基于Backlash算子的自适应格型滤波器及其建模方法

摘要

本发明涉及一种基于Backlash算子的自适应格型滤波器及其建模方法，属于迟滞非线性系统建模技术领域。本发明在基于格型自适应滤波器的基础上，利用Backlash算子代替自适应格型滤波器中的延时算子，构成了一种新的自适应滤波器，并采用针对收敛因子的改进型LMS算法进行滤波器权值的调节，设计方法简单易行。本发明的滤波器避免使用延迟项，只与当前输入有关，同时可以体现迟滞的非线性，使用该滤波器对迟滞非线性系统建模能够显著提高建模精度。

说明书

技术领域

本发明涉及一种基于Backlash算子的自适应格型滤波器及其建模方法，属 于迟滞非线性系统建模技术领域。

背景技术

压电陶瓷执行器（PEA）已经被广泛应用于微位移技术，例如高精度制造厂， 纳米计量，原子力显微镜，扫描隧道显微镜，X射线成像等。他们在这个特定领 域的广泛应用源于他们的纳米级位移分辨率，低功耗和快速的频率响应。但是， 压电陶瓷执行器呈现出迟滞非线性，会严重影响位移精度或者引起震荡，甚至 会造成不稳定。为了达到较高的位移精度，很多学者提出了许多PEA的建模方 法，例如Preisach模型,Prandtl-Ishlinskii模型,Bouc-Wen模型,Dehum模型等等。

目前存在的建模方法大都实现较复杂，不利于实际应用。Backlash模型由于 其结构简单，可以解析的求逆，被较多的应用于实时控制。该模型由一系列 Backlash算子加权叠加组成。常见的基于Backlash算子的模型在迟滞特性参数的 确认方面缺乏有效手段，且模型结构多采用离线神经网络结构，实现较复杂。

Backlash算子具有迟滞特性如图1所示。

Backlash算子满足如下的连续传递特性：

${\stackrel{·}{p}}_r\left[x\left(t\right)\right]=\left(\begin{array}{cc}\stackrel{·}{x}\left(t\right)& P_r\left[x\left(t\right)\right]-r\ge x\left(t\right)\\ 0& P_r[x\left(t\right)-r<x\left(t\right)<P_r[x\left(t\right)]+r\\ \stackrel{·}{x}\left(t\right)& P_r\left[x\left(t\right)\right]+r\le x\left(t\right)\end{array}\right)$

其中：x(t)为Backlash算子输入；P_r[x(t)]为Backlash算子输出；r为滞环宽度。 P_r[x(t)]的离散表达式为：

其中：x(n)为Backlash算子离散输入；为Backlash算子离散输出；r_i为滞环宽度；i为正整数。

自适应滤波器可以用于自适应对象建模。最常见的横向滤波器结构简单， 计算速度快，自适应能力强，非常便于计算机模拟以及硬件实现。但其缺点是 该自适应滤波器对具有迟滞非线性的对象进行建模的精度不高。由于自适应格 型（GAL）滤波器对输入信号的协方差矩阵的特征值不敏感，GAL滤波算法呈现 出快速的收敛性和较好的数字特征。自适应格型滤波器可以用较小的节数达到 传统滤波器的效果。这种结构梯度自适应格型联合处理（GALJP）算法由GAL滤 波器模块和LMS线性组合模块组成。GAL滤波器模块的前向预测误差与后向预测 误差正交，正交后的后向信号使GAL滤波器具有模块化结构，从而可以高速处理 并且便于调整滤波器阶数。由于正交特性，增加或减少GAL滤波器的节数都不会 影响整体的最优化，即整体最优与局部最优的等价性。理论证明GALJP算法的收 敛性和稳态性都优于自适应横向LMS算法。故GAL滤波器兼具了横向滤波器的结 构简单，计算简易和较高的建模精度等优点。

