一种大功率内置式永磁同步电机无位置传感器控制系统及控制方法

摘要

一种大功率内置式永磁同步电机无位置传感器控制系统及控制方法，属电机控制领域。本发明是为了解决传统的大功率内置式永磁同步电机系统在低开关频率工作时导致的低次谐波成分增大的问题，也为了满足在消弱低次谐波时同时产生幅值恒定的旋转电压矢量控制的需求。采用SHMPWM技术，保证在低开关频率工作条件下对大功率永磁同步电机系统的谐波抑制；并通过加强SHMPWM非线性超越方程组的约束条件，从削弱的谐波成分中提取幅值恒定、相角互差120°的三相特定谐波成分信号用于进行转子位置的估算；采用带通滤波器得到特定谐波电流；利用位置观测器得到估算的永磁同步电机转速及转子位置，实现电机的无位置传感器转速闭环矢量控制。本发明适用于电机控制。

说明书

技术领域

本发明属于电机控制领域。

背景技术

大功率永内置式磁同步电机传动系统由于其高效节能的设计理念使之在诸如民用电动车 辆、电驱动装甲车辆、高铁等大功率电气传动系统中具有广阔的应用前景，亦是电气工程领 域的一个重要研究课题。

为了实现永磁同步电机的高性能控制，必须获知电机的转子位置和速度信息，通常通过 编码器或旋转变压器等机械式传感器来获取。然而，机械式传感器的安装带来系统成本增加、 可靠性降低、尺寸增大及抗干扰能力降低等问题。为了拓宽永磁同步电机的应用范围，实现 电机的无位置传感器控制一直是高性能电机传动领域的一个研究热点。其中，利用注入或逆 变器PWM产生的特定高频信号，在电机低速甚至零速下亦可实现对转子信息的估算，是实 现无机械式传感器控制的有效手段。

与中、小功率传动系统相比，大功率电机传动系统在很多方面都有更高的技术要求。从 逆变器角度考虑，大功率开关器件受开关损耗以及散热的限制，最高开关频率一般被限制在 几百赫兹左右，但同时电机的基波频率有时可以接近200Hz甚至更高，开关频率的降低会增 大系统的谐波成分，加重滤波器的负担，因此，在较低开关频率的限制下，采取有效措施消 除不易通过滤波电路滤除的低次谐波，提高系统的波形质量，是大功率电机传动系统的另一 个研究热点。

发明内容

本发明是为了解决传统的大功率内置式永磁同步电机系统在低开关频率工作时导致的低 次谐波成分增大的问题，也为了满足在消弱低次谐波时同时产生幅值恒定的旋转电压矢量控 制的需求。现提供一种大功率内置式永磁同步电机无位置传感器控制系统及控制方法。

一种大功率内置式永磁同步电机无位置传感器控制系统，该系统包括一号PI计算单元， 用于对角速度与转子反馈角速度ω_r的差进行PI运算得到给定转矩

MTPA最大转矩/安培单元，用于对所述给定转矩进行最大转矩电流比运算，并得到d、 q轴电流给定值

二号PI计算单元，用于对q轴电流给定值与q轴电流反馈值i_q的差进行PI运算，得到 q轴电压给定值

三号PI计算单元，用于对d轴电流给定值与d轴电流反馈值i_d的差进行PI运算，得到 d轴电压给定值

一号Park逆变换单元，用于对转子的位置信息所述q轴电压给定值和d轴电压给 定值进行Park逆变换，分别得到α轴给定电压和β轴给定电压

三电平SHMPWM单元，用于对所述α轴给定电压和β轴给定电压进行三电平 SHMPWM运算，进而生成功率器件的脉宽信号；

三电平逆变器单元，用于根据所述功率器件脉宽信号生成三相三电平电压信号，并输出 a相和b相的电流i_a、i_b，且所述三相三电平信号中包含幅值恒定、相位相差120°相位角的m 次谐波电压矢量u_am,u_bm,u_cm；

