基于Abbe矢量成像模型的光源-掩模-偏振态联合优化方法

摘要

本发明涉及一种基于Abbe矢量成像模型的光源-掩模-偏振态交替优化方法，本方法设置光源图形像素值、掩模中开口部分以及阻光部分的透射率和偏振态电矢量方向角，设置变量矩阵Ω

说明书

技术领域

本发明涉及一种基于Abbe(阿贝)矢量成像模型的光源-掩模-偏振态优化 方法，属于光刻分辨率增强技术领域。

背景技术

当前的大规模集成电路普遍采用光刻系统进行制造。光刻系统主要包括： 照明系统(包括光源和聚光镜)、掩模、投影系统及晶片四部分。光源发出的光 线经过聚光镜聚焦后入射至掩模，掩模的开口部分透光；经过掩模后，光线经 由投影系统入射至涂有光刻胶的晶片上，这样掩模图形就复制在晶片上。

目前主流的光刻系统是193nm的ArF深紫外光刻系统，随着光刻技术节点进 入45nm-22nm，电路的关键尺寸已经远远小于光源的波长。因此光的干涉和衍射 现象更加显著，导致光刻成像产生扭曲和模糊。为此光刻系统必须采用分辨率 增强技术，用以提高成像质量。光源-掩模-偏振态联合优化(source mask  polarization optimization，简称SMPO)是一种重要的光刻分辨率增强技术。 SMPO利用光源、掩模及偏振态之间的相互作用，通过改变光源强度、光源电矢 量方向角和掩模拓扑结构，达到提高光刻成像质量的目的。较之传统的分辨率 增强技术，如光源-掩模联合优化(source mask optimization，简称SMO)等， SMPO在SMO中引入偏振态变量，增大了优化自由度，从而能够更为有效的提高光 刻系统的成像质量。光源-掩模-偏振态交替优化(sequential source mask  polarization optimization，简称SESMPO)方法和光源-掩模-偏振态同步优化 (simul taneous source mask polarization optimization，简称SISMPO)方 法是两种实现SMPO的重要方法。SESMPO方法遵循：光源掩模同时优化-偏振态单 独优化-光源掩模同时优化......的顺序，交替的对光源、掩模和偏振态进行优化。 其特点是在每一次优化迭代中，保持光源和掩模像素值不变更新偏振态方向角， 或保持偏振态方向角不变更新光源和掩模像素值。而SISMPO方法在优化过程中 同时对光源、掩模和偏振态参数进行优化。

另一方面，为了进一步提高光刻系统成像分辨率，目前业界普遍采用浸没 式光刻系统。浸没式光刻系统为在投影物镜最后一个透镜的下表面与晶片之间 添加了折射率大于1的液体，从而达到扩大数值孔径(numerical aperture，简 称NA)，提高成像分辨率的目的。由于浸没式光刻系统具有高NA(NA＞1)的特性， 而当NA＞0.6时，电磁场的矢量成像特性对光刻成像的影响已经不能被忽视，因 此对于浸没式光刻系统其标量成像模型已经不再适用。为了满足浸没式光刻系 统的仿真精度要求，必须在SMPO技术中采用矢量成像模型。

相关文献(J.Micro/Nanolith.MEMS MOEMS，2011，10(3)：033003)针 对部分相干成像系统，提出了一种SMPO优化方法。但是以上方法具有以下三方 面不足：第一、此方法基于光刻系统的标量成像模型，因此不适用于高NA的光 刻系统。第二、上述方法基于非解析的离散优化过程，在迭代过程中不断调整 光源强度、偏振态分布和掩模拓扑结构参数来寻求较优的参数组合，因此很难 获得全局最优解。第三、上述方法在每一次优化迭代中需调用Prolith专业仿真 软件，计算当前的成像质量评价函数，从而降低了优化算法的运算效率。现有 方法的上述缺陷影响了SMPO的优化效果和运算效率。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于Abbe(阿贝)矢量成像模型的光源-掩模-偏 振态联合优化方法，该方法采用基于矢量模型的SESMPO技术对光源强度、偏振 态分布和掩模拓扑结构进行优化，可同时适用于具有高NA的浸没式光刻系统以 及具有低NA的干式光刻系统。

实现本发明的技术方案如下：

一种基于Abbe(阿贝)矢量成像模型的光源-掩模-偏振态联合优化方法， 具体步骤为：

步骤101、将光源初始化为大小为N_S×N_S的光源图形J，将掩模图形M初始 化为大小为N×N的目标图形将初始偏振态分布表示为大小为N_S×N_S的电矢 量方向角矩阵Φ，令Φ(x_s，y_s)表示光源图形上各像素点(x_s，y_s)的偏振态对应的电矢 量方向角，其中N_S和N为整数；

