高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积计算的直击雷分析方法

摘要

一种高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积计算的直击雷分析方法，基本步骤如下：(1)获取高速铁路基本线路信息，将档距长度、高架桥结构高度、牵引网电气及几何结构特征参数均一致的档距划分为一类；统计沿线雷电活动参数，将其与不同类中的各档距对应；(2)根据类i牵引网特征参数建立类i一个档距的三维雷击模型，计算牵引网三维暴露弧面的垂直投影面积及遭受雷直击的概率；结合各档距雷电参数，计算类i所有档距遭受雷直击的综合概率及年直击雷跳闸率；(3)重复步骤(2)计算所有类牵引网遭受雷直击的综合概率和年直击雷跳闸率；(4)计算全线遭受雷直击的综合概率和年直击雷跳闸率。本方法可增强高速铁路直击雷防护的针对性和有效性。

说明书

技术领域

本发明涉及高速铁路雷电防护技术领域，具体地说涉及高速铁路牵引网三维 暴露弧面投影面积计算的直击雷分析方法。

背景技术

近年来，随着我国高速铁路运营里程的不断增加，由雷击引发的停运故障等 亦逐年增加，尤其是高速铁路大多采用高架桥运行方式，较普通电气化铁路更加 容易遭受雷击，严重威胁着安全行车。牵引网承担着向机车持续可靠供电的重任， 是高速铁路关键设备之一，然而由于牵引网高架于桥梁之上，分布区域广，途径 地区气象条件差异大且裸露于自然环境中没有备份，一旦遭受雷击则可能造成供 电中断导致行车中止，雷电过电压亦有可能沿牵引网侵入变电所或机车内，引起 所内设备或车载设备损坏，甚至出现人员伤亡造成更大事故，尤其是直击雷危害 更为严重。为有效提高牵引网的防雷运行水平，保障高速铁路的安全稳定运行， 需要根据线路实际结构参数及客观运行条件准确计算评估各档距内雷击概率相 对大小，从而制定合理的防雷技术方案，对降低牵引网雷击危害具有重要的理论 意义和工程实用价值。

目前现有的电气化铁路直击雷计算方法中，一般取典型支柱参数根据牵引网 平均高度分别计算雷击支柱和雷击导线的跳闸率，其中雷击支柱跳闸率计算又分 为雷击集中接地支柱和雷击非集中接地支柱两种情况，具体计算公式如下：

n_z=g₁η·(N_s1·P_s1+N_s2·P_s2)+g₂·η·N_s·P₂

式中：n_z为直击雷跳闸率；g₁为击柱率；g₂为击线率；η为建弧率；N_s1为具有集 中接地支柱每年受雷电直击的次数；N_s2为非集中接地支柱每年受雷电直击的次 数；N_s为接触网每年受雷电直击的次数；p_s1为雷击集中接地支柱发生闪络的雷 电流幅值概率；p_s2为雷击非集中接地支柱发生闪络的雷电流幅值概率；p₂为雷 击接触网发生闪络的雷电流幅值概率。在计算时粗略的取平原地区击柱率 击线率山区击柱率击线率但通常高速铁路途 径地域广，地形、气候等复杂多变，局部地区雷电危害十分严重，因此计算结果 与实际情况相差较大，且不能梳理出雷害较为严重的区段支柱进行重点治理防 护。根据输电线路电气几何模型原理亦有学者建立了二维的接触网电气几何模型 来计算牵引网雷击跳闸率，但同样存在没有计及牵引网三维结构参数及沿线雷电 活动差异对直击雷造成影响的不足。

中国专利文献公开的《一种高速铁路牵引网雷害风险评估方法》(申请号： 201210499740.5)包括以下步骤：(1)给定高速铁路的基本信息、地理信息及结构 特征、绝缘特征等；(2)统计高速铁路走廊内地闪密度参数和雷电流概率密度分 布参数；(3)根据现有传统雷击跳闸率计算方法计算高速铁路各区段雷击跳闸率； (4)确定雷害评估指标得到各区段防雷性能实际评估结果。该方法综合考虑了高 速铁路各区段雷电活动差异及沿线地形地质、线路结构特征和绝缘特征差异，存 在的不足是，各区段雷击跳闸率的计算不够准确，尤其是直击雷跳闸率仍粗略的 取击柱率和击线率计算，无法反映牵引网三维结构参数对直击雷的影响。

有鉴于此，本发明提供一种高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积计算的直 击雷分析方法，以解决上述问题。

发明内容

本发明的目的是：针对目前现有高速铁路直击雷分析方法存在仅通过二维参 数计算其跳闸率、计算结果不够准确且没有计及牵引网三维结构参数对其造成影 响的不足，提出高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积计算的直击雷分析方法， 具体地说，本发明是一种综合考虑高速铁路牵引网三维结构特征及沿线雷电活动 特征，通过建立牵引网三维雷击电气几何模型来分析不同类档距直击雷害风险的 方法，可实现对高速铁路直击雷跳闸率的准确计算，增强直击雷防护的针对性和 有效性。

本发明所采用的技术方案是：高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积计算的 直击雷分析方法，其特征在于，以档距为单位统计高速铁路除隧道外的各档距长 度、高架桥结构高度、牵引网电气及几何参数这些结构特征参数，将全线结构特 征参数一致的档距划分为一类，建立高速铁路直击雷害分析结构特征数据库；根 据高速铁路支柱地理位置信息通过雷电定位系统统计线路走廊地闪密度和沿线 雷电流幅值累积概率密度及最大、最小雷电流，建立高速铁路直击雷害分析雷电 参数数据库，并与结构特征数据库中各类的档距对应；根据高速铁路不同类中牵 引网的结构特征参数，分别建立其一个档距内的三维雷击分析模型，计算不同结 构特征牵引网的三维暴露弧面在水平面上的垂直投影面积及遭受雷直击的概率； 结合雷电参数数据库中各档距地闪密度、雷电流幅值累积概率密度及最大、最小 雷电流，计算牵引网遭受雷直击的综合概率及年直击雷跳闸率，所述高速铁路牵 引网三维暴露弧面投影面积计算的直击雷分析方法具体包括以下步骤：

(1)获取高速铁路牵引网基本线路信息，统计其高架桥梁、路基、隧道架设 方式，将路基归入桥身结构高度为零的高架桥梁，以档距为单位统计全线除隧道 外的各档距长度、高架桥结构高度、牵引网电气及几何参数这些结构特征参数， 牵引网电气参数包括承力索和馈线绝缘子串雷电冲击50%放电电压，几何参数包 括承力索及馈线距桥面高度、弧垂及二者的相对位置关系，将结构特征参数一致 的档距划分为一类，以此为标准将高速铁路全线档距划分为n类，其中第i类档 距长L_i且包含m_i个档距，建立高速铁路直击雷害分析结构特征数据库；获取高 速铁路支柱地理位置信息，通过雷电定位系统统计线路走廊地闪密度和沿线雷电 流幅值累积概率密度及最大、最小雷电流，建立高速铁路直击雷害分析雷电参数 数据库，并与结构特征数据库中各类的档距对应；