一号Clark变换单元和二号Park逆变换单元，用于将转子的位置信息所述三相电流 信号i_a、i_b依次进行Clark变换和Park逆变换，得到d轴电流反馈值i_d和q轴电流反馈值i_q；

带通滤波器BPF，用于对所述三相电流信号i_a、i_b滤除，得到特定谐波电流i_am、i_bm；

二号Clark变换单元，用于对所述特定谐波电流i_am、i_bm进行Clark变换，得到α-β轴系 下的电流i_αm、i_βm；

位置观测器单元，用于对所述α-β轴系下的电流i_αm、i_βm进行信号处理，获得转子反馈角 速度ω_r及转子的位置信息

一种大功率内置式永磁同步电机无位置传感器控制方法，该方法包括以下步骤：

步骤一、角速度与转子反馈角速度ω_r做差，对该差值进行PI运算得到给定转矩

步骤二、对所述给定转矩进行MTPA最大转矩电流比运算，得到d、q轴电流给定值

步骤三、对q轴电流给定值与q轴电流反馈值i_q的差进行PI运算，得到q轴电压给定 值对d轴电流给定值与d轴电流反馈值i_d的差进行PI运算，得到d轴电压给定值

步骤四、对所述q轴电压给定值d轴电压给定值和转子的位置信息进行Park逆 变换，分别得到α轴给定电压和β轴给定电压

步骤五、根据所述α轴给定电压和β轴给定电压得到调制比，进行三电平SHMPWM 运算，进而生成功率器件的脉宽信号；

步骤六、根据所述功率器件脉宽信号通过三电平逆变器单元输出含有幅值恒定、相位相 差120°相位角的m次谐波电压矢量u_am,u_bm,u_cm的三相三电平电压信号，该三相三电平电压信 号加在大功率PMSM的三相绕组上，实现PMSM的矢量控制，在电机绕组上产生三相电流 信号，并输出a相和b相的电流i_a、i_b；

步骤七、对步骤六中所述的a相和b相的电流i_a、i_b依次进行Clark变换和Park逆变换， 得到d轴电流反馈值i_d和q轴电流反馈值i_q；

步骤八、采用带通滤波器BPF对所述a相和b相的电流i_a、i_b滤除，得到特定谐波电流i_am， i_bm；

步骤九、对所述特定谐波电流i_am、i_bm进行Clark变换，得到α-β轴系下的电流i_αm，i_βm；

步骤十、位置观测器单元对所述α-β轴系下的电流i_αm、i_βm进行信号处理，获得转子反 馈角速度ω_r及转子的位置信息完成一次大功率内置式永磁同步电机无位置传感器控制， 并返回执行步骤一，进行下一次大功率内置式永磁同步电机无位置传感器控制。

本发明所述的一种大功率内置式永磁同步电机无位置传感器控制系统及控制方法，在传 统SHEPWM调制方法下增加了约束条件，即使大功率内置式永磁同步电机系统工作在低开 关频率，仍能滤除由低开关频率导致的低次谐波成分增大的问题。

采用特定谐波削减脉宽调制(SHMPWM)技术，保证在低开关频率工作条件下对大功率 永磁同步电机系统的谐波抑制；并通过加强SHMPWM非线性超越方程组的约束条件，从削 弱的谐波成分中提取幅值恒定、相角互差120°的三相特定谐波成分信号用于进行转子位置的 估算；采用带通滤波器(BPF)得到特定谐波成分信号的电流响应i_αc、i_βc；利用位置观测器 得到估算的永磁同步电机转速及转子位置，实现电机的无位置传感器转速闭环矢量控制。

附图说明

图1为本发明的控制系统系统框图；

图2为三电平逆变器主电路原理图；

图3为三电平SHMPWM的开关模式图；

图4为内置式永磁同步电机矢量坐标图。

具体实施方式

具体实施方式一、参照图1和图2具体说明本实施方式，本实施方式所述的一种大功率 内置式永磁同步电机无位置传感器控制系统，该系统包括一号PI计算单元1，用于对角速度与转子反馈角速度ω_r的差进行PI运算得到给定转矩