步骤102、设置光源图形J上发光区域的像素值为1，不发光区域的像素值 为0；设定N_S×N_S的变量矩阵Ω_S：当J(x_s，y_s)＝1时，当J(x_s，y_s)＝0时， 其中J(x_s，y_s)表示光源图形上各像素点(x_s，y_s)的像素值；设置掩模 图形M上开口部分的透射率为1，阻光区域的透射率为0；设定N×N的变量矩 阵Ω_M：当M(x，y)＝1时，当M(x，y)＝0时，其中M(x，y) 表示掩模图形上各像素点(x，y)的透射率；今二值掩模图形M_b的初始值为M；设 置矩阵Φ中各像素点的像素值为对应点光源初始偏振态的电矢量方向角度值；

步骤103、将目标函数D构造为目标图形与当前光源图形和掩模图形对应 的光刻胶中成像之间的欧拉距离的平方，即其中 为目标图形各像素点的像素值，Z(x，y)表示利用Abbe矢量成像模型计算 当前光源图形、掩模图形和电矢量方向角矩阵对应的光刻胶中成像各像素点的 像素值；

步骤104、分别计算目标函数D对于变量矩阵Ω_S的梯度矩阵和对于 变量矩阵Ω_M的梯度矩阵将光源图形上各像素点的像素值之和J_sum近似 为给定常数，得到梯度矩阵的近似值分别利用最陡速降法更新 变量矩阵Ω_S和Ω_M，将Ω_S更新为将Ω_M更新为其中和为预先设定的光源和掩模优化步长，获取对应当前Ω_S的光源图形 J，获取对应当前Ω_M的掩模图形M， 更新对应当前M的二值掩模图形M_b，

步骤105、计算当前光源图形J、二值掩模图形M_b和电矢量方向角矩阵Φ对 应的目标函数D的值；当该值小于预定阈值或者更新变量矩阵Ω_S和Ω_M的次数达 到预定上限值K_SMO时，进入步骤106，否则返回步骤104；

步骤106、利用正向优化算法更新电矢量方向角矩阵Φ；

步骤107、计算当前光源图形J、二值掩模图形M_b和电矢量方向角矩阵Φ对 应的目标函数D的值；当该值小于预定阈值或者当执行步骤106的次数达到预 定上限值K_PO时，进入步骤108，否则返回步骤104；

步骤108、将当前光源图形J中所有小于某阈值t_s的像素值置零，同时将上、 下、左、右四个方向像素值均为零的孤立像素点的像素值置零；

步骤109、对当前偏振态电矢量方向角矩阵Φ进行后处理；

步骤110、终止优化，并将当前光源图形J、二值掩模图形M_b和电矢量方向 角矩阵Φ确定为经过优化后的光源图形、掩模图形和偏振态分布对应的电矢量方 向角矩阵。

本发明所述步骤103中利用Abbe矢量成像模型计算当前光源图形、掩模图 形和电矢量方向角矩阵对应的光刻胶中成像的具体步骤为：

步骤201、将掩模图形M栅格化为N×N个子区域；

步骤202、将光源图形J栅格化为N_S×N_S个子区域；

步骤203、将偏振态方向角矩阵Φ栅格化为N_S×N_S个子区域；

步骤204、针对单个点光源(x_s，y_s)，获取该点光源照明时对应晶片位置上的 空间像I(x_s，y_s)；

步骤205、判断是否已经计算出所有点光源对应晶片位置上的空间像，若是， 则进入步骤206，否则返回步骤204；

步骤206、根据Abbe方法，对各点光源对应晶片位置上的空间像I(x_s，y_s)进 行叠加，获取部分相干光源照明时，晶片位置上的空间像I；

步骤207、基于光刻胶近似模型，根据空间像I计算光源图形、掩模图形和 电矢量方向角矩阵对应的光刻胶中的成像。

本发明所述步骤204中针对单个点光源(x_s，y_s)，获取该点光源照明时对应晶 片位置上的空间像I(x_s，y_s)的具体过程为：

设定光轴的方向为z轴方向，并依据左手坐标系原则建立全局坐标系；

步骤301、根据点光源坐标(x_s，y_s)，计算点光源发出的光波在掩模上N×N个 子区域的近场分布E；其中，E为N×N的矢量矩阵，其每个元素均为3×1的矢量， 表示全局坐标系中掩模的衍射近场分布的3个分量；

步骤302、根据近场分布E获取光波在投影系统入瞳后方的电场分布 其中，为N×N的矢量矩阵，其每个元素均为3×1的矢量，表 示全局坐标系中入瞳后方的电场分布的3个分量；

步骤303、设光波在投影系统中传播方向近似与光轴平行，进一步根据入瞳 后方的电场分布获取投影系统出瞳前方的电场分布其中，出 瞳前方的电场分布为N×N的矢量矩阵，其每个元素均为3×1的矢量， 表示全局坐标系中出瞳前方的电场分布的3个分量；

步骤304、根据投影系统出瞳前方的电场分布获取投影系统出瞳 后方的电场分布

步骤305、利用沃尔夫Wolf光学成像理论，根据出瞳后方的电场分布 获取晶片上的电场分布E^wafer，并根据E^wafer获取点光源对应晶片位置上 空间像I(x_s，y_s)。