(2)根据类i中牵引网结构特征参数建立类i一个档距内的三维雷击分析模 型，分别计算馈线及承力索直击雷耐雷水平，计算不同雷电流幅值下馈线及承力 索暴露弧面在水平面上的垂直投影面积和馈线及承力索遭受雷直击的概率；结合 雷电参数数据库中类i各档距地闪密度、雷电流幅值累积概率密度及最大、最小 雷电流，计算类i某档距馈线及承力索遭受雷直击的综合概率，取类i内馈线耐 雷水平与该档距最小雷电流二者的最小值，取承力索耐雷水平与该档距最小雷电 流二者的最小值，计算该档距馈线及承力索的年直击雷跳闸率；

(3)重复步骤(2)计算类i内m_i个档距的馈线及承力索直击雷综合概率及年直 击雷跳闸率，计算类i牵引网m_i个档距的平均直击雷综合概率及年平均直击雷跳 闸率，直到n类高速铁路档距全部计算完成；

(4)计算高速铁路全线馈线及承力索遭受雷直击的综合概率和年直击雷跳 闸率。

如上所述的高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积计算的直击雷分析方法， 其特征在于，所述的高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积计算的直击雷分析方 法能够分析牵引网三维结构参数对其遭受雷直击概率的影响，得到高速铁路自身 固有的直击雷概率属性；其方法是：馈线及承力索在不同雷电流幅值下遭受雷直 击概率的计算公式如下：

$P_{\mathrm{ki}}\left(I\right)=\frac{S_{\mathrm{ki}}\left(I\right)}{S_{\mathrm{ki}}\left(I\right)+S_{\mathrm{ci}}\left(I\right)},P_{\mathrm{ci}}\left(I\right)=\frac{S_{\mathrm{ci}}\left(I\right)}{S_{\mathrm{ki}}\left(I\right)+S_{\mathrm{ci}}\left(I\right)}$

式中：变量I为雷电流幅值；p_ki(I)、p_ci(I)分别为类i中馈线及承力索遭受雷直击 的概率；S_ki(I)、S_ci(I)分别为类i中馈线暴露弧面及承力索暴露弧面在水平面上的 垂直投影面积；S_ki(I)、S_ci(I)是根据建立的三维雷击分析模型计算得到，是关于雷 电流幅值I的函数，与牵引网三维结构参数相关；通过对比不同类牵引网遭受雷 直击的概率即可得到牵引网三维结构参数对其遭受雷直击概率的影响。

如上所述的高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积计算的直击雷分析方法， 其特征在于，所述的高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积计算的直击雷分析方 法，馈线暴露弧面及承力索暴露弧面在水平面上的垂直投影面积S_k(I)、S_c(I)通过 以下公式计算得到：

$S_k\left(I\right)=\left(\begin{array}{c}2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}[y_{k1}\left(x\right)+r_k+B_k]\mathrm{dx},r_d<F_k\\ 2\times [{\int }_0^{x_{k0}}(y_{k1}\left(x\right)-y_{k3}\left(x\right))\mathrm{dx}+{\int }_{x_{k0}}^{\frac{L}{2}}(y_{k1}\left(x\right)+r_k+B_k)\mathrm{dx}],F_k<r_d<H_k\\ 2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}[y_{k1}\left(x\right)-y_{k3}\left(x\right)]\mathrm{dx},r_d>H_k\end{array}\right)$

当r_c＜(B_q－B_c)时：

$S_c\left(I\right)=\left(\begin{array}{c}2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}[r_c+B_c-y_{c1}]\mathrm{dx},r_q<F_c\\ 2\times [{\int }_0^{x_{c0}}(y_{c3}\left(x\right)-y_{c1}\left(x\right))\mathrm{dx}+{\int }_{x_{c0}}^{\frac{L}{2}}(r_c+B_c-y_{c1})\mathrm{dx}],F_c<r_q<H_c\\ 2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}[y_{c3}\left(x\right)-y_{c1}\left(x\right)]\mathrm{dx},r_q>H_c\end{array}\right)$

当r_c＞(B_q－B_c)时：

$S_c\left(I\right)=\{\left(\begin{array}{cc}2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}[r_c+B_c-y_{c1}\left(x\right)]\mathrm{dx}& r_d<F_c\\ 2\times \left[{\int }_0^{x_{C0}^{\prime }}(y_{c3}^{\prime }\left(x\right)-y_{c1}\left(x\right))\mathrm{dx}{\int }_{x_{c0}^{\prime }}^{\frac{L}{2}}(r_c+B_c-y_{c1}\left(x\right))\mathrm{dx}\right]& F_c<r_d<H_c\\ 2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}(y_{c3}^{\prime }\left(x\right)-y_{c1}\left(x\right))\mathrm{dx}& r_d>H_c\end{array}\right)$

式中：S_k(I)、S_c(I)分别为馈线暴露弧面及承力索暴露弧面在水平面上的垂直投影 面积；L为牵引网档距长度；r_k、r_c、r_d、r_q分别为馈线、承力索、大地及高架桥 面在幅值为I的雷电流下的击距；F_k、F_c分别为馈线及承力索弧垂最低点距桥面 的距离；H_k、H_c分别为馈线及承力索支柱处悬挂点距桥面的距离；B_k、B_c分别 为馈线及承力索距支柱所在平面的距离；B_q为高架桥承力索侧护栏距支柱所在平 面的距离；y_k1(x)、y_c1(x)均为馈线及承力索二者暴露弧面交线在水平面上的投影 函数；x_k0、x_c0、x_c0'分别为馈线及承力索相应曲线交点的横坐标；y_k3(x)、y_c3(x)、 y_c3'(x)分别为馈线及承力索相应曲线在水平面上的投影函数。

如上所述的高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积计算的直击雷分析方法， 其特征在于，所述的高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积计算的直击雷分析方 法能够计算处在客观雷电环境中高速铁路遭受雷直击的综合概率，得到牵引网自 身三维结构参数叠加客观雷电环境影响后遭受雷直击的综合概率；其方法是：馈 线及承力索遭受雷直击的综合概率的计算公式如下：

$P_{\mathrm{kij}}={\int }_{I_{\min \mathrm{ij}}}^{I_{\max \mathrm{ij}}}{P}_{\mathrm{ki}}\left(I\right)f_{\mathrm{ij}}\left(I\right)\mathrm{dI},P_{\mathrm{cij}}={\int }_{I_{\min \mathrm{ij}}}^{I_{\max \mathrm{ij}}}{P}_{\mathrm{ci}}\left(I\right)f_{\mathrm{ij}}\left(I\right)\mathrm{dI}$

式中：P_kij、P_cij分别为类i第j个档距馈线及承力索遭受雷直击的综合概率；I_maxij、 I_minij及f_ij(I)分别为类i第j个档距最大、最小雷电流和雷电流幅值累积概率密度 函数；I_maxij、I_minij及f_ij(I)均由雷电参数统计结果确定。

