}\right){\left(\frac{t}{{\theta }_i}\right)}^{{\beta }_i^{-1}}$

其中，i＝1，2，3，….，n表示子系统中第i个部件。

SPN模型经单一变迁之后转换为等效的单网模型。根据组成部件的威布尔参数计算出等 效单网模型的变迁率。n个按威布尔失效分布的部件串联成的子系统的等效变迁率(失效率) 的表达式为：

$R_1^2=\underset{i=1}{\overset{n}{\Pi }}{R}_i^3$

其中，$R_i^3{=e-\left(\frac{t}{{\theta }_i}\right)}^{{\beta }_i}.$

${\lambda }_s=-\frac{d{R}_1^2}{\mathrm{dt}}\frac{1}{R_1^2}$

${\lambda }_s=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\left(\frac{{\beta }_i}{{\theta }_i}\right){\left(\frac{t}{{\theta }_i}\right)}^{{\beta }_i-1}$

其中，λ_s表示串联系统的等效失效率。

步骤三2：并联子系统的SPN模型。由三个部件并联的子系统的SPN模型，其部件失效 变迁的激发依据各个部件的失效分布。当三个部件均处于失效状态时子系统将失效。将该SPN 模型转换为等效单网模型。根据部件的威布尔失效分布能够得到等效单网模型的失效率。n 个按威布尔失效分布的组件并联成的子系统的等效变迁率(失效率)的表达式为：

${\lambda }_p=\frac{\{\underset{i=1}{\overset{n}{\Pi }}(1-e)-{\left(\frac{t}{{\theta }_i}\right)}^{{\beta }_i}\}\left\{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{e-{\left(\frac{t}{{\theta }_i}\right)}^{{\beta }_i}\left(\frac{{\beta }_i}{{\theta }_i}\right){\left(\frac{t}{{\theta }_i}\right)}^{{\beta }_i-1}}{1-e-{\left(\frac{t}{{\theta }_i}\right)}^{{\beta }_i}}\right\}}{1-\underset{i=1}{\overset{n}{\Pi }}(1-e)-{\left(\frac{t}{{\theta }_i}\right)}^{{\beta }_i}}$

其中，λ_p表示并联子系统的等效失效率。

步骤三3：串并联子系统的SPN模型。对于一个由两个串联组(每个串联组有两个部件) 并联起来的子系统。每个部件的失效变迁取决于自身的失效分布。子系统的失效变迁取决于 自身的组成结构。将该SPN模型经单一变迁之后转换为等效的单网模型。根据组成部件的威 布尔参数计算出等效单网模型的变迁率。由m个串联组(每个串联组有n个部件)并联起来 的子系统的等效变迁率(失效率)的表达式为：

${\lambda }_{\mathrm{sp}}=\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}\left[\right\{\underset{j=1}{\overset{\text{n}}{\Pi }}(1-e)-{\left(\frac{t}{{\theta }_{\mathrm{ij}}}\right)}^{{\beta }_{\mathrm{ij}}}\left\}\right\{\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{e--{\left(\frac{t}{{\theta }_{\mathrm{ij}}}\right)}^{{\beta }_{\mathrm{ij}}}\left(\frac{{\beta }_{\mathrm{ij}}}{{\theta }_{\mathrm{ij}}}\right){\left(\frac{t}{{\theta }_{\mathrm{ij}}}\right)}^{{\beta }_{\mathrm{ij}}-1}}{1-e--{\left(\frac{t}{{\theta }_{\mathrm{ij}}}\right)}^{{\beta }_{\mathrm{ij}}}}\left\}\right]$

其中，λ_sp表示串并联子系统的等效失效率。

步骤三4：混联子系统的SPN模型。假设一个由四个部件组成的混联子系统，其结构为 两个串联的并联组，每个并联组由两个部件并联而成。此模型中的两个虚拟库所：及 用来增强模型的表现力。库所对应于部件1或2失效而导致的子系统的失效 率，库所对应于部件3或4失效而导致的子系统的失效率。部件失效变迁的激发要依 据该部件的失效分布。但是，子系统的失效变迁取决于自身的组成结构。