发明内容

本发明的目的是克服已有自适应滤波器对迟滞非线性系统的建模方法实现 困难和精度不足等缺点，提出了一种基于Backlash算子的自适应格型滤波器以 及其对迟滞非线性系统的建模方法。

本发明在基于格型自适应滤波器的基础上，利用Backlash算子代替自适应 格型滤波器中的延时算子，构成了一种新的自适应滤波器，并采用针对收敛因 子的改进型LMS算法进行滤波器权值的调节。使用该滤波器对迟滞非线性系统 建模能够显著提高建模精度。

本发明的基于Backlash算子的自适应格型滤波器包括自适应格型（GAL）滤 波器模块和LMS线性组合模块。其中，GAL滤波器模块包括M个结构相同的单 节GAL模块；LMS线性组合模块包括自适应权值调整模块、误差计算模块和步 长调整模块。

M个单节GAL模块头尾顺次相连，构成M阶GAL滤波器模块；基于Backlash 算子的自适应格型滤波器的输入和每个单节GAL模块的输出作为输入连接至自 适应权值调整模块和步长调整模块；自适应权值调整模块的输出连接至误差计 算模块，误差计算模块的输出和步长调整模块的输出连接至自适应权值调整模 块。

GAL滤波器模块的输入进行归一化处理，输出时进行反归一化处理。每个单 节GAL模块包括一个Backlash算子模块。每个Backlash算子的宽度r由GAL滤 波器模块所选用的Backlash算子（单节GAL模块）的个数即GAL滤波器模块的 阶数M决定：M个Backlash算子模块的结构相同，但其中后向反射系 数与前向反射系数的取值能够不同。

每个单节GAL模块有两个输入和两个输出，两个输出分别为经该单节GAL 模块后的前向预测误差和后向预测误差，两个输入分别为前一个单节GAL模块 的两个输出（其中，第一个单节GAL模块的两个输入均连接GAL滤波器模块的 输入信号）。

所述的单节GAL模块输出的前向预测误差为其前一个单节GAL模块的后向 预测误差经本节Backlash算子模块的输出乘以本节单节GAL模块中后向反射系 数，再加上前一个单节GAL模块的前向预测误差之和。其具体公式为： 其中f_m(n)为第m个单节GAL模块的前向预测误差， f_m-1(n)为第m-1个单节GAL模块的前向预测误差，为第m个单节GAL模块的 后向反射系数，out_m(n)为第m个单节GAL模块经本节Backlash算子模块的输出， m＝1,2,…，M。

所述单节GAL模块输出的后向预测误差为前一个单节GAL模块的前向预测 误差乘以前向反射系数，再加上该单节GAL模块的Backlash算子模块的输出之 和。具体公式为：其中，b_m(n)为第m个单节GAL模 块的后向预测误差，为第m个单节GAL模块的前向反射系数。

所述每节单节GAL模块中的后向反射系数与前向反射系数根据上 一个单节GAL模块的输出实时更新，更新公式为：

$k_m^b(n+1)=k_m^b\left(n\right)-{\beta }_1{f}_m\left(n\right){\mathrm{out}}_m\left(n\right),k_m^f(n+1)=k_m^f\left(n\right)-{\beta }_2{b}_m\left(n\right)f_{m-1}\left(n\right)$

其中，β₁和β₂分别为后向反射系数和前向反射系数的迭代步长。

通过更新公式能够得到所有单节GAL模块的反射系数曲线，并绘制出GAL 滤波器模块的反射系数曲线。再通过观测GAL滤波器模块的反射系数曲线来决 定滤波器的阶数M和迭代步长β₁、β₂：要求第M个单节GAL模块反射系数曲线 到达某一采样点时的值在[-a，a]之间，其中a为满足任务要求的反射系数绝对误 差值；反射系数曲线的平滑度满足当到达某一采样点后，所有单节GAL模块反 射系数曲线的任何一点的导数在[b,c]之间，其中b，c为满足反射系数曲线不存 在抖动的反射系数曲线导数的下限值和上限值。

