La fórmula del número de clases y valores especiales deudfunciones L: desde Dirichlet y Dedekind hasta Stark / The class number formula and special values of L-functions: From Dirichlet and Dedekind to Stark

摘要

En este trabajo se estudian aplicaciones aritméticas de la teoría de funcionesudzeta y L, enfatizando la interpretación de sus valores en s = 1 (ó, equivalentemente, enuds = 0, vía la ecuación funcional respectiva). Los casos clásicos de la función zeta de Riemannudy las funciones L de Dirichlet conducen de manera natural al estudio de la sucesiónudde los números primos, o de primos en progresiones aritméticas (como hace Dirichlet enudsu renombrado teorema). El valor en s = 1 de una función L cuadrática de Dirichlet seudinterpreta a través de su celebrada fórmula de número de clases vía el número de clases yudregulador de un cuerpo de números cuadráticos (ó, de manera más clásica, usando formasudcuadráticas de un discriminante dado). La fórmula de número de clases más general obtenidaudpor Dedekind se aplica a las funciones zeta que llevan su nombre (y que incluyenudla de Riemann). En el capítulo final explicamos de manera general más generalizacionesuddel concepto de función L así como las conjeturas de Stark que relacionan los valores deudaquéllas en s = 0 con una cantidad aritmética profunda conocida como el regulador deudStark asociado a una representación de Galois de un cuerpo de números algebraicos. / Abstract. We study arithmetic applications of the theory of zeta and L-functions withudan emphasis on the interpretation of their values at s = 1 (equivalently at s = 0, throughudthe respective functional equation). The classical cases of the Riemann zeta-function andudDirichlet L-functions lead naturally to the study of the sequence of all primes, or of primesudin arithmetic progressions (as in Dirichlet’s renown theorem). The value at s = 1 of a quadraticudDirichlet L-function is interpreted through his celebrated Class Number Formulaudvia the class number and regulator of a quadratic number field (or, more classically, usingudquadratic forms of a given discriminant). The more general class number formula obtainedudby Dedekind applies to zeta functions named after him (and which include Riemann’s).udIn a concluding chapter we survey further generalizations of the concept of L-functionudalongside open conjectures of Stark relating their values at s = 0 with a deep arithmeticudquantity known as the Stark regulator attached to a Galois representation of a number field.ud