一种滑翔飞行弹道阻尼控制方法

摘要

一种滑翔飞行弹道阻尼控制方法，它有三大步骤：步骤一：考虑地球曲率的影响，不考虑地球自转的影响，研究飞行器滑翔的三自由度运动学方程，给出飞行器无动力滑行最远距离条件；步骤二：在已知大气模型以及飞行器气动力模型基础上，对平稳滑翔下的飞行器纵向平面受力分析，求取平稳滑翔弹道倾角γ

说明书

技术领域

本发明属于航天技术、弹道控制技术领域。具体涉及一种滑翔飞行弹道阻尼控制方法，它 给出飞行器平稳滑翔弹道倾角γ^*的求解方法，并在此基础上给出一种能使飞行器平稳滑翔的 弹道阻尼控制方法。对于存在滑翔弹道的飞行器，从低速近程的炮弹到长距离再入飞行的高 超声速飞行器，此弹道阻尼控制方法均适用。

背景技术

随着计算机技术的发展，人们在研究飞行器再入最远滑行距离问题时，多利用最优控制 理论。这种处理方法的最大优点是能够获得满足各种约束条件的最优解，但是问题的求解时 间长，不利于对飞行器的实时控制，同时，人们注重对优化算法的研究，但忽视分析飞行器 获取最远滑行距离所遵循的物理规律。

Kelley在文献《Boost-Glide Range-Optimal Guidance》中则从物理角度提出，在平面大地 的情况下，无动力飞行器要想获得最远滑行距离，气动力系数必须满足最大升阻比的要求， 并利用数学理论证明了这一点。Kelley以此为出发点，利用弹道倾角一阶导数为零的特点， 给出飞行器在近似平衡滑翔情况下的弹道倾角解析表达式，并提出了一个以飞行器滑行弹道 倾角为负反馈信号的滑行制导律，此制导律在平面大地情况下控制飞行器的滑行距离十分接 近于最优解。Phillips在文献《Guidance Algorithm for Range Maximization and Time-of-Flight  Control of a Guided Projectile》中，将此制导律应用到制导火箭弹的中制导规律上，扩展火箭 弹的射程。但是，此制导律并没有考虑地球曲率和飞行器气动力系数随马赫数变化的影响， 在高超声速背景下的应用效果则略有逊色。

飞行器为获得最远滑翔距离，需要保持最大升阻比要求，攻角近似保持在常值，而此时 的飞行器滑翔弹道有微弱的长周期振荡(Phugoid Oscillations)，这也是优化方法所寻找的最 优解结果。虽然弹道振荡周期很长，但这对于高超声速飞行器来说，仍然会给再入飞行带来 不确定性因素，因此需要加以抑制或者消除。而对于低速近程的飞行器来说，则可以利用长 周期振荡来控制弹道形状，提高飞行器机动能力。

发明内容

一、发明目的：为使得本发明的方法具有普适性，首先在考虑地球曲率的球形大地的背 景下，证明飞行器要想获得最远滑行距离，气动力系数仍需满足最大升阻比要求。在此基础 上，本发明分析飞行器获取最远滑行距离所遵循的物理规律，给出一个关键的参数——平稳 滑翔弹道倾角γ^*的求解方法。之后本发明利用此参数，给出能使得飞行器实现平稳滑翔 (Steady Glide,SG)的制导方案，是一种弹道阻尼控制方法。当然，对于存在滑翔弹道的飞 行器，从低速近程的炮弹到长距离再入飞行的高超声速飞行器，此弹道阻尼控制方法均适用。

二、技术方案：

本发明给出的是一种飞行器滑翔飞行的弹道阻尼控制方法，该技术方法具体步骤如下：

步骤一：考虑地球曲率的影响，不考虑地球自转的影响，研究飞行器滑翔的三自由度运 动学方程，给出飞行器无动力滑行最远距离条件；理论上飞行器以最大升阻比滑行时，将获 得十分接近于最优解的滑行距离。

其中，“考虑地球曲率”，使得本发明的制导方法适用于高超声速飞行器的远距离滑翔情 形，同时也适用于低速近程情形。“不考虑地球自转”是由于飞行器三自由度动力学方程中的 地球自转项对飞行器运动分析影响很小，考虑地球自转时会带来不必要麻烦。飞行器的气动 力模型事先由数值仿真和风洞试验得到，因此飞行器在实际飞行时可以根据当前的位置及速 度信息得到维持“最大升阻比”飞行所需要的攻角等指令。

