微陀螺仪自适应神经网络全局滑模控制方法

摘要

本发明公开了一种微陀螺仪的自适应神经网络全局滑模控制方法。首先，在全局滑模控制器的基础上设计了一种新型的自适应辨识方法，在线实时更新微陀螺仪的角速度和其它系统参数的估计值，然后利用自适应神经网络系统输出动态调节滑模控制切换项中的切换增益以逼近系统不确定性和外部干扰的上界，将滑模控制的切换项转化为连续的神经网络输出，削弱了滑模控制中的抖振现象，并且有较强的自适应跟踪能力。本发明的自适应算法基于Lyapunov方法设计，从而保证微陀螺仪轨迹追踪上理想模型以及系统的全局渐进稳定性，使得辨识器的各项估计值输出都能够渐近收敛到各自的真值。

说明书

技术领域

本发明涉及一种微陀螺仪自适应神经网络全局滑模控制方法，属于微陀螺仪控制技术领域。

背景技术

微陀螺仪是惯性导航和惯性制导系统的基本测量元件。因其在体积和成本方面的巨大优势，微陀螺仪广泛应用于航空、航天、汽车、生物医学、军事以及消费电子领域。但是，由于设计与制造中的误差存在和温度扰动，会造成原件特性与设计之间的差异，降低了微陀螺仪系统的性能。微陀螺仪本身属于多输入多输出系统并且系统参数存在不确定性以及易受外界环境的影响。补偿制造误差和测量角速度成为微陀螺仪控制的主要问题，有必要对微陀螺仪系统进行动态补偿和调整。

目前有将各种先进控制方法应用到微陀螺仪的控制当中，典型的有自适应控制和滑模控制方法。这些先进方法一方面补偿了制作误差引起的正交误差，另一方面实现了对微陀螺仪的轨迹控制。但自适应控制对外界扰动的鲁棒性很低，易使系统变得不稳定。

由此可见，上述现有的陀螺仪在使用上，显然仍存在有不便与缺陷，而亟待加以进一步改进。为了解决现有的陀螺仪在使用上存在的问题，相关厂商莫不费尽心思来谋求解决之道，但长久以来一直未见适用的设计被发展完成。

发明内容

本发明的目的在于，克服现有的微陀螺仪控制方法存在的缺陷，特别是提高微陀螺仪系统在存在模型不确定、参数摄动以及外界噪声等各种干扰，在消除系统抖振的情况下而不影响理想轨迹的追踪性能和整个系统的鲁棒性，提供一种微陀螺仪的自适应神经网络全局滑模控制方法。

本发明采用的技术方案是：

微陀螺仪的自适应神经网络全局滑模控制方法，包括如下步骤：

1)建立微陀螺仪的理想动力学方程；

2)根据旋转系中的牛顿定律建立微陀螺仪的无量纲动力学方程，并转化为状态空间形式；

3)建立微陀螺仪的神经网络全局滑模控制系统，基于神经网络全局滑模控制设计控制律，将其作为微陀螺仪的控制输入，对微陀螺仪进行控制，包括如下步骤:

3-1)定义跟踪误差e为

e＝X-X_m        (7)

X为微陀螺仪运动轨迹，X_m为微陀螺仪理想运动轨迹；

3-2)设计全局动态滑模面s为：

$>s=\stackrel{·}{e}+\mathrm{Ce}-f\left(t\right),$>

令$>\stackrel{·}{e}-f\left(t\right)=f_e\left(t\right),$>则s＝Ce+f_e(t)

其中，f(t)是为了达到全局滑模面而设计的函数，f(t)＝f(0)e^-kt，C为滑模系数，k为常数；

3-3)假设微陀螺仪的状态方程中不确定和外部干扰项f_m(t)存在上界使用RBF神经网络逼近不确定和外部干扰项的上界得到不确定和外部干扰项的上界的估计值为：

$>\hat{\bar{\rho }}={\hat{\omega }}^T\phi \left(x\right)$>

其中，为神经网络权重向量的估计值，φ(x)是高斯函数；

3-4)设计神经网络全局滑模控制律使微陀螺仪实际轨迹跟踪上理想轨迹：

其中，K为参数矩阵K^*的估计值，A_m为微陀螺仪理想状态方程的系数矩阵，B为微陀螺仪状态方程的系数矩阵；

4)基于lyapunov函数理论，设计参数矩阵和神经网络权重向量的自适应律，使控制系统进行在线更新，确保自适应神经网络全局滑模控制系统的渐进稳定性。

前述的步骤1)中，微陀螺仪的理想动力学方程为：

x_m＝A₁sin(w₁t),y_m＝A₂sin(w₂t)

