一种具有输入饱和的近空间飞行器鲁棒控制方法

摘要

本发明公开了一种具有输入饱和的近空间飞行器鲁棒控制方法。该控制方法对近空间飞行器姿态运动系统中的慢回路和快回路分别进行了控制器设计。对于慢回路系统，采用自适应法处理系统中的复合干扰，基于动态滑模方法进行控制器设计，进而解决控制器的抖振问题；对于快回路系统，考虑到外部干扰的数量级远远大于系统不确定项的数量级，利用非线性干扰观测器技术对复合干扰进行处理，基于双幂次趋近律的普通滑模方法进行控制器设计，同时利用径向基神经网络构造一种补偿器对所设计的控制器进行饱和补偿，进而解决飞行器舵面饱和受限的问题。

说明书

技术领域

本发明属于飞行控制技术领域，具体地说，是一种具有输入饱和的近空间飞 行器鲁棒控制方法。

背景技术

近空间飞行器(Near Space Vehicle,NSV)是指运行在近空间(通常指距地面 20-100千米的空域)范围内的飞行器，位于近空间之下的空域为传统航空器运行 空间，位于其上的空域为航天器运行空间。鉴于近空间区域的独特地理位置和潜 在价值，NSV的研究得到了世界各国的广泛关注。由于NSV飞行范围广且容易受 到剧烈外干扰的影响，所以很有必要对其设计出具有强鲁棒性的飞行控制器。同 时，NSV舵面偏转角不可能无限的增加，即舵面存在饱和受限问题。若在控制器 设计过程中忽略输入饱和非线性，可能造成控制系统的性能下降，甚至导致系统 的不稳定。

针对非线性系统，滑模控制(Sliding Mode Control,SMC)是一种有效的控 制方法，它通过施加不连续的控制信号来改变系统状态，迫使系统沿预定的滑动 模态进行滑动。但是在系统控制过程中，控制量需要根据系统当前状态以跃变方 式有目的地不断变化，造成系统实际轨迹在滑动模态两侧来回穿越，从而产生系 统抖振问题。动态滑模控制(Dynamic Sliding Mode Control,DSMC)通过设计新 的切换函数，该切换函数与系统控制输入量的一阶或高阶导数有关，通过将不连 续项转移到控制量的一阶或高阶导数中区，经过积分，得到在时间上本质连续的 滑模控制律，有效的降低了系统抖振。

考虑到径向基神经网络(Radial Basis Function Neural Networks,RBFNNs) 能够以任意精度逼近任意连续函数，所以对于输入饱和问题采用RBFNNs构造一 种补偿器，利用RBFNNs估计执行器超出饱和限制的部分，在控制律设计中对其 进行抵消，从而使执行器能够退出饱和。

发明内容

本发明的目的是提供一种能够使得飞行器在具有系统不确定性，外部干扰和 输入饱和的综合影响下跟踪指定的姿态角信号的具有输入饱和的近空间飞行器 鲁棒控制方法。

为解决上述技术问题，本发明一种具有输入饱和的近空间飞行器鲁棒控制方 法，根据奇异摄动原理和时标分离原则将飞行器的姿态回路分为慢回路和快回 路，该方法基于由慢回路控制系统、快回路控制系统和飞行器组成的闭环控制系 统来实现，其特征在于，包括以下步骤：

(1)分别将慢回路控制系统和快回路控制系统变换成仿射非线性系统方程 形式；

(2)分别根据慢回路、快回路的仿射非线性系统方程来设计慢回路和快回路 的控制器；其中，对于慢回路控制器采用动态滑模来设计，同时采用自适应法对 慢回路系统中的复合干扰进行处理；对于快回路控制器采用普通滑模来设计，利 用非线性干扰观测器对快回路中的复合干扰进行逼近，同时基于径向基神经网络 构造一种补偿器对所设计的控制器进行饱和补偿；

(3)利用步骤(2)中获得的慢回路控制器和快回路控制器对飞行器进行鲁棒 控制。

进一步地优选方案，本发明具有输入饱和的近空间飞行器鲁棒控制方法，所 述步骤(1)的慢、快回路系统的仿射非线性方程为：

A、慢回路的仿射非线性系统方程为：

式中，Ω=[α,β,μ]^T为当前姿态角信号，α、β和μ分别表示迎角、侧滑角和滚 转角，表示对Ω求导；f_s(Ω)=[f_s1,f_s2,f_s3]^T，ω_c为慢回路控制器的控制律；

$f_{s1}=\frac{1}{\mathrm{MV}\cos \beta }(-\bar{q}{\mathrm{SC}}_{L,\alpha }+\mathrm{Mg}\cos \gamma \cos \mu -T_x\sin \alpha ),T_x=T\cos \left({\delta }_y\right)\cos \left({\delta }_z\right),$

$f_{s2}=\frac{1}{\mathrm{MV}}(\bar{q}{\mathrm{SC}}_{Y,\beta }\beta +\mathrm{Mg}\cos \gamma \sin \mu -T_x\sin \beta \cos \alpha ),$

$\left(\begin{array}{c}{f}_{s3}=\frac{1}{\mathrm{MV}}\bar{q}{\mathrm{SC}}_{Y,\beta }\beta \tan \gamma \cos \mu +\frac{1}{\mathrm{MV}}\bar{q}{\mathrm{SC}}_{L,\alpha }(\tan \gamma \sin \mu +\tan \beta )-\frac{g}{V}\cos \gamma \cos \mu \tan \beta \\ +\frac{T_x}{\mathrm{MV}}[\sin \alpha (\tan \gamma \sin \mu +\tan \beta )-\cos \alpha \tan \gamma \cos \mu \sin \beta ]\end{array}\right);$

M表示飞行器质量；V表示飞行器飞行速度；表示动压；S表示机翼参考面 积；γ表示倾斜角；T表示发动机推力；g表示重力加速度；δ_y表示推力矢量舵 面沿侧向的偏转角；δ_z表示推力矢量舵面沿纵向的偏转角；C_L,α表示由迎角α引 起的升力系数；C_Y,β表示由侧滑角β引起的侧力系数；

$g_s\left(\Omega \right)=\left(\begin{array}{ccc}-\tan \beta & 1& -\sin \alpha \tan \beta \\ \sin \alpha & 0& -\cos \alpha \\ \cos \alpha \sec \beta & 0& \sin \alpha \sec \beta \end{array}\right);$

D_s表示慢回路复合干扰，建立系统方程时无需给出具体表达式，在慢回路 控制器设计中仅需要其导数值，通过自适应方法获取D_s导数上界的估计值；

B、快回路的仿射非线性系统方程为：

式中，ω=[p,q,r]^T为当前姿态角速率信号，p、q和r分别表示滚转角速率、俯 仰角速率和偏航角速率，表示对ω求导，f_f(ω)=[f_f1,f_f2,f_f3]^T，

$f_{f1}=\frac{1}{I_x{I}_y{I}_z-I_{\mathrm{xy}}^2{I}_z-I_{\mathrm{xz}}^2{I}_y}(l_{\mathrm{aero}}{I}_y{I}_z+m_{\mathrm{aero}}{I}_{\mathrm{xy}}{I}_z+n_{\mathrm{aero}}{I}_{\mathrm{xz}}{I}_y$

$+(I_{\mathrm{xy}}^2{I}_z-I_y{I}_z^2+I_y^2{I}_z-I_{\mathrm{xz}}^2{I}_y)\mathrm{qr}+(I_y{I}_z{I}_{\mathrm{xz}}-I_{\mathrm{xz}}{I}_y^2+I_x{I}_y{I}_{\mathrm{xz}})\mathrm{pq},$

$+(I_y{I}_z{I}_{\mathrm{xy}}+I_x{I}_z{I}_{\mathrm{xy}}-I_z^2{I}_{\mathrm{xy}})\mathrm{pr}-I_{\mathrm{xy}}{I}_{\mathrm{xz}}{I}_y(q^2-p^2)-I_{\mathrm{xz}}{I}_{\mathrm{xy}}{I}_z(p^2-r^2))$

$f_{f2}=\frac{1}{I_x{I}_y^2{I}_z-I_z{I}_y{I}_{\mathrm{xy}}^2-I_y^2{I}_{\mathrm{xz}}^2}(-l_{\mathrm{aero}}{I}_{\mathrm{xy}}{I}_y{I}_z+m_{\mathrm{aero}}(I_x{I}_y{I}_z-2I_z{I}_{\mathrm{xy}}^2-I_y{I}_{\mathrm{xz}}^2)$

$-I_{\mathrm{xy}}{I}_y{I}_{\mathrm{xz}}{n}_{\mathrm{aero}}-I_{\mathrm{xy}}(I_y{I}_z{I}_{\mathrm{xz}}+I_x{I}_y{I}_{\mathrm{xz}}-I_y^2{I}_{\mathrm{xz}})\mathrm{pq},$

$-(I_{\mathrm{xy}}+I_{\mathrm{xy}}(I_{\mathrm{xy}}{I}_z^2-I_x{I}_z{I}_{\mathrm{xy}}-I_y{I}_z{I}_{\mathrm{xy}}))\mathrm{qr}+(I_y{I}_{\mathrm{xy}}^2{I}_{\mathrm{xz}}+I_{\mathrm{xz}}-I_{\mathrm{xy}}^2{I}_z)(p^2-r^2)$

$+(I_z-I_x-I_{\mathrm{xy}}(I_{\mathrm{xy}}{I}_z^2-I_x{I}_z{I}_{\mathrm{xy}}-I_y{I}_z{I}_{\mathrm{xy}}))\mathrm{pr})$

$f_{f3}=\frac{1}{I_x{I}_y{I}_z-I_{\mathrm{xy}}^2{I}_z-I_{\mathrm{xz}}^2{I}_y}(l_{\mathrm{aero}}{I}_y{I}_{\mathrm{xy}}+m_{\mathrm{aero}}{I}_{\mathrm{xy}}{I}_{\mathrm{xz}}+(I_x{I}_y-I_{\mathrm{xy}}^2)n_{\mathrm{aero}}$

$+(I_y{I}_{\mathrm{xz}}^2+I_x^2{I}_y-I_x{I}_{\mathrm{xy}}^2-I_x{I}_y^2-I_y{I}_{\mathrm{xy}}^2)\mathrm{pq},$

$+(I_y^2{I}_{\mathrm{xz}}-I_y{I}_z{I}_{\mathrm{xz}}+I_{\mathrm{xy}}^2{I}_{\mathrm{xz}}-I_x{I}_y{I}_{\mathrm{xz}}+I_{\mathrm{xz}}{I}_{\mathrm{xy}}^2)\mathrm{qr}+I_{\mathrm{xy}}{I}_{\mathrm{xz}}^2(p^2-r^2)$

$+(I_z{I}_{\mathrm{xy}}{I}_{\mathrm{xz}}-I_x{I}_{\mathrm{xy}}{I}_{\mathrm{xz}}-I_y{I}_{\mathrm{xy}}{I}_{\mathrm{xz}})\mathrm{pr}+(I_x{I}_y{I}_{\mathrm{xy}}-I_{\mathrm{xy}}^3)(p^2-q^2))$

