一种数字化宗地图的构建方法

摘要

本发明的目的在于提供一种包含弧段的宗地图构建方法，包括以下步骤：A、根据界址点构建多边形，获取多边形的面积，求出弧段对应弓形的面积；B、实地测量获得弧段数、弧段的弦长，并根据各个弧段的弦长比作为面积比例系数，获得各个弧段对应弓形的面积；C、设定各个弧段半径和弧段圆心角的取值范围，利用二分法，构建求解弧段半径和弧段圆心角的超越方程模型；D、求解超越方程模型，得到各个弧段圆心角的数值，进而计算得到各个弧段对应的半径；E、根据原始宗地图中的界址围成的多边形尺寸参数、各个待计算弧段对应的圆心角及半径参数，绘制宗地图。该方法克服传统人工模式操作复杂、精度低、效率低的缺陷，具有效率高、成本低的特点。

说明书

技术领域

本发明涉及计算机图形学与地理信息科学领域，具体涉及一种数字化宗地图的构建方法。

背景技术

在城镇地籍测量中，宗地图通常包括由界址点构成的多边形部分以及弧段部分，弧段部分采用圆弧，其主要原因在于数学模型简单，所以在道路弯道、十字路口交汇、宗地边界曲线等工程设计中使用非常广泛；特别是为了满足市政设计需求，宗地边界的选取有时必须采用曲线，确保与道路设计红线的一致性。众所周知宗地面积具有严肃的法律效益，一旦确定面积就不允许随意更改；上世纪八九十年代前的宗地图多为纸质版，缺乏数字化总地图信息，再加上部分数字化宗地图损毁，仅有纸质图纸的情况下，如何构建对应曲线保证发证面积与图形面积的一致性就成为困扰地籍制图人员的难题。传统的模式多采用人工估算，重复模拟直到满足精度需求为止，效率低下且具有很大不确定性。

发明内容

本发明的目的在于提供一种数字化宗地图的构建方法，该方法克服传统人工模式操作复杂、精度低、效率低的缺陷，具有效率高、成本低的特点。

本发明的技术方案包括以下步骤：

A、根据界址点构建多边形，获取多边形的面积，将多边形的面积与原始宗地图中的宗地总面积进行对比获取差值，从而求出弧段对应弓形的面积；

B、实地测量获得宗地面积所在位置的弧段数，以及各个弧段的两端点之间的距离,从而获得弧段的弦长，并根据各个弧段的弦长比作为面积比例系数，获得各个弧段对应弓形的面积；

C、设定各个弧段半径和弧段圆心角的取值范围，利用二分法，基于各个弧段的弧段对应弓形的面积、以及各个弧段的弦长，构建求解弧段半径和弧段圆心角的超越方程模型；

D、求解超越方程模型，得到各个弧段圆心角的数值，进而计算得到各个弧段对应的半径；

E、根据原始宗地图中的界址围成的多边形尺寸参数、各个待计算弧段对应的圆心角及半径参数，绘制宗地图。

优选地，所述的步骤B中，各个弧段和弦所围成的面积的获取过程如下：

获取原始宗地图中的宗地总面积以及界址围成的多边形面积计算得到弧段对应的弓形总面积，若只包含一个弧段，则将该弧段对应的弓形总面积作为该待计算弧段的弓形面积；若包含多个待计算弧段，则将弧段弓形总面积根据比例系数分配至各个待计算弧段，作为各个待计算弧段的弓形面积，各个待计算弧段的比例系数与其弦长成正比；

各个待计算弧段的弓形面积计算如下：

s_i=s_t*d_i/(d₁+d₂+…+d_n)；

其中s_t为弧段弓形总面积，s_{i>为第i个待计算弧段的弓形面积，i=1，2…，n；n为待计算弧段的数量。}

优选地，所述步骤C中超越方程模型的构建过程如下：

如图2，弧段对应扇形面积为：r²*θ/2；

辅助三角形Ⅰ为：r²*sin(θ)/2；

弧段弓形面积为：

s=r²(θ-sin(θ))/2（1）；

其中r为弧段对应的半径，θ为弧段对应的圆心角；s为弧段弓形面积；

弧段弦长d为：

d=2*r*sin(θ/2)（2）；

由式（2）进行三角函数变换得到：

（3）；

（4）；

结合式（1）、（3）、（4）得到超越方程：

（5）。

优选地，所述的步骤C中，设定弧段半径和弧段圆心角的取值范围的方法为：

如图3，实测获得弧段上的中点E，基于弧段的两端点AB和中点E，构建三角形ABE和矩形ABCD分别作为辅助三角形Ⅱ和辅助矩形，基于三角形ABE和矩形ABCD；三角形ABE的面积小于弧段对应弓形的面积，弧段对应弓形的面积小于矩形ABCD的面积；

三角形ABE的面积为为: (d*r/2-r²*sinθ/2)；

矩形ABCD的面积为：2*(d*r/2-r²*sinθ/2))；

则： (d*r/2-r²*sinθ/2)<s<2*(d*r/2-r²*sinθ/2))（6）；

其中：

sinθ=2*sin(θ/2)*cos(θ/2)；

sin(θ/2)=d/2r；

将式（6）进行展开，得到弧段对应半径以及圆心角的取值范围：

(d⁴/16+s²)/(d*s)<r<((d⁴/4+s²)/(2*d*s)（7）；

2*arcsin(d²*s/d⁴/8+2*s²)<θ<2*arcsin(d²*s/(d⁴/4+s²))（8）。

优选地，超越方程（5）的求解过程如下：

根据式（8）得到θ的最优解所在的范围，在上述范围内采用二分法对超越方程（5）进行求解，求解次数为：log2(（r2-r1）/c)+1次，其中r1为公式（7）中的r的下限值，r2为公式（7）中的r的上限值，c为半径精度。