其中，x_m、y_m分别是微陀螺仪在x轴和y轴方向上的理想运动轨迹，w₁、w₂分别是微陀螺仪在x轴和y轴方向上的振动频率，w₁≠w₂，且都不为零，A₁、A₂分别为微陀螺仪在x轴和y轴方向上的振幅，t是时间；

写成向量形式为：

$>{\stackrel{··}{q}}_m+Q_m{q}_m=0$>

其中，$>q=\left(\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\end{array}\right)$>为理想运动轨迹，$>Q_m=\left(\begin{array}{cc}{w}_1^2& 0\\ 0& w_2^2\end{array}\right);$>

写成状态空间表达式为：

$>{\stackrel{·}{X}}_m=A_m{X}_m$>

$>A_m=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -w_1^2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -w_2^2& 0\end{array}\right),X_m=\left(\begin{array}{c}{x}_m\\ {\stackrel{·}{x}}_m\\ y_m\\ {\stackrel{·}{y}}_m\end{array}\right).$>

前述的步骤2)中，建立微陀螺仪的无量纲动力学方程具体为：

2-1)考虑到制造缺陷和加工误差，实际微陀螺仪的集总参数数学模型为：

$>m\stackrel{··}{x}+d_{\mathrm{xx}}\stackrel{·}{x}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{·}{y}+k_{\mathrm{xx}}x+k_{\mathrm{xy}}y=u_x+2m{\Omega }_z\stackrel{·}{y}$>

$>m\stackrel{··}{y}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{·}{x}+d_{\mathrm{yy}}\stackrel{·}{y}+k_{\mathrm{xy}}x+k_{\mathrm{yy}}y=u_y-2m{\Omega }_z\stackrel{·}{x}---\left(1\right)$>

式中，m是质量块的质量，x，y是质量块在微陀螺仪旋转系中的笛卡尔坐标；d_xx,d_yy分别是x轴和y轴的阻尼系数，k_xx,k_yy分别是x轴和y轴的弹簧系数，d_xy,k_xy分别是耦合的阻尼系数和耦合的弹簧系数，u_x，u_y是两轴的控制输入，Ω_z是角速度，是科里奥利力；

2-2)取无量纲运动轨迹q^*为无量纲时间t^*为t^*＝w₀t，将式(1)两边同除以质量块质量m，两轴固有频率w₀的平方w₀²和参考长度q₀，得到微陀螺仪的无量纲动力学方程的向量形式如下：

$>{\stackrel{··}{q}}^{*}+D^{*}{\stackrel{·}{q}}^{*}+Q^{*}{q}^{*}=u^{*}-2{\Omega }^{*}{\stackrel{·}{q}}^{*}---\left(2\right)$>

其中，$>D^{*}=\frac{D}{m{w}_0},D=\left(\begin{array}{cc}{d}_{\mathrm{xx}}& d_{\mathrm{xy}}\\ d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{yy}}\end{array}\right),Q^{*}=\left(\begin{array}{cc}{w_x}^2& w_{\mathrm{xy}}\\ w_{\mathrm{xy}}& {w_y}^2\end{array}\right),$>

$>u^{*}=\frac{u}{m{w_0}^2{q}_0}{w}_x=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{xx}}}{m{w_0}^2}},w_y=\sqrt{\frac{y_{\mathrm{kk}}}{m{w_0}^2}},w_{\mathrm{xy}}\frac{k_{\mathrm{xy}}}{m{w_0}^2},u=\left(\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right),{\Omega }^{*}=\frac{\Omega }{w_0},\Omega =\left(\begin{array}{cc}0& -{\Omega }_z\\ {\Omega }_z& 0\end{array}\right)$>