MTPA最大转矩/安培单元2，用于对所述给定转矩进行最大转矩电流比运算，并得到 d、q轴电流给定值

二号PI计算单元3，用于对q轴电流给定值与q轴电流反馈值i_q的差进行PI运算，得 到q轴电压给定值

三号PI计算单元4，用于对d轴电流给定值与d轴电流反馈值i_d的差进行PI运算，得 到d轴电压给定值

一号Park逆变换单元5，用于对转子的位置信息所述q轴电压给定值和d轴电压 给定值进行Park逆变换，分别得到α轴给定电压和β轴给定电压

三电平SHMPWM单元6，用于对所述α轴给定电压和β轴给定电压进行三电平 SHMPWM运算，进而生成功率器件的脉宽信号；

三电平逆变器单元7，用于根据所述功率器件脉宽信号生成三相三电平电压信号，并输 出a相和b相的电流i_a、i_b，且所述三相三电平信号中包含幅值恒定、相位相差120°相位角的 m次谐波电压矢量u_am,u_bm,u_cm；

一号Clark变换单元8和二号Park逆变换单元9，用于将转子的位置信息所述三相 电流信号i_a、i_b依次进行Clark变换和Park逆变换，得到d轴电流反馈值i_d和q轴电流反馈值 i_q；

带通滤波器BPF10，用于对所述三相电流信号i_a、i_b滤除，得到特定谐波电流i_am、i_bm； 二号Clark变换单元11，用于对所述特定谐波电流i_am、i_bm进行Clark变换，得到α-β轴 系下的电流i_αm、i_βm；

位置观测器单元12，用于对所述α-β轴系下的电流i_αm，i_βm进行信号处理，获得转子反馈 角速度ω_r及转子的位置信息

具体实施方式二、本具体实施方式所述的一种大功率内置式永磁同步电机无位置传感 器控制系统的无位置传感器控制方法，该方法包括以下步骤：

步骤一、角速度与转子反馈角速度ω_r做差，对该差值进行PI运算得到给定转矩

步骤二、对所述给定转矩进行MTPA最大转矩电流比运算，得到d、q轴电流给定值

步骤三、对q轴电流给定值与q轴电流反馈值i_q的差进行PI运算，得到q轴电压给定 值对d轴电流给定值与d轴电流反馈值i_d的差进行PI运算，得到d轴电压给定值

步骤四、对所述q轴电压给定值d轴电压给定值和转子的位置信息进行Park逆 变换，分别得到α轴给定电压和β轴给定电压

步骤五、根据所述α轴给定电压和β轴给定电压得到调制比，进行三电平SHMPWM 运算，进而生成功率器件的脉宽信号；

步骤六、根据所述功率器件脉宽信号通过三电平逆变器单元输出含有幅值恒定、相位相 差120°相位角的m次谐波电压矢量u_am,u_bm,u_cm的三相三电平电压信号，该三相三电平电压信 号加在大功率PMSM的三相绕组上，实现PMSM的矢量控制，在电机绕组上产生三相电流 信号，并输出a相和b相的电流i_a、i_b；

步骤七、对步骤六中所述的a相和b相的电流i_a、i_b依次进行Clark变换和Park逆变换， 得到d轴电流反馈值i_d和q轴电流反馈值i_q；

步骤八、采用带通滤波器BPF对所述a相和b相的电流i_a、i_b滤除，得到特定谐波电流i_am， i_bm；

步骤九、对所述特定谐波电流i_am、i_bm进行Clark变换，得到α-β轴系下的电流i_αm、i_βm；

步骤十、位置观测器单元对所述α-β轴系下的电流i_αm，i_βm进行信号处理，获得转子反 馈角速度ω_r及转子的位置信息完成一次大功率内置式永磁同步电机无位置传感器控制， 并返回执行步骤一，进行下一次大功率内置式永磁同步电机无位置传感器控制。