本发明的数字化宗地图的构建方法优选用于仅有纸质宗地图且弧段参数缺失的的情况下，本发明方案通过采用弧段弦长为标准进行弧段弓形面积的分配，解决各个弧段弓形面积难以合理分配的问题，为后续参数计算打下坚实基础；借助辅助三角形Ⅰ构建关于弧段圆心角的超越方程模型，解决了弧段关键参数计算的工具；借助辅助三角形Ⅱ以及辅助矩形，通过几何面积关系计算弧段对应扇形的面积范围，进而求得弧段对应半径以及圆心角，从而根据该范围结合二分法对弧段圆心角的超越方程模型进行求解，得到关键参数：弧段圆心角，进而实现包含弧段的宗地图的绘制。该发明原理严谨，科学高效，克服了人工方法不确定性和效率低下的缺陷问题，具有很强的社会经济价值。

附图说明

图1为本发明数字化宗地图的构建方法的流程示意图；

图2为本发明数字化宗地图的构建方法的半径、弦长、圆心角示意图；

图3为本发明数字化宗地图的构建方法的辅助三角形Ⅰ、辅助三角形Ⅱ、辅助矩形示意图；

图中各部分名称及序号如下：

1为弧段，2为弧段端点（a,b），3为弦，4为弧段对应圆心。

具体实施方式

下面结合实施例详细阐述本发明。

实施例1

如图1-3所示，本实施例一种数字化宗地图的构建方法，包括以下步骤：

A、根据界址点构建多边形，获取多边形的面积，将多边形的面积与原始宗地图中的宗地总面积进行对比获取差值，从而求出弧段对应弓形的面积；

B、实地测量获得宗地面积所在位置的弧段数，以及各个弧段的两端点之间的距离,从而获得弧段的弦长，并根据各个弧段的弦长比作为面积比例系数，获得各个弧段对应弓形的面积；本实施例中，弧段弦长d=20米；该弧段对应的弓形面积s=36.234平方米；

所述的步骤B中，各个弧段和弦所围成的面积的获取过程如下：

获取原始宗地图中的宗地总面积以及界址围成的多边形面积计算得到弧段对应的弓形总面积，若只包含一个弧段，则将该弧段对应的弓形总面积作为该待计算弧段的弓形面积；若包含多个待计算弧段，则将弧段弓形总面积根据比例系数分配至各个待计算弧段，作为各个待计算弧段的弓形面积，各个待计算弧段的比例系数与其弦长成正比；

各个待计算弧段的弓形面积计算如下：

s_i=s_t*d_i/(d₁+d₂+…+d_n)；

其中s_t为弧段弓形总面积，s_{i>为第i个待计算弧段的弓形面积，i=1，2…，n；n为待计算弧段的数量；}

C、设定各个弧段半径和弧段圆心角的取值范围，利用二分法，基于各个弧段的弧段对应弓形的面积、以及各个弧段的弦长，构建求解弧段半径和弧段圆心角的超越方程模型；

所述步骤C中超越方程模型的构建过程如下：

弧段对应扇形面积为：r²*θ/2；

辅助三角形Ⅰ为：r²*sin(θ)/2；

弧段弓形面积为：

s=r²(θ-sin(θ))/2（1）；

其中r为弧段对应的半径，θ弧段对应的圆心角；s为弧段弓形面积；

弧段弦长d为：

d=2*r*sin(θ/2)（2）；

由式（2）进行三角函数变换得到：

（3）；

（4）；

结合式（1）、（3）、（4）得到超越方程：

（5）；

所述的步骤C中，设定弧段半径和弧段圆心角的取值范围的方法为：

实测获得弧段上的中点E，基于弧段的两端点AB和中点E，构建三角形ABE和矩形ABCD分别作为辅助三角形Ⅱ和辅助矩形，基于三角形ABE和矩形ABCD；三角形ABE的面积小于弧段对应弓形的面积，弧段对应弓形的面积小于矩形ABCD的面积；

三角形abe的面积为为: (d*r/2-r²*sinθ/2)；

矩形abcd的面积为：2*(d*r/2-r²*sinθ/2))；

则： (d*r/2-r²*sinθ/2)<s<2*(d*r/2-r²*sinθ/2))（6）；

其中：

sinθ=2*sin(θ/2)*cos(θ/2)；

sin(θ/2)=d/2r；

将式（6）进行展开，得到弧段对应半径以及圆心角的取值范围：

(d⁴/16+s²)/(d*s)<r<((d⁴/4+s²)/(2*d*s)（7）；

本实施例中，求解得到15.610<r<28.505；

2*arcsin(d²*s/d⁴/8+2*s²)<θ<2*arcsin(d²*s/(d⁴/4+s²))（8）；

本实施例中，求解得到θ的取值范围为：

θ>2*arcsin(d²*s/d⁴/8+2*s²)=0.796537686；

θ<2*arcsin(d2*s/(d4/4+s2))=1.545108663；

D、求解超越方程模型，得到各个弧段圆心角的数值，进而计算得到各个弧段对应的半径；

根据式（8）得到θ的最优解所在的范围，在上述范围内采用二分法对超越方程（5）进行求解，求解次数为：log2(（r2-r1）/c)+1次，其中r1为公式（7）中的r的下限值，r2为公式（7）中的r的上限值，c为半径精度，本实施例中，c=0.001米；

求解得到r=20米，θ=1.04719753；

E、根据原始宗地图中的界址围成的多边形尺寸参数、各个待计算弧段对应的圆心角及半径参数，绘制宗地图。