一种预测平流层气球的变形形状与囊布应力的新方法

摘要

一种预测平流层气球的变形形状与囊布应力的新方法，该方法有五大步骤：步骤一、根据气球整体的受力平衡方程，建立囊布的经向应力和纬向应力与变形形状函数之间的关系；步骤二、建立描述变形形状的几何模型，给出变形形状函数的具体表达式；步骤三、建立气球系统的总势能函数；步骤四、根据最小势能原理，求解变形形状函数表达式中的待定参数；步骤五、将已经确定的待定参数代入变形形状函数表达式中，即确定气球的变形形状，进而确定囊布的经向应力和纬向应力。本发明简单实用，仅仅需要将气球的囊布材料参数、气球未受荷载时的几何参数、内部气体参数和荷载代入到模型中，就很容易得到平流层中气球的变形形状与囊布应力。

说明书

技术领域

本发明提供一种预测平流层气球的变形形状与囊布应力的新方法，属于力学分析与设计 技术领域。

背景技术

气球是一种低成本、高效率的航空器，其主要升力来自于自身的浮力，因此，只需携带很 少燃料就可以执行飞行任务，运输陈本低廉，具有非常广阔的应用前景。预测气球的力学性 能和失效机制成为近年来研究的热点之一。精确的评估气球的变形形状和囊布应力对于在设 计阶段非常重要，目前，工程人员主要通过试验、数值模拟和解析方法来解决这个问题。通 过缩比模型或真实尺寸的气球飞行试验，虽然可以测得其变形形状和囊布应力，但是飞行试 验成本相对较高且周期长，尤其需要指出的是在其设计阶段就需要变形形状和囊布应力这些 数据，而后面的飞行试验只是相当于对设计方法进行的验证和修正；数值模拟方法需要建立 复杂的有限元模型，计算复杂，计算效率低，不方便工程师们应用；而目前还比较缺乏用于 评估气球的变形形状和囊布应力方面的解析方法，因此，本发明提出了一种预测平流层气球 的变形形状与囊布应力的新方法，该方法非常简单实用，仅仅需要将气球的囊布材料参数、 气球未受荷载时的几何参数、内部气体参数和荷载代入到模型中，就可以很容易得到气球的 变形形状与囊布应力，可见本发明具有重要学术意义和工程应用价值。

发明内容

本发明提供了一种预测平流层气球的变形形状与囊布应力的新方法，该方法具有计算简 便，精度高等优点，其技术方案如下：

本发明一种预测平流层气球的变形形状与囊布应力的新方法，该方法具体步骤如下：

步骤一、根据气球整体的受力平衡方程，建立囊布的经向应力和纬向应力与变形形状函 数之间的关系。

当气球承受荷载时，其形状类似水滴型（如图1所示），在图1中，圆形虚线表示未承受 荷载时垂直横截面的原始形状，水滴形实线表示承受荷载时垂直横截面的形状。气球承受荷 载还会导致出现褶皱（如图2所示），在图2中，外部虚线表示未承受荷载时水平横截面的原 始形状，内部实线表示承受荷载时水平横截面的形状，内部虚线表示承受荷载时简化为圆形 的水平横截面的形状。承受荷载时气球的形状可以用平面内的曲线绕对称轴形成的旋转体来 描述（如图3所示），垂直横截面形状可通过旋转半径r₂来确定，旋转半径r₂是关于x的函数：

r₂=f(x)    (1)

r₂就是描述气球承受荷载时描述垂直横面形状的形状函数（旋转体的母线），对于描述 不受荷载的气球的形状的母线就是半圆周。

图4和图5分别给出了气球囊布所承受的两个方向的薄膜应力和下半球的受力情况示意 图。通过对图5所示的下半球建立沿重力方向的受力平衡方程可得

式中，r₃为无荷载气球的水平横截面轴对称曲线绕x轴的旋转半径，N₁为囊布的经向应力，为形状函数r₂上任意一点的法线与x轴之间的夹角，△p为气球的内外压差，G为气球所承受 荷载的重力。

由式（2）可得

图6给出了气球轴对称的垂直横截面受力情况示意图，同样可建立沿圆周方向的受力平 衡方程：

$2{\int }_0^H{N}_2\sqrt{1+{r_2}^{\prime 2}}\mathrm{dx}=2{\int }_0^H\mathrm{\Delta p}{r}_2\mathrm{dx}---\left(4\right)$