如上所述的高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积计算的直击雷分析方法， 其特征在于，所述的高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积计算的直击雷分析方 法能够计算各档距馈线及承力索年直击雷跳闸率，得到各档距年直击雷跳闸风险 相对高低；其方法是：馈线及承力索年直击雷跳闸率的计算公式如下：

$\left(\begin{array}{c}{N}_{\mathrm{kij}}={10}^{-6}\times L_i\times N_{\mathrm{gij}}\times {\int }_{I_{\mathrm{kij}}}^{I_{\max \mathrm{ij}}}{P}_{\mathrm{ki}}\left(I\right)f_{\mathrm{ij}}\left(I\right)r\left(I\right)\mathrm{dI}\\ N_{\mathrm{cij}}={10}^{-6}\times L_i\times N_{\mathrm{gij}}\times {\int }_{I_{\mathrm{cij}}}^{I_{\max \mathrm{ij}}}{P}_{\mathrm{ci}}\left(I\right)f_{\mathrm{ij}}\left(I\right)r\left(I\right)\mathrm{dI}\end{array}\right)$

式中：N_kij、N_cij分别为类i第j个档距馈线及承力索年直击雷跳闸率；L_i为类i 档距长度；N_gij为类i第j个档距地闪密度；I_kij为类i第j个档距馈线耐雷水平与 最小雷电流二者的最大值；I_cij为类i第j个档距承力索耐雷水平与最小雷电流二 者的最大值；r(I)为雷电流击距半径，为雷电流幅值的函数。

如上所述的高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积计算的直击雷分析方法， 其特征在于，所述的高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积计算的直击雷分析方 法能够计算各类牵引网的平均直击雷综合概率及年平均直击雷跳闸率，其计算公 式如下：

$\left(\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{ki}}=\frac{1}{m_i}\underset{j=1}{\overset{m_i}{\Sigma }}{P}_{\mathrm{kij}},P_{\mathrm{ci}}=\frac{1}{m_i}\underset{j=1}{\overset{m_i}{\Sigma }}{P}_{\mathrm{cij}}\\ N_{\mathrm{ki}}=\frac{1}{m_i}\underset{j=1}{\overset{m_i}{\Sigma }}{N}_{\mathrm{kij}},N_{\mathrm{ci}}=\frac{1}{m_i}\underset{j=1}{\overset{m_i}{\Sigma }}{N}_{\mathrm{cij}}\end{array}\right)$

式中：P_ki、P_ci分别为类i牵引网馈线及承力索的平均直击雷综合概率；N_ki、N_ci分别为类i牵引网馈线及承力索的年平均直击雷跳闸率；m_i为类i中的档距个数。

如上所述的高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积计算的直击雷分析方法， 其特征在于，所述的高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积计算的直击雷分析方 法能够计算高速铁路全线馈线及承力索遭受雷直击的综合概率和年直击雷跳闸 率，其计算公式如下：

$\left(\begin{array}{c}{P}_k=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{m}_i·P_{\mathrm{ki}},P_c=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{m}_i·P_{\mathrm{ci}}\\ N_k=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{m}_i·N_{\mathrm{ki}},N_c=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{m}_i·N_{\mathrm{ci}}\end{array}\right)$

式中：P_k、P_c分别为高速铁路全线馈线及承力索遭受雷直击的综合概率；N_k、N_c分别为高速铁路全线馈线及承力索的年直击雷跳闸率；n为全线牵引网分类个 数。

本发明的有益效果是：本发明充分考虑了高速铁路牵引网三维结构特征参 数，通过导体击距引入不同高度承力索、馈线、桥面及地面对雷电先导不同的引 雷能力，同时与不同幅值大小的雷电流联系起来，建立高速铁路牵引网三维雷击 电气几何分析模型，得到雷击发生时馈线及承力索的三维暴露弧面，结合高速铁 路沿线走廊实际统计所得雷电活动特征参数，对不同类档距直击雷跳闸率进行计 算，该方法不同于只粗略的区分平原地区和山区，取不同的击柱率和击线率来计 算直击雷跳闸率，而是将高速铁路牵引网三维几何结构参数与电气参数结合起 来，充分考虑馈线和承力索的高度、弧垂以及高架桥高度、沿线地闪密度、雷电 流幅值累积概率密度和最大、最小雷电流等对直击雷跳闸率的影响，使得高速铁 路各档距内直击雷跳闸率的计算结果更加准确，且根据牵引网三维雷击电气几何 模型亦可得到雷击线路附近大地时感应雷的受雷宽度，从而进一步完善高速铁路 雷害分析理论。本发明的推广应用，将更加有效的帮助高速铁路运行管理部门掌 握线路各区段真实准确的直击雷防护运行水平，找出高铁防雷运行薄弱区段，制 定更加科学的直击雷防护技术方案，增强高速铁路直击雷防护的针对性和有效 性，从而提高全线的防雷运行水平。

附图说明

图1是本发明高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积计算的直击雷分析方法的 高速铁路基础参数的结构特征及雷电特征划分的方法流程图。

图2是本发明的高速铁路牵引网三维雷击电气几何分析模型。

图3是本发明的牵引网三维暴露弧面直击雷跳闸率计算流程图。

图4是本发明的高速铁路牵引网三维暴露弧面垂直投影面积计算图。

图5是本发明在某一雷电流下馈线及承力索的三维暴露弧面。

具体实施方式

为了更好地理解本发明，下面结合实施例进一步阐明本发明的内容，但本发 明的内容不仅仅局限于下面的实施例。本领域技术人员可以对本发明作各种改动 或修改，这些等价形式同样在本申请所列权利要求书限定范围之内。

下面，结合附图以单线高速铁路为例对本发明的具体实施方式作进一步的说 明。

如图1，本发明提出的高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积计算的直击雷 分析方法主要基于实际运行线路基本结构信息和支柱地理位置信息两大特征数 据，通过基本结构信息统计全线高架桥梁、路基、隧道三种架设方式，将路基归 为高度为零的高架桥梁架设方式，以档距为单位统计除隧道外的各档距长度、高 架桥高度、牵引网电气及几何结构特征参数，其中牵引网电气结构参数包括承力 索和馈线绝缘子串雷电冲击50%放电电压等，几何结构参数包括承力索和馈线距 桥面高度、弧垂及二者的相对位置关系等，将特征参数一致的档距划分为一类， 以此为标准将高速铁路全线档距划分为n类，第i类档距长L_i且包含m_i个档距， 建立高速铁路直击雷害分析结构特征数据库。根据支柱地理位置信息通过雷电定 位系统统计高速铁路沿线走廊地闪密度及雷电流幅值累积概率密度和最大、最小 雷电流，建立高速铁路直击雷害分析雷电参数数据库，并与结构特征数据库中各 类的档距对应。下面，对高速铁路牵引网具体的三维雷击电气几何分析模型作进 一步说明。

