一种确定罗茨泵转子型线合理设计区域的方法及其应用

摘要

本发明公开了一种确定罗茨泵转子型线合理设计区域的方法及其应用，属于机械设计领域。本发明通过在建立罗茨泵转子型线和性能参数的关系式之后，进一步确定确定避免封闭容积及根切的约束条件，从而确定罗茨泵转子叶峰曲线的合理设计区域，在设计罗茨泵转子型线时给出参考，即叶峰曲线不在此合理设计区域内的转子型线必然会导致在应用中出现封闭容积或者根切的问题，从而使得罗茨泵转子型线设计时即可避免设计出会导致封闭容积或者根切的转子型线，而无需等到设计完成之后才发现该转子型线设计不合理，从而提高转子型线的设计效率。

说明书

技术领域

本发明涉及一种确定罗茨泵转子型线合理设计区域的方法及其应用，属于机械设计领域。

背景技术

罗茨泵是指泵内装有两个相反方向同步旋转的叶形转子，转子间、转子与泵壳内壁间有细小间隙而互不接触的一种变容真空泵；其作为一种通用机械，由于自身结构和性能的特点，广泛应用在化工、造纸、发电、食品等行业。

罗茨泵的一对转子作为罗茨泵的关键零部件，对罗茨泵的性能具有很大的影响；经过对市场上常用的三种典型转子型线(即圆弧、渐开线、摆线曲线)对罗茨泵性能参数的研究，发现转子面积的利用系数越高，罗茨泵的风量和抽泣速率就越大，但是转子型线设计时还需要考虑是否会出现封闭容积以及根切的问题，那么就需要对转子型线的合理设计区域进行框定，从而避免可能出现的封闭容积以及根切等问题。

通常在设计转子型线完成后，可以根据设计出的转子型线的参数数据检测所设计的转子型线是否满足无封闭容积、根切等情况。但该检测行为依赖于设计出的转子型线的参数数据，在设计过程前无法对叶峰曲线进行限定，这就可能导致叶峰曲线数据一开始就设计的不合理，但直到该段曲线设计完才发现，降低了转子型线的设计效率。

发明内容

为了解决目前存在的罗茨泵转子型线由于设计参数选择不当导致在设计完成后发现转子出现封闭容积、根切的问题，本发明提供一种确定罗茨泵转子型线合理设计区域的方法及其应用，使得在设计罗茨泵转子型线时能够根据该方法预判出设计出的罗茨泵转子型线是否会产生封闭容积、根切问题，从而进行相应修改，使得设计出的罗茨泵转子型线能够尽可能的避免出现封闭容积、根切问题，提高罗茨泵转子型线的设计合格率以及设计效率。

一种确定罗茨泵转子型线合理设计区域的方法，包括：

步骤一：在设计罗茨泵转子型线叶峰曲线之前，建立罗茨泵转子型线和性能参数的关系式；

步骤二：确定避免封闭容积的约束条件；

步骤三：确定避免根切的约束条件；

步骤四：根据步骤一至步骤三确定罗茨泵转子叶峰曲线的合理设计区域。

可选的，所述步骤一中，建立罗茨泵转子型线和性能参数的关系式，包括：

选定罗茨泵的抽气速率作为衡量罗茨泵性能的指标，建立罗茨泵的抽气速率和性能参数的关系式。

可选的，所述建立罗茨泵的抽气速率和性能参数的关系式包括：

其中，s_th为罗茨泵的抽气速率，V为罗茨泵一个转子旋转一周时罗茨泵排除的介质的体积，n为转子的转速，λ为转子面积利用系数，R_a为转子齿顶圆半径，L为转子长度，S_r指单个罗茨泵转子的面积。若要s_th尽可能的大，那么由(3)(4)可知，面积利用系数λ越大越好，相应的S_r就要尽可能的小。