具体实施方式三、参照图3和图4具体说明本实施方式，本实施方式是对具体实施方式 二所述的一种大功率内置式永磁同步电机无位置传感器控制方法的进一步说明，本实施方式 中，步骤五中所述的根据所述α轴给定电压和β轴给定电压得到调制比，进行三电平 SHMPWM运算，进而生成功率器件的脉宽信号的过程及步骤六中所述的根据所述功率器件 脉宽信号通过三电平逆变器单元输出含有幅值恒定、相位相差120°相位角的m次谐波电压矢 量u_am,u_bm,u_cm的三相三电平电压信号的获取过程如下：

步骤一一、设在[0，π/2]个周期内有N个转换角，a_i(i＝1,2,3,…,N)为转换角，根据傅里 叶级数分解，逆变器输出电压基次分量的幅值H₁及第j次谐波成分的幅值H_j与转换角a_i之间 的关系式为

$H_1=\frac{4}{\pi }\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}\left[{(-1)}^i\sin \left({\mathrm{ja}}_i\right)\right]---\left(2\right)$

$H_j=\frac{4}{\mathrm{j\pi }}\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}\left[{(-1)}^i\sin \left({\mathrm{ja}}_i\right)\right]---\left(3\right);$

步骤一二、建立SHMPWM调制策略的非线性超越方程组，

|M_a-H₁|≤L₁

$\frac{1}{\left|H_1\right|}\frac{4}{\mathrm{j\pi }}\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}\left[{(-1)}^i\sin \left({\mathrm{ja}}_i\right)\right]\le L_j$$\frac{1}{\left|H_1\right|}\frac{4}{\mathrm{m\pi }}\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}\left[{(-1)}^i\sin \left({\mathrm{ja}}_i\right)\right]{=L}_m---\left(4\right);$

其中M_a为调制比；j＝5,7,9…,m-2,m+2,...；m为实现无位置传感器控制所需的特定谐 波成分信号的次数，m为奇数；L_j、L_m为N-1种特定谐波成分在IEEE519-1992标准下允许 的谐波含量值；

步骤一三、通过对步骤一二中的非线性超越方程组的求解，求解过程采用最优化离散求 解的方法，得到不同调制比M_a情况下的N个开关角的位置，并制成SHMPWM算法的离散 查询表；

步骤一四、利用α轴给定电压和β轴给定电压计算所需调制比的大小，在步骤一三 中的离散查询表中查找该状态时SHMPWM算法的开关角位置，所述开关角位置即为功率器 件的脉宽信号；根据该开关角位置三电平逆变器单元产生三电平电压信号，该电压信号中包 含幅值恒定的m次谐波电压矢量u_am,u_bm,u_cm，同时消掉了N-1种谐波。

本实施方式所述的工作过程，详述了得到幅值恒定的m次谐波电压矢量的过程，该幅值 恒定的m次谐波电压矢量用于后续转子位置信息的计算。

具体实施方式四、本实施方式是对具体实施方式二所述的一种大功率内置式永磁同步 电机无位置传感器控制方法的进一步说明，本实施方式中，步骤十中位置观测器单元对所述 α-β轴系下的电流i_αm，i_βm进行信号处理，获得转子反馈角速度ω_r及转子的位置信息的具 体步骤包括：

步骤A、构建内置式永磁同步电机在α-β轴系下的特定谐波成分电流模型；

步骤B、在内置式永磁同步电机模型中引入两相静止参考坐标系γ-δ轴系，得到γ-δ轴系 下的特定谐波成分电流模型；

其中，γ-δ轴系与α-β轴系的坐标关系为：γ轴超前于α轴45°，δ轴超前于γ轴90°；

步骤C、构建三相m次谐波电压方程，并选择m次谐波电压作为特定谐波电压；

步骤D、利用坐标变换原理及余弦定理，根据步骤A中的α-β轴系下的特定谐波成分电 流模型、步骤B中的γ-δ轴系下的特定谐波成分电流模型及步骤C中的三相m次谐波电压方 程得到在α-β和γ-δ轴系下的m次谐波成分电流包络线方程；