LMS线性组合模块的作用是调整自适应格型滤波器的权重值，并计算得到 自适应格型滤波器的输出。LMS线性组合模块中的自适应权值调整模块有M+1 个输入，其中第一个输入为GAL滤波器模块的输入，其余M个输入对应各个单 节GAL模块输出的后向预测误差。自适应权值调整模块内含M+1个权重值，GAL 滤波器模块的输入以及每个后向预测误差分别对应乘以一个权重值后，输入至 误差计算模块的一个对应的减法器。

所述误差计算模块内含M+1个减法器，每个减法器将上一级减法器的输出 与本级减法器的输入相减，得到的差值作为本级减法器的输出。其中，第一级 减法器将自适应格型滤波器的期望输出d(n)与GAL滤波器模块的输入与权重值 之积相减，求得第一级误差。M个单节GAL模块和除第一个权重值之外的M个 权重值以及除第一个减法器之外的M个减法器均为一一对应的关系。

本发明的自适应格型滤波器的实际输出为d(n)与第M+1级减法器输出的差 值。

每一级减法器输出的表达式为$e_m\left(n\right)=\left(\begin{array}{c}d\left(n\right)-w_0\left(n\right)b_0\left(n\right);m=0\\ e_{m-1}\left(n\right)-w_m\left(n\right)b_m\left(n\right);m=\mathrm{1,2,3},...,M\end{array}\right).$

将GAL滤波器模块的输入及各个单节GAL模块的后向预测误差分别作为步 长调整模块的输入，每个输入对应的可变步长的表达式为：其中n＝1,2...,N，N为自适应格型滤波器输入信号值的总个数，μ_m(n)为步长调整 模块中第m个单节GAL模块的后向预测误差对应的可变步长，μ₀(n)为GAL滤波 器模块的输入对应的可变步长；μ为给定的调整权重值的迭代步长，γ为防止输 入为0或过小而引入的正数。M+1个可变步长分别对M+1个权重值进行调整： w(n+1)＝w(n)+2μ_m(n)e_m(n)b(n)，其中w(n)＝{w₀(n),w₁(n),...,w_M(n)}^T为自适应权值调 整模块中的权重值向量，b(n)＝{b₀(n),b₁(n),...,b_M(n)}^T为自适应权值调整模块的输 入向量，b₀(n)为GAL滤波器模块的输入，b₁(n),...,b_M(n)为M个输入对应各个单 节GAL模块输出的后向预测误差。

利用本发明基于Backlash算子的自适应滤波器对具有迟滞特性的非线性系 统的建模方法为：

步骤1，令n＝1，构建自适应滤波器模型系统。将建模输入信号x(n)连接到 压电陶瓷执行器微定位系统实验平台和自适应滤波器模型的信号输入端。并将 压电陶瓷执行器微定位系统实验平台的输出信号作为滤波器模型的期望输出 d(n)引入到自适应滤波器的误差计算模块。

步骤2，建模系统建立完毕后，LMS线性组合模块的权重值与迭代步长以及 GAL滤波器部分的反射系数、前向误差和后项误差分别进行初始化，其中令 f_m(0)＝x(1),b_m(0)＝0;m＝1,2,……,M,f₀(n)＝b₀(n)＝x(n)。

步骤3，对GAL滤波器模块通过观测反射系数的方法选取合适的阶数与迭代 步长。由$k_m^b(n+1)=k_m^b\left(n\right)-{\beta }_1{f}_m\left(n\right){\mathrm{out}}_m\left(n\right),k_m^f(n+1)=k_m^f\left(n\right)-{\beta }_2{b}_m\left(n\right)f_{m-1}\left(n\right)$绘制出反射 系数曲线，其中$f_m\left(n\right)=f_{m-1}\left(n\right)+k_m^b\left(n\right){\mathrm{out}}_m\left(n\right),b_m\left(n\right)={\mathrm{out}}_m\left(n\right)+k_m^f\left(n\right)f_{m-1}\left(n\right),$通过观测 反射系数曲线的平滑程度和第M个单节GAL模块的反射系数数值，选取符合任 务条件的滤波器阶数与反射系数迭代步长。