根据牵引网几何结构特征参数建立一个档距内的三维雷击电气几何分析模 型，如图2。在支柱所在横截面内，在某一雷电流幅值I下分别以馈线点F和承 力索导线点T为圆心，以馈线击距r_F和承力索击距r_T为半径做圆弧相交于B点， 以大地击距r_g为高做一水平线AM，与以F为圆心的馈线击距圆相交于A点，以 桥面击距r_q为高做一水平线CN，与以T为圆心的承力索击距圆相交于C点，与 桥面承力索侧护栏位置点的击距相交于N点，大地击距水平线AM与承力索侧 护栏位置点的击距相交于P点，PL为承力索侧以大地击距r_g为高的水平线。用 同样的方法，在相同雷电流幅值I下，分别以馈线及承力索上各点为圆心，以相 应的击距为半径做圆，以各点对应的大地击距和桥面击距为高做水平线，直到档 距另一端支柱位置馈线点F'及承力索导线点T'处，相应的交点分别为B'、A'、C'、 N'、P'及承力索侧大地击距水平线P'L'。所有馈线击距圆构成一个馈线击距圆弧 面，所有承力索击距圆构成一个承力索击距圆弧面，各点的大地击距和桥面击距 水平线分别形成大地击距水平面和桥面击距水平面；馈线击距圆弧面与承力索击 距圆弧面相交形成一条弧线馈线击距圆弧面与大地击距水平面相交形成一 条直线AA'，承力索击距圆弧面与桥面击距水平面相交形成一条直线CC'，此外 还形成直线NN'及PP'。

弧面为馈线暴露弧面，雷电击向该弧面则馈线被击中，弧面为承力索暴露弧面，雷电击向该弧面则承力索被击中；若雷电先导头部落入 平面，则击中馈线侧大地，若落入平面，则击中桥面，若落 入平面，则击中承力索侧大地；保护线和接触线均分别位于馈线和承力 索下方，受到馈线及承力索的有效保护而不会被雷直接击中。随着雷电流的增大， 各击距不断增大，桥面暴露平面不断缩小，当缩小为零时桥 面即被有效保护，此时雷要么击中大地，要么击中馈线或承力索。雷击高速铁路 沿线附近地面会在牵引网上产生感应雷过电压，有可能导致绝缘击穿造成感应雷 跳闸危害，本发明模型亦可获得感应雷的危险落雷范围来计算感应雷跳闸率。

根据不同类牵引网几何结构特征参数分别建立其一个档距内的三维雷击电 气几何分析模型，其中类i中馈线暴露弧面及承力索暴露弧面分别用和 表示，结合类i电气参数分别计算不同类牵引网馈线及承力索直击雷耐 雷水平为：

$\left(\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{ki}}=\frac{U_{50\%\mathrm{ki}}}{100(1-k_{\mathrm{ki}})}\\ I_{\mathrm{ci}}=\frac{U_{50\%\mathrm{ci}}}{100(1-k_{\mathrm{ci}})}\end{array}\right)i=1···n---\left(1\right)$

式中：I_ki、I_ci分别为类i馈线及承力索耐雷水平；U_50%ki、U_50%ci分别为类i馈线 悬式绝缘子及承力索腕臂绝缘子雷电冲击50%放电电压；k_ki、k_ci分别为类i馈线 及承力索耦合系数。

在某一幅值为I的雷电流下，类i中一个档距内馈线及承力索分别遭受雷直 击的概率为：

式中：p_ki(I)、p_ci(I)分别为类i馈线及承力索一个档距内遭受幅值为I的雷电流直 击的概率；S_ki(I)、S_ci(I)分别为类i中馈线暴露弧面承力索暴露弧面 在一个档距内水平面上的垂直投影面积。

结合各类中不同档距内统计所得实际雷电流幅值累积概率密度函数及最大、 最小雷电流计算各档距内馈线及承力索在客观雷电环境及自身几何、电气结构参 数综合作用下遭受雷直击的综合概率，将同一类档距中计算所得馈线及承力索遭 受雷直击的综合概率分别进行平均作为该类档距馈线及承力索遭受雷直击的平 均综合概率，不同类各档距内馈线及承力索遭受雷直击的综合概率见式(3)，各 类馈线及承力索的平均直击雷综合概率计算公式见式(4)：

式中：P_kij、P_cij分别为类i第j档距馈线及承力索遭受雷直击的综合概率；P_ki、 P_ci分别为类i馈线及承力索的平均直击雷综合概率；f_ij(I)、I_maxij、I_minij分别为类i 第j档距雷电流幅值累积概率密度函数及最大、最小雷电流；m_i为类i中档距的 个数。

高速铁路全线牵引网馈线及承力索的平均直击雷综合概率为：

式中：P_k、P_c分别为高速铁路牵引网馈线及承力索的平均直击雷综合概率。

雷电流击距半径为雷电流幅值的函数，牵引网类i第j档距一年内对应雷电 流I下的雷击次数为：

$N_{\mathrm{sij}}^{`}\left(I\right)={10}^{-6}\times L_i\times r\left(I\right)\times N_{\mathrm{gji}}\{\left(\begin{array}{c}i=1···n\\ j=1···m_i\end{array}---\left(6\right)\right)$

式中：N_sij`(I)为牵引网类i第j档距一年内对应雷电流I下的雷击次数；r(I)为雷 电流I对应的击距半径(m)；N_gij为牵引网类i第j档距的地闪密度(次/(km²·a))。

取统计所得牵引网类i第j档距最小雷电流I_minij与馈线耐雷水平I_ki二者的最 大值I_kij，取最小雷电流I_minij与承力索耐雷水平I_ci二者的最大值I_cij，即：

$\left(\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{kij}}=\max (I_{\mathrm{ki}},I_{\min \mathrm{ij}})\\ I_{\mathrm{cij}}=\max (I_{\mathrm{ci}},I_{\min \mathrm{ij}})\end{array}\{\left(\begin{array}{c}i=1···n\\ j=···m_i\end{array},---\left(7\right)\right)\right)$

牵引网类i第j档距一年内遭受雷电直击馈线及承力索并发生闪络的直击雷 跳闸率分别为：

式中：N_kij、N_cij分别为牵引网类i第j档距馈线及承力索的年直击雷跳闸率。

牵引网类i中所有档距馈线及承力索遭受雷直击并发生闪络的年总直击雷跳 闸率分别为：

式中：N_ki、N_ci分别为牵引网类i所有档距馈线及承力索的年总直击雷跳闸率。

牵引网类i所有档距馈线及承力索的平均年总直击雷跳闸率为：

式中：N_ki`、N<sub>ci</sub>`分别为牵引网类i所有档距馈线及承力索的平均年总直击雷跳闸 率。

高速铁路全线牵引网馈线及承力索年直击雷跳闸率为：

式中：N_k、N_c分别为高速铁路全线牵引网馈线及承力索年直击雷跳闸率。

高速铁路全线牵引网馈线及承力索平均年直击雷跳闸率为：

综上，高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积直击雷跳闸率计算流程如附图 3。下面，结合附图4及附图5，对一个档距内馈线暴露弧面及承力索暴 露弧面在幅值为I的雷电流下在水平面上的垂直投影面积 的计算加以说明。