步骤E、根据所述在α-β和γ-δ轴系下的m次谐波成分电流包络线方程推导出转子位置的估算公式；

步骤F、对所述转子位置进行微分，获得转子反馈角速度ω_r；

步骤G、将和ω_r反馈给控制系统，实现对无位置传感器电机转速的控制。

具体实施方式五、本实施方式是对具体实施方式四所述的一种大功率内置式永磁同步 电机无位置传感器控制方法的进一步说明，本实施方式中，步骤A中的在α-β轴系下的特定 谐波成分电流模型为：

$\left(\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{\alpha m}}\\ i_{\mathrm{\beta m}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{L}_0-L_1\cos \left(2{\theta }_e\right)& -L_1\sin \left({2\theta }_e\right)\\ -L_1\sin \left({2\theta }_e\right)& L_0+L_1\cos \left({2\theta }_e\right)\end{array}\right)·\frac{1}{L_0^2-L_1^2}·\left(\begin{array}{c}{\int u}_{\mathrm{\alpha m}}\mathrm{dt}\\ \int u_{\mathrm{\beta m}}\mathrm{dt}\end{array}\right);$

其中，c表示高频成分分量；L₀为平均电感，L₀＝(L_d+L_q)/2；L₁为半差电感，L₁＝(L_d-L_q)/2； L_d、L_q分别为电机的d轴电感分量和q轴电感分量；θ_e为定子a相轴线与转子d轴之间的空 间电位置角。

具体实施方式六、本实施方式是对具体实施方式四所述的一种大功率内置式永磁同步 电机无位置传感器控制方法的进一步说明，本实施方式中，步骤B中的γ-δ轴系下的特定谐 波成分电流模型为：

$\left(\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{\gamma m}}\\ i_{\mathrm{\delta m}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{L}_0-L_1\sin \left(2{\theta }_e\right)& L_1\cos \left({2\theta }_e\right)\\ L_1\cos \left({2\theta }_e\right)& L_0+L_1\sin \left({2\theta }_e\right)\end{array}\right)·\frac{1}{L_0^2-L_1^2}·\left(\begin{array}{c}{\int u}_{\mathrm{\gamma m}}\mathrm{dt}\\ \int u_{\mathrm{\delta m}}\mathrm{dt}\end{array}\right)---\left(8\right).$

具体实施方式七、本实施方式是对具体实施方式四所述的一种大功率内置式永磁同步 电机无位置传感器控制方法的进一步说明，本实施方式中，步骤C中构建m次谐波电压方程， 并选择m次谐波电压作为特定谐波电压的选择依据如下：

根据傅里叶分析，三电平逆变器输出的三相m次谐波电压成分的电压表达式为：

u_am＝H_msin(mωt)

u_bm＝H_msin(mωt-m×120°)

u_cm＝H_msin(mωt+m×120°)              (5)

其中，H_m为m次谐波成分电压的幅值，H_m与M_a，L_m以及三电平逆变器直流母线电压U_dc有关，H_m＝M_a·L_m·U_dc/2；

选择m＝3k+1，k＝1,2,3…，式(5)可表示为：

u_am＝H_msin(mωt)

u_bm＝H_msin(mωt-k×360°-120°)＝H_msin(mωt-120°)     (6)

u_cm＝H_msin(mωt+k×360°+120°)＝H_msin(mωt+120°)

由式(5)，选择m＝3k+1，k＝1,2,3…次谐波时，可获知该m次谐波的幅值是恒定的， a相、b相和c相的m次谐波电压的相位在空间相差120°的电角度，作为用于转子位置 信息估算的特定谐波成分信号，且由此得知m∈{7，13，19......}。