本发明所述步骤106中利用正向优化算法更新变量矩阵Φ的具体步骤为：

步骤401、将在[0，π]中连续变化的电矢量方向角矩阵Φ离散化为只含N_p种 的角度，取$N_p=4(0,\pm \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$或$N_p=8(0,\pm \frac{\pi }{8},\pm \frac{\pi }{4},\pm \frac{3\pi }{8},\frac{\pi }{2});$

步骤402、计算当前光源图形J、二值掩模图形M_b和电矢量方向角矩阵Φ对 应的目标函数D的值D_pre；计算目标函数D对于变量矩阵Φ的梯度矩阵

步骤403、在梯度矩阵中寻找绝对值最大的像素点及其对应的电矢量 方向角Φ(x_m，y_m)，将当前Φ(x_m，y_m)值记为Φ′(x_m，y_m)；

步骤404、如果对应于Φ(x_m，y_m)的梯度值更新Φ(x_m，y_m)为 如果对应于Φ(x_m，y_m)的梯度值更新Φ(x_m，y_m)为 如果Φ(x_m，y_m)＞π则设置Φ(x_m，y_m)＝Φ(x_m，y_m)-π；如果Φ(x_m，y_m)＜0则 设置Φ(x_m，y_m)＝Φ(x_m，y_m)+π；

步骤405、将梯度值置零；

步骤406、计算当前光源图形J、二值掩模图形M_b和电矢量方向角矩阵对应 的目标函数D的值D_post；如果D_post＞D_pre，则将更新后的值复原为 Φ(x_m，y_m)＝Φ′(x_m，y_m)，否则设置D_pre＝D_post并进入步骤407；

步骤407、判断梯度矩阵中是否所有像素值均为零，若是，则进入步 骤408，否则返回步骤403；

步骤408、判断迭代过程中是否有电矢量方向角被更新，若是，则返回步骤 402，否则进入步骤409；

步骤409、终止优化，并将当前电矢量方向角矩阵Φ确定为经过优化后的偏 振态分布对应的电矢量方向角。

本发明所述步骤109中对偏振态电矢量方向角矩阵Φ进行后处理的具体步 骤为：

步骤501、在偏振态电矢量方向角矩阵Φ中寻找孤立像素点Φ(x₀，y₀)，孤立 像素点定义为像素值与其4-相邻像素值(Φ(x₀-1，y₀)，Φ(x₀+1，y₀)，Φ(x₀，y₀-1)和 Φ(x₀，y₀+1))均不同的像素点；

步骤502、将Φ(x₀，y₀)的值分别设置为它的4-相邻像素值 (Φ(x₀-1，y₀)，Φ(x₀+1，y₀)，Φ(x₀，y₀-1)和Φ(x₀，y₀+1))，并计算对应的目标函数D的 值，选取使目标函数D的值变化最小的相邻像素值，今其代替孤立像素点 Φ(x₀，y₀)的像素值；

步骤503、判断偏振态电矢量方向角矩阵Φ中是否有像素值改变，若是，则 进入步骤501，否则结束后处理过程。

本发明的有益效果：

较之传统的SMO方法，本发明涉及的SESMPO方法利用光源、掩模和偏振态 之间的相互作用，在光源-掩模联合优化过程中引入偏振态变量，提高了优化自 由度，从而能够更为有效的提高光刻系统的成像质量。较之SISMPO方法，本发 明涉及的SESMPO方法能够通过对光源、掩模和偏振态的交替优化，有效降低优 化算法陷入局部最优解的概率，从而能够得到更接近全局最优解的优化结果， 并更为有效的提高光刻系统的成像质量。

其次，本发明利用Abbe矢量成像模型描述光刻系统的成像过程，考虑了电 磁场的矢量特性，优化后的光源图形、掩模图形和偏振态电矢量方向角不但适 用于小NA的情况，也适用于NA＞0.6的情况，可以满足45nm及以下技术节点的 光刻仿真精度要求。

最后，本发明利用优化目标函数的梯度信息，结合最陡速降法和正向优化 算法对光源图形、掩模图形和偏振态电矢量方向角进行优化，优化效率高。

附图说明

图1为本发明基于Abbe矢量成像模型的SESMPO方法的流程图；

图2为本发明利用正向优化算法更新变量矩阵Φ的流程图；

图3为光源发出光波经掩模、投影系统后在晶片位置上形成空间像示意图。

具体实施方式

下面结合附图进一步对本发明进行详细说明。

本发明的原理：当光线通过掩模在光刻胶中成像与目标图形相同或近似时， 则光刻系统中印制在晶片上的图形具有很高的成像质量。因此本发明将SESMPO 的优化目标函数D构造为目标图形与光源、掩模和偏振态电矢量方向角所对应 的光刻胶中成像之间的欧拉距离的平方；如目标图形的大小为N×N，则 为目标图形中各点的像素值，Z(x，y)为光源、 掩模和偏振态电矢量方向角所对应的光刻胶中成像的像素值，Z(x，y)与的 值均为0或1。