高速铁路牵引网馈线及承力索均为等高悬挂点的架空线，其最大弧垂均发生 在档距中央，如图4所示以档距中央纵切面为YOZ平面、以高架桥面为XOY平 面建立右手空间直角坐标系，从而在一个档距内牵引网几何结构关于YOZ平面 对称，在幅值为I的雷电流下馈线及承力索暴露弧面在水平面上的垂直投影面积 即为YOZ正X半空间内馈线及承力索暴露弧面在水平面上垂直投影面积的两倍， 因此只需计算幅值为I的雷电流下在YOZ正X半空间内馈线及承力索暴露弧面 在水平面上的垂直投影面积。馈线及承力索在图4所示空间直角坐标系中的方程 C_k、C_c分别为：

$C_k:\{\left(\begin{array}{c}{z}_k=H_k-\frac{(L^2-{4x}^2)W_k}{L^2}\\ y_k=-B_k\end{array}---\left(13\right)\right)$

$C_c\text{:}\left(\begin{array}{c}{z}_c=H_c-\frac{(L^2-{4x}^2)W_c}{L^2}\\ y_{c=B_c}\end{array}---\left(14\right)\right)$式中：W_k、W_c分别为馈线及承力索弧垂，W_k=H_k－F_k、W_c=H_c－F_c，H_k、H_c分别 为馈线及承力索支柱处悬挂点距桥面XOY平面的距离，为常量；F_k、F_c分别为 馈线及承力索弧垂最低点距桥面XOY平面的距离，为常量；B_k、B_c分别为馈线 及承力索距XOZ平面的距离，为常量；L为两支柱之间的档距，为常量；z_k、z_c分别为馈线及承力索各点距离桥面的垂直高度，为变量。

幅值为I的雷电流下馈线及承力索形成的击距弧柱面如图5，其在图4所示 坐标系中的方程S_k、S_c分别为：

$S_k:{(y_k+B_k)}^2+[z_k-(H_k-\frac{(L^2-{4x}^2)W_k}{L^2}){]}^2=r_k^2---\left(15\right)$

$S_c:{(y_c-B_c)}^2+[z_c\text{-}(H_c-\frac{L^2-{4x}^2}{L^2}){]}^2=r_c^2---\left(16\right)$

大地和高架桥面在幅值为I的雷电流下形成的大地击距水平面和桥面击距水 平面P_d、P_q分别为：

P_d：z_d＝r_d  (17)

P_q：z_q＝r_q  (18)

从而馈线及承力索在幅值为I的雷电流下的暴露弧面B_k、B_c分别为：

$B_k:{(y_k+B_k)}^2+[z_k-(H_k-\frac{(L^2-{4x}^2)W_k}{L^2}){]}^2=r_k^2,z_k\ge r_d,y_k\le y_b---\left(19\right)$

$B_c:{(y_c-B_c)}^2+[(H_c-\frac{(L^2-{4x}^2)W_c}{L^2}){]}^2=r_c^2,z_c\ge r_q,y_c\ge y_b---\left(20\right)$

式(15)～(20)中：r_k、r_c、r_d、r_q分别为馈线、承力索、大地及高架桥面在幅值为I 的雷电流下的击距，均为雷电流幅值I的函数，y_b为馈线击距弧柱面与承力索击 距弧柱面上半曲面相交形成曲线各点的纵坐标。

联立馈线及承力索暴露弧面B_k、B_c方程即可得馈线击距弧柱面与承力索击 距弧柱面相交所形成的曲线C₁：

$C_1:\left(\begin{array}{c}{(y+B_k)}^2+[z-(H_k-\frac{(L^2-{4x}^2)W_k}{L^2}){]}^2=r_k^2\\ {(y-B_c)}^2+[z-(H_c-\frac{(L^2-{4x}^2)W_k}{L^2}){]}^2=r_c^2\end{array}\right)---\left(21\right)$

从方程组(21)中消去变量z即可得馈线及承力索二者暴露弧面交线C₁在XOY 平面上的投影曲线C_t：

$C_t:\left(\begin{array}{c}{(y-B_c)}^2+[F_k-F_c+\sqrt{r_k^2-{(y-B_k)}^2}+\frac{{4x}^2}{L^2}(W_k-W_c)]{]}^2=r_c^2\\ z=0\end{array}\right)--\left(22\right)$

由式(22)可知，当馈线弧垂与承力索弧垂相等，即：W_k=W_c时，该投影为平 行于X轴的一条直线，即：交线C₁上各点的纵坐标y_b在任一特定雷电流幅值大 小下为一定值，交线即为平行于X轴的直线。

平行于XOZ平面且与馈线击距弧柱面外侧相切的平面和馈线击距弧柱面相 交形成的曲线C_k2方程为：

$C_{k2}:\{\left(\begin{array}{c}y=-(r_k+B_k)\\ (y+B_k{)}^2+[z-(H_k-\frac{(L^2-{4x}^2)W_k}{L^2}){]}^2=r_k^2\end{array}\right)---\left(23\right)$

大地击距水平面P_d与馈线击距弧柱面相交形成的曲线C_k3方程为

$C_{k3}:\{\left(\begin{array}{c}z=r_d\\ (y+B_k{)}^2+[z-(H_k-\frac{(L^2-{4x}^2)W_k}{L^2}){]}^2=r_k^2\end{array}\right)---\left(24\right)$

联立式(23)、(24)得方程组：

$\left(\begin{array}{c}z=r_d\\ y=-(r_k+B_k)\\ {(y+B_k)}^2+[z-(H_k-\frac{(L^2-{4x}^2)W_k}{L^2}){]}^2=r_k^2\end{array}\right)---\left(25\right)$

解方程组(25)得曲线C_k2与C_k3交点P_k0(x_k0，y_k0，z_k0)的坐标：

$P_{k0}:(\pm \frac{L}{2}\sqrt{\frac{r_d-F_k}{W_k}},-(r_k+B_k),r_d)---\left(26\right)$

曲线C_k2、C_k3的交点P_k0与大地击距和馈线击距有关，当大地击距小于馈线 弧垂最低点距桥面XOY平面的距离，即r_d＜F_k时，曲线C_k2在曲线C_k3的上方， 二者无交点；当二者相等，即r_d＝F_k时，曲线C_k2与曲线C_k3相切，二者有唯一 交点P_k0(0，－(r_k＋B_k)，r_d)，P_k0即为曲线C_k2的最低点；随着雷电流的增大，大 地击距逐渐增大，当大地击距大于馈线弧垂最低点距桥面XOY平面的距离，即 r_d＞F_k时，曲线C_k2与曲线C_k3相割，二者有两个交点且关于YOZ平面对称，同 时交点P_k0的横坐标x_k0须满足式(27)的约束条件：