步骤二：在已知大气模型以及飞行器气动力模型基础上，对平稳滑翔下的飞行器纵向平 面受力分析，求取平稳滑翔弹道倾角γ^*。

其中，“大气模型”指的是公开文献中的大气模型，如1976年美国航空宇航局所制定 的美国标准大气模型USSA76；在不考虑地球自转影响时，分析飞行器受力可得

$\frac{\mathrm{d\gamma }}{\mathrm{dt}}=\frac{L}{\mathrm{mV}}-\frac{g\cos \left(\gamma \right)}{V}+\frac{V\cos \left(\gamma \right)}{R_0+H}---\left(1\right)$

其中，γ是飞行器的滑行弹道倾角，t是时间，L是气动升力，m是飞行器的质量，为常值， V是飞行器的滑行速度，g是重力加速度，R₀是地球平均半径，大小为6356.766km，H是飞 行器的海拔高度。由于飞行器平稳滑翔，因此

$\frac{\mathrm{d\gamma }}{\mathrm{dt}}\approx 0---\left(2\right)$

故对(1)式右边求导，即推导即可求得平稳滑翔弹道倾角γ^*。传统方法求取平稳滑 翔弹道倾角时考虑的是一阶导数而本发明所给出的求解方法得到的γ^*是能够维持飞行 器弹道倾角的二阶导数为零的需用弹道倾角，根据此γ^*建立的弹道阻尼控制方法在实现上更 加的平滑、稳定。

步骤三：在控制指令上加入反馈，引入弹道阻尼控制，是能使飞行器平稳滑翔的制导方 法。

事实上，飞行器以最大升阻比飞行时，弹道会有较大的波动。而飞行器在纵平面上受到 阻尼力的影响，波动会逐渐衰减，最后仍能收敛到平稳滑翔状态，但是由于弹道倾角γ较小， 阻尼力也较小，波动衰减缓慢。在此，根据步骤二中求解出的平稳滑翔弹道倾角γ^*，在飞行 器指令攻角中，加入攻角反馈项k_γ·(γ^*-γ)，通过增加弹道阻尼，可以使得飞行器快速进入 平稳滑翔状态。而弹道阻尼的大小可以控制，因此弹道振荡的大小也可控，从而间接控制飞 行器的机动能力。

三、优点和功效：

1、本发明中的关键参数——平稳滑翔弹道倾角γ^*，是在考虑地球曲率的球形大地基础 上得到的。因此本发明的方法适用于远射程的高超声速飞行器，同时低速近程的情况也适用。

2、本发明给出平稳滑翔弹道倾角γ^*的求解方法，得出的γ^*是能够维持飞行器弹道倾角 的二阶导数为零的需用弹道倾角。相比传统一阶导数推导的结果，更加稳定，实现起来也更 加平滑。

3、本发明给出的弹道阻尼控制方法，非常简洁有效，能有效抑制飞行器远距离滑翔时出 现的弹道长周期振荡，实现平稳滑翔。

4、通过调整设计参数k_γ，可以控制弹道阻尼大小，从而能够控制机动弹道的形状，并且 能在一定范围内约束如最大机动过载、最大来流动压和最大热流密度等物理特征量的大小， 实现平稳滑翔。

