一种基于凯恩方程的飞轮隔振平台专用动力学建模方法

摘要

本发明公开了一种基于凯恩方程的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，该发明运用凯恩方程建立飞轮隔振平台动力学模型，以飞轮隔振平台参考点的速度和角速度作为伪速度，推导各个致动器和隔振平台偏速度和偏角速度，建立各个致动器的凯恩方程，并加以综合，得出系统的动力学模型。所建立的模型表达简洁，变量和方程的数目少，适用范围广，计算效率高，适于并行计算。

说明书

技术领域

本发明涉及航天器系统与平台技术，具体解决航天器典型执行机构高频微振动抑制与隔离技术，更具体地说，是一种用于飞轮隔振平台的动力学建模方法。

背景技术

随着空间开发及探测活动技术的发展，使航天器及其所携带的精密设备要求轨道支撑平台具有超静意义上的力学环境，为保证仪器精度，隔振技术已不再是锦上添花的“装饰”，而是保证有效载荷正常工作的必要手段。因此必须对航天器工作过程中产生的高频微振动加以隔离，由于卫星上飞轮、陀螺等转动部件高速转动，太阳能电池板的运动以及卫星姿态变化对敏感载荷产生影响，现有技术尚不能够保证卫星上一些高精度、高稳定度的装置维持正常工作，为此需要开展航天器高频微振动多自由度隔振平台研究工作。

用不同方法列写刚体的运动微分方程式时所花的劳动与所得结果的简洁程度是不相同的。在处理单个刚体的定点运动时，若采用牛顿-欧拉力学中的动量矩方法，其推导省力且所得的结果是六个一阶微分方程，形式简洁。特别是欧拉动力学方程具有严格的对称形式，易于求解。但实际问题往往更为复杂，当系统包含一个以上的刚体和质点时，动量矩方法给出的方程式数目往往不够，这时需要对系统中的每个刚体及质点列些运动微分方程，因而出现了许多约束反力，使未知数增多，方程更加复杂。分析力学中的拉个朗日方法则是一个一般的方法，它将系统作为一个整体研究，在理想约束的情况下可以自动消除约束反力而给出与系统自由度数目相同的运动微分方程式，直接由主动力求出运动。但由于引入动能函数，需求两次导数，所以推导过程比较费力，给出的若干二阶微分方程式也相当冗长。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供一种用于飞轮隔振平台的动力学建模方法，能够满足隔振平台实时性和精确度要求较高的情况。

为了达到上述目的，本发明的技术方案是提供一种基于凯恩方程的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，所述飞轮隔振平台包含上平台，下平台，分别连接了各自对应的上平台顶点与下平台顶点的六根致动器分支；每根致动器分支中包含上致动器、下致动器及连接两者的弹簧和阻尼器，其特征在于：

所述飞轮隔振平台专用动力学建模方法中，计算飞轮隔振平台参考点的速度和角速度作为伪速度，包含：上、下平台各自的原点位置矢量对时间的导数，即上、下平台各自的原点在参考坐标系中的速度矢量；上、下平台各自的角速度矢量；

以伪速度推导各个致动器分支和隔振平台的偏速度和偏角速度，包含：下致动器各自的质心偏速度；致动器分支的偏角速度；上下致动器相对运动的偏速度；上平台质心运动的偏速度；上平台顶点运动的偏速度；上、下平台各自的偏角速度；下平台的质心偏速度；

建立各个致动器分支的凯恩方程，即根据上、下平台及致动器分支各自的广义主动力和广义惯性力，求取整个隔振平台系统的广义主动力和广义惯性力，进而得出飞轮隔振平台的动力学模型方程：。

本发明采用的方法与现有技术相比，其优点和有益效果是：提出了一种运用Kane方程建立飞轮隔振平台动力学模型的建模方法，所建立的模型表达简洁，变量和方程的数目少，适用范围广，计算效率高，适用于并行计算。

附图说明

图1是飞轮隔振平台的坐标系示意图；

图2是飞轮隔振平台中致动器分支的示意图。

具体实施方式

下面结合附图说明本发明的优选实施方式。

本发明运用Kane（凯恩）方程建立飞轮隔振平台动力学模型，以并飞轮隔振平台参考点的速度和角速度作为伪速度，推导各个致动器和隔振平台偏速度和偏角速度，建立各个致动器的凯恩方程，并加以综合，得出系统的动力学模型。

所述的Kane方程可以写为如下形式：

式中，和分别称为系统对应于第γ个独立速度的广义主动力和广义惯性力。

具体的，本发明通过航天器动力学建模方法基于Kane方程建立系统的动力学方程，包括如下步骤：

步骤1坐标和位置姿态确定；

如图1、图2所示，飞轮隔振平台包含上平台，下平台，分别连接了各自对应的上平台顶点A_i与下平台顶点B_i的六根致动器分支；每根致动器分支中包含上致动器、下致动器及连接两者的弹簧和阻尼器。每个致动器分支的基本运动方程为：

其中，分别是两平台顶点到各自坐标系中原点的位置矢量。，表示上平台原点、下平台原点在参考坐标系中的位置矢量。l_i是致动器分支i的总长度，即上平台和基座对应顶点间的距离；为致动器分支i从下平台顶点指向对应上平台顶点的单位矢量；假定各平台质心位于其坐标原点处。