如图1所示，本发明基于Abbe矢量成像模型的SESMPO方法，具体步骤为：

步骤101、将光源初始化为大小为N_S×N_S的光源图形J，将掩模图形M初始 化为大小为N×N的目标图形将初始偏振态分布表示为大小为N_S×N_S的电矢 量方向角矩阵Φ，今Φ(x_s，y_s)表示光源图形上各像素点(x_s，y_s)的偏振态对应的电矢 量方向角，其中N_S和N为整数；

步骤102、设置光源图形J上发光区域的像素值为1，不发光区域的像素值 为0；设定N_S×N_S的变量矩阵Ω_S：当J(x_s，y_s)＝1时，当J(x_s，y_s)＝0时， 其中J(x_s，y_s)表示光源图形上各像素点(x_s，y_s)的像素值；设置掩模 图形M上开口部分的透射率为1，阻光区域的透射率为0；设定N×N的变量矩 阵Ω_M：当M(x，y)＝1时，当M(x，y)＝0时，其中M(x，y) 表示掩模图形上各像素点(x，y)的透射率；今二值掩模图形M_b的初始值为M；设 置Φ各像素点的像素值为对应点光源初始偏振态的电矢量方向角度值；

步骤103、将目标函数D构造为目标图形与当前光源图形和掩模图形对应 的光刻胶中成像之间的欧拉距离的平方，即其中 为目标图形各像素点的像素值，Z(x，y)表示利用Abbe矢量成像模型计算 当前光源图形、掩模图形和电矢量方向角矩阵对应的光刻胶中成像各像素点的 像素值；

本发明利用Abbe矢量成像模型计算当前光源图形和掩模图形所对应的光刻 胶中成像的具体步骤为：

变量预定义

如图3所示，设定光轴的方向为z轴方向，并依据左手坐标系原则以z轴 建立全局坐标系(x，y，z)；设部分相干光源面上任一点光源的全局坐标为 (x_s，y_s，z_s)，由该点光源发出并入射至掩模的平面波的方向余弦为(α_s，β_s，γ_s)，则全 局坐标与方向余弦之间的关系为：

${\alpha }_s=x_s·{\mathrm{NA}}_m,{\beta }_s=y_s·{\mathrm{NA}}_m,{\gamma }_s=\cos \left[{\sin }^{-1}({\mathrm{NA}}_m·\sqrt{x_s^2+y_s^2})\right]$

其中，NA_m为投影系统物方数值孔径。

设掩模上任一点的全局坐标为(x，y，z)，基于衍射原理，从掩模入射至投影系 统入瞳的平面波的方向余弦为(α，β，γ)，其中(α，β，γ)是掩模(物面)上全局坐标 系(x，y，z)进行傅里叶变换后的坐标系。

设晶片(像面)上任一点的全局坐标为(x_w，y_w，z_w)，从投影系统出瞳入射至 像面的平面波的方向余弦为(α′，β′，γ′)，其中(α′，β′，γ′)是晶片(像面)上全局坐标 系(x_w，y_w，z_w)进行傅里叶变换后的坐标系。

全局坐标系与局部坐标系之间的转换关系：

建立局部坐标系(e_⊥，e_||)，e_⊥轴为光源发出光线中TE偏振光的振动方向， e_||轴为光源发出光线中TM偏振光的振动方向。波矢量为由波矢 量和光轴构成的平面称为入射面，TM偏振光的振动方向在入射面内，TE偏 振光的振动方向垂直于入射面。则全局坐标系与局部坐标系的转换关系为：

$\left(\begin{array}{c}{E}_x\\ E_y\\ E_z\end{array}\right)=T·\left(\begin{array}{c}{E}_{\perp }\\ E_{\left|\right|}\end{array}\right)$

其中，E_x、E_y和E_z分别是光源发出光波电场在全局坐标系中的分量，E_⊥和E_||是光源发出光波电场在局部坐标系中的分量，转换矩阵T为：

$T=\left(\begin{array}{cc}-\frac{\beta }{\rho }& -\frac{\mathrm{\alpha \gamma }}{\rho }\\ \frac{\alpha }{\rho }& -\frac{\mathrm{\beta \gamma }}{\rho }\\ 0& \rho \end{array}\right)$