具体实施方式八、本实施方式是对具体实施方式四所述的一种大功率内置式永磁同步 电机无位置传感器控制方法的进一步说明，本实施方式中，步骤D中的在α-β和γ-δ轴系下 的m次谐波成分电流包络线方程为：

在α-β轴系下的m次谐波成分电流包络线方程为：

$\left(\begin{array}{c}{\left|i_{\mathrm{\alpha m}}\right|}_{\mathrm{peak}}\\ {\left|i_{\mathrm{\beta m}}\right|}_{\mathrm{peak}}\end{array}\right)=\frac{3\times H_m}{2\times \mathrm{m\omega }(L_0^2-L_1^2)}\left(\begin{array}{c}\sqrt{L_0^2+L_1^2+{2L}_0{L}_1\cos \left({2\theta }_e\right)}\\ \sqrt{L_0^2+L_1^2-{2L}_0{L}_1\cos \left({2\theta }_e\right)}\end{array}\right);$

在γ-δ轴系下的m次谐波成分电流包络线方程为：

$\left(\begin{array}{c}{\left|i_{\mathrm{\gamma c}}\right|}_{\mathrm{peak}}\\ {\left|i_{\mathrm{\delta c}}\right|}_{\mathrm{peak}}\end{array}\right)=\frac{3\times H_m}{2\times \mathrm{m\omega }(L_0^2-L_1^2)}\left(\begin{array}{c}\sqrt{L_0^2+L_1^2+{2L}_0{L}_1\sin \left({2\theta }_e\right)}\\ \sqrt{L_0^2+L_1^2-{2L}_0{L}_1\sin \left({2\theta }_e\right)}\end{array}\right).$

具体实施方式九、本实施方式是对具体实施方式四所述的一种大功率内置式永磁同步 电机无位置传感器控制方法的进一步说明，本实施方式中，步骤E中根据所述在α-β和γ-δ 轴系下的m次谐波成分电流包络线方程推导出转子位置的估算公式的具体步骤包括：

步骤A1、α轴下的m次谐波成分电流包络线方程为：

${{\left|i_{\mathrm{\alpha m}}\right|}_{\mathrm{peak}}}^2=\frac{9\times {H_m}^2}{4\times m^2{\omega }^2{(L_0^2-L_1^2)}^2}[L_0^2+L_1^2+{2L}_0{L}_1\cos \left(2{\theta }_e\right)];$

步骤A2、β轴下的m次谐波成分电流包络线方程为：

${{\left|i_{\mathrm{\beta m}}\right|}_{\mathrm{peak}}}^2=\frac{9\times {H_m}^2}{4\times m^2{\omega }^2{(L_0^2-L_1^2)}^2}[L_0^2+L_1^2-{2L}_0{L}_1\cos \left(2{\theta }_e\right)];$

步骤A3、将步骤A1中的|i_αm|_peak²与步骤A2中的|i_βm|_peak²带入下式进行计算，

${{\left|i_{\mathrm{\alpha m}}\right|}_{\mathrm{peak}}}^2-{{\left|i_{\mathrm{\beta m}}\right|}_{\mathrm{peak}}}^2=\frac{{{9H}_m}^2{L}_0{L}_1}{m^2{\omega }^2{(L_0^2-L_1^2)}^2}\cos \left({2\theta }_e\right);$

步骤A4、γ轴下的m次谐波成分电流包络线方程为：

${{\left|i_{\mathrm{\gamma m}}\right|}_{\mathrm{peak}}}^2=\frac{9\times {H_m}^2}{4\times m^2{\omega }^2{(L_0^2-L_1^2)}^2}[L_0^2+L_1^2+{2L}_0{L}_1\sin \left(2{\theta }_e\right)];$