式中，H为气球受荷载时的高度，N₂为囊布的纬向应力。

由式（4）可得

$N_2=\frac{\mathrm{\Delta p}{r}_2}{\sqrt{1+{r_2}^{\prime 2}}}---\left(5\right)$

由于气球受载前后的母线长度不变，可得

${\int }_0^x\sqrt{1+{r_2}^{\prime 2}}\mathrm{dx}=R_0\arcsin \frac{r_3}{R_0}---\left(6\right)$

${\int }_0^H\sqrt{1+{r_2}^{\prime 2}}\mathrm{dx}=\pi R_0---\left(7\right)$

式中，R₀为不受荷载时气球的半径，N₂为囊布的纬向应力。

通过几何方法可得

由式(3)、式(5)和式(8)可知，气球囊布的经向应力N₁和纬向应力N₂大小取决于压 差△p和旋转半径r₂，如果△p和r₂能够确定，则N₁和N₂也可确定。

步骤二、建立描述变形形状的几何模型，给出变形形状函数的具体表达式。

图7给了出气球受荷载和不受荷载时描述其轴对称的垂直横截面形状的几何模型示意 图。由图7可知，不受荷载时，气球为圆形，其半径为R₀、质心为C₀；当受荷载时，为球锥 形，即相切的球形和圆锥形的组成，因此，气球受荷载时垂直横截面的形状函数可以表示为

$\left(\begin{array}{c}{(x-a)}^2+r_2^2=a^2\\ r_2=c(x-H)\end{array}\right)---\left(9\right)$

式中，a为形状函数中球形部分的半径，c为形状函数中圆锥形部分的斜率。

将式(9)代入(7)中可得

$\mathrm{\pi a}-a\arccos \frac{a}{H-a}+\sqrt{H^2-2\mathrm{aH}}=\pi R_0---\left(10\right)$

求解(9)可得

$x=\frac{a+c^{2}H\pm \sqrt{{(a+c^{2}H)}^2-c^2{H}^2(1+c^2)}}{c^2+1}---\left(11\right)$

式（11）的解是描述垂直型横截面形状的函数在A点的横坐标x_A，即形状函数中球形曲 线与圆锥形曲线的切点，由此可得

$x_A=\frac{a+c^{2}H}{c^2+1}---\left(12\right)$

由将式(11)和(12)可得

(a+c²H)²-c²H²(1+c²)=0

或者

$a=\mathrm{cH}(\sqrt{1+c^2}-c)---\left(13\right)$

将式(13)代入式(9)中可以得到在A点处的旋转半径为

$r_{2A}=\pm \frac{\sqrt{c^{4}H(2a-H)+a^2(1+2c^2)}}{1+c^2}---\left(14\right)$

将式(13)代入式(10)中可以得

$H=\frac{\pi R_0}{\mathrm{\pi c}(\sqrt{1+c^2}-c)-c(\sqrt{1+c^2}-c)\arccos \frac{c(\sqrt{1+c^2}-c)}{1-c(\sqrt{1+c^2}-c)}+\sqrt{1-2c(\sqrt{1+c^2}-c)}}---\left(15\right)$

联立式（12）式、（13）和式（15），可知，x_A、a和H是关于唯一待定参数c的函数。

根据气球、内部气体和荷载组成的系统在重力方向的平衡方程可得

m=Vρ-(m₀+m_G)    (16)

式中，V为气球受荷载时的体积，ρ为空气密度，m₀为气球囊布的总质量，m_G为 荷载的质量，且g为重力加速度。

按照式（9）描述气球受荷载时垂直横截面的形状函数，可得气球此时的体积为

$V=\frac{1}{3}\pi (a{x}_A^2-H{x}_A^2+2\mathrm{aH}{x}_A)---\left(17\right)$

步骤三、建立气球系统的总势能函数。

气球受荷载时的质心坐标为

$x_c=\frac{-4x_A^4+(10a+2H)x_A^3-(4a+H)H{x}_A^2+2a{H}^2{x}_A}{4(a{x}_A^2-H{x}_A^2+2\mathrm{aH}{x}_A)}---\left(18\right)$

由图7可知，气球不受荷载时的质心为

x_c0=R₀    (19)

由式(18)和式(19)可得到气球加载前后质心的位移为

$\mathrm{\Delta h}=x_c-x_{c0}=\frac{-4x_A^4+(10a+2H)x_A^3-(4a+H)H{x}_A^2+2a{H}^2{x}_A}{4({\mathrm{ax}}_A^2-H{x}_A^2+2\mathrm{aH}{x}_A)}-R_0---\left(20\right)$