$l_{\mathrm{aero}}=\bar{q}\mathrm{Sb}(C_{l,\beta }\beta +C_{l,p}\frac{\mathrm{pb}}{2V}+C_{l,r}\frac{\mathrm{rb}}{2V}),m_{\mathrm{aero}}=\bar{q}\mathrm{Sc}(C_{m,\alpha }+C_{m,q}\frac{\mathrm{qc}}{2V}),$

$n_{\mathrm{aero}}=\bar{q}\mathrm{Sb}(C_{n,\beta }\beta +C_{n,p}\frac{\mathrm{pb}}{2V}+C_{n,r}\frac{\mathrm{rb}}{2V});$

I_x、I_y和I_z分别表示绕x、y和z轴的转动惯量；I_xy、I_xz和I_yz表示惯性积；b表 示翼展长度；c表示平均气动弦长；C_l,β表示由侧滑角β引起的滚转力矩系数； C_l,p表示由滚转角速率p引起的滚转力矩增量系数；C_l,r表示由偏航角速率r引起 的滚转力矩增量系数；C_m,α表示由迎角α引起的俯仰力矩系数；C_m,q表示由俯仰 角速率q引起的俯仰力矩增量系数；C_n,β表示由侧滑角β引起的偏航力矩系数； C_n,p表示由滚转角速率p引起的偏航力矩增量系数；C_n,r表示由偏航角速率r引 起的偏航力矩增量系数；

g_f(ω)=g_f1g_fδ(ω)，

$g_{f1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{I_y{I}_z}{I_x{I}_y{I}_z-I_{\mathrm{xy}}^2{I}_z-I_{\mathrm{xz}}^2{I}_y}& \frac{I_z{I}_{\mathrm{xy}}}{I_x{I}_y{I}_z-I_{\mathrm{xy}}^2{I}_z-I_{\mathrm{xz}}^2{I}_y}& \frac{I_y{I}_{\mathrm{xz}}}{I_x{I}_y{I}_z-I_{\mathrm{xy}}^2{I}_z-I_{\mathrm{xz}}^2{I}_y}\\ -\frac{I_{\mathrm{xy}}{I}_y{I}_z}{I_x{I}_y^2{I}_z-I_z{I}_y{I}_{\mathrm{xy}}^2-I_y^2{I}_{\mathrm{xz}}^2}& \frac{I_x{I}_y{I}_z-2I_z{I}_{\mathrm{xy}}^2-I_y{I}_{\mathrm{xz}}^2}{I_x{I}_y^2{I}_z-I_z{I}_y{I}_{\mathrm{xy}}^2-I_y^2{I}_{\mathrm{xz}}^2}& -\frac{I_{\mathrm{xy}}{I}_y{I}_{\mathrm{xz}}}{I_x{I}_y^2{I}_z-I_z{I}_y{I}_{\mathrm{xy}}^2-I_y^2{I}_{\mathrm{xz}}^2}\\ \frac{I_y{I}_{\mathrm{xy}}}{I_x{I}_y{I}_z-I_{\mathrm{xy}}^2{I}_z-I_{\mathrm{xz}}^2{I}_y}& \frac{I_{\mathrm{xy}}{I}_{\mathrm{xz}}}{I_x{I}_y{I}_z-I_{\mathrm{xy}}^2{I}_z-I_{\mathrm{xz}}^2{I}_y}& \frac{I_x{I}_y-I_{\mathrm{xy}}^2}{I_x{I}_y{I}_z-I_{\mathrm{xy}}^2{I}_z-I_{\mathrm{xz}}^2{I}_y}\end{array}\right),$

$g_{\mathrm{f\delta }}\left(\omega \right)=\left(\begin{array}{ccccc}\bar{q}{\mathrm{bSC}}_{l,{\delta }_a}& \bar{q}{\mathrm{bSC}}_{l,{\delta }_e}& \bar{q}{\mathrm{bSC}}_{l,{\delta }_r}& 0& 0\\ \bar{q}{\mathrm{ScC}}_{m,{\delta }_a}& \bar{q}{\mathrm{ScC}}_{m,{\delta }_e}& \bar{q}{\mathrm{ScC}}_{m,{\delta }_r}& 0& \frac{{\mathrm{\pi TX}}_T}{180}\\ \bar{q}{\mathrm{SbC}}_{n,{\delta }_a}& \bar{q}{\mathrm{SbC}}_{n,{\delta }_e}& \bar{q}{\mathrm{SbC}}_{n,{\delta }_r}& -\frac{{\mathrm{\pi TX}}_T}{180}& 0\end{array}\right);$

表示由副翼舵δ_a引起的滚转力矩增量系数；表示由升降舵δ_e引起的滚 转力矩增量系数；表示由方向舵δ_r引起的滚转力矩增量系数；表示由 副翼舵δ_a引起的俯仰力矩增量系数；表示由升降舵δ_e引起的俯仰力矩增量 系数；表示由方向舵δ_r引起的俯仰力矩增量系数；表示由副翼舵δ_a引 起的偏航力矩增量系数；表示由升降舵δ_e引起的偏航力矩增量系数；表 示由方向舵δ_r引起的偏航力矩增量系数；X_T表示发动机喷管距离质心的距离；

D_f为快回路复合干扰，该复合干扰利用非线性干扰观测器进行逼近估计， v=[v₁,v₂,v₃,v₄,v₅]^T为快回路控制器的控制律即执行器输入向量， δ(v)=[δ_a,δ_e,δ_r,δ_y,δ_z]^T为受执行器饱和特性影响的输出向量，具体满足以下关 系：

${\delta }_a=\left(\begin{array}{cc}{\delta }_{\mathrm{aM}},& v_1>{\delta }_{\mathrm{aM}}\\ v_1,& -{\delta }_{\mathrm{aM}}\le v_1\le {\delta }_{\mathrm{aM}}\\ -{\delta }_{\mathrm{aM}},& v_1<-{\delta }_{\mathrm{aM}}\end{array}\right),$${\delta }_e=\left(\begin{array}{cc}{\delta }_{\mathrm{eM}},& v_2>{\delta }_{\mathrm{eM}}\\ v_2,& -{\delta }_{\mathrm{eM}}\le v_2\le {\delta }_{\mathrm{eM}}\\ -{\delta }_{\mathrm{eM}},& v_2<-{\delta }_{\mathrm{eM}}\end{array}\right),$

${\delta }_r=\left(\begin{array}{cc}{\delta }_{\mathrm{rM}},& v_3>{\delta }_{\mathrm{rM}}\\ v_3,& -{\delta }_{\mathrm{rM}}\le v_3\le {\delta }_{\mathrm{rM}}\\ -{\delta }_{\mathrm{rM}},& v_3<-{\delta }_{\mathrm{rM}}\end{array}\right),$

${\delta }_y=\left(\begin{array}{cc}{\delta }_{\mathrm{yM}},& v_4>{\delta }_{\mathrm{yM}}\\ v_4,& -{\delta }_{\mathrm{yM}}\le v_4\le {\delta }_{\mathrm{yM}}\\ -{\delta }_{\mathrm{yM}},& v_4<-{\delta }_{\mathrm{yM}}\end{array}\right),$${\delta }_z=\left(\begin{array}{cc}{\delta }_{\mathrm{zM}},& v_5>{\delta }_{\mathrm{zM}}\\ v_5,& -{\delta }_{\mathrm{zM}}\le v_5\le {\delta }_{\mathrm{zM}}\\ -{\delta }_{\mathrm{zM}},& v_5<-{\delta }_{\mathrm{zM}}\end{array}\right),$

式中，v₁、v₂、v₃、v₄和v₅均为向量v的元素，δ_a、δ_e、δ_r、δ_y和δ_z分别表示 副翼舵偏转角、升降舵偏转角、方向舵偏转角、推力矢量舵沿侧向和纵向的偏转 角；δ_aM、δ_eM、δ_rM、δ_yM和δ_zM分别为副翼舵转角、升降舵转角、方向舵转角、 推力矢量舵沿侧向偏转角和推力矢量舵沿纵向偏转角的饱和受限值。

进一步地优选方案，本发明具有输入饱和的近空间飞行器鲁棒控制方法，所 述步骤(2)中的慢、快回路的控制器模型如下：

a、利用动态滑模来设计慢回路控制器，同时采用自适应法对慢回路系统中 复合干扰进行处理，最终得到如下慢回路的控制器模型：

${\omega }_c=g_s{\left(\Omega \right)}^{-1}{\int }_0^t({\psi }_1+{\psi }_2)\mathrm{dt}$

式中，g_s(Ω)^-1表示对矩阵g_s(Ω)求逆；${\psi }_1=-{\stackrel{·}{f}}_s\left(\Omega \right)+{\stackrel{··}{\Omega }}_c-(A_{s1}+A_{s2}){\stackrel{·}{e}}_s-A_{s2}{A}_{s1}{e}_s,$e_s=Ω-Ω_c为慢回路跟踪误差，Ω_c表示预先设定的参考指令信号，表示对 f_s(Ω)求导，表示对e_s求导，表示对Ω_c求二阶导数； ${\psi }_2=-B_{s1}{\sigma }_{s2}-B_{s2}\mathrm{sgm}\left({\sigma }_{s2}\right)-\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_{s2}\right)\right\}{\hat{\beta }}_{\mathrm{ds}},$${\sigma }_{s2}={\stackrel{·}{\sigma }}_{s1}+A_{s2}{\sigma }_{s1},$为β_ds的估计值向量，β_ds为慢回路复合干扰D_s一阶导数 的上界值，A_s1、A_s2为慢回路动态滑模面的参数矩阵，具体满足 以下关系：A_s1=diag{a_s1,1,a_s1,2,a_s1,3}>0，A_s2=diag{a_s2,1,a_s2,2,a_s2,3}>0；B_s1、B_s2为 慢回路滑模趋近律的参数矩阵，具体满足以下关系： B_s1=diag{b_s1,1,b_s1,2,b_s1,3}>0，B_s2=diag{b_s2,1,b_s2,2,b_s2,3}>0；B_s3为慢回路复合干 扰导数自适应律的参数矩阵，具体满足以下关系：B_s3=diag{b_s3,1,b_s3,2,b_s3,3}>0； 和值由高阶滑模微分器给出；

b、采用普通滑模来设计快回路控制器，具体为：

b1、设计非线性干扰观测器对快回路中的复合干扰进行逼近

${\hat{D}}_f=-\mathrm{K\sigma }-\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left(\sigma \right)\right\}{\hat{\beta }}_f+\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_f\right)\right\}\left|{\hat{\beta }}_f\right|+\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_f\right)\right\}{\hat{\beta }}_f$

