量子i.i.d状態の仮説検定問題における数値的手法の実装および計算制度に関する研究

摘要

複数のデータが独立に同じ分布にしたがって生成されるという状況はi.i.d. (independent and identically distributed) と呼ばれ，統計学や情報理論などにおいて基本的な仮定として想定されることが多い．特に，データの個数（i.i.d. の次数とも呼ばれる）n を大きくしていったときの極限n → ∞ における漸近的性質は，理論・応用の双方にとって重要である．そのような性質を研究する際，理論的・数学的手法と並んで，計算機を用いた数値シミュレーション手法はきわめて有効かつ不可欠な手段となっている．近年，量子情報理論においても，n 個の量子系が互いに独立に同じ状態に置かれているという量子i.i.d. 状態に関してさまざまな問題設定がなされ，その漸近的性質が研究されている．その際，n 個の量子系から成る全系に対して原理的に可能なあらゆる測定を考察の対象とすると，このような一般的測定のもとでの測定値の分布は多くの場合i.i.d. とはほど遠い性質を持つ．この事実は量子情報理論特有の数学的困難の源の一つであると同時に，n を大きくしていったときの数値シミュレーションを著しく困難にする．本研究は，このような問題の一例として2 × 2 密度行列からなる量子i.i.d. 状態の仮説検定に焦点を当て，次数n を大きくしていったときにいかにして誤り確率を効率的かつ高精度で計算するかという問題を扱ったものである．2 × 2 密度行列からなるn 次i.i.d. 状態に関する仮説検定問題において，最適な検定のクラスとして知られている量子ネイマン・ピアソン検定の誤り確率を直接的な方法で計算しようとすると，2n× 2n という指数オーダーサイズの行列の固有値問題を解く必要が生じる．この問題に対し，長岡は表現論におけるテンソル積の既約分解にもとづいた計算手法を提案した．この方法を用いると，誤り確率の計算は最大サイズ(n + 1) × (n + 1) までのn/2 個の行列（既約成分とよぶ）の固有値問題を解くことに帰着される．本研究ではまず，この方法で大きなnに対して効率よく誤り確率を計算するための計算システムの実装を行った．その際，固有値分解にはHouseholder QR 法を用い，多倍長演算のもとで精度よく計算するために数値計算ライブラリの適切な選択に注意を払った．また，各々の既約成分の処理が独立であることに着目して，MPI を用いたプロセス単位の並列化を行った．このような工夫を行い，スーパーコンピュータを用いることにより，n = 1200 程度までの誤り確率の計算が可能であることを示した．続いて本研究では，既約分解を用いた誤り確率の計算における数値誤差の現れ方について詳細な分析を行った．数値計算の結果からその計算精度を知ることは一般には困難であるが，量子i.i.d. 状態の仮説検定についてはn → ∞ の極限に関して量子Stein の補題，量子Hoeffding の定理などの数学的定理が知られており，それらの定理の帰結と計算結果とを比較することによって，数値誤差の影響をある程度推測できる．この方法により，誤り確率の計算においてはn を大きくしていくと数値誤差が顕著に表れ，それは演算桁数に強く依存することが観察された．計算手順の中でこうした誤差が現れる要因をリストアップし，それらを精査していくことによって，以下に述べるような結果を得た．誤り確率はn/2 個の既約成分の寄与の総和として求められる．各既約成分の寄与には，固有値分解に伴う数値誤差が生じる．固有値分解される行列の条件数（固有値の絶対値の最大値と最小値の比）を調べたところ，同じ大きさの一般的な行列（乱数行列）の条件数と比べて著しく大きいことが分かった．この条件数の大きさは固有値分布が指数的にばらついていることの現れと考えられ，固有値分解を精度よく実行するためには多倍長桁数を非常に多く取らなければならないことを意味する．一方，この固有値分布の特性は，QR 法の収束速度にとってはむしろ有利に働くことを数値実験により確かめた．各既約成分の寄与とそれらの総和である誤り確率の関係について，次のようなきわめて特徴的な現象を見いだした．即ち，次数n が大きくなるにつれて，ごく一部の項（寄与）が他の項に比べて圧倒的に大きな値を持ち，実質的にそれらの項のみが総和に寄与する．これらの項を支配的な既約成分の寄与と呼ぶ．ある既約成分の寄与に数値誤差が生じたとき，それが総和である誤り確率に影響を及ぼすかどうかは，その数値誤差が支配的な既約成分の寄与を上回るかどうかによって決まる．支配的な既約成分という考え方は今回の数値計算によって初めて見出されたものであるが，その意義は数値的な問題にとどまらず，理論的にも興味深い対象である．数値誤差の分析とは別に，本研究で構築した計算システムの有用性を示すために，誤り確率の極限的性質に関するある数学的予想を考え，その数値的検証を試みた．この数学的予想は中心極限定理の量子力学的拡張の一種とみなせるが，これまで研究されてこなかった種類のものであり，予想の正否は知られていない．本計算システムを用いていくつかの数値例で極限の様子を調べたところ，予想を支持する結果が得られた．未知の極限定理の正否を数値シミュレーションによって調べることは，通常の確率論においては常套手段となっているが，量子情報理論ではそのような研究例はほとんど報告されていない．この予想の検証はそのような研究の有効性を示した一例であるといえる．その他，固有値解法に関して本研究で主に用いたHouseholder QR 法と他の方法との比較，古典的な（通常の確率分布に関する）仮説検定問題における誤り確率の計算法との比較，各既約成分の寄与に関する理論的上界・下界を用いた数値精度の検証などの検討を行った．