一种基于交互式的旋转基多目标可视化方法

摘要

本发明属于高维多目标可视化技术领域，具体涉及一种基于交互式的旋转基多目标可视化方法。本发明包括：通过多目标优化算法得到Pareto最优解集Φ对X在每个目标上的适应度函数值进行标准化处理；选取一组路径基向量；绘制基向量，获得绘制Pareto最优解i的第i维目标函数性能映射坐标；交互式绘制。本发明将其余解以低层概括总体信息的形式进行显示，而不改变图形中Pareto最优解集的总体绘制结果，大幅提升了交互操作对图形视觉效果的提升能力。

说明书

技术领域

本发明属于高维多目标可视化技术领域，具体涉及一种基于交互式的旋转基多目标可视 化方法。

背景技术

在高维多目标优化中，多个子目标同时达到最优值是不可能的，只能存在一个折中解的 集合，即Pareto最优解集。决策者如何根据实际情况分析解集并做出最后选择，成为高维多 目标优化问题的一个新兴研究分支。可视化技术通过绘制Pareto解集的分布，供决策者根据 实际情况对解集进行分析。由于常用的直角坐标系，最多只能表示三维数据，并不适用于高 维多目标优化，因此寻找有效的可视化方法成为高维多目标优化问题的难点之一。

针对这一开放式问题，目前成果主要包括两方面，第一类方法力求完整无损地表示高维 目标向量的数据信息，主要成果包括平行坐标系、雷达图、散点图、n维图表可视化方法等。 这类可视化方法虽然可以完整地表示高维目标向量的数据信息，但缺少对Pareto最优解整体 特性的体现，难以包含有利于决策的可视化信息。且随着目标维数和解数量的增加，视觉交 叉感变强，可视化效果会大幅下降。第二类方法的主要思想是提取高维数据特征，将其降维 后映射到低维空间中，以完成对数据的可视化分析，主要成果包括交互式映射、超空间斜对 角线计算、自组织映射、主成份分析、以树形结构可视化分析决策变量、多维标度法等。此 类方法存在以下缺点：1)降维后不能完整地表示原始数据信息；2)降维映射的同时必然会带 来原有信息的损失，致使图形无法显示不同解间各目标属性的对比情况。3)可视化图形中解 的性能过度依赖于降维方式，导致决策信息的不准确。

发明内容

本发明的目的在于提供一种减少可视化视觉压力的基于交互式的旋转基多目标可视化方 法。

本发明的目的是这样实现的：

（1）通过多目标优化算法得到Pareto最优解集Φ，n维解空间的Pareto最优解 X＝(x₁,x₂,...,x_n)∈Φ，对X在每个目标上的适应度函数值f_i(X)，i＝1,2,…r在区间进行 标准化处理，

其中，最小化函数最大化函数

$f_i^M=\underset{X\in \Phi }{\max }{f}_i\left(X\right),f_i^m=\underset{X\in \Phi }{\min }{f}_i\left(X\right),$r为目标个数；

（2）选取一组路径基向量(w_j,j＝1,2,…,r)，其中w_j代表j目标在决策分析过 程中的偏好权重值；

（3）以O点(0，0)为绘制基点，绘制基向量w₁，并将w₁由水平方向逆时针旋转角度θ_i1， 进而获得Pareto最优解i的第1维目标函数性能的映射坐标值A_i1＝(x_i1,y_i1)，其中 x_i1＝w₁cosθ_i1,y_i1＝w₁sinθ_i1；以A_i1为起始坐标，与上述相同方式绘制Pareto最优解i的第i维目标 函数性能映射坐标，i＝1,2,…r，最终绘制出Pareto最优解i的第r维目标函数性能的映射坐 标A_ir＝(x_ir,y_ir)，其中$x_{\mathrm{ir}}=\underset{j=1}{\overset{r}{\Sigma }}{w}_j\cos {\theta }_{\mathrm{ij}},y_{\mathrm{ir}}=\underset{j=1}{\overset{r}{\Sigma }}{w}_j\sin {\theta }_{\mathrm{ij}};$

（4）交互式绘制：绘制所有Pareto最优解的最终映射点A_r，通过A_r中所包含的两个在 决策过程中最重要的解，分析Pareto最优解集中各解的特性，选出备选解，进行映射折线的 绘制，通过Pareto最优解映射折线所对应的目标性能属性。