式中，为快回路中复合干扰的估计值；K为复合干扰估计值参表达式中的参 数矩阵且K=diag{k₁,k₂,k₃}>0；σ=η-ω， $\stackrel{·}{\eta }=-\mathrm{K\sigma }-\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left(\sigma \right)\right\}{\hat{\beta }}_f+f_f\left(\omega \right)+g_f\left(\omega \right)+\delta \left(v\right)-K{\sigma }_f;$为β_f的估计值，β_f为 快回路复合干扰的上界值，Γ_β为快回路复合干扰上界自适 应律中的参数矩阵且为Γ_β的转置矩阵；为快 回路滑模面，e_f=ω-ω_c为快回路跟踪误差，A_f为快回路滑模面的参数矩阵，具 体满足：A_f=diag{a_f,1,a_f,2,a_f,3}>0；

b2、利用径向基神经网络估计执行器超出饱和限制的部分

$v_{\xi }={\hat{W}}_{\xi }^T{s}_{\xi }\left(z\right)$

式中，v_ξ为执行器超出饱和限制部分的估计值；为径向基神经网络的权值， ${\stackrel{·}{\hat{W}}}_{\xi }={\Gamma }_{\xi }{s}_{\xi }\left(z\right){\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right)-\gamma \left|\right|{\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right)\left|\right|{\Gamma }_{\xi }{\hat{W}}_{\xi },$γ和Γ_ξ分别为神经网络权值自适应律 中的实数和参数矩阵，且γ>0，为Γ_ξ的转置矩阵，表示对 列向量σ_f进行转置；s_ξ(z)=[s_ξ1,s_ξ2,…,s_ξl]^T为径向基向量，l为网络总节点数， z=[ω_c,e_f]^T为网络输入向量，s_ξ(z)中元素采用高斯基函数形式，即 c_k为网络第k个节点的中心向量，b_k为网络第k个节点的 基宽参数，k=1,2,…,l；

b3、根据b1中获得的快回路中复合干扰的估计值和b2中获得的执行器 超出饱和限制部分的估计值v_ξ，采用普通滑模法可得如下控制器模型：

v=v₀-v_ξ+v_r

式中，v₀为未考虑执行器饱和时的控制项，其具体形式为

$\left(\begin{array}{c}{v}_0=g_f{\left(\omega \right)}^T{\left(g_f\left(\omega \right)g_f{\left(\omega \right)}^T\right)}^{-1}(-f_f\left(\omega \right)+{\stackrel{·}{\omega }}_c-A_f{e}_f-{\hat{D}}_f\\ -B_{f1}\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_f\right)\right\}{\left|{\sigma }_f\right|}^{c_1}-B_{f2}\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_f\right)\right\}{\left|{\sigma }_f\right|}^{c_2})\end{array}\right);$g_f(ω)^T表示对g_f(ω)进 行转置；B_f1、B_f2为快回路滑模趋近律中的参数矩阵，且满足以下关系： B_f1=diag{b_f1,1,b_f1,2,b_f1,3}>0，B_f2=diag{b_f2,1,b_f2,2,b_f2,3}>0，c₁、c₂为满足以下 关系的实数：c₁>1，0<c₂<1，表示对ω_c求导；v_r=-K_rsgn(g_f(ω)^Tσ_f)为鲁 棒控制项，K_r为鲁棒控制项的参数矩阵，具体满足如下关系： K_r=diag{k_r,1,k_r,2,k_r,3,k_r,4,k_r,5}>0。

进一步地优选方案，本发明具有输入饱和的近空间飞行器鲁棒控制方法，所 述步骤(3)中获得的慢回路控制器和快回路控制器对飞行器进行鲁棒控制，具体 为：

3-1、将姿态角当前信号Ω减去预定的姿态角指令信号Ω_c可得飞行器姿态角 误差信号e_s，将该误差信号e_s发送至慢回路控制器，基于动态滑模控制可得姿态 角速率指令信号ω_c；

3-2、将姿态角速率当前信号ω减去姿态角速率指令信号ω_c可得飞行器姿态 角速率误差信号e_f，将误差信号e_f发送至快回路控制器，基于径向基神经网络 补偿和滑模控制可得快回路中的执行器输入信号v，将v发送至执行器可得受执 行器饱和特性影响的输出向量δ(v)，则将执行器输出向量δ(v)发送至飞行器指 令接收器，从而可以实现对飞行器预定姿态角Ω_c的跟踪控制。

本发明与现有技术相比，具有以下显著的优点：本发明根据慢回路和快回路 中复合干扰所受影响的不同，采用不同的方法来设计慢回路和快回路的控制器模 型；在慢回路中采用自适应法获取复合干扰的一阶导数上界估计值，并采用动态 滑模来设计控制器，在快回路中采用非线性干扰观测器对复合干扰进行逼近，同 时通过径向基神经网络构造一种补偿器来解决舵面饱和受限问题，基于双幂次趋 近律的普通滑模方法进行控制器设计，这两个控制器相结合使得飞行器在具有系 统不确定性、未知外部干扰和输入饱和受限的情况下具有良好的控制性能。

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的描述；

附图说明

图1为本发明具有输入饱和的近空间飞行器鲁棒控制方法的控制方案结构图。

具体实施方式

如图1所示，本发明一种具有输入饱和的近空间飞行器鲁棒控制方法，根据 奇异摄动原理和时标分离原则将飞行器的姿态回路分为慢回路和快回路，该方法 基于由慢回路控制系统、快回路控制系统和飞行器组成的闭环控制系统来实现， 其特征在于，包括以下步骤：

(1)分别将慢回路控制系统和快回路控制系统变换成仿射非线性系统方程 形式，如下：

A、慢回路的仿射非线性系统方程为：

式中，Ω=[α,β,μ]^T为当前姿态角信号，α、β和μ分别表示迎角、侧滑角和滚 转角，表示对Ω求导；f_s(Ω)=[f_s1,f_s2,f_s3]^T，ω_c为慢回路控制器的控制律；

$f_{s1}=\frac{1}{\mathrm{MV}\cos \beta }(-\bar{q}{\mathrm{SC}}_{L,\alpha }+\mathrm{Mg}\cos \gamma \cos \mu -T_x\sin \alpha ),T_x=T\cos \left({\delta }_y\right)\cos \left({\delta }_z\right),$

$f_{s2}=\frac{1}{\mathrm{MV}}(\bar{q}{\mathrm{SC}}_{Y,\beta }\beta +\mathrm{Mg}\cos \gamma \sin \mu -T_x\sin \beta \cos \alpha ),$

$\left(\begin{array}{c}{f}_{s3}=\frac{1}{\mathrm{MV}}\bar{q}{\mathrm{SC}}_{Y,\beta }\beta \tan \gamma \cos \mu +\frac{1}{\mathrm{MV}}\bar{q}{\mathrm{SC}}_{L,\alpha }(\tan \gamma \sin \mu +\tan \beta )-\frac{g}{V}\cos \gamma \cos \mu \tan \beta \\ +\frac{T_x}{\mathrm{MV}}[\sin \alpha (\tan \gamma \sin \mu +\tan \beta )-\cos \alpha \tan \gamma \cos \mu \sin \beta ]\end{array}\right);$

M表示飞行器质量；V表示飞行器飞行速度；表示动压；S表示机翼参考面 积；γ表示倾斜角；T表示发动机推力；g表示重力加速度；δ_y表示推力矢量舵 面沿侧向的偏转角；δ_z表示推力矢量舵面沿纵向的偏转角；C_L,α表示由迎角α引 起的升力系数；C_Y,β表示由侧滑角β引起的侧力系数；

$g_s\left(\Omega \right)=\left(\begin{array}{ccc}-\tan \beta & 1& -\sin \alpha \tan \beta \\ \sin \alpha & 0& -\cos \alpha \\ \cos \alpha \sec \beta & 0& \sin \alpha \sec \beta \end{array}\right);$

D_s表示慢回路复合干扰，建立系统方程时无需给出具体表达式，在慢回路 控制器设计中仅需要其导数值，通过自适应方法获取D_s导数上界的估计值；

B、快回路的仿射非线性系统方程为：

式中，ω=[p,q,r]^T为当前姿态角速率信号，p、q和r分别表示滚转角速率、俯 仰角速率和偏航角速率，表示对ω求导，f_f(ω)=[f_f1,f_f2,f_f3]^T，

$f_{f1}=\frac{1}{I_x{I}_y{I}_z-I_{\mathrm{xy}}^2{I}_z-I_{\mathrm{xz}}^2{I}_y}(l_{\mathrm{aero}}{I}_y{I}_z+m_{\mathrm{aero}}{I}_{\mathrm{xy}}{I}_z+n_{\mathrm{aero}}{I}_{\mathrm{xz}}{I}_y$

$+(I_{\mathrm{xy}}^2{I}_z-I_y{I}_z^2+I_y^2{I}_z-I_{\mathrm{xz}}^2{I}_y)\mathrm{qr}+(I_y{I}_z{I}_{\mathrm{xz}}-I_{\mathrm{xz}}{I}_y^2+I_x{I}_y{I}_{\mathrm{xz}})\mathrm{pq},$

$+(I_y{I}_z{I}_{\mathrm{xy}}+I_x{I}_z{I}_{\mathrm{xy}}-I_z^2{I}_{\mathrm{xy}})\mathrm{pr}-I_{\mathrm{xy}}{I}_{\mathrm{xz}}{I}_y(q^2-p^2)-I_{\mathrm{xz}}{I}_{\mathrm{xy}}{I}_z(p^2-r^2))$

$f_{f2}=\frac{1}{I_x{I}_y^2{I}_z-I_z{I}_y{I}_{\mathrm{xy}}^2-I_y^2{I}_{\mathrm{xz}}^2}(-l_{\mathrm{aero}}{I}_{\mathrm{xy}}{I}_y{I}_z+m_{\mathrm{aero}}(I_x{I}_y{I}_z-2I_z{I}_{\mathrm{xy}}^2-I_y{I}_{\mathrm{xz}}^2)$

$-I_{\mathrm{xy}}{I}_y{I}_{\mathrm{xz}}{n}_{\mathrm{aero}}-I_{\mathrm{xy}}(I_y{I}_z{I}_{\mathrm{xz}}+I_x{I}_y{I}_{\mathrm{xz}}-I_y^2{I}_{\mathrm{xz}})\mathrm{pq},$

$-(I_{\mathrm{xy}}+I_{\mathrm{xy}}(I_{\mathrm{xy}}{I}_z^2-I_x{I}_z{I}_{\mathrm{xy}}-I_y{I}_z{I}_{\mathrm{xy}}))\mathrm{qr}+(I_y{I}_{\mathrm{xy}}^2{I}_{\mathrm{xz}}+I_{\mathrm{xz}}-I_{\mathrm{xy}}^2{I}_z)(p^2-r^2)$

$+(I_z-I_x-I_{\mathrm{xy}}(I_{\mathrm{xy}}{I}_z^2-I_x{I}_z{I}_{\mathrm{xy}}-I_y{I}_z{I}_{\mathrm{xy}}))\mathrm{pr})$

$f_{f3}=\frac{1}{I_x{I}_y{I}_z-I_{\mathrm{xy}}^2{I}_z-I_{\mathrm{xz}}^2{I}_y}(l_{\mathrm{aero}}{I}_y{I}_{\mathrm{xy}}+m_{\mathrm{aero}}{I}_{\mathrm{xy}}{I}_{\mathrm{xz}}+(I_x{I}_y-I_{\mathrm{xy}}^2)n_{\mathrm{aero}}$

$+(I_y{I}_{\mathrm{xz}}^2+I_x^2{I}_y-I_x{I}_{\mathrm{xy}}^2-I_x{I}_y^2-I_y{I}_{\mathrm{xy}}^2)\mathrm{pq},$