5、本发明给出的弹道阻尼控制方法不但利于对飞行器实时控制，并且能充分发挥飞行器 潜能，使得其滑行距离十分接近于最优解的最远滑行距离。

附图说明

图1是函数f(E,H)随能量E变化曲线，其中V是速度，考虑高度H＝0km和H＝100km 两种情况，分别用点线和星点线表示；

图2是升力系数随攻角、马赫数变化曲面；

图3是阻力系数随攻角、马赫数变化曲面；

图4是选择不同k_γ对应的仿真弹道轨迹曲线；k_γ为弹道阻尼控制方法中的设计参数。

图5是纵向射程随k_γ变化曲线；

图6是最大热流密度随k_γ变化曲线；

图7是最大来流动压随k_γ变化曲线；

图8是最大机动过载随k_γ变化曲线；

图9是最远射程情形下飞行器滑行轨迹曲线对比图；

图10是最远射程情形下飞行器攻角变化曲线对比图；

图11是当k_γ＝0.15时运用弹道阻尼控制方法仿真结果的速度曲线；

图12是当k_γ＝0.15时运用弹道阻尼控制方法仿真结果的弹道倾角曲线，γ为实际弹道倾 角，γ^*为平稳滑翔弹道倾角；

图13是当k_γ＝0.15时运用弹道阻尼控制方法仿真结果的升阻比曲线；

图14是当k_γ＝0.15时运用弹道阻尼控制方法仿真结果的机动过载曲线，离心力过载是飞 行器滑行过程中受到的离心力与重力之比；

图15是当时飞行器滑行轨迹曲线对比图；为最大热流率约束。

图16是当时飞行器攻角变化曲线对比图；

图17是当时飞行器速度变化曲线对比图；

图18是当时飞行器弹道倾角曲线对比图；

图19是当时升阻比变化曲线对比图；

图20是当时过载随射程变化曲线对比图；

图21是当时热流密度随射程变化曲线对比图；

图22是当时来流动压随射程变化曲线对比图；

图23是本发明的流程框图。

其中：图9-10，图15-22为对比图，每张图的上子图a为Gauss伪谱法获取的飞行器弹 道优化仿真结果，下子图b为使用本发明的弹道阻尼控制方法仿真的结果。

具体实施方式

下面结合附图和具体实例来对本发明做进一步的说明。

见图23的流程框图，本发明一种滑翔飞行弹道阻尼控制方法，该方法具体步骤如下：

步骤1：给出飞行器无动力滑行最远距离条件。

具有气动操控能力的飞行器无动力滑行，如果不考虑动压约束和热流密度约束，要想获 得最远滑行距离，那么气动力系数需要满足最大升阻比的要求。下面给出此规律的证明。

首先，建立飞行器在纵向平面内无动力滑行的运动学方程组。为使得结果具有普适性， 考虑地球曲率的影响，但不考虑地球自转的影响。将飞行器看成质点，则运动学方程组如公 式(3)至(6)所示。

$\frac{\mathrm{dH}}{\mathrm{dt}}=V\sin \left(\gamma \right)---\left(3\right)$

$\frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dt}}=V\cos \left(\gamma \right)\frac{R_0}{R_0+H}---\left(4\right)$

$\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dt}}=-\frac{D}{m}-g\sin \left(\gamma \right)---\left(5\right)$

$\frac{\mathrm{d\gamma }}{\mathrm{dt}}=\frac{L}{\mathrm{mV}}-\frac{g\cos \left(\gamma \right)}{V}+\frac{V\cos \left(\gamma \right)}{R_0+H}---\left(6\right)$

其中，t是时间，H是飞行器的海拔高度，R是飞行器在纵向平面内的滑行距离，V是飞行器 的滑行速度，γ是飞行器的滑行弹道倾角，m是飞行器的质量，为常值，g是重力加速度，由 公式(7)计算，R₀是地球平均半径，大小为6356.766km，L是气动升力，D是气动阻力。

$g=\frac{\mu }{{(R_0+H)}^2}---\left(7\right)$

其中，μ是常数，大小约为3.96272e14m³/s²。

如果以无穷远处为重力势能零点，则飞行器单位质量拥有的机械能E可由公式(8)计算

$E=\frac{1}{2}{V}^2-\frac{\mu }{R_0+H}---\left(8\right)$

在一般情况下，飞行器以近似稳定状态滑行过程中，其最大速度小于第一宇宙速度(7.6km/s)， 受大气密度分布的影响，其滑行高度在距离地面0至100km之间，因此，E的变化范围介于 (-6.23e7J/kg)至(-3.23e7J/kg)之间。

能量E随时间t的变化率与飞行器受到的气动阻力相关，如公式(9)所示

$\frac{\mathrm{dE}}{\mathrm{dt}}=V\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dt}}+\frac{\mu }{{(R_0+H)}^2}\frac{\mathrm{dH}}{\mathrm{dt}}=-\frac{\mathrm{DV}}{m}---\left(9\right)$

将公式(4)和公式(9)左右两端相除，整理得

$\mathrm{dR}=-\frac{m{R}_0\cos \left(\gamma \right)}{D(R_0+H)}\mathrm{dE}---\left(10\right)$