路径基向量w_j越大在决策分析过程中j指标的重要程度越高，当各目标无偏好需求时， j＝1,2,…r。

本发明的有益效果在于：

旋转基可视化方法不受目标维数的限制，可显示n维目标的Pareto最优解集，在可视化 图形中，包含了决策过程中所关心的解的具体性能信息，更有利于决策者对Pareto最优解集 进行分析和决策。同时旋转基可视化方法的绘制方式，保证了通过用户交互式绘制后，可以 将感兴趣的决策备选解，进行高层细致信息的绘制，将其余解以低层概括总体信息的形式进 行显示，而不改变图形中Pareto最优解集的总体绘制结果，大幅提升了交互操作对图形视觉 效果的提升能力。

附图说明

图1为本发明实施例公开的一种旋转基可视化方法的绘制示意图。

具体实施方案

下面结合附图对本发明做进一步描述

本发明克服现有技术的不足，提出了一种全新的基于交互式的旋转基多目标可视化方法。 对Pareto最优解各目标性能的优劣关系，以及包括解的综合性能，各目标性能波动等情况， 进行了有效可视化显示，另外，还引入了交互式的操作，去除了冗余图形的绘制，大幅减少 了可视化视觉压力，经查阅国内外文献，尚没有类似的方法提出。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

通过基向量的旋转角度体现Pareto最优解中各目标的优劣程度，以各目标权重值作为基 向量长度，依次叠加旋转后的基向量，最终将Pareto最优解以一条独立路径映射为二维空间 平面上的一条折线。折线中的折线段反映了Pareto最优解各目标的性能情况，折线的终点即 为该解总体性能在二维平面上的映射点。映射点与绘制基点的欧式距离反映了Pareto最优解 各目标性能的波动性，映射点与绘制基点连线的角度反映了Pareto最优解综合性能的优劣。 最后，在可视化过程中结合了交互式操作的绘制方式，对感兴趣的Pareto最优解进行完整映 射折线的绘制，其余解以最终映射点的形式保留于可视化图形中，避免了将全部Pareto最优 解都绘制在图形中，提高了可视化图形的视觉区分度。

本发明提供了一种基于交互式的旋转基多目标可视化方法，其核心发明点在于以基向量 的旋转角度体现Pareto最优解中各目标的优劣程度，以基向量的长度作为目标决策权重值， 依次叠加旋转后的基向量，将Pareto最优解以一条独立路径映射为二维空间平面上的一条折 线。折线中的折线段反映了Pareto最优解各目标的性能情况，折线的终点即为该解总体性能 在二维平面上的映射点。映射点与绘制基点的欧式距离反映了Pareto最优解各目标性能的波 动性，映射点与绘制基点连线的角度反映了Pareto最优解综合性能的优劣。最后，在可视化 过程中结合了交互式操作的绘制方式，对感兴趣的Pareto最优解进行完整映射折线的绘制， 其余解以最终映射点的形式保留于可视化图形中，避免了将全部Pareto最优解都绘制在图形 中，提高了可视化图形的视觉区分度。

对本发明实施例中的方法方案进行清楚、完整的描述和论证，它将有助于理解本发明， 但并不限制本发明的内容。

本发明实施例中以最小化多目标优化问题为例，决策者通过多目标优化算法得到Pareto 最优解集Φ，n维解空间的Pareto最优解X＝(x₁,x₂,...,x_n)∈Φ。设目标个数为r，对X在每 个目标上的适应度函数值f_i(X)，i＝1,2,…r在区间进行标准化处理可以得到

${\theta }_i\left(X\right)=\frac{f_i\left(X\right)-f_i^m}{f_i^M-f_i^m}\times \frac{\pi }{2}---\left(1\right)$

其中公式(1)去除了目标函数值本身由量纲不同所造成 的数值差距，同时θ_i(X)也较适应度函数值f_i(X)更能有效反映目标函数值与该目标最优值的 差距。在最小化问题中，θ_i(X)值越小，代表当前Pareto最优解X在第i个目标上越接近最 优值，因此可通过θ_i(X)的值判定所获得的最优解在该维目标上是否优异。