$\frac{L}{2}\sqrt{\frac{r_d-F_k}{W_k}}\le \frac{L}{2}---\left(27\right)$

即：(28)

用厚度为dx且与YOZ平面相平行的薄平面去切馈线暴露弧面，该薄平面与 交线C₁相交于点P_k1(x_k1，y_k1，z_k1)，与交线C_k2相交于点P_k2(x_k2，y_k2，z_k2)，与交 线C_k3相交于点P_k3(x_k3，y_k3，z_k3)。薄平面切馈线暴露弧面形成馈线暴露弧面微元 dA_k，dA_k在XOY水平面上的垂直投影面积为dS_k。

(1)当雷电流较小，即r_d＜F_k时，曲线C_k2与C_k3无交点，此时馈线暴露弧面 微元dA_k1在XOY水平面上的垂直投影面积为dS_k1为：

dS_k1＝Prj_XOYdA_k1＝(y_k1-y_k2)dx  (29)

交点P_k1、P_k2分别在曲线C_k1、C_k2上，因此分别满足曲线C_k1、C_k2方程，从 式(21)中消去z得：

${(y_{k1}-B_c)}^2+[F_k-F_c+\sqrt{r_k^2-{(y_{k1}+B_k)}^2}+\frac{{4x}^2}{L^2}(W_k-W_c){]}^2=r_c^2---\left(30\right)$

由式(23)得：

y_k2＝-(r_k+B_k)  (31)

在幅值为I的雷电流下，r_k、r_c均为定值，y_k1为关于x的函数，y_k2为一定值， 当r_d＜F_k时，馈线暴露弧面在XOY水平面上的垂直投影面积S_k1(I)为：

$S_{k1}\left(I\right)=2\times \int d{S}_{k1}=2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}(y_{k1}-y_{k2})\mathrm{dx}=2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}[y_{k1}\left(x\right)+r_k+B_k]\mathrm{dx}---\left(32\right)$

(2)当F_k＜r_d＜H_k时，曲线C_k2与C_k3有两个交点，此时馈线暴露弧面微元 dA_k2在XOY水平面上的垂直投影面积为dS_k2为：

${\mathrm{dS}}_{k2}={\mathrm{Prj}}_{\mathrm{XOY}}{\mathrm{dA}}_{k2}=(y_{k1}-y_{k3})\mathrm{dx}{|}_{x<x_{k0}}+(y_{k1}-y_{k2})\mathrm{dx}{|}_{x>x_{k0}},x_{k0}=\frac{L}{2}\sqrt{\frac{r_d-F_k}{W_k}}---\left(33\right)$

交点P_k3在曲线C_k3上，因此满足曲线C_k3方程，从式(24)中消去z得：

${(y_{k3}+B_k)}^2+[r_d-(H_k-\frac{(L^2-{4x}^2)W_k}{L^2}){]}^2=r_k^2---\left(34\right)$

在幅值为I的雷电流下，r_k、r_d均为定值，y_k3为关于x的函数，当F_k＜r_d＜ H_k时，馈线暴露弧面在XOY水平面上的垂直投影面积S_k2(I)为：

$\left(\begin{array}{c}{S}_{k2}\left(I\right)=2\times \int d{S}_{k2}=2\times [{\int }_0^{x_{k0}}(y_{k1}-y_{k3})\mathrm{dx}+{\int }_{x_{k0}}^{\frac{L}{2}}(y_{k1}-y_{k2})\mathrm{dx}]\\ =2\times [{\int }_0^{x_{k0}}(y_{k1}\left(x\right)-y_{k3}\left(x\right))\mathrm{dx}+{\int }_{x_{k0}}^{\frac{L}{2}}(y_{k1}\left(x\right)+r_k+B_k)\mathrm{dx}]\end{array}\right)---\left(35\right)$

(3)当r_d＞H_k时，曲线C_k2与C_k3在一个档距内无交点，此时馈线暴露弧面 微元dA_k3在XOY水平面上的垂直投影面积为dS_k3为：

dS_k3＝Prj_XOYdA_k3＝(y_k1-y_k3)dx  (36)

馈线暴露弧面在XOY水平面上的垂直投影面积S_k3(I)为：

$S_{k3}\left(I\right)=2\times \int d{S}_{k3}=2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}(y_{k1}-y_{k3})\mathrm{dx}=2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}[y_{k1}\left(x\right)-y_{k3}\left(x\right)]\mathrm{dx}---\left(37\right)$

综上，对馈线暴露弧面AA′B′B在不同雷电流幅值I下在XOY水平面上的垂 直投影面积为：

$S_k\left(I\right)=\left(\begin{array}{c}2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}[y_{k1}\left(x\right)+r_k+B_k]\mathrm{dx},r_d<F_k\\ 2\times [{\int }_0^{x_{k0}}(y_{k1}\left(x\right)-y_{k3}\left(x\right))\mathrm{dx}+{\int }_{x_{k0}}^{\frac{L}{2}}(y_{k1}\left(x\right)+r_k+B_k)\mathrm{dx}],F_k<r_d<H_k\\ 2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}[y_{k1}\left(x\right)-y_{k3}\left(x\right)]\mathrm{dx},r_d>H_k\end{array}\right)---\left(38\right)$

同理，对于承力索，平行于XOZ平面且与承力索击距弧柱面外侧相切的平 面和承力索击距弧柱面相交形成的曲线C_c2方程为：

$C_{c2}:\{\left(\begin{array}{c}y=(r_c+B_c)\\ (y-B_c{)}^2+[z-(H_c-\frac{(L^2-{4x}^2)W_c}{L^2}){]}^2=r_c^2\end{array}\right)---\left(39\right)$

(1)当雷电流较小满足(r_c＋B_c)＜B_q，即r_c＜(B_q－Bc)时，其中B_q为高架桥承 力索侧护栏距XOZ平面的距离，桥面击距水平面P_q与承力索击距弧柱面相交形 成的曲线C_c3方程为：

$C_{c3}:\{\left(\begin{array}{c}z=r_q\\ (y-B_c{)}^2+[z-(H_c-\frac{(L^2-{4x}^2)W_c}{L^2}){]}^2=r_c^2\end{array}\right)---\left(40\right)$

联立式(39)、(40)得方程组：

$\left(\begin{array}{c}z=r_q\\ y=(r_c+B_c)\\ {(y-B_c)}^2+[z-(H_c-\frac{(L^2-{4x}^2)W_c}{L^2}){]}^2=r_c^2\end{array}\right)---\left(41\right)$

解方程组(41)得曲线C_c2与C_c3交点P_c0(x_c0，y_c0，z_c0)的坐标：

$P_{c0}:(\pm \frac{L}{2}\sqrt{\frac{r_q-F_c}{W_c}},(r_c+B_c),r_q)---\left(42\right)$