2-3)为了计算方便，重新用q代替q^*，用t代替t^*，用D代替D^*，用Q代替Q^*，用u代替u^*，用Ω代替Ω^*，得到

$>\stackrel{··}{q}+D\stackrel{·}{q}+\mathrm{Qq}=u-2\Omega \stackrel{·}{q}---\left(3\right)$>

q为微陀螺仪的运动轨迹，u为微陀螺仪的控制输入；

2-4)将模型(3)写成状态空间表达式为：

$>\stackrel{·}{X}=\mathrm{AX}+\mathrm{Bu}---\left(4\right)$>

式中，$>X=\left(\begin{array}{c}x\\ \stackrel{·}{x}\\ y\\ \stackrel{·}{y}\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -{w_x}^2& -d_{\mathrm{xx}}& -w_{\mathrm{xy}}& -(d_{\mathrm{xy}}-2{\Omega }_z)\\ 0& 0& 0& 1\\ -w_{\mathrm{xy}}& -(d_{\mathrm{xy}}+2{\Omega }_z)& -{w_y}^2& -d_{\mathrm{yy}}\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\\ 0& 0\\ 0& 1\end{array}\right),u=\left(\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right);$>

2-5)考虑到系统参数不确定性和外部干扰，状态空间方程式(4)可表示为如下的形式：

$>\stackrel{·}{X}=\mathrm{AX}+\mathrm{Bu}+f_m\left(t\right)$>

其中，f_m(t)是集总的不确定和外部干扰项。

前述的步骤3-3)中，不确定和外部干扰项的上界满足：且|ξ|＜ξ₁以及满足：其中，ω^*为最优神经网络的权重向量，ξ为神经网络映射误差，ξ₀、ξ₁是正常数。

前述的步骤3-4)中，参数矩阵K^*满足：A+BK^*T＝A_m。

前述的步骤4)中，

所述lyapunov函数V设计为：

$>V=\frac{1}{2}{s}^{T}s+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{M}^{-1}{\tilde{K}}^T\right]+\frac{1}{2\eta }{\tilde{\omega }}^T\tilde{\omega }---\left(11\right)$>

其中，M为自适应增益，为参数估计误差，η＝ξ₀-ξ₁，是神经网络中权重向量的估计误差；

所述参数自适应律为：$>{\stackrel{·}{\stackrel{~}{K}}}^T={\stackrel{·}{K}}^T=-M{B}^T{C}^{T}s{X}^T;$>

所述神经网络权重向量自适应律为：

由上述技术方案可以看出本发明的有益效果在于：全局滑模控制是通过设计一种动态非线性滑模面方程来实现的，消除滑模控制的到达运动阶段，使系统在响应的全过程都具有鲁棒性，克服了传统滑模变结构控制中到达模态不具有鲁棒性的特点；神经网络可以克服非结构化的不确定性，消除滑模控制中存在的抖振；自适应控制可以估计出微陀螺仪的参数。本发明的自适应神经网络全局滑模控制综合利用自适应全局滑模控制和神经网络的优点，以降低各自的缺点，在简化滑模系数的选取，提高系统的瞬态特性和鲁棒性的前提下，消除了控制输入的抖振，使闭环控制系统具有了更好的动态性能；基于李雅普诺夫稳定性理论设计自适应律，实现了参数的在线更新，能够在任意初始值的情况下，保证系统的全局渐进稳定性。

附图说明

图1为本发明微陀螺仪的简化模型示意图；

图2为本发明自适应神经网络全局滑模控制系统的原理图；

图3为神经网络结构图；

图4为本发明实例中微陀螺仪X、Y轴的跟踪曲线；

图5为本发明实例中微陀螺仪X、Y轴的跟踪误差曲线；

图6为本发明实例中全局滑模面的动态曲线；

图7为本发明实例中自适应参数K随时间变化的关系曲线；

图8为本发明实例中角速度Ω_z的自适应辨识过程曲线；

图9为本发明实例中采用自适应神经网络方法的全局滑模控制输入曲线；

图10为本发明实例中采用固定增益方法的全局滑模控制输入曲线。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式，对本发明作进一步说明：