在对Pareto最优解X进行标准化处理后，选取一组路径基向量(w_j,j＝1,2,…,r)，其中 w_j代表j目标在决策分析过程中的偏好权重值，w_j越大代表在决策分析过程中j 指标的重要程度越高，当各目标无偏好需求时，设定j＝1,2,…r。

以O点(0，0)为绘制基点，绘制基向量w1，并将w1由水平方向逆时针旋转角度θ_i1，进而 获得Pareto最优解i的第1维目标函数性能的映射坐标值A_i1＝(x_i1,y_i1)，其中 x_i1＝w₁cosθ_i1,y_i1＝w₁sinθ_i1。再以A_i1为起始坐标，相同方式绘制Pareto最优解i的第二维目标函 数性能映射坐标，依此类推，最终绘制出Pareto最优解i的第r维目标函数性能的映射坐标 A_ir＝(x_ir,y_ir)，其中$x_{\mathrm{ir}}=\underset{j=1}{\overset{r}{\Sigma }}{w}_j\cos {\theta }_{\mathrm{ij}},y_{\mathrm{ir}}=\underset{j=1}{\overset{r}{\Sigma }}{w}_j\sin {\theta }_{\mathrm{ij}}.$

本发明实施例通过二维平面上的映射折线绘制n维Pareto最优解中各目标 性能优劣的属性信息。折线终点A_r为Pareto最优解X总体性能的映射结果，其中A_r的空间 位置包含了在决策过程中最为依赖的两方面决策信息：1）解X中各目标上性能的波动情况； 2）解X在各目标上性能的综合属性优劣情况。下面分别对A_r所包含的具体性能信息进行逐一 论证。

下面以Pareto最优解X在各目标间性能的方差为例，具体论证最终映射点A_r的位置与其 在各目标上性能的波动性关系。

Pareto最优解X标准化结果Θ＝(θ₁,θ₂,…θ_r)，其各目标间性能波动情况为：

$D=\frac{1}{r}\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}{(\frac{1}{r}\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}{\theta }_i-{\theta }_i)}^2---\left(2\right)$

令公式(2)中$\frac{1}{r}\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}{\theta }_i=H$则

$\left(\begin{array}{c}D=\frac{1}{r}\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}(H^2+{\theta }_i^2-2H{\theta }_i)\\ =\frac{1}{r}(r{H}^2+\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}{\theta }_i^2-2H\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}{\theta }_i)\\ =\frac{1}{r}(\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}{\theta }_i^2-r{H}^2)\\ =\frac{1}{r}(\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}{\theta }_i^2-\frac{1}{r}{\left(\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}{\theta }_i\right)}^2)\\ =\frac{1}{r^2}((r-1)\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}{\theta }_i^2-2\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}\underset{j=1(j\ne i)}{\overset{r}{\Sigma }}{\theta }_i{\theta }_j)\\ =\frac{1}{r^2}\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}\underset{j=1(j\ne i)}{\overset{r}{\Sigma }}{({\theta }_i-{\theta }_j)}^2\end{array}\right)---\left(3\right)$

由公式(3)可知，Pareto最优解X各目标间性能波动大小唯一取决于任意两目标性能差 值平方的累加和。

对于不存在目标偏重信息，即i＝1,2,…r时，Pareto最优解X的最终映射点A_r与 O点的欧式距离为：

$\mathrm{DIS}\left(O{A}_r\right)=\frac{1}{r^2}(r+2\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}\underset{j=1(j\ne i)}{\overset{r}{\Sigma }}\sin {\theta }_i\sin {\theta }_j+2\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}\underset{j=1(j\ne i)}{\overset{r}{\Sigma }}\cos {\theta }_i\cos {\theta }_j)---\left(4\right)$

公式(4)可线性等价变换为公式(5)。

$\mathrm{DIS}\left(O{A}_r\right)=\frac{1}{r^2}(r+\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}\underset{j=1(j\ne i)}{\overset{r}{\Sigma }}\cos ({\theta }_i-{\theta }_j))---\left(5\right)$

由公式(5)可知，A_r与O点的欧式距离唯一取决于Pareto最优解X任意两目标性能差值 的余弦函数变换累加和。

公式(3)与公式(5)中唯一变量均为任意两目标性能的差值即(θ_i-θ_j)。公式(3)中变量 (θ_i-θ_j)的变换函数为y＝x²，其在时为单调增函数。公式(5)中变量(θ_i-θ_j)的变换函 数为y＝cos(x)，其在时为单调减函数。因此DIS(OA_r)实质上是以另外的一种形式，反 映了任意不相同两元素差值的大小关系，DIS(OA_r)越小，证明Pareto最优解X各目标间性 能的方差越大，即目标间性能波动性越大。