同时，如果飞行器在滑行过程中，受到的升力、重力和离心力在垂直于速度方向上近似平衡， 那么称此状态为通常所说的拟平衡滑翔状态，在此称为平稳滑翔状态。假设飞行器以平稳滑 翔状态滑行，则弹道没有大幅波动，弹道倾角随时间的变化率接近于零，由公式(6)可得

$\cos \left(\gamma \right)=\frac{L}{\mathrm{mg}-\frac{m{V}^2}{R_0+H}}---\left(11\right)$

将公式(11)代入公式(10)中，可得

$\mathrm{dR}=-\frac{L}{D}\frac{R_0}{g(R_0+H)-V^2}\mathrm{dE}=-\frac{L}{D}\frac{R_0}{\frac{\mu }{R_0+H}-V^2}\mathrm{dE}---\left(12\right)$

由公式(8)可得

$V^2=2E+\frac{2\mu }{R_0+H}---\left(13\right)$

将公式(13)代入(12)可得

$\mathrm{dR}=-\frac{L}{D}\frac{R_0}{-2E-\frac{\mu }{R_0+H}}\mathrm{dE}=-\frac{L}{D}·f(E,H)\mathrm{dE}---\left(14\right)$

公式(14)中的函数f(E,H)随着E的增大而增大，随着H的增大而减小。图1是函数 f(E,H)随能量E变化曲线，图中给出了H分别取值0和100km，速度介于零至第一宇宙速 度范围内时，函数f(E,H)随E的变化曲线。从图中可以看出，由于H＜＜R₀，H对函数f(E,H) 的影响较小，特别是飞行器滑行速度小于7km/s时。

在平稳滑翔状态滑行的前提下，如果固定飞行器滑行过程中的初始能量E₀和终点能量 E_f，则对公式(14)两端积分可得飞行器的滑行距离，如公式(15)所示

$\mathrm{\Delta R}={\int }_{E_0}^{E_f}-\frac{L}{D}f(E,H)\mathrm{dE}---\left(15\right)$

由于海拔高度H对函数f(E,H)影响有限，那么升阻比L/D对飞行器滑行距离产生至关 重要的作用，因此，以最大升阻比滑行，飞行器将获得十分接近于最优解的滑行距离。

步骤2：求取平稳滑翔弹道倾角γ^*。

现在研究飞行器在以最大升阻比、平稳滑行过程中的弹道倾角，并将其称为平稳滑翔弹 道倾角，记作γ^*。由于重力、升力和离心力在垂直于速度方向上近似平衡，所以γ^*随时间的 变化率趋近于零，则由公式(6)可得

$\frac{C_l^{*}·0.5\rho V^2·S}{m}-g\cos \left({\gamma }^{*}\right)+\frac{V^2\cos \left({\gamma }^{*}\right)}{R_0+H}=0---\left(16\right)$

其中，是当前状态下满足最大升阻比要求的升力系数，ρ是大气密度，S是飞行器气动参 考面积。将公式(16)两边对时间求导，并整理得

$\left(\begin{array}{c}\frac{1}{m}\frac{d{C}_l^{*}}{\mathrm{dMa}}(\frac{\partial \mathrm{Ma}}{\partial V}\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dt}}+\frac{\partial \mathrm{Ma}}{\partial H}\frac{\mathrm{dH}}{\mathrm{dt}})\frac{1}{2}\rho V^{2}S+\frac{1}{m}{C}_l^{*}\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d\rho }}{\mathrm{dH}}\frac{\mathrm{dH}}{\mathrm{dt}}{V}^{2}S+\frac{1}{m}{C}_l^{*}\mathrm{\rho V}\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dt}}S-\\ \frac{\mathrm{dg}}{\mathrm{dH}}\frac{\mathrm{dH}}{\mathrm{dt}}\cos \left({\gamma }^{*}\right)+g\frac{d{\gamma }^{*}}{\mathrm{dt}}\sin \left({\gamma }^{*}\right)+\frac{1}{R_0+H}[2V\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dt}}\cos \left({\gamma }^{*}\right)-V^2\sin \left({\gamma }^{*}\right)\frac{d{\gamma }^{*}}{\mathrm{dt}}\\ \frac{1}{{(R_0+H)}^2}{V}^2\frac{\mathrm{dH}}{\mathrm{dt}}\cos \left({\gamma }^{*}\right)=0\end{array},]-\right)---\left(17\right)$