气球系统的势能为

E=(m+m₀)g·△h+m_Gg(H-2R₀)    (21)

式中，g为重力加速度。

将式(16)代入式(21)可得

E=(Vρ-m_G)g·△h+m_Gg(H-2R₀)    (22)

气球内部气体的压力可表示为

$p_1=\frac{m{R}_{\mathrm{mix}}T}{V}---\left(23\right)$

式中，R_mix为内部气体的气体常数，T为内部气体的温度。

气球内外压差分别可表示为

$\mathrm{\Delta p}=p_1-p_2=\frac{m{R}_{\mathrm{mix}}T}{V}-p_2---\left(24\right)$

式中，p₂为空气的压力。

气球受荷载时，体积由V₀变化到V的内部气体的势能为

$W=\mathrm{\Delta p}·V·\ln \frac{V}{V_0}=\mathrm{\Delta p}·V(\ln V-\ln V_0)---\left(25\right)$

令气球不受荷载的内部气体体积为在地面自由状态的体积，可由式（23）得到

$V_0=\frac{m{R}_{\mathrm{mix}}{T}_0}{p_0}---\left(26\right)$

式中，T₀和p₀分别尾地面空气的温度和压力。

将式(24)和式(26)代入式(25)中可得

$W=(m{R}_{\mathrm{mix}}T-p_{2}V)[\ln V-\ln \left(\frac{m{R}_{\mathrm{mix}}{T}_0}{p_0}\right)]---\left(27\right)$

由式(22)到式(27)，可得气球系统的总势能为

$\Pi =E-W=(\mathrm{V\rho }-m_G)\mathrm{g\Delta h}+m_{G}g·(H-2R_0)-(m{R}_{\mathrm{mix}}T-p_{2}V)[\ln V-\ln \left(\frac{m{R}_{\mathrm{mix}}{T}_0}{p_0}\right)]---\left(28\right)$

由前面的分析可知，气球系统的总势能∏是关于唯一待定参数c的函数。

步骤四、根据最小势能原理，求解变形形状函数表达式中的待定参数。

待定参数c能使气球系统的总势能∏最小，通过数值方法可很容易求得满足该条件的c。 当c一定，利用式(13)和式(15)即可确定H和a。

步骤五、将已经确定的待定参数代入变形形状函数表达式中，即可确定气球的变形形状， 进而可以确定囊布的经向应力和纬向应力。

利用式(3)、式(5)至式(9)即可确定气球的变形形状和囊布的应力。将平流层的大气参数以 及气球未受荷载时的几何参数、内部气体参数和荷载代入到模型中，即可预测平流层的气球 的变形形状和囊布的应力。

本发明一种预测平流层气球的变形形状与囊布应力的新方法，其特点是非常简单实用， 仅仅需要将气球的囊布材料参数、气球未受荷载时的几何参数、内部气体参数和荷载代入到 模型中，就可以很容易得到平流层中气球的变形形状与囊布应力。

附图说明

图1为气球承受荷载时垂直横截面的几何形状示意图。

图2为气球承受荷载时带褶皱的水平横截面的几何形状示意图。

图3为描述气球水平横截面的几何形状的函数。

图4为气球囊布两个方向的应力。

图5为气球下半球受力图。

图6为气球轴对称的垂直横截面受力情况示意图。

图7为气球承受荷载的几何模型示意图。

图8为是本发明所述方法的流程框图。

图中符号说明如下：

图1中的△p为气球的内外压差，G为气球所承受荷载的重力。

图2中的r₂为气球承受荷载时用于描述垂直横截面形状的旋转半径，即用于描述垂直横 截面的形状函数，r₃为气球未受荷载时用于描述垂直横截面形状的旋转半径。

图3中的r₂为气球承受荷载时用于描述垂直横截面形状的旋转半径，即用于描述垂直横 截面的形状函数，r₃为气球未受荷载时用于描述垂直横截面形状的旋转半径，r₁为气球承受 荷载时形状函数上任意一点的曲率半径，H为气球受荷载时的高度，为形状函数r₂上任意 一点的法线与x轴之间的夹角。

图4中的N₁为囊布的经向应力，N₂为囊布的纬向应力。

图7中的a为形状函数中球形部分的半径，R₀为气球不受荷载时的半径，C₀为气球不受 荷载时的质心，C为气球承受荷载时的质心，x_c为气球受荷载时的质心坐标，△h为气球加载 前后质心的位移，α为圆锥角。