步骤A5、δ轴下的m次谐波成分电流包络线方程为：

${{\left|i_{\mathrm{\delta m}}\right|}_{\mathrm{peak}}}^2=\frac{9\times {H_m}^2}{4\times m^2{\omega }^2{(L_0^2-L_1^2)}^2}[L_0^2+L_1^2-{2L}_0{L}_1\sin \left(2{\theta }_e\right)];$

步骤A6、将步骤A4中的|i_γm|_peak²与步骤A5中的|i_δm|_peak²带入下式进行计算：

${{\left|i_{\mathrm{\gamma m}}\right|}_{\mathrm{peak}}}^2-{{\left|i_{\mathrm{\delta m}}\right|}_{\mathrm{peak}}}^2=\frac{{{9H}_m}^2{L}_0{L}_1}{m^2{\omega }^2{(L_0^2-L_1^2)}^2}\sin \left({2\theta }_e\right);$

步骤A7、将步骤A3与步骤A6中的值带入下式进行计算：

$\frac{{{\left|i_{\mathrm{\gamma m}}\right|}_{\mathrm{peak}}}^2-{{\left|i_{\mathrm{\delta m}}\right|}_{\mathrm{peak}}}^2}{{{\left|i_{\mathrm{\alpha m}}\right|}_{\mathrm{peak}}}^2-{{\left|i_{\mathrm{\beta m}}\right|}_{\mathrm{peak}}}^2}=\frac{\sin \left({2\theta }_e\right)}{\cos \left({2\theta }_e\right)}=\tan \left({2\theta }_e\right);$

步骤A8、由步骤A7能够得到转子位置的估算公式为

具体实施方式十：本实施方式一个实施例，本实施方式详细介绍一种获得转子反馈角速 度ω_r及转子的位置信息的具体步骤包括：

αβ表示定子静止坐标系，dq表示转子旋转坐标系，i_a、i_b经带通滤波器BPF得到特定谐 波成分信号的电流响应i_ac、i_bc。

1)内置式永磁同步电机在α-β轴系下的特定谐波成分模型可表示为

$\left(\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{\alpha c}}\\ u_{\mathrm{\beta c}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{L}_0+L_1\cos \left(2{\theta }_e\right)& L_1\sin \left({2\theta }_e\right)\\ L_1\sin \left({2\theta }_e\right)& L_0-L_1\cos \left({2\theta }_e\right)\end{array}\right)·\frac{d}{\mathrm{dt}}·\left(\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{\alpha c}}\\ i_{\mathrm{\beta c}}\end{array}\right)---\left(a\right)$

由式(a)，可推导出α-β轴系下的特定谐波成分电流模型

$\left(\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{\alpha c}}\\ i_{\mathrm{\beta c}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{L}_0-L_1\cos \left(2{\theta }_e\right)& -L_1\sin \left({2\theta }_e\right)\\ -L_1\sin \left({2\theta }_e\right)& L_0+L_1\cos \left({2\theta }_e\right)\end{array}\right)·\frac{1}{L_0^2-L_1^2}·\left(\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{\alpha c}}\mathrm{dt}\\ u_{\mathrm{\beta c}}\mathrm{dt}\end{array}\right)---\left(b\right)$

下标c表示高频成分分量；L₀为平均电感，L₀＝(L_d+L_q)/2；L₁为半差电感，L₁＝(L_d-L_q)/2； L_d、L_q分别为电机的d轴电感分量和q轴电感分量；θe为定子a相轴线与转子d轴之间的空 间电位置角。

2)为了构建位置观测器，在电机模型中引入另一个两相静止参考坐标系，γ-δ轴系，γ-δ 轴系与α-β轴系的坐标关系为：γ轴超前于α轴45°，δ轴超前于γ轴90°。γ-δ轴系的矢量关 系如图4所示。