在一般的飞行器气动模型中，只是马赫数Ma的函数，而马赫数Ma是飞行速度V和飞行 高度H的函数。首先，因为重力加速度g随高度的变化率很小，γ^*的变化率也趋近于零，所 以忽略上式中含有和的项；其次，飞行器以平稳滑翔状态滑行过程中，弹道越平缓， 滑行距离越远，对于高超声速飞行器来说拥有较远的滑行距离，其滑行过程中γ^*必然十分接 近于零(实际情况下，低速近程情形，γ^*也较小)，所以假设sin(γ^*)≈γ^*，cos(γ^*)≈1；最后， 将公式(3)和公式(5)代入公式(17)，并整理得

$\left(\begin{array}{c}{\gamma }^{*}=-\frac{D^{*}}{\mathrm{mg}}\frac{1}{1-a_{11}-a_{12}+a_{13}+a_{14}+a_{15}}\\ -\frac{D^{*}}{\mathrm{mg}}\frac{1}{1-a_{21}-a_{22}+a_{23}+a_{24}+a_{25}}\\ -\frac{D^{*}}{\mathrm{mg}}\frac{1}{1-a_{31}-a_{32}+a_{33}+a_{34}+a_{35}}\end{array}\right)---\left(18\right)$

其中，是满足最大升阻比要求的阻力系数。其中{a_ij|i＝1,2,3；j＝1,2,…,5} 的表达式如下

$a_{11}=\frac{\mathrm{d\rho }}{\mathrm{dH}}\frac{C_l^{*}V}{\frac{d{C}_l^{*}}{\mathrm{dMa}}\frac{\partial \mathrm{Ma}}{\partial V}\mathrm{\rho g}}$$a_{21}=\frac{\mathrm{d\rho }}{\mathrm{dH}}\frac{V^2}{2\mathrm{\rho g}}$$a_{31}=\frac{\mathrm{d\rho }}{\mathrm{dH}}\frac{C_l^{*}{V}^{2}S(R_0+H)}{4\mathrm{mg}}$

$a_{12}=\left(\frac{\partial \mathrm{Ma}}{\partial H}V\right)/\left(\frac{\partial \mathrm{Ma}}{\partial V}g\right)$$a_{22}=\frac{d{C}_l^{*}}{\mathrm{dMa}}\frac{\partial \mathrm{Ma}}{\partial H}\frac{V^2}{2C_l^{*}g}$$a_{32}=\frac{d{C}_l^{*}}{\mathrm{dMa}}\frac{\partial \mathrm{Ma}}{\partial H}\frac{\rho V^{2}S(R_0+H)}{4\mathrm{mg}}$

$a_{13}=\frac{2C_l^{*}}{\frac{d{C}_l^{*}}{\mathrm{dMa}}\frac{\partial \mathrm{Ma}}{\partial V}V}$a₂₃＝1/a₁₃a₃₃＝1/a₁₄

$a_{14}=\frac{4m}{\frac{d{C}_l^{*}}{\mathrm{dMa}}\frac{\partial \mathrm{Ma}}{\partial V}\mathrm{\rho VS}(R_0+H)}$$a_{24}=\frac{2m}{C_l^{*}\mathrm{\rho S}(R_0+H)}$a₃₄＝1/a₂₄

$a_{15}=\frac{2\mathrm{Vm}}{\frac{d{C}_l^{*}}{\mathrm{dMa}}\frac{\partial \mathrm{Ma}}{\partial V}\mathrm{\rho Sg}{(R_0+H)}^2}$$a_{25}=\frac{m{V}^2}{C_l^{*}\mathrm{\rho gS}{(R_0+H)}^2}$$a_{35}=\frac{V^2}{2g(R_0+H)}$

一般情况下，飞行器飞行弹道是远距离滑翔弹道时，气动力系数随马赫数的变化率很小。 如果假设气动力系数不随马赫数变化，则公式(18)可以进一步简化成下式

${\gamma }^{*}=-\frac{D^{*}}{\mathrm{mg}}·(\frac{1}{1-a_{21}+a_{24}+a_{25}}+\frac{1}{1-a_{31}+a_{34}+a_{35}})---\left(19\right)$