参照图1(a)所示，罗茨泵两个转子的形状是一样的，进一步的，转子在每个齿上的齿廓都是相同的，而每个齿上的齿廓又是轴对称的，由此可以判定：一个罗茨泵转子的型线的根基是半个齿上的齿廓，完整的转子型线可通过将这半个齿上的齿廓镜像、阵列得到。如图1(b)所示，半个齿上的齿廓有叶峰曲线和叶谷曲线组成，以节圆为界，节圆以外的部分称为叶峰曲线，节圆以内的部分称为叶谷曲线。

如图2所示S_b是直线O₁E₁、叶谷曲线E₁C₁、叶峰曲线C₁A₁、直线O₁A₁所封闭的区域的面积。

可选的，所述单个罗茨泵转子的面积S_r的计算公式为：

S_r＝6S_b(5)

其中S_b为转子半个齿的面积；为计算方便，将S_b划分为3个区域进行面积计算，3个区域的面积由罗茨泵中心至边缘依次记为S₁、S₂、S₃，计算公式如下：

过叶谷曲线的两个端点E₁(x_e，y_e)、C₁(x_c，y_c)分别做O₁x₁轴的垂线，分别交O₁x₁轴于F₁、G₁两点，直线E₁F₁、C₁G₁将半个齿的面积S_b分成了S₁、S₂、S₃三部分，如图2所示。设所设计的叶峰曲线的方程为f(x)，x的取值范围为：[x_c，x_a]；根据叶峰曲线方程和包络条件得到叶谷曲线的方程g(x)，x的取值范围为：[x_e，x_c]。则各部分的面积计算可由公式(6)～(8)求得：

故：

式(9)中，R为节圆半径、大小为罗茨泵两个转子的中心距H的一半；γ为叶峰曲线(或叶谷曲线)的起点、终点分别与节圆圆心连线之间的夹角，γ的大小与转子齿数Z相关，计算公式为式(1)：

可选的，所述步骤二中，确定避免封闭容积的约束条件，包括：

取罗茨泵转子叶峰曲线上任意一点做叶峰曲线在该点的法线，设该法线的斜率为k₁、该法线与节圆弧的交点的坐标为(x₁，y₁)，则避免封闭容积的约束条件为：

可选的，所述步骤三中，确定避免根切的约束条件，包括：

在啮合线上任意点做啮合线在该点的法线，设该法线斜率为k₂、该法线与O₁O₂的交点坐标为(X₁，Y₁)，则避免根切的约束条件为：

其中，H为两个转子的中心距；O₁O₂为两个转子的中心点的连线。

可选的，所述避免根切的叶峰曲线的左边界满足式(25)：

式中：

可选的，所述步骤四中，根据步骤一至步骤三确定罗茨泵转子叶峰曲线的合理设计区域，包括：

根据步骤一至步骤三确定的约束条件画出罗茨泵叶峰曲线所处的区域范围。

可选的，所述罗茨泵转子型线包括圆弧型转子型线、摆线型转子型线、渐开线型转子型线。

本发明的另一个目的在于提供一种上述确定罗茨泵转子型线合理设计区域的方法在设计罗茨泵转子型线中的应用。

本发明有益效果是：

本发明提供的确定罗茨泵转子型线合理设计区域的方法通过在建立罗茨泵转子型线和性能参数的关系式之后，进一步确定确定避免封闭容积及根切的约束条件，从而确定罗茨泵转子叶峰曲线的合理设计区域，在设计罗茨泵转子型线时给出参考，即叶峰曲线不在此合理设计区域内的转子型线必然会导致在应用中出现封闭容积或者根切的问题，从而使得罗茨泵转子型线设计时即可避免设计出会导致封闭容积或者根切的转子型线，而无需等到设计完成之后才发现该转子型线设计不合理，从而提高转子型线的设计效率。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例中的技术方案，下面将对实施例描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为罗茨泵转子型线的组成图；(a)是两个转子的型线组成，(b)是半个齿的型线组成。