本发明的微陀螺仪自适应神经网络全局滑模控制系统如图2所示，本发明方法包括如下步骤：

1、根据旋转系中的牛顿定律建立微陀螺仪的无量纲动力学方程

微振动陀螺仪一般包含三个组成部分：被弹性材料所支撑的质量块，静电驱动装置和感测装置。静电驱动电路主要功能是驱动和维持微振动陀螺仪振动时幅值的恒定，感测电路用来感知质量块的位置和速度。微陀螺仪可以被简化为一个由质量块和弹簧构成的有阻尼振动系统。图1显示了在笛卡尔坐标系下简化的微振动陀螺仪模型。对z轴微陀螺仪而言，可以认为质量块被限制只能在x-y平面内运动，而不能沿z轴运动。实际上，由于制造缺陷和加工误差的存在，会造成x轴和y轴的附加动态耦合，如耦合的刚度系数和阻尼系数。考虑到制造误差，实际微陀螺仪的集总参数数学模型为：

$>\left(\begin{array}{c}m\stackrel{··}{x}+d_{\mathrm{xx}}\stackrel{·}{x}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{·}{y}+k_{\mathrm{xx}}x+k_{\mathrm{xy}}y=u_x+2m{\Omega }_z\stackrel{·}{y}\\ m\stackrel{··}{y}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{·}{x}+d_{\mathrm{yy}}\stackrel{·}{y}+k_{\mathrm{xy}}x+k_{\mathrm{yy}}y=u_y-2m{\Omega }_z\stackrel{·}{x}\end{array}\right)---\left(1\right)$>

式中，m是质量块的质量，x,y是质量块在旋转系中的坐标，d_xx,d_yy分别是x轴和y轴的阻尼系数，k_xx,k_yy分别是x轴和y轴的弹簧系数，d_xy,k_xy分别是耦合的阻尼系数和耦合的弹簧系数，合称为正交误差，u_x，u_y是两轴的控制输入，Ω_z是角速度，是科里奥利力。

模型的无量纲化在设计分析时很有价值，在存在大的时间量级区别时，无量纲化也能使数值仿真容易实现。取无量纲运动轨迹q^*为非量纲时间t^*为t^*＝w₀t，将式(1)的两边同除以质量块质量m，参考长度q₀，两轴的固有频率w₀的平方w₀²，并且为了有益于控制器的设计和系统稳定性的分析，将得到的无量纲化数学模型转换为向量形式如下：

$>{\stackrel{··}{q}}^{*}+D^{*}{\stackrel{·}{q}}^{*}+Q^{*}{q}^{*}=u^{*}-2{\Omega }^{*}{\stackrel{·}{q}}^{*}---\left(2\right)$>

其中，$>D^{*}=\frac{D}{m{w}_0},D=\left(\begin{array}{cc}{d}_{\mathrm{xx}}& d_{\mathrm{xy}}\\ d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{yy}}\end{array}\right),Q^{*}=\left(\begin{array}{cc}{w_x}^2& w_{\mathrm{xy}}\\ w_{\mathrm{xy}}& {w_y}^2\end{array}\right),$>

$>u^{*}=\frac{u}{m{w_0}^2{q}_0}{w}_x=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{xx}}}{m{w_0}^2}},w_y=\sqrt{\frac{y_{\mathrm{kk}}}{m{w_0}^2}},w_{\mathrm{xy}}\frac{k_{\mathrm{xy}}}{m{w_0}^2},u=\left(\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right),{\Omega }^{*}=\frac{\Omega }{w_0},\Omega =\left(\begin{array}{cc}0& -{\Omega }_z\\ {\Omega }_z& 0\end{array}\right)$>