步骤4，将得到的滤波器阶数和反射系数迭代步长带入GAL滤波器模块，以 后向预测误差为输入信号（其中第一个输入信号为GAL滤波器模块的输入）输入 LMS线性组合模块。从而通过LMS线性组合模块求得单节自适应滤波器模型的输 出信号y_m(n)＝w_m(n)b_m(n)。

步骤5，将得到的LMS线性组合模块每一个输出信号引入误差计算模块得出 误差信号，$e_m\left(n\right)=\left(\begin{array}{c}d\left(n\right)-w_0\left(n\right)b_0\left(n\right);m=0\\ e_{m-1}\left(n\right)-w_m\left(n\right)b_m\left(n\right);m=\mathrm{1,2,3},......,M\end{array}\right).$

步骤6，采用变步长的LMS算法。在步长调整模块，根据公式 ${\mu }_m\left(n\right)=\frac{\mu }{\gamma +{b_m}^T\left(n\right)b_m\left(n\right)}$更新步长。

步骤7，对于基于Backlash算子的GALJP滤波器算法，在自适应权值调整模 块，根据公式w(n+1)＝w(n)+2μ_m(n)e_m(n)x(n)更新自适应权值调整模块的权矢量， 其中w(n)＝{w₀(n),w₁(n),...,w_M(n)}^T为调整的权重向量，LMS线性组合模块的输入 为x(n)＝{b₀(n),b₁(n),...,b_M(n)}。

步骤8，给定下一个建模输入信号，n＝n+1，对于N个输入信号，首先判定 是否有n＜N，若是，说明信号没有输入完毕，则返回步骤3。重复步骤3～步骤 8，直到全部数据输入完毕即n＝N，然后计算该次实验的平均绝对值误差 ${\left|e\right|}_{\mathrm{ave}}=\underset{j=0}{\overset{M}{\Sigma }}\frac{\left|e_j\right|}{M+1},$均方误差$\mathrm{MSE}=\underset{j=0}{\overset{M}{\Sigma }}\frac{e_j^2}{M+1}$和平均误差$e_{\mathrm{ave}}=\underset{j=0}{\overset{M}{\Sigma }}\frac{e_j}{M+1},$从而对建模效 果进行分析。

有益效果

本发明能够有效地提高建模精度，与现有的技术相比，其优点在于：

1）本发明提出的基于Backlash算子的自适应滤波器对迟滞非线性系统建模 实现简单且能够显著提高建模精度。本发明的Backlash自适应滤波器在格型线 性滤波器的结构上进行改进，以M个相同阈值的Backlash算子来代替传统自适 应滤波器中的M个延迟算子，设计方法简单易行。本发明的滤波器避免使用延 迟项，只与当前输入有关，同时可以体现迟滞的非线性。与传统格型自适应滤 波器和横向Backlash自适应滤波器相比，格型Backlash自适应滤波器具有更精 确的建模效果。

2）本发明对格型滤波器利用改进后的LMS算法，有快速的收敛性和更好的 稳态性能，从而达到更精确的建模效果。

附图说明

图1为已有技术中Backlash算子迟滞特性图；

图2为本发明的基于Backlash算子的自适应格型滤波器的模块结构图；

图3为具体实施例中基于Backlash算子的自适应格型滤波器的结构图；

图4为本发明中基于Backlash算子的自适应格型滤波器在不同的阶数与迭代 步长时的变化曲线图，其中（a）为阶数M＝5，迭代步长β＝0.01时的变化曲线 图，（b）为阶数M＝8，迭代步长β＝0.01时的变化曲线图，（c）为阶数M＝8，迭 代步长β＝0.01时的变化曲线图，（d）为阶数M＝8，迭代步长为β＝0.1时的变化 曲线图，（e）为阶数为M＝8，迭代步长β＝0.001时的变化曲线图。

