防止模态跃迁的六自由度并联机构全局模态空间控制方法

摘要

本发明公开了一种防止模态跃迁的六自由度并联机构全局模态空间控制方法。本发明采用一种新的矩阵特征值迭代求解算法获得并联机构在全局工作空间内的实时模态解耦矩阵。该迭代求解算法利用模态连续性原理，基于数值迭代思想，采用从中位模态向全局工作空间逐步迭代逼近的方法，沿着位姿变化方向，通过若干步迭代完成模态频率及模态解耦阵的求解，消除了采用传统方法求解造成的模态跃迁现象。本发明具有在六自由度并联机构全局工作空间内实现完全模态解耦的优点，能够使模态空间控制器的适用性增强。在此基础上构造的全局模态空间控制器，扩展了模态空间控制的适用范围，使之适用于六自由度并联机构大范围全局工作空间。

说明书

技术领域

本发明涉及控制及机械领域，具体是一种防止模态跃迁的六自由度并联机构 全局模态空间控制方法。

背景技术

模态空间控制可将强耦合的多输入多输出(MIMO)六自由度并联机构控制系 统转换为无耦合的单输入单输出(SISO)系统进行控制，由于其物理意义明确， 可大幅扩展系统频宽而受到广泛的关注，其核心思想为将原本耦合的自由度空间 通过模态解耦阵U转化为无耦合的模态空间，在模态空间内则可采用传统控制理 论对系统进行设计及控制，模态解耦阵U可由广义频率矩阵的特征值分解获得： Ω＝U^T∑U，Ω为广义频率矩阵，U为模态解耦阵，∑为模态频率阵。

然而，六自由度并联机构在全局工作空间运动时，其模态频率阵∑及模态解 耦阵U并不是固定不变的，而是随着空间位姿不断变化，即矩阵Ω为以六个位姿 参数为变量的函数，Ω＝f(ε)，在位姿参数的影响下，会导致 模态跃迁现象的发生，其本质是当位姿参数发生变化时，由于现有矩阵特征值分 解算法保持特征值由大到小排列的性质，使得原系统相邻模态间的顺序发生改 变，表现为位姿变化之前的低阶模态转化为变化之后的高阶模态。

模态跃迁造成模态空间控制器各阶模态控制参数与跃迁后对应模态不匹配 现象，使得模态空间控制器控制特性变差甚至造成系统振荡，故目前只能采用系 统中位时的模态频率及模态解耦阵构造模态空间控制器，这使得模态空间控制器 的适用性大大减弱。