为了计算方便，重新用q代替q^*，用t代替t^*，用D代替D^*，用Q代替Q^*，用u代替u^*，用Ω代替Ω^*，得到

$>\stackrel{··}{q}+D\stackrel{·}{q}+\mathrm{Qq}=u-2\Omega \stackrel{·}{q}---\left(3\right)$>

q为微陀螺仪的运动轨迹，u为微陀螺仪的控制输入；

将模型式(3)写成状态空间表达式为：

$>\stackrel{·}{X}=\mathrm{AX}+\mathrm{Bu}---\left(4\right)$>

式中，$>X=\left(\begin{array}{c}x\\ \stackrel{·}{x}\\ y\\ \stackrel{·}{y}\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -{w_x}^2& -d_{\mathrm{xx}}& -w_{\mathrm{xy}}& -(d_{\mathrm{xy}}-2{\Omega }_z)\\ 0& 0& 0& 1\\ -w_{\mathrm{xy}}& -(d_{\mathrm{xy}}+2{\Omega }_z)& -{w_y}^2& -d_{\mathrm{yy}}\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\\ 0& 0\\ 0& 1\end{array}\right),u=\left(\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right);$>

2、建立微陀螺仪的理想对力学方程；具体为：微陀螺仪的理想动态特性是一种无能量损耗，两轴间无动态耦合的稳定正弦振荡，可以描述如下：

x_m＝A₁sin(w₁t),y_m＝A₂sin(w₂t)

其中，x_m、y_m分别是微陀螺仪在x轴和y轴方向上的理想运动轨迹，w₁、w₂分别是微陀螺仪在x轴和y轴方向上的振动频率，w₁≠w₂，且都不为零，A₁、A₂分别为微陀螺仪在x轴和y轴方向上的振幅，t是时间；

写成向量形式为：

$>{\stackrel{··}{q}}_m+Q_m{q}_m=0$>

其中，$>q_m=\left(\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\end{array}\right)$>为理想运动轨迹，$>Q_m=\left(\begin{array}{cc}{w}_1^2& 0\\ 0& w_2^2\end{array}\right).$>

状态空间表达式为：

$>A_m=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -w_1^2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -w_2^2& 0\end{array}\right),X_m=\left(\begin{array}{c}{x}_m\\ {\stackrel{·}{x}}_m\\ y_m\\ {\stackrel{·}{y}}_m\end{array}\right)$>

$>{\stackrel{·}{X}}_m=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -w_1^2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -w_2^2& 0\end{array}\right)X_m---\left(5\right).$>

3、考虑到系统参数不确定性和外部干扰(f_m(t)是集总的不确定和外部干扰项)，状态方程式(4)可表示为如下的形式：

$>\stackrel{·}{X}=\mathrm{AX}+\mathrm{Bu}+f_m\left(t\right)$>

假定1(匹配条件)：存在正的常数使得f_m(t)满足下列上界条件：

$>\left|\right|f_m\left(t\right)\left|\right|\le \bar{\rho }---\left(6\right)$>

即为不确定和外部干扰项f_m(t)的上界。

假定2：存在一个参数矩阵K^*，总使得A+BK^*T＝A_m方程满足。

由A+BK^*T＝A_m得K^*T＝(B^TB)^-1B^T(A_m-A)

$>A_m-A=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ -w_1^2+w_x^2& d_{\mathrm{xx}}& w_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xy}}-2{\Omega }_z\\ 0& 0& 0& 0\\ w_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xy}}+2{\Omega }_z& -w_2^2+w_y^2& d_{\mathrm{yy}}\end{array}\right)$>

所以$>k^{*T}=\left(\begin{array}{cccc}{k}_{11}^{*}& k_{21}^{*}& k_{31}^{*}& k_{41}^{*}\\ k_{12}^{*}& k_{22}^{*}& k_{32}^{*}& k_{42}^{*}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}-w_1^2+w_x^2& d_{\mathrm{xx}}& w_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xy}}-2{\Omega }_z\\ w_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xy}}+2{\Omega }_z& -w_2^2+w_y^2& d_{\mathrm{yy}}\end{array}\right)$>