曲线C_c2、C_c3的交点P_c0与桥面击距和承力索击距有关，当桥面击距小于承 力索弧垂最低点距桥面XOY平面的距离，即r_q＜F_c时，曲线C_c2在曲线C_c3上方， 二者无交点；当二者相等，即r_q＝F_c时，曲线C_c2在曲线C_c3相切，二者有唯一 交点P_c0(0，(r_c＋B_c)，r_q)，P_c0即为曲线C_c2的最低点；随着雷电流的增大，桥面 击距逐渐增大，当桥面击距大于承力索弧垂最低点距桥面XOY平面的距离，即 r_q＞F_c且承力索击距依然满足r_c＜(B_q－B_c)时，曲线C_c2与曲线C_c3相割，二者有 两个交点且关于YOZ平面对称，同时交点P_c0的横坐标x_c0须满足式(43)的约束条 件：

$\frac{L}{2}\sqrt{\frac{r_q-F_c}{W_c}}\le \frac{L}{2}---\left(43\right)$

即：(44)

(2)当雷电流增大，即(r_c＋B_c)＞B_q→r_c＞(B_q－B_c)时，桥面将被承力索完全屏 蔽，此时雷或者击中承力索或者击中承力索侧大地而不会击中高架桥面，大地击 距水平面P_d与承力索击距弧柱面相交形成的曲线C_c3'方程为：

${C_{c3}}^{\prime }:\{\left(\begin{array}{c}z=r_d\\ (y-B_c{)}^2+[z-(H_c-\frac{(L^2-{4x}^2)W_c}{L^2}){]}^2=r_c^2\end{array}\right)---\left(45\right)$

联立式(39)、(45)得方程组：

$\left(\begin{array}{c}z=r_d\\ y=(r_c+B_c)\\ {(y-B_c)}^2+[z-(H_c-\frac{(L^2-{4x}^2)W_c}{L^2}){]}^2=r_c^2\end{array}\right)---\left(46\right)$

解方程组(46)得曲线C_c2与C_c3'交点P_c0'(x_c0'，y_c0'，z_c0')的坐标：

${P_{c0}}^{\prime }:(\pm \frac{L}{2}\sqrt{\frac{r_d-F_c}{W_c}},(r_c+B_c),r_d)---\left(47\right)$

曲线C_c2、C_c3'的交点P_c0'与大地击距和承力索击距有关，当大地击距小于承 力索弧垂最低点距桥面XOY平面的距离，即r_d＜F_c时，曲线C_c2在C_c3'上方，二 者无交点；当二者相等，即r_d＝F_c时，曲线C_c2与C_c3'相切，二者有唯一交点P_c0'(0， (r_c＋B_c)，r_d)，P_c0'即为曲线C_c2的最低点；随着雷电流的增大，大地击距逐渐增 大，当大地击距大于承力索弧垂最低点距桥面XOY平面的距离，即r_d＞F_c且承 力索击距依然满足r_c＞(B_q－B_c)时，曲线C_c2、C_c3'相割，二者有两个交点且关于 YOZ平面对称，同时交点P_c0'的横坐标x_c0'须满足式(48)的约束条件：

$\frac{L}{2}\sqrt{\frac{r_d-F_k}{W_k}}\le \frac{L}{2}---\left(48\right)$

即：(49)

用厚度为dx且与YOZ平面相平行的薄平面去切承力索暴露弧面，该薄平面 与交线C₁相交于点P_c1(x_c1，y_c1，z_c1)，与交线C_c2相交于点P_c2(x_c2，y_c2，z_c2)，与 交线C_c3相交于点P_c3(x_c3，y_c3，z_c3)，与交线C_c3'相交于点P_c3'(x_c3'，y_c3'，z_c3')。薄 平面切承力索暴露弧面形成承力索暴露弧面微元dA_c，dA_c在XOY水平面上的垂 直投影面积为dS_c。

(1)当雷电流较小，即r_c＜(B_q－B_c)且r_q＜F_c时，曲线C_c2、C_c3无交点，此时 承力索暴露弧面微元dA_c1在XOY水平面上的垂直投影面积为dS_c1为：

dS_c1＝Prj_XOYdA_c1＝(y_c2-y_c1)dx  (50)

交点P_c1、P_c2分别在曲线C_c1、C_c2上，因此分别满足曲线C_c1、C_c2方程，从 式(21)中消去z得：

${(y_{c1}-B_c)}^2+[F_k-F_c+\sqrt{r_k^2-{(y_{c1}+B_k)}^2}+\frac{{4x}^2}{L^2}(W_k-W_c){]}^2=r_c^2---\left(51\right)$

由式(39)得：

y_c2＝r_c+B_c  (52)

在幅值为I的雷电流下，r_k、r_c均为定值，y_c1为关于x的函数，y_c2为一定值， 当r_c＜(B_q－B_c)且r_q＜F_c时，承力索暴露弧面在XOY水平面上的垂直投 影面积S_c1(I)为：

$S_{c1}\left(I\right)=2\times \int d{S}_{c1}=2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}(y_{c2}-y_{c1})\mathrm{dx}=2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}[r_c+B_c-y_{c1}]\mathrm{dx}---\left(53\right)$

(2)当r_c＜(B_q－B_c)且F_c＜r_q＜H_c时，曲线C_c2、C_c3有两个交点，此时承力索 暴露弧面微元dA_c2在XOY水平面上的垂直投影面积为dS_c2为：

${\mathrm{dS}}_{c2}={\mathrm{Prj}}_{\mathrm{XOY}}{\mathrm{dA}}_{c2}=(y_{c1}-y_{c3})\mathrm{dx}{|}_{x<x_{c0}}+(y_{c1}-y_{c2})\mathrm{dx}{|}_{x>x_{c0}},x_{c0}=\frac{L}{2}\sqrt{\frac{r_q-F_c}{W_c}}---\left(54\right)$

交点P_c3在曲线C_c3上，因此满足曲线C_c3方程，从式(40)中消去z得：

${(y_{c3}+B_c)}^2+[r_d-(H_k-\frac{(L^2-{4x}^2)W_k}{L^2}){]}^2=r_c^2---\left(55\right)$

在幅值为I的雷电流下，r_c、r_q均为定值，y_c3为关于x的函数，当r_c＜(B_q－ B_c)且F_c＜r_q＜H_c时，承力索暴露弧面在XOY水平面上的垂直投影面积 S_c2(I)为：

$\left(\begin{array}{c}{S}_{c2}\left(I\right)=2\times \int d{S}_{c2}=2\times [{\int }_0^{x_{c0}}(y_{k1}-y_{k3})\mathrm{dx}+{\int }_{x_{c0}}^{\frac{L}{2}}\left(y_{c2}\text{-}{y}_{c1}\right)\mathrm{dx}]\\ =2\times [{\int }_0^{x_{c0}}(y_{c3}\left(x\right)-y_{c1}\left(x\right))\mathrm{dx}+{\int }_{x_{c0}}^{\frac{L}{2}}(r_c+B_c-y_{c1}\left(x\right))\mathrm{dx}]\end{array}\right)---\left(56\right)$