图2为转子面积分区示意图。

图3为叶峰曲线设计示意图。

图4为叶峰曲线映射到节圆弧上的曲线示意图；(a)是正常啮合状态，(b)是封闭容积状态，(c)是局部不啮合。

图5为转子型线中的根切现象示意图。

图6为避免根切的设计约束示意图。

图7为转子型线设计的基本设计区域示意图。

图8为转子型线设计的基本区域下边界的确定示意图。

图9为设计超出合格区域下边界的叶峰曲线设计示意图。

图10为转子型线设计的基本区域左边界的确定示意图。

图11为设超出合格区域左边界的叶峰曲线设计示意图。

图12为典型转子型线与合理设计区域的关系示意图。

图13为转子基本容积示意图。

图14为罗茨泵转子的坐标关系图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明实施方式作进一步地详细描述。

实施例一：

本实施例提供一种确定罗茨泵转子型线合理设计区域的方法，参见图1，所述方法包括：

步骤一：建立罗茨泵转子型线和性能参数的关系式；采用罗茨泵的抽气速率作为衡量罗茨泵性能的指标。罗茨泵具有两个转子，每个转子具有Z个齿，Z为大于等于2的整数。本发明实施例以Z＝3为例进行说明。

如图1(a)所示，罗茨泵两个转子的形状是一样的，进一步的，转子在每个齿上的齿廓都是相同的，而每个齿上的齿廓又是轴对称的。如图1(b)所示，半个齿上的齿廓由叶峰曲线和叶谷曲线组成，以节圆为界，节圆以外的部分称为叶峰曲线，节圆以内的部分称为叶谷曲线。

图1中：R_a为转子齿顶圆半径；R为节圆半径，R的大小是两个转子的中心距H的一半；γ为叶峰曲线(或叶谷曲线)的起点、终点分别与节圆圆心连线之间的夹角，γ的大小与转子齿数Z相关，计算公式为式(1)：

一个转子旋转一周时罗茨泵排除的介质的体积计算公式为式(2)：

式(2)中，R_a为转子齿顶圆半径，L为转子长度，λ为转子面积利用系数；

罗茨泵具有两个转子，根据式(2)可得罗茨泵的抽气速率为式(3)所示：

式(3)中，n为转子的转速；

式(2)和式(3)中转子面积利用系数λ为转子基本容积的横截面面积与齿顶圆面积的比值，其计算公式为式(4)，转子转动的过程中，也即介质转移的过程，与进口连通腔室内的介质随着转子转动逐渐被封闭在一个相对密闭的容积内，此容积即转子基本容积，如图13中阴影所示；

式(4)中，S_r指单个罗茨泵转子的面积，计算公式如式(5)所示：

S_r＝6S_b(5)

式(5)中S_b指转子半个齿的面积，请参考图2，计算过程如下：(式6-式8中x_e、y_e、x_c、x_a请分别在图2中标出。)

由式(3)、式(4)和式(5)可知，在齿顶圆半径R_a不变的情况下，单个罗茨泵转子的面积S_r越小，转子的面积利用系数λ就会越大，那么相同转速下罗茨泵的抽气速率越大，即罗茨泵的排放效率越高。

所以在设计罗茨泵转子型线时，在确定转子齿顶圆大小后，应使转子的面积尽可能小。根据图2，公式(6)(7)(8)(9)得到转子的面积利用系数λ。

步骤二：确定避免封闭容积的约束条件：若要不出现封闭容积则需要转子转动过程中全部啮合；

如图3所示，过叶峰曲线上任意点B₁、D₁做叶峰曲线在该点的法线，分别交节圆弧A’₁C₁于B’₁、D’₁，根据啮合原理可知：随着转子的转动，当B’₁点转动到静坐标系的O₁X₁轴上时，B₁点将成为此时两转子的啮合点；当D’₁点转动到静坐标系的O₁X₁上时，D₁点将成为此时两转子的啮合点。