具体实施方式

为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实例加以进一步说 明。

本实施例通过在压电陶瓷执行器纳米定位系统实验平台上进行实验，以验 证本发明提出的基于Backlash算子的自适应格型滤波器的建模效果优于现有技 术。此实验平台型号为PST150/7/40VS12，耐压范围为-30～150V，输出位移范 围为0-12um。驱动电源为HPV系列压电陶瓷驱动电源。控制器用TI公司 TMS320LF2407做控制器件，数模及模数转换分别是16位的AD669及AD976， 控制器通过串口把采集到的数据传给上位机。

在上述条件下，以衰减正弦信号作为本发明基于Backlash算子的自适应滤 波器的输入信号，表达式为x(t)＝50-50·exp(T_s/800)·sin[π/2-π·t/(100·T_s)](T_s为控制 器采样周期)，研究采用不同个数的Backlash算子串联时，本发明所提出基于 Backlash算子的自适应格型滤波器的建模效果。系统输入信号的个数为N=800。 其中，本实施例建立的模型中的“非线性系统”为压电陶瓷。

本实验中，我们把提出的基于Backlash算子的格型自适应滤波器的建模效 果与传统的格型自适应滤波器的建模效果以及横向延迟/Backlash自适应滤波器 的建模效果进行比较。

首先对横向延迟/Backlash两种自适应滤波器建模效果与迟滞算子的个数关 系进行研究，得到结果如表1所示。

表1横向延迟/Backlash自适应滤波器建模误差

  |e|_ave(μm) e_ave(μm) MSE(μm²) 10 0.4346/0.0835 0.3991/-1.9906e-04 0.6227/0.2383 20 0.4449/0.0826 0.4358/2.6427e-06 0.6052/0.2291 30 0.5659/0.0820 0.5490/2.1810e-04 0.6593/0.2230 40 0.6806/0.0812 0.6582/4.5545e-04 0.7106/0.2052 50 0.4894/0.0806 0.7620/7.0176e-04 0.7578/0.1912

考虑到建模精度与硬件实现，在本实验中，通过实验选择使横向滤波器收 敛速度较快且不会导致发散的收敛因子μ＝0.015以及串联Backlash算子的个数 n＝50，即宽度r＝1/50，此时的参数是建模结果较为精确，由于格型滤波器的 模块化结构，在不同阶数时局部优化与全局优化的等价性，使得Backlash与 Preisach算子的阈值为一定值。为了便于格型滤波器与横向滤波器进行比较，故 格型自适应滤波器实验中我们均选取r_i＝1/50。

利用本发明的基于Backlash算子的自适应格型滤波器对迟滞非线性系统进 行建模的系统如图3所示，其虚框内为单节GAL模块。建立模型时，首先对GAL 模块的滤波器阶数M和迭代步长β1和β2进行调整，为了便于计算，假设单节GAL 模块的后向反射系数与前向反射系数相同，即为了 确保稳定性，应使|k_m|≤1，根据以下迭代公式：

$f_m\left(n\right)=f_{m-1}\left(n\right)+k_m^b\left(n\right){\mathrm{out}}_m\left(n\right)$

$b_m\left(n\right)={\mathrm{out}}_m\left(n\right)+k_m^f\left(n\right)f_{m-1}\left(n\right)$