混联子系统的SPN模型经单一变迁之后转换为等效的单网模型。根据组成部件的威布尔参 数计算出等效单网模型的变迁率。由m个并联组(每个并联组由n个部件并联而成)串联起 来的子系统的等效变迁率(失效率)的表达式为：

${\lambda }_{\mathrm{ps}}=\frac{\left\{\underset{i=1}{\overset{m}{\Pi }}(1-\underset{j=1}{\overset{n}{\Pi }}e-{\left(\frac{t}{{\theta }_{\mathrm{ij}}}\right)}^{{\beta }_{\mathrm{ij}}})\right\}\left\{\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}\frac{\{\underset{j=1}{\overset{n}{\Pi }}e-{\left(\frac{t}{\mathrm{\theta ij}}\right)}^{{\beta }_{\mathrm{ij}}}\}\left\{\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}\left(\frac{{\beta }_{\mathrm{ij}}}{{\theta }_{\mathrm{ij}}}\right){\left(\frac{t}{{\theta }_{\mathrm{ij}}}\right)}^{{\beta }_{\mathrm{ij}}-1}\right\}}{(1-\underset{j=1}{\overset{n}{\Pi }}e-{\left(\frac{t}{\mathrm{\theta ij}}\right)}^{{\beta }_{\mathrm{ij}}})}\right\}}{1-\underset{i=1}{\overset{m}{\Pi }}(1-\underset{j=1}{\overset{n}{\Pi }}e-{\left(\frac{t}{{\theta }_{\mathrm{ij}}}\right)}^{{\beta }_{\mathrm{ij}}})}$

其中，λ_ps是混联系统的等效变迁率。

步骤四：系统模型的建立。结合系统的组成结构及其动态特征如维修，冗余备份等，通 过集成步骤三中所得的子系统单网模型得到系统级模型。由少量部件按不同的组合方式组成 的简单系统，能够很容易了解其状态，但对于复杂系统，当一个或多个部件失效时，很难以 了解系统的状态。为了解决这一问题，SPN模型中将增加显示系统状态的库所。通过相互 之间引入虚拟变迁，能够使得状态库所与部件库所之间可达。图2某型号泵送系统的SPN 模型。

步骤五：系统模型的分析与求解。按照步骤四得到的系统模型，推导出系统的所有可达 标识，得到可达图和等效半马尔科夫模型，列出半马尔科夫模型的状态方程，并通过龙格库 塔数值方法求解。用得到的状态方程的解对系统的可靠性进行监测。

步骤五1：可达标识的推导。将SPN模型当做系统模型以完成从初始状态到所有系统状 态的推导。初始标识M0，是一个反映SPN模型中所有库所状态值的矩阵，当库所中无令牌时 矩阵中元素为0，当库所中有令牌时元素为1。矩阵公式(1)表示共有7个库所的某系统的 初始标识。

M₀＝[1 1 1 0 0 0 0]   (1)

根据激发的顺序和方式，利用式(2)完成系统从初始标识到可达标识/状态的推导。

M_j＝M₀+CF^T   (2)

其中，M₀为初始标识；M_j为可达标识，j＝1到2ⁿ-1是由于变迁激发顺序的不同而导致 的不同的可达状态；C为邻接矩阵；F^T为计数向量的激发变换。

邻接矩阵C由系统SPN模型推导而来，如式(3)所示，该矩阵中的元素值代表模型中库 所与变迁互相之间的联接方式，“-1”表示联接库所到变迁的弧，“0”表示库所与变迁之间没 有弧，“1”表示联接变迁到库所的弧。比如，C(2,2)＝-1，对应的是库所与变迁之间的联接。

$C=\left(\begin{array}{c}{P}_{1-o}^3\\ P_{2-o}^3\\ P_{3-o}^3\\ P_{1-f}^3\\ P_{2-f}^3\\ P_{3-f}^3\\ P_{1-f}^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}-1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& -1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& -1\\ 0& 0& 0& 1& 1& 1\end{array}\right)---\left(3\right)$