发明内容

基于以上不足之处，本发明的目的在于提供了一种防止模态跃迁的六自由度 并联机构全局模态空间控制方法。

本发明采用的技术如下：

当广义频率矩阵Ω＝f(ε)由平台中位时，Ω₀＝f(ε₀)变为某一空间位姿处 Ω_T＝f(ε_T)，我们要求矩阵Ω_T的特征值分解Ω_T＝U^T∑U。

本发明采用以下技术方案予以实现：

步骤1：设置初值。包括初始步长Δ_h0、初始模态解耦阵U₀及迭代精度e。

初始步长Δ_h0的选取：将Ω_T分解为Ω_T＝Ω₀+Δ_T，取N为正整数。

初始模态解耦阵U₀的选取：

1)计算广义频率矩阵Ω₀，Ω₀＝f(ε₀)。

2)使用公知的常规数值解法算法SVD求得Ω₀的特征值分解：

迭代精度e的选取：依据所需计算精度而定。

初次迭代计算中Δ_h＝Δ_h0，U＝U₀。

步骤2：完成矩阵迭代：Ω_i＝Ω_i-1+Δ_h，Δ_t＝Δ_t+Δ_h。

步骤3：对矩阵Ω_i进行相似变换H＝U^TΩ_iU。

步骤4：采用公知的雅可比(Jabico)方法对矩阵H进行特征值分解 H＝V^TΣV。

步骤5：计算相似性判别指标k为矩阵V及E的列数，k＝1… n，n为矩阵Ω_T的阶次。

步骤6：根据判别指标γ判断是否发生模态跃迁。若γ≠E，则说明此时发生 了模态跃迁，应减小步长，取返回步骤2重新计算。

步骤7：若γ＝E，说明计算正确，进行模态解耦阵迭代：U＝UV。

步骤8：判断迭代是否应该结束。

e_max的计算式为：Φ＝U^TΩ_TU。

若e_max≤e则程序结束。U即为矩阵Ω_T的模态解耦阵，∑为相应的模态频率 阵。

若e_max＞e且||Δ_t||＞||Δ_T||，取返回步骤2重新计算，

若e_max＞e且||Δ_t||＜||Δ_T||，重置步长Δ_h＝Δ_h0返回步骤2重新计算。

本发明的优点是：

本发明消除了六自由度并联机构平台在全局工作空间运动时由于位姿变化 导致的模态跃迁现象，将六自由度并联机构模态空间控制方法扩展到全局工作空 间，具有在六自由度并联机构全局工作空间内实现完全模态解耦的优点，能够使 模态空间控制器的适用性增强。在此基础上构造的全局模态空间控制器，扩展了 模态空间控制的适用范围，使之适用于六自由度并联机构大范围全局工作空间。

附图说明

图1为六自由度并联机构结构示意图

图2为模态空间控制器框图

图3为数值迭代算法流程图

图4为控制结果对比曲线

图5为常规SVD算法解得模态频率曲线

图6为采用本发明算法解得模态频率曲线

图7为本发明算法迭代次数曲线

具体实施方式

下面举例对本发明作进一步说明：

实施例1

六自由度并联机构如图1所示，包括运动平台1，固定平台2，上连接铰3， 下连接铰4和直线执行器5。

模态空间控制器的结构如图2所示，其控制过程为：

步骤1：系统的设定信号x_dex经过运动学反解模块后生成六个液压缸的设定 长度信号阵l_com，与六个液压缸的实际长度信号阵l作差运算，生成偏差矩阵e， e＝l_com-l。

步骤2：将偏差矩阵e及六个液压缸的工作压力信号矩阵P_L进行模态空间变 换，生成模态偏差矩阵e_d及模态工作压力信号矩阵P_d，e_d＝U^Te，P_d＝U^TP_L。此 步骤是模态控制的关键所在，通过模态空间变换后，强耦合MIMO控制系统转化 为模态空间中6个无耦合SISO系统，即工程人员可运用熟悉的古典控制理论对 系统进行校正。

步骤3：在模态空间内进行控制器设计，此时各阶模态控制器结构与公知的 单自由度控制系统结构相同，如可采用动压反馈控制等。

步骤4：将经模态空间内控制器计算所得的模态电流信号矩阵i_d经过模态空 间变换转化为实际伺服阀电流给定信号矩阵i输出六个伺服阀，i＝Ui_d。各个伺 服阀驱动相应的液压缸进行伸出或缩回动作，完成控制。

可知，在模态空间控制器的应用中，最为关键的是模态解耦阵U的计算，本 发明提出的模态解耦阵U实时数值迭代求解方法如图3所示。具体过程为：

步骤1：设置初值。包括初始步长Δ_h0、初始模态解耦阵U₀及迭代精度e。

初始步长Δ_h0的选取：将Ω_T分解为Ω_T＝Ω₀+Δ_T，取N为正整数。 此时Δ_h0为从Ω₀逼近到Ω_T的一个小量。

初始特征向量U₀的选取：使用常数值解法求得Ω₀的特征值分解： U₀确定了初始模态解耦阵。

迭代精度e的选取：依据所需计算精度而定。

初次迭代计算中Δ_h＝Δ_h0，U＝U₀。

步骤2：完成矩阵迭代：Ω_i＝Ω_i-1+Δ_h，Δ_t＝Δ_t+Δ_h。Ω_i沿着Δ_h确定的方 向逼近Ω_T，Δ_t为迭代累计矩阵，用于判断迭代矩阵Ω_i是否超过目标值Ω_T。