具体实施方式

图8为本发明所述方法的流程框图，本发明分五步实现，具体为：

步骤一、根据气球整体的受力平衡方程，建立囊布的经向应力和纬向应力与变形形状函 数之间的关系。

当气球承受荷载时，其形状类似水滴型（如图1所示），在图1中，圆形虚线表示未承受 荷载时垂直横截面的原始形状，水滴形实线表示承受荷载时垂直横截面的形状。气球承受荷 载还会导致出现褶皱（如图2所示），在图2中，外部虚线表示未承受荷载时水平横截面的原 始形状，内部实线表示承受荷载时水平横截面的形状，内部虚线表示承受荷载时简化为圆形 的水平横截面的形状。承受荷载时气球的形状可以用平面内的曲线绕对称轴形成的旋转体来 描述（如图3所示），垂直横截面形状可通过旋转半径r₂来确定，旋转半径r₂是关于x的函数：

r₂=f(x)    (1)

r₂就是描述气球承受荷载时描述垂直横面形状的形状函数（旋转体的母线），对于描述 不受荷载的气球的形状的母线就是半圆周。

图4和图5分别给出了气球囊布所承受的两个方向的薄膜应力和下半球的受力情况示意 图。通过对图5所示的下半球建立沿重力方向的受力平衡方程可得

式中，r₃为无荷载气球的水平横截面轴对称曲线绕x轴的旋转半径，N₁为囊布的经向应力，为形状函数r₂上任意一点的法线与x轴之间的夹角，△p为气球的内外压差，G为气球所承受 荷载的重力。

由式（2）可得

图6给出了气球轴对称的垂直横截面受力情况示意图，同样可建立沿圆周方向的受力平 衡方程：

$2{\int }_0^H{N}_2\sqrt{1+{r_2}^{\prime 2}}\mathrm{dx}=2{\int }_0^H\mathrm{\Delta p}{r}_2\mathrm{dx}---\left(4\right)$

式中，H为气球受荷载时的高度，N₂为囊布的纬向应力。

由式（4）可得

$N_2=\frac{\mathrm{\Delta p}{r}_2}{\sqrt{1+{r_2}^{\prime 2}}}---\left(5\right)$

由于气球受载前后的母线长度不变，可得

${\int }_0^x\sqrt{1+{r_2}^{\prime 2}}\mathrm{dx}=R_0\arcsin \frac{r_3}{R_0}---\left(6\right)$

${\int }_0^H\sqrt{1+{r_2}^{\prime 2}}\mathrm{dx}=\pi R_0---\left(7\right)$

式中，R₀为不受荷载时气球的半径，N₂为囊布的纬向应力。

通过几何方法可得

由式(3)、式(5)和式(8)可知，气球囊布的经向应力N₁和纬向应力N₂大小取决于压 差△p和旋转半径r₂，如果△p和r₂能够确定，则N₁和N₂也可确定。

步骤二、建立描述变形形状的几何模型，给出变形形状函数的具体表达式。

图7给了出气球受荷载和不受荷载时描述其轴对称的垂直横截面形状的几何模型示意 图。由图7可知，不受荷载时，气球为圆形，其半径为R₀、质心为C₀；当受荷载时，为球锥 形，即相切的球形和圆锥形的组成，因此，气球受荷载时垂直横截面的形状函数可以表示为

$\left(\begin{array}{c}{(x-a)}^2+r_2^2=a^2\\ r_2=c(x-H)\end{array}\right)---\left(9\right)$

式中，a为形状函数中球形部分的半径，c为形状函数中圆锥形部分的斜率。

将式(9)代入(7)中可得

$\mathrm{\pi a}-a\arccos \frac{a}{H-a}+\sqrt{H^2-2\mathrm{aH}}=\pi R_0---\left(10\right)$

求解(9)可得

$x=\frac{a+c^{2}H\pm \sqrt{{(a+c^{2}H)}^2-c^2{H}^2(1+c^2)}}{c^2+1}---\left(11\right)$

式（11）的解是描述垂直型横截面形状的函数在A点的横坐标x_A，即形状函数中球形曲 线与圆锥形曲线的切点，由此可得

$x_A=\frac{a+c^{2}H}{c^2+1}---\left(12\right)$

由将式(11)和(12)可得

(a+c²H)²-c²H²(1+c²)=0

或者

$a=\mathrm{cH}(\sqrt{1+c^2}-c)---\left(13\right)$

将式(13)代入式(9)中可以得到在A点处的旋转半径为

$r_{2A}=\pm \frac{\sqrt{c^{4}H(2a-H)+a^2(1+2c^2)}}{1+c^2}---\left(14\right)$

将式(13)代入式(10)中可以得

$H=\frac{\pi R_0}{\mathrm{\pi c}(\sqrt{1+c^2}-c)-c(\sqrt{1+c^2}-c)\arccos \frac{c(\sqrt{1+c^2}-c)}{1-c(\sqrt{1+c^2}-c)}+\sqrt{1-2c(\sqrt{1+c^2}-c)}}---\left(15\right)$