$F=\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1\\ 1& 1& 0& 1& 1& 0\\ 1& 0& 1& 1& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right)---\left(4\right)$

$M=\left(\begin{array}{c}{M}_1\\ M_2\\ M_3\\ M_4\\ M_5\\ M_6\\ M_7\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccccc}0& 1& 1& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0& 0& 0& 1\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 2\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 2\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 2\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 3\end{array}\right)---\left(5\right)$

在此例中，一个或多个部件同时失效时对应有七种可能的激发顺序，显示在公式(4)的 七行中，并据此得到所有的可达标识。在其中的行向量中，“1”代表激发，“0”代表不激发。 在公式(5)中，M_j(j＝1,2,3…7)表示根据初始标识向量M₀，左乘邻接矩阵C以及计数向 量的激发变换F^T而得到的可达标识。公式(5)中的元素表示库所中的令牌数。

在半马尔科夫模型中，系统的状态由部件(正常或失效)的组合方式来决定。公式(5) 的最后一列表示该特定标识下系统是否正常或失效，并用于监测系统的可靠性。根据实际可 达标识，这一列能够被忽略，并按列向量M_s，公式(8)的形式进行分离，以此得知系统是 正常或失效。这将有助于避免结果与实际状况不同，节省了大量时间。公式(6)和公式(7) 分别为实际初始标识和可达标识。

M₀＝[1 1 1] (6)

$M=\left(\begin{array}{c}{M}_1\\ M_2\\ M_3\\ M_4\\ M_5\\ M_6\\ M_7\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)---\left(7\right)$

$M_s=P_{1-f}^2{\left(\begin{array}{cccccccc}0& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right)}^T---\left(8\right)$

M_s是显示所有标识下的系统状态。“0”和“1”分别表示在对应标识下系统“正常”和 “失效”状态。

步骤五2：画出可达图及等效半马尔科夫率图。根据公式(6)和公式(7)中的初始标 识及所有可达标识能够得出可达图，如图3所示。依据变迁的激发顺序能够得知可达状态互 相之间的联系。可达图转换为等效半马尔科夫率模型。从等效半马尔科夫率图中能够清楚地 看到从前一状态转到后一状态的路线及变迁率。

根据图3能够得到删除吸收状态的修复率后的等效半马尔科夫率图，如图4所示，根据 删除吸收状态的修复率后的等效半马尔科夫率图能够列出系统的状态方程，根据状态方程的 解来对系统的可靠性进行监测。

步骤五3：列出系统模型的状态方程。在马尔科夫模型中，状态方程为一阶微分方程。 状态方程中的变迁率为常数。系统的状态方程如式(9)所示。

$\frac{d{p}_i\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=-M{p}_i\left(t\right)+\underset{j=0}{\overset{n-1}{\Sigma }}N{p}_j\left(t\right)---\left(9\right)$

其中，为状态i随时间推移的变化率；M为从状态i转出的变迁率之和；N为从 状态j转入状态i的变迁率；p_i(t)为在时间t时为状态i的概率。

步骤六：系统可靠性监测。根据图4所示的删除吸收状态的修复率后的等效半马尔科夫 率图及式(9)所列出的微分方程组的解，能够得出系统可靠性R(t)：

$R\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{n-1}{\Sigma }}{p}_i\left(t\right)$

步骤七：方法说明书结束。

相对于现有技术，本发明通过以上方法，利用SPN模型对系统的可靠性进行监测时，能够 输入不同的故障率和修复率以达到所期望的结果。这将有助于设计师根据所期望的可用性及 可靠性水平来进行设计。此外，由于模型中考虑到了系统各个部分间的依赖关系，这对系统 的可用性及可靠性监测具有现实参考价值。

在对机械系统进行SPN建模的过程中,通过状态空间分解法减少了状态空间的产生，从而 避免了空间爆炸问题，使得复杂机械系统的建模的难度和计算量减小，系统的可靠性监测也 更加简单易行。

此方法不仅能模拟系统中各个部分间的依赖关系及系统的动态特性(常规RBD及FTA技 术是无法做到的)，也使得设计者能够合理地选择部件以及了解部件的动态性能。