内置式永磁同步电机在γ-δ轴系下的特定谐波成分模型可表示为

$\left(\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{\gamma c}}\\ u_{\mathrm{\delta c}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{L}_0+L_1\sin \left(2{\theta }_e\right)& -L_1\cos \left({2\theta }_e\right)\\ -L_1\cos \left({2\theta }_e\right)& L_0-L_1\sin \left({2\theta }_e\right)\end{array}\right)·\frac{d}{\mathrm{dt}}·\left(\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{\gamma c}}\\ i_{\mathrm{\delta c}}\end{array}\right)---\left(c\right)$

式(c)，可推导出γ-δ轴系下的特定谐波成分电流模型

$\left(\begin{array}{c}{i}_{\mathrm{\gamma c}}\\ i_{\mathrm{\delta c}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{L}_0-L_1\sin \left(2{\theta }_e\right)& L_1\cos \left({2\theta }_e\right)\\ L_1\cos \left({2\theta }_e\right)& L_0+L_1\sin \left({2\theta }_e\right)\end{array}\right)·\frac{1}{L_0^2-L_1^2}·\left(\begin{array}{c}{\int u}_{\mathrm{\gamma c}}\mathrm{dt}\\ \int u_{\mathrm{\delta c}}\mathrm{dt}\end{array}\right)---\left(d\right)$

3)构建三相m次谐波电压方程，并选择7次谐波作为特定谐波，限制7次谐波的畸变 率L₇＝5％，在一个直流母线为750V的电机系统中，当调制比M_a＝1时，三相7次谐波电压方 程为

u_a7＝37.5sin(7ωt)

u_b7＝37.5sin(7ωt-120°)                    (e)

u_c7＝37.5sin(7ωt+120°)

4)利用坐标变换原理以及余弦定理，由式(b)、(d)及(e)可得在α-β和γ-δ轴系下的 7次谐波成分电流包络线方程

$\left(\begin{array}{c}{\left|i_{\mathrm{\alpha c}}\right|}_{\mathrm{peak}}\\ {\left|i_{\mathrm{\beta c}}\right|}_{\mathrm{peak}}\end{array}\right)=\frac{3\times 37.5}{2\times 7\omega (L_0^2-L_1^2)}\left(\begin{array}{c}\sqrt{L_0^2+L_1^2+{2L}_0{L}_1\cos \left({2\theta }_e\right)}\\ \sqrt{L_0^2+L_1^2-{2L}_0{L}_1\cos \left({2\theta }_e\right)}\end{array}\right)---\left(f\right)$

$\left(\begin{array}{c}{\left|i_{\mathrm{\gamma c}}\right|}_{\mathrm{peak}}\\ {\left|i_{\mathrm{\delta c}}\right|}_{\mathrm{peak}}\end{array}\right)=\frac{3\times 37.5}{2\times 7\omega (L_0^2-L_1^2)}\left(\begin{array}{c}\sqrt{L_0^2+L_1^2+{2L}_0{L}_1\sin \left({2\theta }_e\right)}\\ \sqrt{L_0^2+L_1^2-{2L}_0{L}_1\sin \left({2\theta }_e\right)}\end{array}\right)---\left(g\right)$

式中|i_αc|_peak、|i_βc|_peak为α、β轴的7次谐波成分电流包络线；

|i_γc|_peak、|i_δc|_peak——γ、δ轴的7次谐波成分电流包络线；

对于内置式永磁同步电机，由于q轴电感大于d轴电感，即L_d≠L_q，则L₁≠0，式(f)、 (g)中包含转子位置信息的cos(2θ_e)和sin(2θ_e)项不为0，由此可推导出转子位置的估算公式

$\hat{\theta }=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{{\left|i_{\mathrm{\gamma c}}\right|}_{\mathrm{peak}}^2-{\left|i_{\mathrm{\delta c}}\right|}_{\mathrm{peak}}^2}{{\left|i_{\mathrm{\alpha c}}\right|}_{\mathrm{peak}}^2-{\left|i_{\mathrm{\beta c}}\right|}_{\mathrm{peak}}^2}\right)---\left(h\right).$