其中，$\rho =\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}.$

获取掩模对应的光刻胶中成像的方法的具体步骤为：

步骤201、将掩模图形M栅格化为N×N个子区域；

步骤202、将光源图形J栅格化为N_S×N_S个子区域；

步骤203、将偏振态方向角矩阵Φ栅格化为N_S×N_S个子区域；

步骤204、针对单个点光源(x_s，y_s)，获取该点光源照明时对应晶片位置上的 空间像I(x_s，y_s)；

步骤205、判断是否已经计算出所有点光源对应晶片位置上的空间像，若是， 则进入步骤206，否则返回步骤204；

步骤206、根据阿贝(Abbe)方法，对各点光源对应晶片位置上的空间像 I(x_s，y_s)进行叠加，获取部分相干光源照明时，晶片位置上的空间像I；

步骤207、基于光刻胶近似模型，根据空间像I计算光源图形、掩模图形和 电矢量方向角矩阵对应的光刻胶中的成像。

下面对步骤203中利用针对单个点光源(x_s，y_s)获取该点光源照明时对应晶片 位置上的空间像I(x_s，y_s)的过程进行进一步详细说明：

步骤301、如图3中2301所示，针对单个点光源(x_s，y_s)，计算点光源发出的 光波在掩模上N×N个子区域的近场分布E。

其中，E为N×N的矢量矩阵(若一个矩阵的所有元素均为矩阵或向量，则称其 为矢量矩阵)，该矢量矩阵中的每个元素均为一个3×1的矢量，表示全局坐标系 中掩模的衍射近场分布的3个分量。⊙表示两个矩阵对应元素相乘。是一N×N 的矢量矩阵，每个元素均等于代表点光源发出光波的电场在全局坐标系中 的电场矢量；如设部分相干光源上一点光源发出光波的电场在局部坐标系中表 示为

${\overrightarrow{E}}_i=\left(\begin{array}{c}{E}_{\perp }\\ E_{\left|\right|}\end{array}\right)$

则该电场在全局坐标系中表示为：

${{\overrightarrow{E}}_i}^{\prime }=T·{\overrightarrow{E}}_i=\left(\begin{array}{c}\cos {\phi }^{x_s{y}_s}\\ \sin {\phi }^{x_s{y}_s}\end{array}\right)$

其中表示对应于光源图形上各像素点(x_s，y_s)的偏振态电矢量方向角。

掩模的衍射矩阵B是一N×N的标量矩阵，标量矩阵中每个元素均为标量， 根据Hopkins(霍普金斯)近似，B的每个元素可表示为：

$\left(\begin{array}{c}B(m,n)=\exp \left(\frac{j2\pi {\beta }_{s}x}{\lambda }\right)\exp \left(\frac{j2\pi {\alpha }_{s}y}{\lambda }\right)\\ =\exp \left(\frac{j2\pi {\mathrm{my}}_s{NA}_m\times \mathrm{pixel}}{\lambda }\right)\exp \left(\frac{{j2\mathrm{\pi nx}}_s{\mathrm{NA}}_m\times \mathrm{pixel}}{\lambda }\right),m,n=\mathrm{1,2},...,N\end{array}\right)$

其中，pixel表示掩模图形上各子区域的边长。

步骤302、如图3中2302所示，根据近场分布E获取光波在投影系统入瞳 后方的电场分布

本步骤的具体过程为：

由于掩模上的每一子区域可以看成一个二次子光源，将子区域的中心作为 该子区域的坐标，根据傅立叶光学理论，可以将投影系统入瞳前方的电场分布 表示为α和β的函数：

$E_l^{\mathrm{ent}}(\alpha ,\beta )=\frac{\gamma }{\mathrm{j\lambda }}\frac{e^{-\mathrm{jkr}}}{r}F\left\{E\right\}---\left(2\right)$

其中，由于掩模上存在N×N个子区域，因此入瞳前方的电场分布为N×N 的矢量矩阵，该矢量矩阵中的每个元素均为一3×1的矢量，表示全局坐标系中入 瞳前方的电场分布的3个分量。F{}表示傅立叶变换，r为入瞳半径，为 波数，λ为点光源发出光波的波长，n_m为物方介质折射率。

由于投影系统的缩小倍率较大，一般为4倍，此时物方的数值孔径较小， 导致入瞳前方电场分布的轴向分量可以忽略不计，因此投影系统入瞳前 方和入瞳后方的电场分布相同，即

$E_b^{\mathrm{ent}}(\alpha ,\beta )=E_l^{\mathrm{ent}}(\alpha ,\beta )=\frac{\gamma }{\mathrm{j\lambda }}\frac{e^{-\mathrm{jkr}}}{r}F\left\{E\right\}---\left(3\right)$

其中，由于掩模上存在N×N个子区域，因此入瞳后方的电场分布为N×N 的矢量矩阵，该矩阵中的每个元素均为一3×1的矢量，表示全局坐标系中入瞳后 方的电场分布的3个分量。