需要注意的是，只有飞行器的速度和高度满足一定的条件，飞行器才能以最大升阻比、 平稳滑翔状态滑行，这是因为由速度V和高度H确定，大气密度ρ和重力加速度g由高度 H确定，则公式(16)就可以写成只有变量H、V和γ^*的约束方程，但由于γ^*较小，cos(γ^*)≈1， 可以忽略γ^*对速度V和高度H的影响，从而该方程约束了速度V和高度H的取值大小。

步骤3：在控制指令上加入反馈，使得飞行器平稳滑翔，或控制飞行器弹道机动大小， 是一种弹道阻尼控制方法。

在实际情况中，飞行器初始条件并不一定能满足以最大升阻比、平稳滑翔状态的要求。 此时，如果仍然以最大升阻比滑行，弹道将有较大波动，不能满足近似稳定的平衡要求，不 过在高度方向上受到阻尼力(-D^*sin(γ))的影响，波动会逐渐衰减，最后仍能收敛到平稳滑 翔状态，但是由于γ较小，阻尼力也较小，波动衰减缓慢。因此，可以引入弹道阻尼控制来 增加阻尼，加快波动衰减，从而使得飞行器快速进入平稳滑翔状态。由于升力在高度方向上 有足够大的分量，因此，我们可以使升力由两个分量组成，一个是根据最大升阻比要求得到 的分量，另一个是弹道阻尼控制附加的迫使振荡衰减的阻尼力，它的方向与速度在高度方向 的分量Vsin(γ)相反。根据上述要求，我们以当前实际滑行弹道倾角γ为负反馈信号，建立如 下滑行制导方法

α＝α^*+k_γ(γ^*-γ)    (20)

其中，α是制导律要求的飞行器攻角，α^*是满足最大升阻比要求的飞行器攻角，γ^*则根据实 际的飞行器气动模型，从公式(18)和(19)中选择一个计算，参数k_γ是为控制弹道阻尼大 小的设计参数，为常值或根据需要变化。当飞行器滑行弹道稳定以后，滑行倾角γ会收敛到 平稳滑翔弹道倾角γ^*，气动力系数也会收敛到满足最大升阻比要求，实现平稳滑翔。

前面介绍了平稳滑翔概念，以及平稳滑翔弹道倾角γ^*的求解方法，在此基础上给出使飞 行器平稳滑翔的弹道阻尼控制的实现方法。为进一步显示本发明中弹道阻尼控制方法的原理 及优势，下面结合具体实例仿真结果加以分析。

首先，介绍仿真用到的飞行器模型，为了能够更好的展示弹道阻尼控制方法的效果，选 用飞行距离较远、滑行距离较长的高超声速飞行器模型。这里采用类似于航天飞机的模型， 气动数据来自于公开文献，并做了一些修改。飞行器在无动力滑行阶段，质量m取常值，大 小为50t。飞行器的气动力由公式(21)和公式(22)计算。

$L=C_l·\frac{1}{2}\rho V^2·S---\left(21\right)$

$D=C_d·\frac{1}{2}\rho V^2·S---\left(22\right)$

其中，升力系数C_l和阻力系数C_d随攻角和马赫数的变化曲面，分别如图2和图3所示。气动 参考面积S取值100m²。飞行器滑行过程中的热流密度由公式(23)计算，单位：kW/m²。

$\stackrel{·}{Q}=(3\times {10}^{-8})·\sqrt{\rho }{V}^3---\left(23\right)$

下面给出仿真结果分析。假设飞行器初始滑行高度H₀为100km，初始滑行速度V₀为 6800m/s，初始滑行弹道倾角γ₀为0°，滑行终点海拔高度H_f为10km。飞行器滑行过程中采 用公式(20)的弹道阻尼控制方法。由于气动力系数随马赫数变化，因此，γ^*由公式(18) 计算。当k_γ分别取一系列值时，仿真弹道轨迹曲线如图4所示。图5展示了当k_γ取不同值时 各个弹道的滑行距离，对于图4中的弹道，利用“*”标记。从结果中可以看出，当k_γ＝0.15 时，飞行器滑行距离最远，为13711.573km，终点速度是592.311m/s。当k_γ取不同值时，飞 行器滑行过程中的最大热流密度如图6所示，最大来流动压如图7所示，最大机动过载如图 8所示。