k_m(n+1)＝k_m(n)-β[f_m(n)out_m(n)+b_m(n)f_m-1(n)]m＝1,2,…，M

得到如图4所示的反射系数曲线图，首先假设迭代步长β=0.01，图（a）为 5阶时的反射系数曲线，由图可以看出，反射系数可以很快达到较稳定的值，但 末节反射系数未达到零值，误差超过了允许范围，从而不能达到较好的滤波效 果。图（b）为8阶时的反射系数曲线，由图可以看出，反射系数可以较快达到 较稳定的值，并且很稳定而平滑，末节反射系数接近零值，误差在允许范围内， 故可以达到良好的滤波效果。图（c）为9阶时的反射系数，其趋势与8阶时相 近，平滑稳定并且末节反射系数误差也在允许范围内，也可以达到良好的滤波 效果。但是，当k_m值趋于0时，在GAL滤波器中再增加阶数时并不能大幅度提 高滤波效果，是没有实际意义的。故为了便于硬件实现，我们在满足设计要求 的基础上选择较小的节数，所以本例中我们选择M＝8。然后我们在格型滤波器 节数一定（M＝8）而迭代步长不同的情况下研究反射系数变化曲线。由图（d） 可以看出，当β＝0.1时，反射系数可以很快达到较稳定的值，但是确没有很稳定 而是一直在变化，处于抖动状态，并且第8阶反射系数值绝对值大于1，说明未 达到稳定状态。而由图（e）可以看出当β＝0.001时，反射系数到达稳定值的速 度较缓慢，故不能达到很好的滤波效果。综和考虑建模效果和硬件实现，对于 基于Backlash算子的GALJP滤波器应该选择M＝8β=0.01。对延时自适应格型滤 波器做同样的分析，得到满足条件的滤波器阶数和迭代步长M＝8,β＝0.01。

把得到的滤波器阶数和迭代步长带入滤波器，然后在LMS线性组合模块进 行自适应建模。为了提高建模精度，将压电陶瓷执行器纳米定位系统的输出位 移与Backlash自适应滤波器第一阶的输出通过减法器求得误差，即按照公式 $e_m\left(n\right)=\left(\begin{array}{c}d\left(n\right)-w_0\left(n\right)b_0\left(n\right);m=0\\ e_{m-1}\left(n\right)-w_m\left(n\right)b_m\left(n\right);m=\mathrm{1,2,3},......,M\end{array}\right)$来计算格型滤波器每一阶的误差，采用 LMS算法w(n+1)＝w(n)+2μ_m(n)e_m(n)b(n)更新取值，此处μ_m(n)为一常值。为了提高 建模精度，对传统LMS算法予以改进，用变步长LMS算法对权重值进行更新， 从而改善收敛速度和稳态性能，应用归一化LMS算法使建 模误差达到最小。基于Backlash算子的自适应格型滤波器实际输出为压电陶瓷 执行器纳米定位系统的输出位移d(n)与最后一阶误差相减输出的差值，建模过程 结束。为了便于格型滤波器与横向滤波器的建模效果比较，我们先通过M＝50对 两种滤波器的建模精度进行比较。然后选择通过GAL模块分析得到的满足要求 的滤波器阶数M＝8进行分析。

下面首先在M＝50时分别选取衰减正弦波、正弦波、三角波、随机信号作 为PEA的输入信号，比较这几种不同的输入信号下在不同的自适应格型滤波器模 型下平均误差e_ave平均绝对值误差|e|_ave以及均方差MSE，其结果如表2所示。

表2不同输入信号下的横向延迟/Backlash自适应滤波器和 格型延迟/Backlash自适应滤波器建模误差

然后我们对M=8时进行改进算法的GALJP滤波器进行建模研究，改进的 GALJP延时滤波器选择μ＝0.7,γ＝0.001，改进的GALJPBacklash滤波器选择 μ＝0.5,γ＝0.001，得到的结果如表3。

表3改进算法的GALJP的延时/Backlash滤波器建模误差

表中数据表明自适应格型滤波器在各种激励信号下均优于横向自适应滤波 器的建模效果，而提出的基于Backlash算子的自适应格型滤波器能够进一步减 小建模误差，提高建模精度。改进算法后，建模误差会进一步减少，且应用较 小阶数就可以达到较高精度的建模效果。

以上结合1个具体实施例对本发明的技术方案作了说明，但这些说明不能 被理解为限制了本发明的范围，本发明的保护范围由随附的权利要求书限定， 任何在本发明权利要求基础上的改动都是本发明的保护范围。