$+(I_y^2{I}_{\mathrm{xz}}-I_y{I}_z{I}_{\mathrm{xz}}+I_{\mathrm{xy}}^2{I}_{\mathrm{xz}}-I_x{I}_y{I}_{\mathrm{xz}}+I_{\mathrm{xz}}{I}_{\mathrm{xy}}^2)\mathrm{qr}+I_{\mathrm{xy}}{I}_{\mathrm{xz}}^2(p^2-r^2)$

$+(I_z{I}_{\mathrm{xy}}{I}_{\mathrm{xz}}-I_x{I}_{\mathrm{xy}}{I}_{\mathrm{xz}}-I_y{I}_{\mathrm{xy}}{I}_{\mathrm{xz}})\mathrm{pr}+(I_x{I}_y{I}_{\mathrm{xy}}-I_{\mathrm{xy}}^3)(p^2-q^2))$

$l_{\mathrm{aero}}=\bar{q}\mathrm{Sb}(C_{l,\beta }\beta +C_{l,p}\frac{\mathrm{pb}}{2V}+C_{l,r}\frac{\mathrm{rb}}{2V}),m_{\mathrm{aero}}=\bar{q}\mathrm{Sc}(C_{m,\alpha }+C_{m,q}\frac{\mathrm{qc}}{2V}),$

$n_{\mathrm{aero}}=\bar{q}\mathrm{Sb}(C_{n,\beta }\beta +C_{n,p}\frac{\mathrm{pb}}{2V}+C_{n,r}\frac{\mathrm{rb}}{2V});$

I_x、I_y和I_z分别表示绕x、y和z轴的转动惯量；I_xy、I_xz和I_yz表示惯性积；b表 示翼展长度；c表示平均气动弦长；C_l,β表示由侧滑角β引起的滚转力矩系数； C_l,p表示由滚转角速率p引起的滚转力矩增量系数；C_l,r表示由偏航角速率r引起 的滚转力矩增量系数；C_m,α表示由迎角α引起的俯仰力矩系数；C_m,q表示由俯仰 角速率q引起的俯仰力矩增量系数；C_n,β表示由侧滑角β引起的偏航力矩系数； C_n,p表示由滚转角速率p引起的偏航力矩增量系数；C_n,r表示由偏航角速率r引 起的偏航力矩增量系数；

g_f(ω)=g_f1g_fδ(ω)，

$g_{f1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{I_y{I}_z}{I_x{I}_y{I}_z-I_{\mathrm{xy}}^2{I}_z-I_{\mathrm{xz}}^2{I}_y}& \frac{I_z{I}_{\mathrm{xy}}}{I_x{I}_y{I}_z-I_{\mathrm{xy}}^2{I}_z-I_{\mathrm{xz}}^2{I}_y}& \frac{I_y{I}_{\mathrm{xz}}}{I_x{I}_y{I}_z-I_{\mathrm{xy}}^2{I}_z-I_{\mathrm{xz}}^2{I}_y}\\ -\frac{I_{\mathrm{xy}}{I}_y{I}_z}{I_x{I}_y^2{I}_z-I_z{I}_y{I}_{\mathrm{xy}}^2-I_y^2{I}_{\mathrm{xz}}^2}& \frac{I_x{I}_y{I}_z-2I_z{I}_{\mathrm{xy}}^2-I_y{I}_{\mathrm{xz}}^2}{I_x{I}_y^2{I}_z-I_z{I}_y{I}_{\mathrm{xy}}^2-I_y^2{I}_{\mathrm{xz}}^2}& -\frac{I_{\mathrm{xy}}{I}_y{I}_{\mathrm{xz}}}{I_x{I}_y^2{I}_z-I_z{I}_y{I}_{\mathrm{xy}}^2-I_y^2{I}_{\mathrm{xz}}^2}\\ \frac{I_y{I}_{\mathrm{xy}}}{I_x{I}_y{I}_z-I_{\mathrm{xy}}^2{I}_z-I_{\mathrm{xz}}^2{I}_y}& \frac{I_{\mathrm{xy}}{I}_{\mathrm{xz}}}{I_x{I}_y{I}_z-I_{\mathrm{xy}}^2{I}_z-I_{\mathrm{xz}}^2{I}_y}& \frac{I_x{I}_y-I_{\mathrm{xy}}^2}{I_x{I}_y{I}_z-I_{\mathrm{xy}}^2{I}_z-I_{\mathrm{xz}}^2{I}_y}\end{array}\right),$

$g_{\mathrm{f\delta }}\left(\omega \right)=\left(\begin{array}{ccccc}\bar{q}{\mathrm{bSC}}_{l,{\delta }_a}& \bar{q}{\mathrm{bSC}}_{l,{\delta }_e}& \bar{q}{\mathrm{bSC}}_{l,{\delta }_r}& 0& 0\\ \bar{q}{\mathrm{ScC}}_{m,{\delta }_a}& \bar{q}{\mathrm{ScC}}_{m,{\delta }_e}& \bar{q}{\mathrm{ScC}}_{m,{\delta }_r}& 0& \frac{{\mathrm{\pi TX}}_T}{180}\\ \bar{q}{\mathrm{SbC}}_{n,{\delta }_a}& \bar{q}{\mathrm{SbC}}_{n,{\delta }_e}& \bar{q}{\mathrm{SbC}}_{n,{\delta }_r}& -\frac{{\mathrm{\pi TX}}_T}{180}& 0\end{array}\right);$

表示由副翼舵δ_a引起的滚转力矩增量系数；表示由升降舵δ_e引起的 滚转力矩增量系数；表示由方向舵δ_r引起的滚转力矩增量系数；表示 由副翼舵δ_a引起的俯仰力矩增量系数；表示由升降舵δ_e引起的俯仰力矩增 量系数；表示由方向舵δ_r引起的俯仰力矩增量系数；表示由副翼舵δ_a引 起的偏航力矩增量系数；表示由升降舵δ_e引起的偏航力矩增量系数；表 示由方向舵δ_r引起的偏航力矩增量系数；X_T表示发动机喷管距离质心的距离；

D_f为快回路复合干扰，该复合干扰利用非线性干扰观测器进行逼近估计， v=[v₁,v₂,v₃,v₄,v₅]^T为快回路控制器的控制律即执行器输入向量， δ(v)=[δ_a,δ_e,δ_r,δ_y,δ_z]^T为受执行器饱和特性影响的输出向量，具体满足以下关 系：

${\delta }_a=\left(\begin{array}{cc}{\delta }_{\mathrm{aM}},& v_1>{\delta }_{\mathrm{aM}}\\ v_1,& -{\delta }_{\mathrm{aM}}\le v_1\le {\delta }_{\mathrm{aM}}\\ -{\delta }_{\mathrm{aM}},& v_1<-{\delta }_{\mathrm{aM}}\end{array}\right),$${\delta }_e=\left(\begin{array}{cc}{\delta }_{\mathrm{eM}},& v_2>{\delta }_{\mathrm{eM}}\\ v_2,& -{\delta }_{\mathrm{eM}}\le v_2\le {\delta }_{\mathrm{eM}}\\ -{\delta }_{\mathrm{eM}},& v_2<-{\delta }_{\mathrm{eM}}\end{array}\right),$

${\delta }_r=\left(\begin{array}{cc}{\delta }_{\mathrm{rM}},& v_3>{\delta }_{\mathrm{rM}}\\ v_3,& -{\delta }_{\mathrm{rM}}\le v_3\le {\delta }_{\mathrm{rM}}\\ -{\delta }_{\mathrm{rM}},& v_3<-{\delta }_{\mathrm{rM}}\end{array}\right),$

${\delta }_y=\left(\begin{array}{cc}{\delta }_{\mathrm{yM}},& v_4>{\delta }_{\mathrm{yM}}\\ v_4,& -{\delta }_{\mathrm{yM}}\le v_4\le {\delta }_{\mathrm{yM}}\\ -{\delta }_{\mathrm{yM}},& v_4<-{\delta }_{\mathrm{yM}}\end{array}\right),$${\delta }_z=\left(\begin{array}{cc}{\delta }_{\mathrm{zM}},& v_5>{\delta }_{\mathrm{zM}}\\ v_5,& -{\delta }_{\mathrm{zM}}\le v_5\le {\delta }_{\mathrm{zM}}\\ -{\delta }_{\mathrm{zM}},& v_5<-{\delta }_{\mathrm{zM}}\end{array}\right),$

式中，v₁、v₂、v₃、v₄和v₅均为向量v的元素，δ_a、δ_e、δ_r、δ_y和δ_z分别表示 副翼舵偏转角、升降舵偏转角、方向舵偏转角、推力矢量舵沿侧向和纵向的偏转 角；δ_aM、δ_eM、δ_rM、δ_yM和δ_zM分别为副翼舵转角、升降舵转角、方向舵转角、 推力矢量舵沿侧向偏转角和推力矢量舵沿纵向偏转角的饱和受限值。

(2)分别根据慢回路、快回路的仿射非线性系统方程来设计慢回路和快回路 的控制器；其中，对于慢回路控制器采用动态滑模来设计，同时采用自适应法对 慢回路系统中的复合干扰进行处理；对于快回路控制器采用普通滑模来设计，利 用非线性干扰观测器对快回路中的复合干扰进行逼近，同时基于径向基神经网络 构造一种补偿器对所设计的控制器进行饱和补偿，具体为：

a、利用动态滑模来设计慢回路控制器，同时采用自适应法对慢回路系统中 复合干扰进行处理，最终得到如下慢回路的控制器模型：

${\omega }_c=g_s{\left(\Omega \right)}^{-1}{\int }_0^t({\psi }_1+{\psi }_2)\mathrm{dt}$

式中，g_s(Ω)^-1表示对矩阵g_s(Ω)求逆；${\psi }_1=-{\stackrel{·}{f}}_s\left(\Omega \right)+{\stackrel{··}{\Omega }}_c-(A_{s1}+A_{s2}){\stackrel{·}{e}}_s-A_{s2}{A}_{s1}{e}_s,$e_s=Ω-Ω_c为慢回路跟踪误差，Ω_c表示预先设定的参考指令信号，表示对 f_s(Ω)求导，表示对e_s求导，表示对Ω_c求二阶导数； ${\psi }_2=-B_{s1}{\sigma }_{s2}-B_{s2}\mathrm{sgm}\left({\sigma }_{s2}\right)-\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_{s2}\right)\right\}{\hat{\beta }}_{\mathrm{ds}},$${\sigma }_{s2}={\stackrel{·}{\sigma }}_{s1}+A_{s2}{\sigma }_{s1},$为β_ds的估计值向量，β_ds为慢回路复合干扰D_s一阶导数 的上界值，A_s1、A_s2为慢回路动态滑模面的参数矩阵，该参数矩 阵为大于0的对角矩阵，即对角线上的每个元素均大于0，具体满足以下关系： A_s1=diag{a_s1,1,a_s1,2,a_s1,3}>0，A_s2=diag{a_s2,1,a_s2,2,a_s2,3}>0；B_s1、B_s2为慢回路滑模 趋近律的参数矩阵，具体满足以下关系：B_s1=diag{b_s1,1,b_s1,2,b_s1,3}>0， B_s2=diag{b_s2,1,b_s2,2,b_s2,3}>0；B_s3为慢回路复合干扰导数自适应律的参数矩阵， 具体满足以下关系：B_s3=diag{b_s3,1,b_s3,2,b_s3,3}>0；和值由高阶滑模微分器给 出；

b、采用普通滑模来设计快回路控制器，具体为：

b1、设计非线性干扰观测器对快回路中的复合干扰进行逼近

${\hat{D}}_f=-\mathrm{K\sigma }-\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left(\sigma \right)\right\}{\hat{\beta }}_f+\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_f\right)\right\}\left|{\hat{\beta }}_f\right|+\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_f\right)\right\}{\hat{\beta }}_f$