步骤303、如图3中2303所示，设光波在投影系统中传播方向近似与光轴 平行，进一步根据入瞳后方的电场分布获取投影系统出瞳前方的电场分 布

本步骤的具体过程为：

对于无像差的理想投影系统，入瞳后方与出瞳前方电场分布的映射过程可 以表示为一个低通滤波函数和一个修正因子乘积的形式，即：

其中，出瞳前方的电场分布为N×N的矢量矩阵，该矢量矩阵中的每个 元素均为一3×1的矢量，表示全局坐标系中出瞳前方的电场分布的3个分量；c为 常数修正因子，低通滤波函数U为N×N的标量矩阵，表示投影系统的数值孔径 对衍射频谱的有限接收能力，即在光瞳内部的值为1，光瞳外部的值为0，具体 表示如下：

$U=\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{f^2+g^2}\le 1\\ 0& \mathrm{elsewhere}\end{array}\right),$

其中，(f，g)为入瞳上归一化的全局坐标。

常数修正因子c可表示为：

$c=\frac{r}{r^{\prime }}\sqrt{\frac{{\gamma }^{\prime }}{\gamma }}\frac{n_w}{R}$

其中，r和r′分别为投影系统入瞳和出瞳半径，n_w为光刻系统像方浸没液体的折 射率，R为理想投影系统的缩小倍率，一般为4。

由于光波在投影系统入瞳和出瞳之间的传播方向近似平行于光轴，因此对 于任意的(α′，β′)，入瞳后方与出瞳前方之间的相位差相同。由于最终要求解空间 像(即光强分布)因此入瞳后方与出瞳前方之间的常数相位差可以忽略不计。 由此可得到出瞳前方的电场分布为：

步骤304、如图3中2304所示，根据投影系统出瞳前方的电场分布获取投影系统出瞳后方的电场分布

根据电磁场的TM分量在出瞳前方与后方之间的旋转效应，设全局坐标系中， 出瞳前、后方的电场表示为：N×N的矢量矩阵和和的每个元素如下：

$E_l^{\mathrm{ext}}({\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime },m,n)={[E_{\mathrm{lx}}^{\mathrm{ext}}({\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime },m,n);E_{\mathrm{ly}}^{\mathrm{ext}}({\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime },m,n);E_{\mathrm{lz}}^{\mathrm{ext}}({\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime },m,n)]}^T$

$E_b^{\mathrm{ext}}({\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime },m,n)={[E_{\mathrm{bx}}^{\mathrm{ext}}({\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime },m,n);E_{\mathrm{by}}^{\mathrm{ext}}({\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime },m,n);E_{\mathrm{bz}}^{\mathrm{ext}}({\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime },m,n)]}^T$

其中，m，n＝1，2，...，N，α′＝cosφ′sinθ′，β′＝sinφ′sinθ′，γ′＝cosθ′，即投影系统出瞳 入射至像面的平面波的方向余弦(波矢量)为φ′和θ′分别是波矢 量的方位角与仰角，则和的关系式为：

其中，V是一个N×N的矢量矩阵，每个元素均为一个3×3的矩阵：

$\left(\begin{array}{c}V(m,n)=\left(\begin{array}{ccc}{\cos \phi }^{\prime }& -{\sin \phi }^{\prime }& 0\\ {\sin \phi }^{\prime }& {\cos \phi }^{\prime }& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)·\left(\begin{array}{ccc}{\cos \theta }^{\prime }& 0& {\sin \theta }^{\prime }\\ 0& 0& 1\\ -{\sin \theta }^{\prime }& 0& {\cos \theta }^{\prime }\end{array}\right)·\left(\begin{array}{ccc}{\cos \phi }^{\prime }& {\sin \phi }^{\prime }& 0\\ -{\sin \phi }^{\prime }& {\cos \phi }^{\prime }& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}{\cos }^2{\phi }^{\prime }\cos {\theta }^{\prime }+{\sin }^2{\phi }^{\prime }& \cos {\phi }^{\prime }\sin {\phi }^{\prime }({\cos \theta }^{\prime }-1)& \cos {\phi }^{\prime }{\sin \theta }^{\prime }\\ \cos {\phi }^{\prime }\sin {\phi }^{\prime }(\cos {\theta }^{\prime }-1)& {\sin }^2{\phi }^{\prime }{\cos \phi }^{\prime }+{\cos }^2{\phi }^{\prime }& \sin {\phi }^{\prime }{\sin \theta }^{\prime }\\ -{\cos \phi }^{\prime }{\sin \theta }^{\prime }& -\sin {\phi }^{\prime }{\sin \theta }^{\prime }& \cos {\theta }^{\prime }\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}\frac{{\beta }^{\prime 2}+{\alpha }^{\prime 2}{\gamma }^{\prime }}{1-{\gamma }^{\prime 2}}& -\frac{{\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }}{1+{\gamma }^{\prime }}& {\alpha }^{\prime }\\ -\frac{{\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }}{1+{\gamma }^{\prime }}& \frac{{\alpha }^{\prime 2}+{\beta }^{\prime 2}{\gamma }^{\prime }}{1-{\gamma }^{\prime 2}}& {\beta }^{\prime }\\ -{\alpha }^{\prime }& -{\beta }^{\prime }& {\gamma }^{\prime }\end{array}\right),m,n=\mathrm{1,2},...,N\end{array}\right)$