(3)当r_c＜(B_q－B_c)且r_q＞H_c时，曲线C_c2、C_c3在一个档距内无交点，此时 承力索暴露弧面微元dA_c3在XOY水平面上的垂直投影面积为dS_c3为：

dS_c3＝Prj_XOYdA_c3＝(y_c3-y_c1)dx  (57)

承力索暴露弧面在XOY水平面上的垂直投影面积S_c3(I)为：

$S_{c3}\left(I\right)=2\times \int d{S}_{c3}=2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}(y_{c3}-y_{c1})\mathrm{dx}=2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}[y_{c3}\left(x\right)-y_{c1}\left(x\right)]\mathrm{dx}---\left(58\right)$

(4)随着雷电流继续增大，当r_c＞(B_q－B_c)时，高架桥面被承力索完全屏蔽保 护不会受到雷击，此时雷或者击中承力索或者击中承力索侧大地。当r_c＞(B_q－ B_c)且r_d＜F_c时，曲线C_c2、C_c3'无交点，此时承力索暴露弧面微元dA_c1'在XOY水 平面上的垂直投影面积为dS_c1'为：

dS'_c1＝Prj_XOYdA'_c1＝(y_c2-y_c1)dx  (59)

y_c1、y_c2可分别由式(51)、(52)得到，从而当r_c＞(B_q－B_c)且r_d＜F_c时，承力索 暴露弧面在XOY水平面上的垂直投影面积S_c1'(I)为：

$S_{c1}^{\prime }\left(I\right)=2\times \int {\mathrm{dS}}_{c1}^{\prime }=2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}(y_{c2}-y_{c1})\mathrm{dx}=2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}[r_c+B_c-y_{c1}\left(x\right)]\mathrm{dx}---\left(60\right)$

(5)当r_c＞(B_q－B_c)且F_c＜r_d＜H_c时，曲线C_c2、C_c3'有两个交点，此时承力索 暴露弧面微元dA_c2'在XOY水平面上的垂直投影面积为dS_c2'为：

${\mathrm{dS}}_{C2}^{\prime }={\mathrm{Prj}}_{\mathrm{XOY}}{\mathrm{dA}}_{c2}^{\prime }=({y_{c3}^{\prime }}_{}-y_{c1})\mathrm{dx}{|}_{x<x_{c0}^{\prime }}+(y_{c2}-y_{c1})\mathrm{dx}{|}_{x>x_{c0}^{\prime }},x_{c0}^{\prime }=\frac{L}{2}\sqrt{\frac{r_d-F_c}{W_c}}---\left(61\right)$

交点P_c3'在曲线C_c3'上，因此满足曲线C_c3'方程，从式(45)中消去z得：

${(y_{c3}^{\prime }-B_c)}^2+[r_d-(H_c-\frac{(L^2-{4x}^2)W_c}{L^2}){]}^2=r_c^2---\left(62\right)$

在幅值为I的雷电流下，r_c、r_d均为定值，y_c3'为关于x的函数，当r_c＞(B_q－ B_c)且F_c＜r_d＜H_c时，承力索暴露弧面在XOY水平面上的垂直投影面积 S_c2'(I)为：

$\left(\begin{array}{c}{S}_{c2}^{\prime }\left(I\right)=2\times \int d{S}_{c2}^{\prime }=2\times [{\int }_0^{x_{c0}^{\prime }}(y_{c3}^{\prime }-y_{c1})\mathrm{dx}+{\int }_{x_{c0}^{\prime }}^{\frac{L}{2}}\left(y_{c2}\text{-}{y}_{c1}\right)\mathrm{dx}]\\ =2\times [{\int }_0^{x_{c0}^{\prime }}(y_{c3}^{\prime }\left(x\right)-y_{c1}\left(x\right))\mathrm{dx}+{\int }_{x_{c0}^{\prime }}^{\frac{L}{2}}(r_c+B_c-y_{c1}\left(x\right))\mathrm{dx}]\end{array}\right)---\left(63\right)$

(6)当r_c＞(B_q－B_c)且r_d＞H_c时，曲线C_c2、C_c3在一个档距内无交点，此时 承力索暴露弧面微元dA_c3'在XOY水平面上的垂直投影面积为dS_c3'为：

${\mathrm{dS}}_{c3}^{\prime }={\mathrm{Prj}}_{\mathrm{XOY}}{\mathrm{dA}}_{c3}^{\prime }=(y_{c3}^{\prime }-y_{c1})\mathrm{dx}---\left(64\right)$

承力索暴露弧面在XOY水平面上的垂直投影面积S_c3'(I)为：

$S_{c3}^{\prime }\left(I\right)=2\times \int d{S}_{c3}^{\prime }=2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}(y_{c3}^{\prime }-y_{c1})\mathrm{dx}=2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}(y_{c3}^{\prime }\left(x\right)-y_{c1}\left(x\right))\mathrm{dx}--\left(65\right)$

综上，对承力索暴露弧面在不同雷电流幅值I下在XOY水平面上的 垂直投影面积为：

当r_c＜(B_q－B_c)时：

$S_c\left(I\right)=\left(\begin{array}{c}2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}[r_c+B_c-y_{c1}]\mathrm{dx},r_q<F_c\\ 2\times [{\int }_0^{x_{c0}}(y_{c3}\left(x\right)-y_{c1}\left(x\right))\mathrm{dx}+{\int }_{x_{c0}}^{\frac{L}{2}}(r_c+B_c-y_{c1})\mathrm{dx}],F_c<r_q<H_c\\ 2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}[y_{c3}\left(x\right)-y_{c1}\left(x\right)]\mathrm{dx},r_q>H_c\end{array}\right)---\left(66\right)$

当r_c＞(B_q－B_c)时：

$S_c\left(I\right)=\{\left(\begin{array}{cc}2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}[r_c+B_c-y_{c1}\left(x\right)]\mathrm{dx}& r_d<F_c\\ 2\times \left[{\int }_0^{x_{C0}^{\prime }}(y_{c3}^{\prime }\left(x\right)-y_{c1}\left(x\right))\mathrm{dx}{\int }_{x_{c0}^{\prime }}^{\frac{L}{2}}(r_c+B_c-y_{c1}\left(x\right))\mathrm{dx}\right]& F_c<r_d<H_c\\ 2\times {\int }_0^{\frac{L}{2}}(y_{c3}^{\prime }\left(x\right)-y_{c1}\left(x\right))\mathrm{dx}& r_d>H_c\end{array}\right)---\left(67\right)$

通过式(38)即可得馈线暴露弧面在幅值为I的雷电流下在水平面上 的垂直投影面积通过式(66)及(67)即可得承力索暴露弧面 在幅值为I的雷电流下在水平面上的垂直投影面积然 后根据附图3所示高速铁路牵引网三维暴露弧面投影面积直击雷跳闸率计算流 程即可得馈线及承力索的直击雷跳闸率。