式中，为快回路中复合干扰的估计值；K为复合干扰估计值表达式中的参数 矩阵且K=diag{k₁,k₂,k₃}>0；σ=η-ω， $\stackrel{·}{\eta }=-\mathrm{K\sigma }-\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left(\sigma \right)\right\}{\hat{\beta }}_f+f_f\left(\omega \right)+g_f\left(\omega \right)+\delta \left(v\right)-K{\sigma }_f;$为β_f的估计值，β_f为 快回路复合干扰的上界值，Γ_β为快回路复合干扰上界自适 应律中的参数矩阵且为Γ_β的转置矩阵；为快 回路滑模面，e_f=ω-ω_c为快回路跟踪误差，A_f为快回路滑模面的参数矩阵，具 体满足：A_f=diag{a_f,1,a_f,2,a_f,3}>0；

b2、利用径向基神经网络估计执行器超出饱和限制的部分

$v_{\xi }={\hat{W}}_{\xi }^T{s}_{\xi }\left(z\right)$

式中，v_ξ为执行器超出饱和限制部分的估计值；为径向基神经网络的权值， ${\stackrel{·}{\hat{W}}}_{\xi }={\Gamma }_{\xi }{s}_{\xi }\left(z\right){\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right)-\gamma \left|\right|{\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right)\left|\right|{\Gamma }_{\xi }{\hat{W}}_{\xi },$γ和Γ_ξ分别为神经网络权值自适应律 中的实数和参数矩阵，且γ>0，为Γ_ξ的转置矩阵，表示对 列向量σ_f进行转置；s_ξ(z)=[s_ξ1,s_ξ2,…,s_ξl]^T为径向基向量，l为网络总节点数， z=[ω_c,e_f]^T为网络输入向量，s_ξ(z)中元素采用高斯基函数形式，即 c_k为网络第k个节点的中心向量，b_k为网络第k个节点的 基宽参数，k=1,2,…,l；

b3、根据b1中获得的快回路中复合干扰的估计值和b2中获得的执行器 超出饱和限制部分的估计值v_ξ，采用普通滑模法可得如下控制器模型：

v=v₀-v_ξ+v_r

式中，v₀为未考虑执行器饱和时的控制项，其具体形式为

$\left(\begin{array}{c}{v}_0=g_f{\left(\omega \right)}^T{\left(g_f\left(\omega \right)g_f{\left(\omega \right)}^T\right)}^{-1}(-f_f\left(\omega \right)+{\stackrel{·}{\omega }}_c-A_f{e}_f-{\hat{D}}_f\\ -B_{f1}\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_f\right)\right\}{\left|{\sigma }_f\right|}^{c_1}-B_{f2}\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_f\right)\right\}{\left|{\sigma }_f\right|}^{c_2})\end{array}\right);$g_f(ω)^T表示对g_f(ω)进 行转置；B_f1、B_f2为快回路滑模趋近律中的参数矩阵，且满足以下关系： B_f1=diag{b_f1,1,b_f1,2,b_f1,3}>0，B_f2=diag{b_f2,1,b_f2,2,b_f2,3}>0，c₁、c₂为满足以下 关系的实数：c₁>1，0<c₂<1，表示对ω_c求导；v_r=-K_rsgn(g_f(ω)^Tσ_f)为鲁 棒控制项，K_r为鲁棒控制项的参数矩阵，具体满足如下关系： K_r=diag{k_r,1,k_r,2,k_r,3,k_r,4,k_r,5}>0；

(3)利用步骤(2)中获得的慢回路控制器和快回路控制器对飞行器进行鲁棒 控制，具体为：

3-1、将姿态角当前信号Ω减去预定的姿态角指令信号Ω_c可得飞行器姿态角 误差信号e_s，将该误差信号e_s发送至慢回路控制器，基于动态滑模控制可得姿态 角速率指令信号ω_c；

3-2、将姿态角速率当前信号ω减去姿态角速率指令信号ω_c可得飞行器姿态 角速率误差信号e_f，将误差信号e_f发送至快回路控制器，基于径向基神经网络 补偿和滑模控制可得快回路中的执行器输入信号v，将v发送至执行器可得受执 行器饱和特性影响的输出向量则将执行器输出向量发送至飞行器指 令接收器，从而可以实现对飞行器预定姿态角Ω_c的跟踪控制。

本发明具体实施方式中为了叙述简洁，定义如下相关记号：

记号：对某一向量，|·|表示对其各个元素做绝对值运算；|·|^c表示对其各 个元素先做绝对值运算再做幂方运算；sgn(·)表示对其各个元素做符号函数运 算；||·||表示欧几里得范数(若是矩阵，则表示F-范数)；表示对其各个 元素做积分运算；diag(·)表示通过向量各个元素构成一对角阵，diag{sgn(·)}表 示先对其各个元素做符号函数运算然后再构成一对角阵。例如

χ＝[χ₁，χ₂，...，χ_n]^T，表示对χ各个元素求导，则

|χ|＝[|χ₁|，|χ₂|，...，|χ_n|]^T，

|χ|^c＝[|χ₁|^c，|χ₂|^c，...，|χ_n|^c]^T，

sgn(χ)＝[sgn(χ₁)，sgn(χ₂)，...，sgn(χ_n)]^T，

$\stackrel{·}{\chi }={[{\stackrel{·}{\chi }}_1,{\stackrel{·}{\chi }}_2,...,{\stackrel{·}{\chi }}_n]}^T,$

$\left|\chi \right||=\sqrt{{\chi }_1^2+{\chi }_2^2+···+{\chi }_n^2}\left(\right|\left|W\right||=\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{w}_{\mathrm{ij}}^2},W\in R^{n\times m}),$

${\int }_0^t\mathrm{\chi dt}={[{\int }_0^t{\chi }_1\mathrm{dt},{\int }_0^t{\chi }_2\mathrm{dt},...,{\int }_0^t{\chi }_n\mathrm{dt}]}^T,$

动态滑模控制

为使设计过程具有良好的易读性，首先简要介绍动态滑模控制相关知识。不 失一般性，考虑如下一类MIMO非线性仿射系统：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{x}=f\left(x\right)+g\left(x\right)u\\ y=h\left(x\right)\end{array}\right)---\left(1\right)$

其中，x∈Rⁿ为系统状态向量，y∈R^m为系统输出向量，u∈R^m为系统控制输入 向量，f(x)∈Rⁿ、g(x)∈R^n×m和h(x)∈R^m中各分量为有关x的光滑函数。设滑模 面σ=[σ₁(x),σ₂(x),…,σ_m(x)]^T∈R^m为系统(1)的光滑切换函数向量。在分析动态 滑模控制前需要如下定义和假设：

定义1：光滑标量函数σ_i(x)对状态向量x的梯度为

${▿\sigma }_i\left(x\right)=\frac{{\partial \sigma }_i\left(x\right)}{\partial x}=[\frac{{\partial \sigma }_i\left(x\right)}{{\partial x}_1},\frac{{\partial \sigma }_i\left(x\right)}{{\partial x}_2},...,\frac{{\partial \sigma }_i\left(x\right)}{{\partial x}_n}]---\left(2\right)$

定义2：光滑标量函数σ_i(x)对光滑向量场f(x)的李导数L_fσ_i(x)为

$L_f{\sigma }_i\left(x\right)={▿\sigma }_i\left(x\right)f\left(x\right)---\left(3\right)$

多重李导数按如下递推关系定义

$L_f^0{\sigma }_i\left(x\right)={\sigma }_i\left(x\right),k_f^{k_i}{\sigma }_i\left(x\right)=L_f{L}_f^{k_i-1}{\sigma }_i\left(x\right)=▿\left(L_f^{k_i-1}{\sigma }_i\left(x\right)\right)f\left(x\right),k_i=\mathrm{1,2,3},...---\left(4\right)$

定义3：若光滑标量函数σ_i(x)对光滑向量场f(x)的李导数满足如下两式：

$L_f^{k_i}{\sigma }_i\left(x\right)=0,k_i=\mathrm{0,1},...,r_i-1---\left(5\right)$

$L_f^{r_i}{\sigma }_i\left(x\right)\ne 0---\left(6\right)$

则称σ_i(x)对f(x)的相对阶为r_i。同时，称σ=[σ₁(x),σ₂(x),…,σ_m(x)]^T对f(x)的 相对阶为r，其中r=max{r₁,r₂,…,r_m}。

假设1：对MIMO非线性系统(1)，当系统进入σ=0滑模面后，运动模态能 保证x收敛到原点。

假设2：对MIMO非线性系统(1)，滑模面σ对输入u有相对阶向量[r₁,r₂,...,r_m]， 即对论域内所有x有如下等式成立：

$\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{L}_{g_j}{L}_f^{k_i}{\sigma }_i\left(x\right)=0,k_i=\mathrm{0,1},...,r_i-1---\left(7\right)$

$\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{L}_{g_j}{L}_f^{r_i-1}{\sigma }_i\left(x\right)\ne 0---\left(8\right)$

其中，g_j为矩阵g(x)的第j列向量，i=1,2,…,m。

假设3：对MIMO非线性系统(1)，如下矩阵对论域内所有x均可逆。

对滑模面各分量求导可得取下等式：

${\sigma }_i^{\left(k_i\right)}=L_f^{k_i}{\sigma }_i\left(x\right),k_i=\mathrm{0,1},...,r_i-1---\left(10\right)$

${\sigma }_i^{\left(r_i\right)}=L_f^{r_i}{\sigma }_i\left(x\right)+\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{L}_{g_j}{L}_f^{r_i-1}{\sigma }_i\left(x\right)u_j---\left(11\right)$

$\left(\begin{array}{c}{\sigma }_i^{(r_i+1)}=L_f^{r_i+1}{\sigma }_i\left(x\right)+\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{L}_{g_j}{L}_f^{r_i}{\sigma }_i\left(x\right)u_j+\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{L}_f{L}_{g_j}{L}_f^{r_i-1}{\sigma }_i\left(x\right)u_j\\ +\underset{l=1}{\overset{m}{\Sigma }}{L}_{g_l}\left(\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{L}_{g_j}{L}_f^{r_i-1}{\sigma }_i\left(x\right)u_j\right)u_l+\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{L}_{g_j}{L}_f^{r_i-1}{\sigma }_i\left(x\right){\stackrel{·}{u}}_j\end{array}\right)---\left(12\right)$