如果将叶峰曲线上点B₁、D₁到节圆弧上的B’₁、D’₁这种映射关系应用到整个叶峰曲线上，可以得到一条形状与节圆弧A’₁C₁相同的曲线；特别的在于：映射得到的曲线可能正好是节圆弧曲线A’₁C₁，如图4(a)，此时转子在转动中啮合良好，不会出现封闭容积；映射得到的曲线也可能是重叠的，如图4(b)所示，叶峰曲线段A₁B₁映射到节圆弧上的曲线段为A’₁B’₁，叶峰曲线段B₁D₁映射到节圆弧上的曲线段为B’₁D’₁，叶峰曲线段D₁C₁映射的节圆弧D’₁C’₁，映射的曲线中B’₁D’₁为重叠段，当这段节圆弧上的点转动到两转子旋转中心O₁O₂连线上时，转子会出现封闭容积；也可能叶峰曲线上某段曲线上的点在节圆弧上不能产生这种映射关系，如图4(c)中叶峰曲线段B₁D₁所示，此时转子在转动过程中将会有局部不参与啮合。

而若要求不出现封闭容积，则要求转子转动过程中全部啮合，以下推导转子型线不出现封闭容积的约束条件：

在已知左侧转子的叶峰曲线的方程为：

请参考图(3)，做叶峰曲线在B₁点的法线B₁B’₁，设B₁点的坐标为(x_b，y_b)法线的斜率为k₁，则有：

所以法线B₁B’₁的方程可以表达为：

y₁＝k₁(x₁-x_b)+y_b(12)

结合节圆弧的方程可以得到叶峰曲线映射的曲线的方程：

解方程组时，只需要求出x₁值，再联立公式(12)即可求得叶峰曲线映射的曲线的方程。

特别的，此时求解叶峰曲线映射的曲线方程组(13)时，将会产生如下几种情况：

1.k₁＝∞时，叶峰曲线的法线是垂直于x₁轴的，所以x₁＝x_b；

2.k₁≠∞时，方程组可能存在无解、一解、两解的情况。以下对这三种情况分别进行解释。

(1)当(k₁²+1)R²-(k₁x_b-y_b)²＜0时，方程组无解，此时对应的是转子型线局部不参与啮合的情况。

(2)当(k₁²+1)R²-(k₁x_b-y_b)²＝0时，方程组有一解，此时转子型线在转动过程中，有且仅有一个时刻，B₁点会成为两转子的接触点。

(3)当(k₁²+1)R²-(k₁x_b-y_b)²＞0时，方程组存在两解，此时转子型线在转动的过程中，可能会有两个时刻，B₁点是满足成为两转子接触点的条件的。但在实际设计型线过程中，根据斜率k₁的正负，只让B₁点在其中一个时刻成为了两转子的啮合点，通常这一点较另一交点更靠近B’点。所以，根据斜率k₁的不同，我们可以得到映射曲线的x₁坐标为：

根据转子不出现局部不啮合与封闭容积的转子型线设计要求，将其转换成数学概念，则是：

1.方程组(13)必须存在解；

2.方程组的解中x₁必须是关于t的单调不增函数；

3.方程组的解中y₁必须不小于零。

即：

由此便得到了罗茨泵转子型线设计中的避免封闭容积与转子局部不啮合的设计约束条件。

步骤三：确定避免根切的约束条件；

在转子型线设计阶段，发生根切的转子型线特征很明显，曲线上将会出现打圈的现象，如图5所示。

如图6，过啮合线上任意点T做啮合线在该点的法线TW，交O₁O₂于点W，根据齿轮啮合原理中齿轮不发生根切的条件可以推断出，若要求罗茨泵转子型线不发生根切，必须满足以下条件：

啮合线上任意点T的法线与O₁O₂的交点W必须处于两转子旋转中心O₁O₂之间。所以要得到罗茨泵转子型线设计时避免根切的条件，必须先求得啮合线上任意点T映射到O₁O₂上的点W的坐标，并对其进行检测。