步骤305、如图3中2305所示，利用Wolf的光学成像理论，根据出瞳后方 的电场分布获取晶片上的电场分布E^wafer如公式(7)，并进一步获取点 光源对应晶片位置上的空间像I(x_s，y_s)。

$E^{\mathrm{wafer}}=\frac{2\pi {\mathrm{\lambda r}}^{\prime }}{{\mathrm{jn}}_w^2}{e}^{{\mathrm{jk}}^{\prime }{r}^{\prime }}{F}^{-1}\left\{\frac{1}{{\gamma }^{\prime }}{E}_b^{\mathrm{ext}}\right\}---\left(7\right)$

其中，F^-1{}为逆傅立叶变换。把(5)和(6)式代入(7)式中，并 忽略常数相位项，可得：

将(1)式代入到(8)式中，可以得到点光源(x_s，y_s)照明时像面的光强分布， 即：

由于E_i′中元素值与掩模坐标无关，所以上式可以写成：

其中，表示卷积，为N×N的矢量矩阵，每一个元素均为3×1的 矢量(v_x′，v_y′，v_z′)^T。则E^wafer(x_s，y_s)在全局坐标系中的三个分量为

其中，p＝x，y，z，其中V_p′为N×N的标量矩阵，是由矢量矩阵V′ 各元素的p分量所组成。点光源(x_s，y_s)对应晶片位置上的空间像为

其中，表示对矩阵取模并求平方。其中H_p和B均为(x_s，y_s)的函数，分别记为 知因此上式可记为：

上式得到的是点光源照明下对应的空间像分布，则步骤205中部分相干光源照明 下对应的空间像可以表示为

其中$J_{\mathrm{sum}}=\underset{x_s}{\Sigma }\underset{y_s}{\Sigma }J(x_s,y_s).$

步骤208、基于相关文献(Trans.Image Process.，2007，16：774-788) 提供的光刻胶近似模型，通过采用s igmoid函数近似描述光刻胶效应：

$\mathrm{sigmoid}\left(I\right)=\frac{1}{1+\exp [-a(I-t_r)]}$

其中，a表示光刻胶近似模型的斜率，t_r表示光刻胶近似模型的阈值；

根据空间像I计算光源图形和掩模图形对应的光刻胶中的成像为：

$Z=\frac{1}{1+\exp [-a(I-t_r)]}---\left(12\right)$

步骤104、分别计算目标函数D对于变量矩阵Ω_S的梯度矩阵和对于 变量矩阵Ω_M的梯度矩阵将光源图形上各像素点的像素值之和J_sum近似 为给定常数，得到梯度矩阵的近似值

梯度矩阵和分别为目标函数D对变量矩阵Ω_S和Ω_M中每一元 素进行求偏导数获得；虽然J_sum是J(x_s，y_s)的函数，但本发明将其近似为常数。这 种近似可以降低梯度矩阵的计算复杂度。梯度矩阵中的各个元素 可近似的计算为：

其中，1_N×1为N×1的全1向量。梯度矩阵可计算为：

其中，^*表示取共轭运算；^o表示将矩阵在横向和纵向上均旋转180度。

本发明可以采用以下两种算法加速技术，提高SESMPO优化速率，降低优化 的复杂度。第一种方法为电场强度缓存技术(electric field caching  technique，简称EFCT)。由(13)和(14)式可知，为了计算目标函数梯度矩 阵和我们首先需要计算和Z。而为了计算Z，我们也 需要首先计算因此在计算和的过程中，我们只对 进行一次计算，并对其计算结果进行重复利用，从而计算出Z和 的值。第二种方法为快速傅里叶变换(fast Fourier transform，简称 FFT)技术。由(13)和(14)式可知，每次计算时，我们均需计算由(10)式可知，的计算过程中包含有卷积运算。利用FFT运算代替 卷积运算，我们可将(10)式变形为：

其中，V_p′为(x_s，y_s)的函数，因此将其记为

另外，由于(14)式包含了大量的卷积运算，因此计算的过程具有较 高的复杂度。为了降低计算复杂度，我们用FFT运算代替卷积运算，从而将(14) 式变形为：

其中，C是一个N×N的标量矩阵，每个元素为：

$C(m,n)=\exp \left[j2\pi (\frac{m}{N}+\frac{n}{N})\right],m,n=\mathrm{1,2},...,N$

利用最陡速降法分别更新变量矩阵Ω_S和Ω_M，更新更 新和分别为预先设定的光源和掩模优化步长。进 一步获取对应当前Ω_S的光源图形J，以及对应当前Ω_M的掩模图形M，在SESMPO优化过程中，J(x_s，y_s)的取 值范围为J(x_s，y_s)∈[0，1]，Ω_S(x_s，y_s)的取值范围为Ω_S(x_s，y_s)∈[-∞，+∞]；M(x，y)的取值 范围为M(x，y)∈[0，1]，Ω_M(x，y)的取值范围为Ω_M(x，y)∈[-∞，+∞]。更新对应当前M的 二值掩模图形MX，一般情况下t_m＝0.5。