对于存在目标偏重信息时，w_i的长度取值不同会对最终的绘制结果产生影响，此时Pareto 最优解X的最终映射点Ar与O点的欧式距离Dis(OA_r)如公式(6)所示，公式(6)可等价变换为 公式(7)。

$\mathrm{Dis}\left(O{A}_r\right)=\sqrt{{\left(\underset{i=1}{\overset{i}{\Sigma }}{w}_i\cos {\theta }_i\right)}^2+{\left(\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}{w}_i\sin {\theta }_i\right)}^2}---\left(6\right)$

$\mathrm{Dis}\left(O{A}_r\right)=\sqrt{\underset{i=1}{\overset{i}{\Sigma }}{w}_j^2+2\underset{j=1}{\overset{r}{\Sigma }}\underset{i=1(i\ne j)}{\overset{r}{\Sigma }}{w}_j{w}_i\cos ({\theta }_j-{\theta }_i)}---\left(7\right)$

在对于同一问题的分析过程，w_i的取值是固定不变的，由公式(4-7)可知，A_r与O点的欧 式距离Dis(OA_r)，也唯一取决于变量差值(θ_i-θ_j)，但与公式(4-5)不相同的是，式(7)计算 (θ_i-θ_j)的cos函数变换数值前存在系数w_jw_i，因此指标权重w值影响了cos函数变换的数值， 放大了权重较大目标间的差值，缩小了权重较小目标间的差值。因此，此时的Dis(OA_r)实质 上反映了在权重影响下，Pareto最优解X中任意不相同两目标间性能差值的大小关系。其中 Dis(OA_r)越小，证明Pareto最优解X中，权重较大的目标函数的性能与其余目标函数的性能 存在较大波动，反之Dis(OA_r)越大，证明Pareto最优解X中，权重较大的目标函数的性能与 其他目标函数的性能较为相近。

通过以上分析，证明本发明实施例中，最终映射点Ar与O点的欧式距离Dis(OA_r)越大， 其Pareto最优解X中各目标性能越均衡。

本发明实施例以Pareto最优解X在各目标上性能的优劣程度作为旋转角度，通过累加绘 制出映射折线。Pareto最优解X第i个目标值越优，与其对应的旋转角度θ_i(X)越小，而A_r实质上是由θ_i(X)以累加的方式得到的，因此可通过∠XOA_r的大小反映出Pareto最优解X各 目标综合性能的优劣情况。

对于目标不存在偏好信息时，即i＝1,2,…r，Pareto最优解X最终映射点A_r和O 点的连线与X轴的夹角为：

$\angle {\mathrm{XOA}}_r=\arctan \left(\frac{s}{c}\right)---\left(8\right)$

其中对于不同Pareto最优解X，目标性能的变动情况可分为 以下3种情况：

1)Θ中任意维θ_i增大，即相异两解比较过程中，除单目标性能有劣势外，其余目标性能 相同。公式(6)中sinx、arctanx为单调增函数，cosx为单调减函数，因此任意维θ_i增大时均 会导致角∠XOA_r增大，因此∠XOA_r越大Pareto最优解X性能越差。

2)多维目标性能逆向非等比例变动。例如解1性能(0.9，0.1，0.1，0.1)与解2性能(0.1， 0.2，0.1，0.1)对比中，解1的f₁性能由0.9减小至0.1，解2的f₂由0.1增至0.2，f₁与 f₂性能出现逆向变化，且f₁的变化幅度大于f₂。由公式(6)可知，变化幅度大的目标函数无论 对于s还是c都起到了决定性的影响，因此在解1与解2的对比中目标f₁起决定性作用，由 于s₁＞s₂，c₁＜c₂从而∠XOA₁＞∠XOA₂，而解2的综合性能明显优于解1，由此可见∠XOA_r越 大Pareto最优解X性能越差。