飞行器要想以最大升阻比、平稳滑翔状态滑行，飞行器只有在特定的速度和高度上，才 有足够的动压使得升力平衡重力和离心力在垂直于速度方向上的分量。初始时刻，由于在海 拔高度为100km处的大气密度稀薄，飞行器受到的来流动压小，升力不足以平衡重力和离心 力，飞行高度迅速下降，大气密度和来流动压则迅速增大，由于惯性的作用，来流动压增大 到使得升力大于重力和离心力的合力，不久弹道开始上扬，周而复始，导致弹道波动，即长 周期振荡。当k_γ＝0时，由于气动阻力在高度方向上的分量与速度在高度方向上的分量的方向 相反，具有阻尼作用，弹道波动幅度在逐渐衰减，但是衰减速度缓慢；运用弹道阻尼控制方 法，当参数k_γ不等于0时，升力在高度方向上也产生了阻尼分量，使得弹道波动幅度较快衰 减，k_γ越大，衰减越快。虽然k_γ取较大的值会损失一定的滑行距离，但是在滑行过程中飞行 器的最大热流密度、最大来流动压和最大机动过载迅速减小，因此，可以通过调节参量k_γ的 值，实现在一定范围内调节最大机动过载、最大来流动压和最大热流密度等物理特征量的值。

为了分析弹道阻尼控制方法的优劣，下面将运用弹道阻尼控制方法仿真结果与弹道优化 仿真结果进行分析比较。首先考虑这一种情况：以最远射程为目标函数，并且不约束热流密 度、来流动压和机动过载的大小，采用与前面相同的边界条件，利用Guass伪谱法获取飞行 器滑行的优化弹道，并与k_γ＝0.15时的仿真弹道进行比较。图9是飞行器弹道优化结果的滑行 弹道和弹道阻尼控制方法仿真结果的弹道的比较图，图10是飞行器弹道优化结果的攻角曲线 和弹弹道阻尼控制方法仿真结果的攻角曲线的比较图，其中，优化结果在上子图中，本发明 仿真结果在下子图中。图11至图14是当k_γ＝0.15时弹道阻尼控制方法仿真结果的飞行器滑行 特性曲线，分别为速度、弹道倾角、升阻比和过载随射程变化曲线。

优化弹道的滑行距离是13754.851km，略大于本发明仿真弹道的滑行距离13711.573km。 总体上，弹道阻尼控制方法仿真结果与弹道优化结果的弹道轨迹曲线、攻角曲线十分相似， 飞行器滑行过程中的速度、弹道倾角等飞行特性曲线也几乎相同。在细节处也有差异，优化 结果在末段攻角迅速上扬，弹道有一个向上的跳跃，这也是造成优化结果的滑行距离略大于 弹道阻尼控制方法仿真结果的滑行距离的主要原因。

从图12至图14可以看出，飞行器在滑行过程中，随着滑行弹道波动幅度的衰减，弹道 倾角γ逐渐收敛到γ^*，而气动力系数也逐渐收敛到满足最大升阻比要求，同时，气动升力和 离心力在垂直于速度方向上的分量之和与重力在垂直于速度方向上的分量近似相等，实现平 稳滑翔状态。

现在仍然以最远射程为目标函数，约束最大热流密度不超过500kW/m²，边界条件与前面 所述的情况相同，利用Gauss伪谱法获得飞行器的优化弹道，并与k_γ＝3时的弹道阻尼控制方 法仿真结果的弹道进行分析比较。图15是飞行器滑行轨迹曲线，图16是飞行器滑行过程中 攻角变化曲线，图17至图22分别是飞行器滑行过程中的速度、弹道倾角、升阻比、过载、 热流密度和来流动压飞行特性曲线。其中，各图的上子图是弹道优化仿真结果曲线，下子图 是当k_γ＝3时弹道阻尼控制方法仿真结果曲线。优化结果的滑行距离是13098.319km，弹道阻 尼控制方法仿真结果的滑行距离是12912.065km。从图中可以看出，优化弹道的波动衰减缓 慢，气动力系数满足最大升阻比要求，而弹道阻尼控制方法仿真结果的弹道较平缓，由于运 用了弹道阻尼控制方法，弹道倾角迅速收敛到γ^*，气动力系数也随之收敛到满足最大升阻比 要求。