2.速度和角速度计算；

顶点A_i的速度可以看成连接A_i和B_i两个顶点的致动器分支i上一个端点的速度，也可以看作上平台上一个顶点的速度。设l_i为致动器分支i的输入运动，即该分支上下致动器的相对位移。用表示致动器分支i的输入运动l_i对时间的导数，表示致动器分支i长度的变化率，是一个标量。W_i表示致动器分支i的角速度，可以得到下式：

                                     

考虑到且。

所以，上式两边同时点乘矢量，可得：

其中：是上平台原点位置矢量对时间的导数，即上平台原点在参考坐标系中的速度矢量。是上平台的角速度矢量，是下平台的角速度矢量。

考虑在并联机构各个致动器分支均不能绕自身轴线转动的条件下，存在关系：

将方程等号两边左叉乘，得：

根据矢量的运算规则，可以得出并联机构典型分支的角速度

                     

因此，各典型分支的上、下致动器的质心速度和分别为：

   

其中：是下平台原点位置矢量对时间的导数，和是方向到上、下致动器质心点的长度（参见图2）。

上平台上质心速度：

                        

上平台顶点A_i的速度为：

                                       

下平台顶点B_i的速度为：

                      

步骤3.加速度和角加速度计算；

1）致动器分支的加速度和角加速度：

对式进行求导，得到：

为致动器分支相对于的相对加速度，为旋转引起的切向牵连加速度，为旋转引起的向心牵连加速度，为致动器的科氏加速度。下面分别求解和。

每个分支的上、下致动器的相对加速度可通过相应速度对时间求导获得。由于机械结构的特点，可以将它们表示为张量叉积运算的形式。用和表示和对时间的导数，和表示上、下平台角速度和对时间的导数。

令式对时间求导：

    上式可化简为：

其中，为致动器分支转动引起的加速度，为上、下平台顶点A_i和B_i的加速度在上的投影。

类似地，可得到致动器分支的角加速度：

上致动器的质心加速度和下致动器的质心加速度为：

2）上平台的加速度和角加速度：

上平台质心加速度为：

                          

上平台顶点A_i的加速度为：

             

下平台顶点B_i的加速度为：

            

步骤4.偏速度与偏角速度计算；

选择作为系统的伪速度。

1）上致动器的质心偏速度，可以根据式和获得。在这里容易将原始定义的偏导数运算化为张量的乘法运算，因为该速度已经表示为对系统伪速度的线性表示，因此得出对应的线性系数，该线性系数组成对应的偏速度张量。

    因此上致动器质心偏速度为：

式中E为单位张量，为的偏速度，为的偏速度，为的偏速度， 为的偏速度。

2）下致动器的质心偏速度计算；

由           

得下致动器的质心偏速度为：

                                 

3）致动器分支的偏角速度计算：

由                                             

得到致动器分支的偏角速度为：

                                                             

4）上下致动器相对运动的偏速度：

                                                                               

5）上平台质心运动的偏速度：

                                                                                     

6）上平台顶点运动的偏速度：

                                                                             

7）上平台的偏角速度为：

                                                                                   

8）下平台的质心偏速度为：

                                                                                     

9）下平台的偏角速度为：

                                                                                     

5.主动力和广义主动力计算：

作用在飞轮隔振平台上的主动力包括驱动力、重力、外部载荷力、弹簧力、阻尼力等。将飞轮隔振机构下平台受到的干扰力向质心简化，记为，为干扰力，为干扰力矩。上平台重力记为，下平台重力记为；上下致动器的重力分别记为和，它们作用在各自的质心处。设弹簧刚度为k，阻尼系数为c，则弹簧力，阻尼力为。第i条致动器分支的上下致动器之间的驱动力为。其中为第i条致动器分支x方向力分量，为第i条致动器分支y方向力分量, 为第i条致动器分支z方向力分量, 为第i条致动器分支x方向力矩分量, 为第i条致动器分支y方向力矩分量, 为第i条致动器分支z方向力矩分量。由于飞轮隔振平台的驱动关节是直线移动关节，因此，驱动力的方向为驱动关节的轴线方向。飞轮隔振平台的广义驱动力可以表示为。

系统的六维广义主动力如下： 

1）上平台的广义主动力：

                                                                     

2）下平台广义主动力：

               

3）致动器分支的广义主动力：

  

整个隔振平台系统的广义主动力为：

                                                                            

步骤6.惯性力与广义惯性力计算：

飞轮隔振平台的惯性力包括上平台和各个运动构件上的惯性力。上、下平台的惯性力和上下致动器的惯性力分别向各自的质心处简化，上、下平台质量分别为、，相对质心的惯量张量为、，第i条致动器分支的质量为和，相对质心的惯量张量为和。

1）上平台广义惯性力

                                         

2）下平台广义惯性力

                                         

3）致动器分支的广义惯性力

                       

隔振平台系统的广义惯性力为：

                                                                           

基于上述步骤5和步骤6的计算，本发明所述隔振平台的动力学方程为：

                                      

综上所述，本发明公开了一种基于Kane方程的飞轮隔振平台专用动力学建模方法，避免了约束反力的出现，采用伪速度描述系统的运动，引入惯性力和广义惯性力，具有更大的自由度选取独立变量，使得方程简单。本发明克服了现有技术中的不足，提供了一种模型表达简洁，变量和方程数目少，适用范围广，计算效率高，适用于并行计算的飞轮隔振平台专用动力学建模方法。

尽管本发明的内容已经通过上述优选实施例作了详细介绍，但应当认识到上述的描述不应被认为是对本发明的限制。在本领域技术人员阅读了上述内容后，对于本发明的多种修改和替代都将是显而易见的。因此，本发明的保护范围应由所附的权利要求来限定。