3)多维目标性能逆向等比例变动。例如解1性能(0.9，0.1，0.1，0.1)与解2性能(0.8， 0.2，0.1，0.1)对比中，解1的f₁由0.9减小至0.8，解2的f₂由0.1增至0.2，f₁与f₂性 能出现逆向变化，且f₁减少的幅度线性等同于f₂增大的幅度，此时两解的综合性能相近。以 下针对这种情况具体讨论旋转基可视化方法的综合性能判断准则。

在区域，sinx、cosx为非线性单调函数，x接近于0时，sinx增大最快，并随 x的增大，变化率逐渐减小，x接近于0时，cosx增大最慢，并随x的增大，变化率逐渐增 大，因此目标属性在从最劣值1向最优0的变化过程中，均体现为使c值变大s值变小的过 程。在此过程中，各目标性能在接近于1时使c值变大，起主导地位影响∠XOA_r大小，逐渐 转化为接近于0区域时，s减小起主导地位影响∠XOA_r大小。两目标逆向变化幅度相同时， 例如在解1和解2的对比过程中，目标f₁在较劣区域，从0.9向0.8变优，主导变化体现为 c值变大；目标f₂在较优区域，从0.1向0.2变差，主导变化体现为s值变大。目标的逆向 变化在处于线性对称区域时增量Δ相同。

以下论证与的大小关系。当c＞0，Δ＞0时，若s-c＞0则， 反之若s-c＜0，则因此，当出现两目标逆向变化幅度相同时，最终解 的优劣关系还取决于s与c的大小关系。当s大于c时，该解的整体性能偏差，处于较优区 域目标变劣的影响大于处于较劣区域目标变优的影响，即该解的综合性能已经偏劣，不期望 较优目标性能再次变劣。反之当s小于c时，处于较劣区域目标变优的影响大于处于较优区 域目标变劣的影响，即该解的综合性能已较优，期望较劣目标性能变优。

综合以上3种情况的分析，证明在无目标偏好信息的情况下，∠XOA_r越小Pareto最优解 X，各目标的综合性能越优。

对于目标存在偏好信息时，w_i的长度取值不同会对最终的绘制结果产生影响，此时Pareto 最优解X的最终映射点Ar和O点的连线与X轴的夹角为：

$\angle {\mathrm{XOA}}_r=\arctan \left(\frac{\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}{w}_i\sin {\theta }_i}{\underset{i=1}{\overset{r}{\Sigma }}{w}_i\cos {\theta }_i}\right)---\left(9\right)$

从公式(8)和公式(9)的对比中可以看出，∠XOA_r的大小不仅受到sinx、cosx变换函数单 调性的影响，同时在公式(4-9)中，每个θ_j都是在权值w_i的影响下对整体角度进行影响的， w_i的大小直接缩放了j指标中θ_j的影响力度，w_i越大θ_j对于结果的最终影响力度越大。因此， 权重大的目标函数对于∠XOA_r的影响要大于权重小的目标对其的影响。此时的∠XOA_r越小， 证明Pareto最优解X在权重影响下的综合性能越优。

通过以上分析，证明本发明实施例中，∠XOA_r越小Pareto最优解各目标综合性能越优。

本发明实施例中以一条独立的折线路径映射Pareto最优解X，其最终映射点A_r的映射位 置包含了Pareto最优解各目标性能的波动性和各目标综合性能的优劣情况。因此在可视化图 形的绘制过程中，首先只绘制所有Pareto最优解的最终映射点A_r，决策者就可以直接通过 A_r中所包含的两个在决策过程中最重要的解的性能情况，初步分析Pareto最优解集中各解的 特性。在对Pareto最优解集初步分析后，选出感兴趣的备选解，进行映射折线的绘制，然后 通过Pareto最优解映射折线所对应的各目标性能属性情况，进一步完善分析，在此阶段也可 以通过对话框的形式显示Pareto最优解各目标函数适应度值。

本发明实施例的图形中，最大限度提供了Pareto最优解集决策时所需要的解的基本性能 信息，人机交互的绘制方式，保证了在对感兴趣的Pareto最优解进行高层数据信息绘制时， 其余解仍以低层概括信息的形式保留于可视化图形中，避免了将全部Pareto最优解都绘制在 图形中，提高了可视化图形的视觉区分度，既提高了可视化图形的视觉效果，又最大限度的 发挥了决策者对于Pareto最优解选取的主观偏好性，满足了决策者的分析需求。