步骤105、计算当前光源图形J、二值掩模图形M_b和电矢量方向角矩阵Φ对 应的目标函数D的值；当该值小于预定阈值或者更新变量矩阵Ω_S和Ω_M的次数达 到预定上限值K_SMO时，进入步骤106，否则返回步骤104；

步骤106、利用正向优化算法更新变量矩阵Φ；

本发明利用正向优化算法更新变量矩阵Φ的具体步骤为：

步骤401、将在[0，π]中连续变化的电矢量方向角矩阵Φ离散化为只含N_p种 特定的角度，通常取$N_p=4(0,\pm \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$或$N_p=8(0,\pm \frac{\pi }{8},\pm \frac{\pi }{4},\pm \frac{3\pi }{8},\frac{\pi }{2});$

步骤402、计算当前光源图形J、二值掩模图形M_b和电矢量方向角矩阵Φ对 应的目标函数D的值D_pre；计算目标函数D对于变量矩阵Φ的梯度矩阵

梯度矩阵为目标函数D对变量矩阵Φ中每一元素进行求偏导数获 得。

本发明中，梯度矩阵可计算为：

其中为每个元素对变量矩阵Φ中对应元素求偏导数所得到的矩阵， 知分别表示变量矩阵的实部和虚部，梯度矩阵和 分别为目标函数D对变量矩阵和的梯度矩阵。

本发明中，梯度矩阵知分别计算为：

步骤403、在梯度矩阵中寻找绝对值最大的像素点及其对应的电矢量 方向角Φ(x_m，y_m)；将当前Φ(x_m，y_m)值即为Φ′(x_m，y_m)；

步骤404、如果对应于Φ(x_m，y_m)的梯度值更新Φ(x_m，y_m)为 如果对应于Φ(x_m，y_m)的梯度值更新Φ(x_m，y_m)为 如果Φ(x_m，y_m)＞π则设置Φ(x_m，y_m)＝Φ(x_m，y_m)-π；如果Φ(x_m，y_m)＜0则 设置Φ(x_m，y_m)＝Φ(x_m，y_m)+π；

步骤405、将梯度值置零；

步骤406、计算当前光源图形J、二值掩模图形M_b和电矢量方向角矩阵对应 的目标函数D的值D_post；如果D_post＞D_pre，则将更新后的值复原为 Φ(x_m，y_m)＝Φ′(x_m，y_m)，否则设置D_pre＝D_post并进入步骤407；

步骤407、判断梯度矩阵中是否所有像素值均为零，若是，则进入步 骤408，否则返回步骤403；

步骤408、判断迭代过程中是否有电矢量方向角被更新，若是，则返回步骤 402，否则进入步骤409；

步骤409、终止优化，并将当前电矢量方向角矩阵Φ确定为经过优化后的偏 振态分布对应的电矢量方向角。

步骤107、计算当前光源图形J、二值掩模图形M_b和电矢量方向角矩阵Φ对 应的目标函数D的值；当该值小于预定阈值或者当执行步骤106的次数达到预 定上限值K_PO时，进入步骤108，否则返回步骤104；

步骤108、将当前光源图形J中所有小于某阈值t_s的像素值置零，同时将上， 下、左、右四个方向像素值均为零的孤立像素点的像素值置零；

步骤109、对当前偏振态电矢量方向角矩阵Φ进行后处理；

本发明对偏振态电矢量方向角矩阵Φ进行后处理的具体步骤为：

步骤501、在偏振态电矢量方向角矩阵Φ中寻找孤立像素点Φ(x₀，y₀)，孤立 像素点定义为像素值与其4-相邻像素值(Φ(x₀-1，y₀)，Φ(x₀+1，y₀)，Φ(x₀，y₀-1)和 Φ(x₀，y₀+1))均不同的像素点；

步骤502、将Φ(x₀，y₀)的值分别设置为它的4-相邻像素值 (Φ(x₀-1，y₀)，Φ(x₀+1，y₀)，Φ(x₀，y₀-1)和Φ(x₀，y₀+1))，并计算对应的目标函数D的 值，选取使目标函数D的值变化最小的相邻像素值，今其代替孤立像素点 Φ(x₀，y₀)的像素值；

步骤503、判断偏振态电矢量方向角矩阵Φ中是否有像素值改变，若是，则 进入步骤501，否则结束后处理过程。

步骤110、终止优化，并将当前光源图形J、二值掩模图形M_b和电矢量方向 角矩阵Φ确定为经过优化后的光源图形、掩模图形和偏振态分布对应的电矢量方 向角矩阵。

虽然结合了附图描述了本发明的具体实施方式，但是对于本领域技术人员 来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干变形、替换和改进，这 些也应视为属于本发明的保护范围。