其中，i=1,2,…,m。

取新的滑模面：

${\theta }_i={\sigma }_i^{\left(r_i\right)}+c_{i,1}{\sigma }_i^{(r_i-1)}+c_{i,2}{\sigma }_i^{(r_i-2)}+···+c_{i,r_i-1}{\stackrel{·}{\sigma }}_i+c_{i,r_i}{\sigma }_i+c_{i,r_i+1}---\left(13\right)$

其中，待设计的参数c_i,j(i=1,2,…,m，j=1,2,…,r_i+1)应使得多项式(13) Hurwitz稳定。

对式(13)求导可得：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\theta }}_i={\sigma }_i^{(r_i+1)}+c_{i,1}{\sigma }_i^{\left(r_i\right)}+c_{i,2}{\sigma }_i^{(r_i-1)}+···+c_{i,r_i-1}{\stackrel{··}{\sigma }}_i+c_{i,r_i}{\stackrel{·}{\sigma }}_i\\ ={\sigma }_i^{(r_i+1)}+\underset{j=1}{\overset{r_i}{\Sigma }}{c}_{i,j}{\sigma }_i^{(r_i+1-j)}\end{array}\right)---\left(14\right)$

根据式(12)、(14)可得如下向量关系式：

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{\theta }=A(x,u)+B\left(x\right)\stackrel{·}{u}+C(x,u)\\ A(x,u)=A_1\left(x\right)+A_2\left(x\right)u+A_3\left(x\right)u+A_4\left(x\right)u\end{array}\right)---\left(15\right)$

其中，$\stackrel{·}{\theta }={[{\stackrel{·}{\theta }}_1,{\stackrel{·}{\theta }}_2,...,{\stackrel{·}{\theta }}_m]}^T,$

$A_1\left(x\right)={[L_f^{r_1+1}{\sigma }_1\left(x\right),L_f^{r_2+1}{\sigma }_2\left(x\right),...,L_f^{r_m+1}{\sigma }_m\left(x\right)]}^T\in R^m---\left(16\right)$

$C(x,u)={[\underset{j=1}{\overset{r_1}{\Sigma }}{c}_{1,j}{\sigma }_1^{(r_1+1-j)},\underset{j=1}{\overset{r_2}{\Sigma }}{c}_{2,j}{\sigma }_2^{(r_2+1-j)},...,\underset{j=1}{\overset{r_m}{\Sigma }}{c}_{m,j}{\sigma }_m^{(r_m+1-j)}]}^T\in R^m---\left(21\right)$

为保证滑模到达条件成立，滑模趋近律Φ_θ可取适当的形式，如指数趋近律：

${\Phi }_{\theta }=-{\bar{C}}_1\theta -{\bar{C}}_2\mathrm{sgn}\left(\theta \right)---\left(22\right)$

其中，为滑模趋近律中的参数矩阵，且满足如下关系：

${\bar{C}}_1=\mathrm{diag}\{{\bar{c}}_{\mathrm{1,1}},{\bar{c}}_{\mathrm{1,2}},...,{\bar{c}}_{1,m}\}>0,$${\bar{C}}_2=\mathrm{diag}\{{\bar{c}}_{\mathrm{2,1}},{\bar{c}}_{\mathrm{2,2}},...,{\bar{c}}_{2,m}\}>0.$

由式(15)、(22)可得动态滑模控制器为：

$\stackrel{·}{u}=B^{-1}\left(x\right)({\Phi }_{\theta }-A(x,u)-C(x,u))---\left(23\right)$

对式(23)积分可得：

$u\left(t\right)=u\left(0\right)+{\int }_0^t\left(B^{-1}\left(x\right)({\Phi }_{\theta }-A(x,u)-C(x,u))\right)\mathrm{dt}---\left(24\right)$

可见，动态滑模控制通过将趋近律Φ_θ中的不连续项放入到积分中，得到整 个时间域上的连续控制项，从而有效的降低了控制器的抖振。

1、NSV慢回路控制器设计

在对NSV姿态系统进行控制器设计前需要如下假设：

假设4：对NSV姿态运动系统，慢回路中复合干扰D_s=[D_s,1,D_s,2,D_s,3]^T及其 一阶导数有界，即|D_s,i|≤β_s,i，β_s,i>0，β_s=[β_s,1,β_s,2,β_s,3]^T， β_ds,i>0，β_ds=[β_ds,1,β_ds,2,β_ds,3]^T；快回路中复合干扰 D_f=[D_f,1,D_f,2,D_f,3]^T有界，即|D_f,i|≤β_f,i，β_f,i>0，β_f=[β_f,1,β_f,2,β_f,3]^T， i=1,2,3。

假设5：对NSV姿态运动系统，期望姿态角向量Ω_c已知连续且其二阶导数存 在。

假设6：对NSV姿态运动系统，控制增益矩阵g_s(Ω)和g_f(ω)广义逆存在。

在NSV慢回路系统中，只考虑系统的不确定性，即慢回路中的复合干扰仅由 系统的不确定项组成，基于动态滑模控制设计相应的控制器。

定理1：针对NSV慢回路系统，设计式(25)、(26)的滑模面，采用式(27)指 数趋近律以保证滑模到达条件成立，复合干扰D_s一阶导数上界估计值的自适应 律取为式(28)，慢回路动态滑模控制器设计为式(29)，则慢回路跟踪误差渐进收 敛于原点。

${\sigma }_{s1}=e_s+{\int }_0^t{A}_{s1}{e}_s\mathrm{dt}---\left(25\right)$

${\sigma }_{s2}={\stackrel{·}{\sigma }}_{s1}+A_{s2}{\sigma }_{s1}---\left(26\right)$

${\Phi }_{{\sigma }_{s2}}=-B_{s1}{\sigma }_{s2}-B_{s2}\mathrm{sgn}\left({\sigma }_{s2}\right)---\left(27\right)$

${\stackrel{·}{\hat{\beta }}}_{\mathrm{ds}}=B_{s3}\left|{\sigma }_{s2}\right|---\left(28\right)$

$\left(\begin{array}{c}{\omega }_c=g_s{\left(\Omega \right)}^{-1}{\int }_0^t({\psi }_1+{\psi }_2)\mathrm{dt}\\ {\psi }_1=-{\stackrel{·}{f}}_s\left(\Omega \right)+{\stackrel{··}{\Omega }}_c-(A_{s1}+A_{s2}){\stackrel{·}{e}}_s-A_{s2}{A}_{s1}{e}_s\\ {\psi }_2=-B_{s1}{\sigma }_{s2}-B_{s2}\mathrm{sgn}\left({\sigma }_{s2}\right)-\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_{s2}\right)\right\}{\hat{\beta }}_{\mathrm{ds}}\end{array}\right)---\left(29\right)$

其中，e_s=Ω-Ω_c为慢回路跟踪误差；g_s(Ω)^-1表示对矩阵g_s(Ω)求逆；A_s1、A_s2为慢回路动态滑模面的参数矩阵，具体满足以下关系：A_s1=diag{a_s1,1,a_s1,2,a_s1,3}>0， A_s2=diag{a_s2,1,a_s2,2,a_s2,3}>0；B_s1、B_s2为慢回路滑模趋近律的参数矩阵，具体满 足以下关系：B_s1=diag{b_s1,1,b_s1,2,b_s1,3}>0，B_s2=diag{b_s2,1,b_s2,2,b_s2,3}>0；B_s3为 慢回路复合干扰导数自适应律的参数矩阵，具体满足以下关系： B_s3=diag{b_s3,1,b_s3,2,b_s3,3}>0；为β_ds的估计值向量，β_ds为慢回路复合干扰D_s一阶导数的上界值。

证明：选择Lyapunov函数为

$V_s=\frac{1}{2}{\sigma }_{s2}^T{\sigma }_{s2}+\frac{1}{2}{\tilde{\beta }}_{\mathrm{ds}}^T{B}_{s3}^{-1}{\tilde{\beta }}_{\mathrm{ds}}---\left(30\right)$

其中，${\tilde{\beta }}_{\mathrm{ds}}={\beta }_{\mathrm{ds}}-{\hat{\beta }}_{\mathrm{ds}},$且有${\stackrel{·}{\stackrel{~}{\beta }}}_{\mathrm{ds}}={\stackrel{·}{\beta }}_{\mathrm{ds}}-{\stackrel{·}{\hat{\beta }}}_{\mathrm{ds}}=-{\stackrel{·}{\hat{\beta }}}_{\mathrm{ds}}.$

考虑到式(25)、(29)，对式(26)求导可得

${\stackrel{·}{\sigma }}_{s2}={\stackrel{·}{f}}_s\left(\Omega \right)+{\psi }_1+{\psi }_2+{\stackrel{·}{D}}_s-{\stackrel{··}{\Omega }}_c+A_{s1}{\stackrel{·}{e}}_s+A_{s2}{\stackrel{·}{e}}_s+A_{s2}{A}_{s1}{e}_s$

    $\left(31\right)$

$={\stackrel{·}{D}}_s-B_{s1}{\sigma }_{s2}-B_{s2}\mathrm{sgn}\left({\sigma }_{s2}\right)-\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_{s2}\right)\right\}{\hat{\beta }}_{\mathrm{ds}}$

根据式(28)、(31)，对式(30)求导可得

${\stackrel{·}{V}}_s={\sigma }_{s2}^T{\stackrel{·}{\sigma }}_{s2}-{\tilde{\beta }}_{\mathrm{ds}}^T{B}_{s3}^{-1}{\stackrel{·}{\hat{\beta }}}_{\mathrm{ds}}$

$={\sigma }_{s2}^T({\stackrel{·}{D}}_s-B_{s1}{\sigma }_{s2}-B_{s2}\mathrm{sgn}\left({\sigma }_{s2}\right)-\mathrm{diag}\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_{s2}\right)\left\}{\hat{\beta }}_{\mathrm{ds}}\right)-{\tilde{\beta }}_{\mathrm{ds}}^T\left|{\sigma }_{s2}\right|$

$\le -{{\sigma }_{s2}}^T{B}_{s1}{\sigma }_{s2}-{{\sigma }_{s2}}^T{B}_{s2}\mathrm{sgn}\left({\sigma }_{s2}\right)+{\left|{\sigma }_{s2}\right|}^T{\beta }_{\mathrm{ds}}-{\left|{\sigma }_{s2}\right|}^T{\hat{\beta }}_{\mathrm{ds}}-{\tilde{\beta }}_{\mathrm{ds}}^T\left|{\sigma }_{s2}\right|$

$\left(32\right)$

$=-\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{b}_{s1,i}{\sigma }_{s2,i}^2-\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{b}_{s2,i}\left|{\sigma }_{s2,i}\right|$

其中，σ_s2=[σ_s2,1,σ_s2,2,σ_s2,3]^T。

可见，若σ_s2≠0，则所以滑模面σ_s2满足到达条件，σ_s2渐进收敛于 原点。当σ_s2收敛于原点后，由式(25)和(26)可知，滑模面σ_s1收敛于原点，最终 跟踪误差e_s收敛于原点，即证。

注1：式(29)中的ω_c为NSV慢回路的控制向量，同时也为NSV快回路的期望 输入向量。

注2：NSV慢回路控制器中所需要的微分项由高阶滑模微分器(Higher-Order  Sliding Mode Differentiator,HOSMD)获得。n阶HOSMD如下式所示