则微陀螺仪的各参数为：

$>d_{\mathrm{xx}}=k_{21}^{*},d_{\mathrm{yy}}=k_{42}^{*},w_x^2=k_{11}^{*}+w_1^2$>

$>w_y^2=k_{32}^{*}+w_2^2,w_{\mathrm{xy}}=k_{12}^{*}=k_{31}^{*}$>

$>{\Omega }_z=0.25(k_{22}^{*}-k_{41}^{*}),d_{\mathrm{xy}}=0.5(k_{41}^{*}+k_{22}^{*}).$>

4、建立微陀螺仪的神经网络全局滑模控制系统，设计控制律，将其作为微陀螺仪的控制输入，对微陀螺仪进行控制。

定义跟踪误差e为

e＝X-X_m        (7)

X为微陀螺仪运动轨迹，X_m为微陀螺仪理想运动轨迹。

设计全局动态滑模面s，使它所确定的滑动模态渐进稳定且具有良好的动态品质：

$>s=\stackrel{·}{e}+\mathrm{Ce}-f\left(t\right)---\left(8\right)$>

令$>\stackrel{·}{e}-f\left(t\right)=f_e\left(t\right),$>则s＝Ce+f_e(t)

其中，C为滑模系数。

f(t)是为了达到全局滑模面而设计的函数，f(t)满足以下3个条件:

(1)$>f\left(0\right)={\stackrel{·}{e}}_0+{\mathrm{Ce}}_0$>

(2)t→∞时，f(t)→0

(3)f(t)具有一阶导数

其中，e₀是跟踪误差的初始值。

所以可将f(t)设计为

f(t)＝f(0)e^-kt        (9)

k为常数。

神经网络结构图如图3所示：

其中，RBF神经网络具有一种前向三层网络拓扑结构，输入层仅仅是信号接收层，不做任何信号处理。输入层的维数与具体信号的维数相关，如本发明中神经网络输入信号为x,它是四维向量，所以RBF网络输入层有四个节点。中间层是隐含层，实施信号的非线性映射作用，将信号从输入空间映射到更高维，信号特征线性可分的隐层空间。输出层作加权求和运算，产生RBF网络输出。本发明中x和y分别是神经网络的输入和输出，输出y为：y＝ω^Tφ(x)，其中，ω＝[ω₁,ω₂...ω_n]^T为神经网络权重向量，φ(x)＝[φ₁(x),φ₂(x)...φ_n(x)]^T是高斯函数。

假设存在最优神经网络的权重向量ω^*满足:且|ξ|＜ξ₁

其中，ξ为神经网络映射误差，ξ₁是正常数，为不确定和外部干扰项的上界。

假设干扰上界满足：(ξ₀，ξ₁为正常数)。

用RBF神经网络逼近不确定和外部干扰项的上界来补偿集总的不确定和外部干扰项f_m(t)，以保证滑模存在性条件得到满足，得到不确定和外部干扰项的上界的估计值为：

$>\hat{\bar{\rho }}={\hat{\omega }}^T\phi \left(x\right)$>

为权重向量的估计值。

设计神经网络全局滑模控制律使微陀螺仪的趋近运动，即非滑动模态在有限时间到达滑模面，并且在趋近的过程中快速、抖振小，从而在滑模面上形成滑动模态区，使微陀螺仪实际轨迹跟踪上理想轨迹，

其中，K为参数矩阵K^*的估计值。

5、基于lyapunov函数理论，设计参数矩阵和神经权重向量的自适应律，使控制系统进行在线更新，确保自适应神经网络全局滑模控制系统的渐进稳定性。

lyapunov函数V设计为：

$>V=\frac{1}{2}{s}^{T}s+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{M}^{-1}{\tilde{K}}^T\right]+\frac{1}{2\eta }{\tilde{\omega }}^T\tilde{\omega }---\left(11\right)$>

其中，为参数估计误差，是权重向量估计误差，M为自适应增益，是正定对称矩阵，满足M＝M^T＞0，tr[M]是矩阵M的迹，η＝ξ₀-ξ₁＞0。

对全局动态滑模面s求导，得到：

$>\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{s}=C\stackrel{·}{e}+{\stackrel{·}{f}}_e\left(t\right)\\ =C[A_{m}e+(A-A_m)X+\mathrm{Bu}+f_m\left(t\right)]+{\stackrel{·}{f}}_e\left(t\right)\\ =C[A_{m}e-{\mathrm{BK}}^{*T}X+\mathrm{Bu}+f_m\left(t\right)]+{\stackrel{.}{f}}_e\left(t\right)\\ =C{A}_{m}e-\mathrm{CB}{K}^{*T}X+\mathrm{CBu}+C{f}_m\left(t\right)+{\stackrel{·}{f}}_e\left(t\right)\end{array}\right)---\left(12\right)$>