步骤3：对矩阵Ω_i进行相似变换H＝U^TΩ_iU，由于每次迭代过程中Ω_i以小 量变化，故矩阵H为一严格对角占优矩阵。

步骤4：采用矩阵特征值分解的公知Jabico方法对矩阵H进行特征值分解 H＝V^T∑V。由于矩阵H的严格对角占优性质，Jabico方法可以很少的迭代次 数获得很高精度的矩阵特征值分解结果。

步骤5：计算相似性判别指标k为矩阵V及E的列数，k＝1… n，n为矩阵Ω_T的阶次，该相似性判别指标的物理意义为各阶次模态向量与相应 单位向量的空间夹角余弦值。

步骤6：根据判别指标γ判断是否发生模态跃迁。矩阵H的严格对角占优性 质保证了特征向量V的各列向量应与单位阵E的对应各列向量高度相似，即γ应 为一单位矩阵，若γ≠E，则说明此时发生了模态跃迁，应减小步长，取返回步骤2重新计算。

步骤7：若γ＝E，说明计算正确，进行模态解耦阵迭代U＝UV，准备下一 次迭代计算。

步骤8：判断迭代是否应该结束。

e_max计算式为：Φ＝U^TΩ_TU。其意义为取对Ω_T进行相 似变换后非主对角元素最大值的绝对值。

若e_max≤e则表明计算结果达到了要求精度，程序结束，此时U即为矩阵Ω_T的模态解耦阵，∑即为相应的模态频率阵。

若e_max＞e且||Δ_t||＞||Δ_T||，表明此时步长过大导致超过了待求矩阵Ω_T，应取 向反方向迭代寻找目标值，返回步骤2重新计算。

若e_max＞e且||Δ_t||＜||Δ_T||，为加快迭代过程可重置步长Δ_h＝Δ_h0，返回步骤2 重新计算。

实施例2

结合六自由度并联机构在全局工作空间内进行模态空间控制时遇到的模态 跃迁问题对本发明作进一步说明。

平台相关参数为：

中位时平台高度2.6519m，执行器行程1.2m，上铰圆半径2.1148m，下铰圆 半径2.6519m。

负载惯性参数为：m＝13642.000kg，Ixx＝46477.100kgm²，Iyy＝49396.100kgm²， Izz＝53865.000kgm²。

对平台空间姿态z作幅值500mm，频率为0.1Hz的正弦跟踪，采用本文提出 的全局模态空间控制器对其进行控制，设置初值如下：

初始步长Δ_h0：由于采样时间为1ms，位姿变化频率0.1Hz，变化较缓，故可 取N＝1。

初始特征向量U₀：

$U_0=\left(\begin{array}{cccccc}0.3073& -0.4864& 0.4082& -0.4082& 0.4888& -0.3110\\ -0.3073& -0.4864& 0.4082& 0.4082& -0.4888& -0.3110\\ 0.2697& 0.5126& 0.4082& -0.4082& -0.5105& -0.2657\\ 0.5769& -0.0216& 0.4082& 0.4082& -0.0217& 0.5768\\ -0.5769& -0.0216& 0.4082& -0.4082& 0.0217& 0.5768\\ -0.2679& 0.5126& 0.4082& 0.4082& 0.5105& -0.2657\end{array}\right)$

迭代精度e：取e＝10^-8。

为进行对比，同时采用基于常规SVD算法的模态空间控制器进行控制，二者 的控制结果如图4所示。从图中可以看到，基于常规SVD算法的模态空间控制器 在0-5s，10-15s之间分别有两次大的突跳出现，并且原本无耦合运动的Φ向也 出现耦合偏差。而采用本发明提出的全局模态空间控制器则控制特性良好。

为进一步分析，作采用常规SVD算法解出的模态频率变化曲线如图5所示， 从图中可以明显看到，其3、4阶模态在0-5s，10-15s有模态跃迁的现象发生。 正是第3，4阶模态跃迁的发生，使得z向与Φ向的运动发生了突跳现象。

而采用本发明算法计算出的模态频率变化曲线如图6所示，可以看到，本发 明算法有效的解决了模态跃迁现象，其3、4阶模态频率在相交时克服了模态跃 迁现象。

图7为本发明算法每次计算所需的迭代次数，可以看到，每次计算只需3-4 次就可完成。