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{z}}_0={\zeta }_0=-{\lambda }_0{|z_0-\bar{f}\left(t\right)|}^{n/(n+1)}\mathrm{sgn}(z_0-\bar{f}\left(t\right))+z_1\\ ·\\ ·\\ ·\\ {\stackrel{·}{z}}_i={\zeta }_i=-{\lambda }_i{|z_i-{\zeta }_{i-1}|}^{(n-i)/(n-i+1)}\mathrm{sgn}(z_i-{\zeta }_{i-1})+z_{i+1}\\ ·\\ ·\\ ·\\ {\stackrel{·}{z}}_{n-1}={\zeta }_{n-1}=-{\lambda }_{n-1}{|z_{n-1}-{\zeta }_{n-2}|}^{(1/2)}\mathrm{sgn}(z_{n-1}-{\zeta }_{n-2})+z_n\\ {\stackrel{·}{z}}_n=-{\lambda }_n\mathrm{sgn}(z_n-{\zeta }_{n-1})\end{array}\right)---\left(33\right)$

其中，z_i和ζ_i为系统(33)的内部状态，λ₀,λ₁,...,λ_n为待设计的微分器参数。HOSMD 的目的是使ζ_i以任意精度逼近的第i+1阶微分估计值。

注3：为了获得参考指令信号的导数，可让其通过如下的二阶指令参考模型

$G\left(s\right)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2{\xi }_n{\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}---\left(34\right)$

其中，ω_n和ξ_n均为待设计的参数，具体含义分别指自然频率和阻尼比,s为拉普 拉斯变换所对应的复数域中的变量。

2、NSV快回路控制器设计

由于NSV慢回路复合干扰D_s仅受模型不确定性的影响，故在慢回路中采用 了自适应法在线估计其上界，从而设计了控制器。但是在快回路中，复合干扰D_f还受外部干扰的影响，且外部干扰的数量级远大于模型不确定项的数量级。若快 回路中的复合干扰仍采用自适应法处理，由于所设计出的干扰抵消项不能够精确 地抵消和补偿系统所受的复合干扰，使得系统运动轨迹反复穿越平衡点，导致控 制系统性能下降，故在快回路中采用非线性干扰观测器对复合干扰进行逼近，从 而设计出相应的干扰抵消项。但是，若快回路控制器设计仍采用动态滑模方法， 则控制项中将含有干扰观测器输出的导数，闭环系统的稳定性证明和估计误差导 数的有界性证明不同于一般方法，使得整体控制设计方案复杂，所以快回路控制 器设计采用普通滑模控制，利用双幂次趋近律降低控制器抖振。

在快回路中，由于舵面存在饱和受限的情况，考虑到RBFNNs能够以任意精 度逼近任意连续函数，这里采用RBFNNs对控制器进行饱和补偿。具体的是，利 用RBFNNs估计执行器超出饱和限制的部分，在控制律设计中，对其进行抵消， 从而使执行器退出饱和。

根据饱和函数特性知

δ(v)=sat(v)=v+ξ(v)    (35)

其中，ξ(v)为执行器超出饱和的部分。

利用RBFNNs对ξ(v)进行逼近，具体如下：

$\xi \left(v\right)=W_{\xi }^{*T}{s}_{\xi }\left(z\right)+{ϵ}_{\xi }---\left(36\right)$

其中，为最优权值矩阵且满足l为网络总节点数； z=[ω_c,e_f]^T为网络输入向量；ε_ξ=[ε_ξ,1,ε_ξ,2,ε_ξ,3,ε_ξ,4,ε_ξ,5]^T为其逼近精度，通过调 整RBFNNs节点数与权值，ε_ξ可以任意小，这里假设|ε_ξ,i|≤ε_Mξ,i，ε_Mξ,i>0； s_ξ(z)=[s_ξ1,s_ξ2,…,s_ξl]^T为径向基向量，其中s_ξk为高斯基函数：

$s_{\mathrm{\xi k}}=\exp (-\frac{{\left|\right|z-c_k\left|\right|}^2}{2b_k^2})---\left(37\right)$

其中，c_k为网络第k个节点的中心向量，b_k为网络第k个节点的基宽参数， k=1,2,…,l。

设计控制律

v=v₀-v_ξ+v_r    (38)

其中，v₀为未考虑执行器饱和时的控制项，为RBFNNs实际输出，v_r为鲁棒项。

将式(36)、(38)代入式(35)可得

$\delta \left(v\right)=v_0-v_{\xi }+v_r+W_{\xi }^{*T}{s}_{\xi }\left(z\right)+{ϵ}_{\xi }$

$=v_0-{\hat{W}}_{\xi }^T{s}_{\xi }\left(z\right)+W_{\xi }^{*T}{s}_{\xi }\left(z\right)+v_r+{ϵ}_{\xi }---\left(39\right)$

$=v_0+{\tilde{W}}_{\xi }^T{s}_{\xi }\left(z\right)+v_r+{ϵ}_{\xi }$

其中，${\tilde{W}}_{\xi }=W_{\zeta }^{*}-{\tilde{W}}_{\xi }.$

为实现对快回路中未知复合干扰的有效逼近，引入如下辅助变量

σ=η-ω    (40)

$\stackrel{·}{\eta }=-\mathrm{K\sigma }-\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left(\sigma \right)\right\}{\hat{\beta }}_f+f_f\left(\omega \right)+g_f\left(\omega \right)\delta \left(v\right)-{\mathrm{K\sigma }}_f---\left(41\right)$

其中，K为快回路复合干扰估计值参表达式中的参数矩阵且 K=diag{k₁,k₂,k₃}>0，为β_f=[β_f,1,β_f,2,β_f,3]^T的估计值， σ=[σ₁,σ₂,σ₃]^T为辅助变量，σ_f=[σ_f1,σ_f2,σ_f3]^T为快回路所设计的滑模面，下文 给出具体表达式。

快回路复合干扰D_f的观测估计值如下：

${\hat{D}}_f=-\mathrm{K\sigma }-\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left(\sigma \right)\right\}{\hat{\beta }}_f+\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_f\right)\right\}\left|{\hat{\beta }}_f\right|+\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_f\right)\right\}{\hat{\beta }}_f---\left(42\right)$

考虑到式(41)，对式(40)求导可得

$\stackrel{·}{\sigma }=-\mathrm{K\sigma }-\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left(\sigma \right)\right\}{\hat{\beta }}_f-{\mathrm{K\sigma }}_f-D_f---\left(43\right)$

定义快回路复合干扰D_f的逼近误差为

${\tilde{D}}_f=D_f-{\hat{D}}_f---\left(44\right)$

将式(42)、(43)代入式(44)可得

${\tilde{D}}_f=\mathrm{K\sigma }+\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left(\sigma \right)\right\}{\hat{\beta }}_f+D_f-\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_f\right)\right\}\left|{\hat{\beta }}_f\right|-\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_f\right)\right\}{\hat{\beta }}_f$

$=-\stackrel{·}{\sigma }-{\mathrm{K\sigma }}_f-\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_f\right)\right\}\left|{\hat{\beta }}_f\right|-\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_f\right)\right\}{\hat{\beta }}_f---\left(45\right)$

定理2：对于NSV快回路系统，设计式(46)的滑模面，采用式(47)双幂次趋 近律以保证滑模到达条件成立，干扰观测器按式(42)设计，且参数自适应律取为 式(48)，利用RBFNNs对执行器的饱和非线性进行补偿，其中权值矩阵自适应律 如式(49)所示，快回路控制器设计成式(50)，则快回路跟踪误差渐进收敛于原点， 且干扰观测器逼近误差也最终收敛于原点。

${\sigma }_f=e_f+{\int }_0^t{A}_f{e}_f\mathrm{dt}---\left(46\right)$

${\Phi }_{{\sigma }_f}=-B_{f1}\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_f\right)\right\}{\left|{\sigma }_f\right|}^{c_1}-B_{f2}\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_f\right)\right\}{\left|{\sigma }_f\right|}^{c_2}---\left(47\right)$

${\stackrel{·}{\hat{\beta }}}_f={\Gamma }_{\beta }\left(\right|\sigma |+|{\sigma }_f\left|\right)---\left(48\right)$

${\stackrel{·}{\hat{W}}}_{\xi }={\Gamma }_{\xi }{s}_{\xi }\left(z\right){\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right)-\gamma \left|\right|{\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right)\left|\right|{\Gamma }_{\xi }{\hat{W}}_{\xi }---\left(49\right)$

$\left(\begin{array}{c}v=v_0-v_{\xi }+v_r\\ v_0=g_f{\left(\omega \right)}^T{\left(g_f\left(\omega \right)g_f{\left(\omega \right)}^T\right)}^{-1}(-f_f\left(\omega \right)+{\stackrel{·}{\omega }}_c-A_f{e}_f-{\hat{D}}_f-B_{f1}\mathrm{diag}\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_f\right)\}{\left|{\sigma }_f\right|}^{c_1}\\ -B_{f2}\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_f\right)\right\}{\left|{\sigma }_f\right|}^{c_2})\\ v_{\xi }={\hat{W}}_{\xi }^T{s}_{\xi }\left(z\right)\\ v_r=-K_r\mathrm{sgn}\left(g_f{\left(\omega \right)}^T{\sigma }_f\right)\end{array}\right)---\left(50\right)$

其中，e_f=ω-ω_c为快回路跟踪误差；g_f(ω)^T表示对g_f(ω)进行转置；A_f为快 回路滑模面的参数矩阵，且满足以下关系：A_f=diag{a_f,1,a_f,2,a_f,3}>0；B_f1、B_f2为快回路滑模趋近律中的参数矩阵，且满足以下关系： B_f1=diag{b_f1,1,b_f1,2,b_f1,3}>0，B_f2=diag{b_f2,1,b_f2,2,b_f2,3}>0，c₁、c₂为满足以下 关系的实数：c₁>1，0<c₂<1；Γ_β为快回路复合干扰上界自适应律中的参数矩 阵且满足为Γ_β的转置矩阵；γ和Γ_ξ分别为网络权值自适应律中 的实数和参数矩阵，且满足γ>0，为Γ_ξ的转置矩阵；K_r为鲁 棒控制项的参数矩阵，具体满足如下关系：K_r=diag{k_r,1,k_r,2,k_r,3,k_r,4,k_r,5}>0。

证明：选择Lyapunov函数为

$V_f=\frac{1}{2}{\sigma }_f^T{\sigma }_f+\frac{1}{2}{\sigma }^T\sigma +\frac{1}{2}{\tilde{\beta }}_f^T{\Gamma }_{\beta }^{-1}{\tilde{\beta }}_f+\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left({\tilde{W}}_{\xi }^T{\Gamma }_{\xi }^{-1}{\tilde{W}}_{\xi }\right)---\left(51\right)$