将神经网络全局滑模控制律式(10)作为微陀螺仪的控制输入u带入式(12)，得到

$>\stackrel{·}{s}=\mathrm{CB}{\tilde{K}}^{T}X+C{f}_m\left(t\right)-\hat{\bar{\rho }}\frac{s}{\left|\right|s\left|\right|}---\left(13\right)$>

那么，lyapunov函数V的导数为：

$>\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{V}=s^T\stackrel{·}{s}+\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{m}^{-1}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{k}}}^t\right]+\frac{1}{\eta }{\tilde{\omega }}^T\stackrel{·}{\stackrel{~}{\omega }}\\ =s^T[\mathrm{CB}{\tilde{K}}^{T}X+{\mathrm{Cf}}_m\left(t\right)-\hat{\bar{\rho }}\frac{s}{\left|\right|s\left|\right|}]+\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{M}^{-1}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{K}}}^T\right]+\frac{1}{\eta }{\tilde{\omega }}^T\stackrel{·}{\stackrel{~}{\omega }}\\ =\mathrm{tr}\left[\tilde{k}{B}^T{C}^{T}s{X}^T\right]+\mathrm{tr}\left[\tilde{K}{M}^{-1}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{K}}}^T\right]+s^T{\mathrm{Cf}}_m\left(t\right)-\hat{\bar{\rho }}{s}^T\frac{s}{\left|\right|s\left|\right|}+\frac{1}{\eta }{\tilde{\omega }}^T\stackrel{·}{\stackrel{~}{\omega }}\end{array}\right)---\left(14\right)$>

选择参数自适应律：代入上式(14)得：

$>\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{V}=s^T{\mathrm{Cf}}_m\left(t\right)-\hat{\bar{\rho }}\left|\right|s\left|\right|+\frac{1}{\eta }{\tilde{\omega }}^T\stackrel{·}{\stackrel{~}{\omega \le }}\left|\right|S\left|\right|\left(\right|\left|C\right|\left|\right|\left|f_m\left(t\right)\right||-\hat{\bar{\rho }})+\frac{1}{\eta }{\tilde{\omega }}^T\stackrel{·}{\stackrel{~}{\omega }}\\ =\left|\right|s\left|\right|\left(\right|\left|C\right|\left|\right|\left|f_m\left(t\right)\right||+\bar{\rho }-\bar{\rho }-\hat{\bar{\rho }})+\frac{1}{\eta }{\tilde{\omega }}^T\stackrel{·}{\stackrel{~}{\omega }}\\ =-\left|\right|s\left|\right|(\bar{\rho }-|\left|C\right|\left|\right|\left|f_m\left(t\right)\right|\left|\right)+\left|\right|s\left|\right|(\bar{\rho }-\hat{\bar{\rho }})+\frac{1}{\eta }{\tilde{\omega }}^T\stackrel{·}{\stackrel{~}{\omega }}\\ -\left|\right|s\left|\right|(\bar{\rho }-|\left|C\right|\left|\right|\left|f_m\left(t\right)\right|\left|\right)+\left|\right|s\left|\right|({\omega }^{*T}\phi -\xi -{\hat{\omega }}^T\phi )+\frac{1}{\eta }{\tilde{\omega }}^T\stackrel{·}{\stackrel{~}{\omega }}\\ =-\left|\right|s\left|\right|\left(\bar{\rho }\right|\left|C\right|\left|\right|\left|f_m\left(t\right)\right|\left|\right)-\left|\right|s\left|\right|\xi +\left[\right|\left|s\right||{\tilde{\omega }}^T\phi +\frac{1}{\eta }{\tilde{\omega }}^T\stackrel{·}{\stackrel{~}{\omega }}]\end{array}\right)---\left(15\right)$>