联立式（12）式、（13）和式（15），可知，x_A、a和H是关于唯一待定参数c的函数。

根据气球、内部气体和荷载组成的系统在重力方向的平衡方程可得

m=Vρ-(m₀+m_G)    (16)

式中，V为气球受荷载时的体积，ρ为空气密度，m₀为气球囊布的总质量，m_G为 荷载的质量，且g为重力加速度。

按照式（9）描述气球受荷载时垂直横截面的形状函数，可得气球此时的体积为

$V=\frac{1}{3}\pi (a{x}_A^2-H{x}_A^2+2\mathrm{aH}{x}_A)---\left(17\right)$

步骤三、建立气球系统的总势能函数。

气球受荷载时的质心坐标为

$x_c=\frac{-4x_A^4+(10a+2H)x_A^3-(4a+H)H{x}_A^2+2a{H}^2{x}_A}{4(a{x}_A^2-H{x}_A^2+2\mathrm{aH}{x}_A)}---\left(18\right)$

由图7可知，气球不受荷载时的质心为

x_c0=R₀    (19)

由式(18)和式(19)可得到气球加载前后质心的位移为

$\mathrm{\Delta h}=x_c-x_{c0}=\frac{-4x_A^4+(10a+2H)x_A^3-(4a+H)H{x}_A^2+2a{H}^2{x}_A}{4({\mathrm{ax}}_A^2-H{x}_A^2+2\mathrm{aH}{x}_A)}-R_0---\left(20\right)$

气球系统的势能为

E=(m+m₀)g·△h+m_Gg(H-2R₀)    (21)

式中，g为重力加速度。

将式(16)代入式(21)可得

E=(Vρ-m_G)g·△h+m_Gg(H-2R₀)    (22)

气球内部气体的压力可表示为

$p_1=\frac{m{R}_{\mathrm{mix}}T}{V}---\left(23\right)$

式中，R_mix为内部气体的气体常数，T为内部气体的温度。

气球内外压差分别可表示为

$\mathrm{\Delta p}=p_1-p_2=\frac{m{R}_{\mathrm{mix}}T}{V}-p_2---\left(24\right)$

式中，p₂为空气的压力。

气球受荷载时，体积由V₀变化到V的内部气体的势能为

$W=\mathrm{\Delta p}·V·\ln \frac{V}{V_0}=\mathrm{\Delta p}·V(\ln V-\ln V_0)---\left(25\right)$

令气球不受荷载的内部气体体积为在地面自由状态的体积，可由式（23）得到

$V_0=\frac{m{R}_{\mathrm{mix}}{T}_0}{p_0}---\left(26\right)$

式中，T₀和p₀分别尾地面空气的温度和压力。

将式(24)和式(26)代入式(25)中可得

$W=(m{R}_{\mathrm{mix}}T-p_{2}V)[\ln V-\ln \left(\frac{m{R}_{\mathrm{mix}}{T}_0}{p_0}\right)]---\left(27\right)$

由式(22)到式(27)，可得气球系统的总势能为

$\Pi =E-W=(\mathrm{V\rho }-m_G)\mathrm{g\Delta h}+m_{G}g·(H-2R_0)-(m{R}_{\mathrm{mix}}T-p_{2}V)[\ln V-\ln \left(\frac{m{R}_{\mathrm{mix}}{T}_0}{p_0}\right)]---\left(28\right)$

由前面的分析可知，气球系统的总势能∏是关于唯一待定参数c的函数。

步骤四、根据最小势能原理，求解变形形状函数表达式中的待定参数。

待定参数c能使气球系统的总势能∏最小，通过数值方法可很容易求得满足该条件的c。 当c一定，利用式(13)和式(15)即可确定H和a。

步骤五、将已经确定的待定参数代入变形形状函数表达式中，即可确定气球的变形形状， 进而可以确定囊布的经向应力和纬向应力。

利用式(3)、式(5)至式(9)即可确定气球的变形形状和囊布的应力。将平流层的大气参数以 及气球未受荷载时的几何参数、内部气体参数和荷载代入到模型中，即可预测平流层气球的 变形形状和囊布的应力。