啮合线是两转子啮合转动时，节点的运动轨迹，因此将式a·b＝0代入式(1)，即可得到左侧转子的叶峰曲线对应的啮合线方程，其中需要注意：两转子齿廓在每个瞬间都是相切接触，用数学表达式可表示为：a·b＝0，式中：

a——转子型线在接触点的法向量；

b——转子型线在接触点相对滑动速度矢量；

设法线WT的斜率为k₂，则有：

则可得W点的坐标为：则不发生根切的条件可转变为不等式：

根据啮合线表达式可得：

式中：

其中是罗茨泵右侧转子的转角，根据两个啮合转子间的关系推导出包络条件式。

因此，要计算出法线WT的斜率k₂还必须进一步对进行求导。

参考图14，在公式包络条件式(26)中，

令则进一步可以得到的公式：

式中：

由此可以得到在设计罗茨泵转子型线时的不根切条件。

步骤四：得到叶峰曲线合理设计区域，进一步提高转子型线的设计效率。

规定转子叶峰曲线都设计在第一象限和坐标轴上，转子的叶峰曲线的起点都设计在O₁x₁轴上。

如图7所示，由于转子叶峰曲线自身位置的布局特点，叶峰曲线必须处于节圆弧A’C右侧、齿顶圆弧O₁AF左侧、线段A’A上方、线段CF下方。很容易得出叶峰曲线的基本设计区域：

1.叶峰曲线处于O₁A’C右侧：

2.叶峰曲线处于O₁AF左侧：

3.叶峰曲线处于线段A’A上方：

y₁≥0(22)

4.叶峰曲线处于线段CF下方：

转子叶峰曲线和对应的节圆段的存在一种映射关系，理论上叶峰曲线映射到节圆弧段后，刚好得到完整的节圆弧段，若映射得到的曲线出现重叠，则会产生封闭容积，为了避免此类情况，并将情况推至极限，则叶峰曲线映射得到的曲线只为一点，而考虑叶峰曲线在A点的连续性要求，所以映射得到的点只能是A’点，满足情况的叶峰曲线是销齿圆弧A‘AG，这就是叶峰曲线设计的下边界，如图8所示。

若叶峰曲线设计超出销齿圆弧框定的边界，即将叶峰曲线段继续向节圆弧A’AG内压缩，则在该段齿廓的曲线上必然存在与节圆弧段不存在映射关系的点，如图9中的叶峰曲线段A₁B₁所示，此时转子在啮合时将存在封闭容积或者有转子局部不参与啮合的现象。所以这段销齿圆弧是叶峰曲线设计的下边界，可表达为：

(x-R)²+y²≥(R_a-R)²，x∈[R,R_a](24)

叶峰曲线若完全采用销齿圆弧，叶峰曲线的终点不能到达设计终点C点，所以若使用销齿圆弧，则叶峰曲线至少是两段曲线组成的，而转子型线的封闭性及连续性对叶峰曲线第一段外的曲线设计也必然存在约束，所以在式(24)限定的叶峰曲线合理设计区域的下边界的基础上可以进一步缩小设计区域的左边界。

转子的封闭性限定了转子的叶峰曲线和叶谷曲线必然是首尾相接的，所以叶峰曲线必然过C点；转子的连续性则限定了叶峰曲线为多段时，各曲线之间必须至少保证相切连续。在这两个条件的约束下探究合理设计区域的左边界的问题，将转变为探究在保证第二段叶峰曲线能合理设计的情况下，销齿圆弧作为叶峰曲线段的第一段曲线时的使用长度极限的问题。要在转子型线设计中满足上述的要求，且同时让销齿圆弧使用长度最长，则只有让第一段曲线外的曲线段为直线，如图10所示。若叶峰曲线所设计的曲线段超出设计边界BC，如图11中的叶峰曲线段B₁C₁所示，则造成叶峰曲线段的曲线弯曲方向发生改变，从而使转子的力学性能大大降低。

该直线可作为转子型线的合理设计区域的左边界，用数学表达式可表达为：

式中：

通过以上的约束条件便得到了叶峰曲线的合理设计范围，如图12中粗虚线标出的区域所示，图中同时标出了圆弧型转子型线、摆线型转子型线、渐开线型转子型线的叶峰曲线和该合理设计范围的关系。从图中可以看出几种典型的转子型线的叶峰曲线都是设计在了合理设计区域内。值得一提的是，该合理设计范围仍具备进一步缩小的可能性，尤其是合理设计区域的右边界和上边界。

本发明实施例中的部分步骤，可以利用软件实现，相应的软件程序可以存储在可读取的存储介质中，如光盘或硬盘等。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。