选择权重向量自适应律：

其中，ω＝[ω₁,ω₂...ω_n]^T是神经网络中的权重向量，ω^*是最优权重向量，是最优权重向量的估计值，满足：

则有：

$>\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{V}=-\left|\right|s\left|\right|(\bar{\rho }-|\left|C\right|\left|\right|\left|f_m\left(t\right)\right|\left|\right)-\left|\right|s\left|\right|\xi \\ \le -\left|\right|s\left|\right|{\xi }_0+\left|\right|s\left|\right|\xi \le -\left|\right|s\left|\right|{\xi }_0+\left|\right|s\left|\right|{\xi }_1\\ =-\left|\right|s\left|\right|({\xi }_0-{\xi }_1)=-\eta \left|\right|s\left|\right|\le 0\end{array}\right)\left(16\right)$>

因为η＝ξ₀-ξ₁＞0，所以

由此证明了微陀螺仪自适应神经网络全局滑模控制系统的稳定性。

最后，对本发明的自适应神经网络全局滑模控制方法进行仿真分析，选择一组微陀螺仪的参数如下：

m＝1.8×10^-7kg,k_xx＝63.955N/m,k_yy＝95.92N/m,k_xy＝12.779N/m

d_xx＝1.8×10^-6Ns/m,d_yy＝1.8×10^-6Ns/m,d_xy＝3.6×10^-7Ns/m

假设输入角速度为Ω_Z＝100rad/s。参考长度选取q₀＝1μm，参考频率ω₀＝1000Hz，非量纲化后，各参数如下：

w_xy＝70.99,d_xx＝0.01,d_yy＝0.01,d_xy＝0.002,Ω_Z＝0.1

两轴微陀螺仪的理想轨迹为：x_m＝sin(6.17t),y_m＝sin(5.11t)

不确定项和外部干扰总量为[10*(sin(6.17*t)；10*cos(5.11*t))]

函数f(t)＝s(0)e^-130t，

初始量X(0)＝[0,0,0,0]^T

K(0)＝0.95K^*，

K的真值为：

$>k^{*T}=\left(\begin{array}{cccc}{k}_{11}^{*}& k_{21}^{*}& k_{31}^{*}& k_{41}^{*}\\ k_{12}^{*}& k_{22}^{*}& k_{32}^{*}& k_{42}^{*}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}317.2311& 0.0100& 70.9900& -0.1980\\ 70.9900& 0.2020& 506.7879& 0.0100\end{array}\right)$>

滑模系数取$>C=\left(\begin{array}{cccc}10& 2& 0& 0\\ 0& 0& 10& 2\end{array}\right),$>自适应增益M＝diag[100 100]，

传统滑模控制律中，取固定增益ρ＝diag[100 100]。

实验的结果如图4至图10所示，

图4为微陀螺仪X、Y轴的跟踪曲线，图中，虚线为理想参考轨迹，实现为实际运动轨迹，图5为跟踪误差曲线，从图中可以看出在有外部干扰的情况下微陀螺仪的轨迹能够很好的追踪上理想轨迹，两者之间的跟踪误差随时间变化逐渐收敛于0，说明该方法能很好的实现跟踪性能。全局滑模面的动态曲线如图6所示，可以看出滑模面逐渐收敛于0，表明系统在短时间内到达切换面并保持在滑模面上滑动。图7所示的是自适应参数K随时间变化的关系曲线，显示在一定时间内K收敛于常数，即它的真值K^*，从而辨识出对象的未知参数。图8所示的就是角速度Ω_z的自适应辨识过程曲线，虚线为非量纲化后的假定值，实线为实际角速度，从图中可以看出，实际值最终收敛到非量纲化后的假定值。图9、10分别为采用自适应神经网络全局滑模和固定增益方法的全局滑模控制输入曲线，比较可见采用固定增益的全局滑模滑模控制，控制量会出现较大的抖振，而采用自适应神经网络方法对控制器中的切换项进行逼近，可将切换项连续化，从而有效的降低了抖振。