其中，${\tilde{\beta }}_f={\beta }_f-{\hat{\beta }}_f,$且有$\stackrel{·}{\stackrel{~}{\beta }}={\stackrel{·}{\beta }}_f-{\stackrel{·}{\hat{\beta }}}_f=-{\stackrel{·}{\hat{\beta }}}_f,$${\tilde{W}}_{\xi }=W_{\xi }^{*}-{\hat{W}}_{\xi },$且有 ${\stackrel{·}{\stackrel{~}{W}}}_{\xi }={\stackrel{·}{W}}_{\xi }^{*}-{\stackrel{·}{\hat{W}}}_{\xi }=-{\stackrel{·}{\hat{W}}}_{\xi }.$

对式(46)求导可得

${\stackrel{·}{\sigma }}_f=f_f\left(\omega \right)+g_f\left(\omega \right)\delta \left(v\right)+D_f-{\stackrel{·}{\omega }}_c+A_f{e}_f---\left(52\right)$

根据式(39)、(44)、(50)和(52)可得

${\stackrel{·}{\sigma }}_f=f_f\left(\omega \right)+D_f-{\stackrel{·}{\omega }}_c+A_f{e}_f+g_f\left(\omega \right)(v_0+{\tilde{W}}_{\xi }^T{s}_{\xi }\left(z\right)+v_r+{ϵ}_{\xi })$

$={\tilde{D}}_f-B_{f1}\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_f\right)\right\}{\left|{\sigma }_f\right|}^{c_1}-B_{f2}\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left({\sigma }_f\right)\right\}{\left|{\sigma }_f\right|}^{c2})---\left(53\right)$

$+g_f\left(\omega \right){\tilde{W}}_{\xi }^T{s}_{\xi }\left(z\right)-g_f\left(\omega \right)K_r\mathrm{sgn}\left(g_f{\left(\omega \right)}^T{\sigma }_f\right)+g_f\left(\omega \right){ϵ}_{\xi }$

考虑到式(43)、(53)，对式(51)求导可得

${\stackrel{·}{V}}_f={\sigma }_f^T{\stackrel{·}{\sigma }}_f+{\sigma }^T\stackrel{·}{\sigma }-{\tilde{\beta }}_f^T{\Gamma }_{\beta }^{-1}{\stackrel{·}{\hat{\beta }}}_f-\mathrm{tr}\left({\tilde{W}}_{\xi }^T{\Gamma }_{\xi }^{-1}{\stackrel{·}{\hat{W}}}_{\xi }\right)$

$={\sigma }_f^T{\tilde{D}}_f-\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{b}_{f1,i}{\left|{\sigma }_{f,i}\right|}^{1+c_1}-\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{b}_{f2,i}{\left|{\sigma }_{f,i}\right|}^{1+c_2}$

                            $\left(54\right)$

$+{\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right){\tilde{W}}_{\xi }^T{s}_{\xi }\left(z\right)-{\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right)K_r\mathrm{sgn}\left(g_f{\left(\omega \right)}^T{\sigma }_f\right)+{\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right){ϵ}_{\xi }$

$-\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{k}_i{\sigma }_i^2-{\left|\sigma \right|}^T{\hat{\beta }}_f-{\sigma }^T{\mathrm{K\sigma }}_f-{\sigma }^T{D}_f-{\tilde{\beta }}_f^T{\Gamma }_{\beta }^{-1}{\stackrel{·}{\hat{\beta }}}_f-\mathrm{tr}\left({\tilde{W}}_{\xi }^T{\Gamma }_{\xi }^{-1}{\stackrel{·}{\hat{W}}}_{\xi }\right)$

考虑到式(45)可得

${\sigma }_f^T{\tilde{D}}_f={\sigma }_f^T\mathrm{K\sigma }+{\sigma }_f^T\mathrm{diag}\left\{\mathrm{sgn}\left(\sigma \right)\right\}{\hat{\beta }}_f+{\sigma }_f^T{D}_f-{\left|{\sigma }_f\right|}^T\left|{\hat{\beta }}_f\right|-{\left|{\sigma }_f\right|}^T{\hat{\beta }}_f$

$\le {\sigma }_f^T\mathrm{K\sigma }+{\left|{\sigma }_f\right|}^T\left|{\hat{\beta }}_f\right|+{\left|{\sigma }_f\right|}^T{\beta }_f-{\left|{\sigma }_f\right|}^T\left|{\hat{\beta }}_f\right|-{\left|{\sigma }_f\right|}^T{\hat{\beta }}_f---\left(55\right)$

$={\sigma }_f^T\mathrm{K\sigma }+{\left|{\sigma }_f\right|}^T{\tilde{\beta }}_f$

将式(55)代入式(54)可得

${\stackrel{·}{V}}_f\le -\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{b}_{f1,i}{\left|{\sigma }_{f,i}\right|}^{1+c_1}-\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{b}_{f2,i}{\left|{\sigma }_{f,i}\right|}^{1+c_2}-\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{k}_i{\sigma }_i^2$

$-{\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right)K_r\mathrm{sgn}\left(g_f{\left(\omega \right)}^T{\sigma }_f\right)+{\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right){ϵ}_{\xi }+{\left|{\sigma }_f\right|}^T{\tilde{\beta }}_f-{\left|\sigma \right|}^T{\hat{\beta }}_f$

$+{\left|\sigma \right|}^T{\beta }_f+{\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right){\tilde{W}}_{\xi }^T{s}_{\xi }\left(z\right)-{\tilde{\beta }}_f^T{\Gamma }_{\beta }^{-1}{\stackrel{·}{\hat{\beta }}}_f-\mathrm{tr}\left({\tilde{W}}_{\xi }^T{\Gamma }_{\xi }^{-1}{\stackrel{·}{\hat{W}}}_{\xi }\right)$

$\le -\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{b}_{f1,i}{\left|{\sigma }_{f,i}\right|}^{1+c_1}-\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{b}_{f2,i}{\left|{\sigma }_{f,i}\right|}^{1+c_2}-\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{k}_i{\sigma }_i^2$

$-\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}(k_{r,i}-{ϵ}_{\mathrm{M\xi },i})\left|{\sigma }_f^T{g}_{f,i}\right|+{\left|{\sigma }_f\right|}^T{\tilde{\beta }}_f+{\left|\sigma \right|}^T{\tilde{\beta }}_f$

$-{\tilde{\beta }}_f^T{\Gamma }_{\beta }^{-1}{\stackrel{·}{\hat{\beta }}}_f-\mathrm{tr}({\tilde{W}}_{\xi }^T{\Gamma }_{\xi }^{-1}{\stackrel{·}{\hat{W}}}_{\xi }-{\tilde{W}}_{\xi }^T{s}_{\xi }\left(z\right){\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right))---\left(56\right)$

其中，g_f,i表示矩阵g_f(ω)的第i列向量。

将参数自适应律式(48)、(49)代入式(56)可得

${\stackrel{·}{V}}_f\le -\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{b}_{f1,i}{\left|{\sigma }_{f,i}\right|}^{1+c_1}-\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{b}_{f2,i}{\left|{\sigma }_{f,i}\right|}^{1+c_2}-\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{k}_i{\sigma }_i^2$

                $\left(57\right)$

$-\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}(k_{r,i}-{ϵ}_{\mathrm{M\xi },i})\left|{\sigma }_f^T{g}_{f,i}\right|+\mathrm{tr}\left(\gamma \right|\left|{\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right)\right|\left|{\tilde{W}}_{\xi }^T{\hat{W}}_{\xi }\right)$

注意如下不等式：

$\mathrm{tr}\left({\tilde{W}}_{\xi }^T(W_{\xi }^{*}-{\tilde{W}}_{\xi })\right)\le \left|\right|{\tilde{W}}_{\xi }\left|\right|\left|\right|W_{\xi }^{*}\left|\right|-{\left|\right|{\tilde{W}}_{\xi }\left|\right|}^2---\left(58\right)$

所以有：

$\mathrm{tr}\left(\gamma \right|\left|{\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right)\right|\left|{\tilde{W}}_{\xi }^T{\hat{W}}_{\xi }\right)=\gamma \left|\right|{\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right)\left|\right|\mathrm{tr}\left({\tilde{W}}_{\xi }^T(W_{\xi }^{*}-{\tilde{W}}_{\xi })\right)$

$\le \gamma \left|\right|{\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right)\left|\right|\left(\right|\left|{\tilde{W}}_{\xi }\right||W_M-{\left|\right|{\tilde{W}}_{\xi }\left|\right|}^2)---\left(59\right)$

$=\gamma \left|\right|{\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right)\left|\right|(-{\left(\right|\left|{\tilde{W}}_{\xi }\right||-\frac{1}{2}{W}_M)}^2+\frac{1}{4}{W}_M^2)$

将式(59)代入式(57)可得

${\stackrel{·}{V}}_f\le -\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{b}_{f1,i}{\left|{\sigma }_{f,i}\right|}^{1+c_1}-\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{b}_{f2,i}{\left|{\sigma }_{f,i}\right|}^{1+c_2}-\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{k}_i{\sigma }_i^2$

$-\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}(k_{r,i}-{ϵ}_{\mathrm{M\xi },i})\left|{\sigma }_f^T{g}_{f,i}\right|+\frac{1}{4}{W}_M^2\gamma \left|\right|{\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right)\left|\right|$

$-\gamma \left|\right|{\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right)\left|\right|{\left(\right|\left|{\tilde{W}}_{\xi }\right||-\frac{1}{2}{W}_M)}^2---\left(60\right)$

$\le -\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{b}_{f1,i}{\left|{\sigma }_{f,i}\right|}^{1+c_1}-\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{b}_{f2,i}{\left|{\sigma }_{f,i}\right|}^{1+c_2}-\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{k}_i{\sigma }_i^2$

$-\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}(k_{r,i}-{ϵ}_{\mathrm{M\xi },i}-\frac{1}{4}{W}_M^2\gamma |)\left|{\sigma }_f^T{g}_{f,i}\right|-\gamma \left|\right|{\sigma }_f^T{g}_f\left(\omega \right)\left|\right|{\left(\right|\left|{\tilde{W}}_{\xi }\right||-\frac{1}{2}{W}_M)}^2$

若则所以有σ_f、σ渐进收敛于原点，根据 式(46)可知跟踪误差e_f收敛于原点，根据式(45)可知干扰观测器逼近误差收 敛于原点，即证。

注4：对于双幂次趋近律，当系统状态远离滑动模态(|σ_f,i|>1)时，式(47) 中第一项起主导作用，此时双幂次趋近律速度高于一般趋近律；当系统状态接近 滑动模态(|σ_f,i|<1)时，式(47)第二项起主导作用，此时双幂次趋近律速度低于 一般趋近律，两项结合实现了与滑动模态的光滑过渡，削弱了控制器的抖振。

本发明对近空间飞行器姿态运动系统中的慢回路和快回路分别进行了控制 器设计。对于慢回路系统，采用自适应法处理系统中的复合干扰，基于动态滑模 方法进行控制器设计，进而解决控制器的抖振问题；对于快回路系统，考虑到外 部干扰的数量级远远大于系统不确定项的数量级，利用非线性干扰观测器技术对 复合干扰进行处理，基于双幂次趋近律的普通滑模方法进行控制器设计，同时利 用径向基神经网络构造一种补偿器对所设计的控制器进行饱和补偿，进而解决飞 行器舵面饱和受限的问题。