Applicazione di tecniche numeriche meshless per la soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali a coefficienti variabili nello spazio e nel tempo relative ai fenomeni termici di conduzione del calore osservati durante la surgelazione degliudalimenti

摘要

Uno dei più importanti impieghi della tecnologia del freddo è nella surgelazioneuddegli alimenti al fine di rallentarne il deterioramento dovuto all’azione di enzimiude microorganismi e di preservarne la qualità nutrizionale e la durata.udIn genere una rapida diminuzione della temperatura degli alimenti duranteudil congelamento garantisce un rallentamento delle reazioni chimiche, fisiche eudbiochimiche tale da garantire una buona qualità del prodotto surgelato. Diudcontro, il rapido abbattimento della temperatura ha certo un costo più onerosoudda sostenere per la produzione industriale.udL’obiettivo che il presente lavoro di ricerca si prefigge è quello di sviluppareudun modello matematico in grado di descrivere con alto grado di precisioneudl’evoluzione temporale dello stato termico degli alimenti sottoposti ad unudprocesso di congelazione rapida. Così facendo, è possibile dimensionare gliudimpianti di congelamento in modo da determinare un giusto compromesso tra laudsurgelazione rapida e l’economia di industrializzazione, senza però penalizzareudla qualità e la durata dei prodotti.udLe difficoltà maggiori che si incontrano nell’utilizzo di un modello matematicoudper descrivere il fenomeno termico del congelamento delle derrate alimentariudsono dovute alla complessità e non linearità della struttura delle equazioniuddifferenziali che descrivono detto fenomeno fisico. Tali equazioni, oltre a nonudavere una risoluzione analitica nella quasi generalità dei casi, sono di tipoudfortemente non lineare poiché i coefficienti che in esse compaiono sono funzioneuddel campo di temperature incognito che si vuol calcolare per un determinatoudistante.udTradizionalmente i metodi utilizzati per la risoluzione delle equazioni in esameudsono quelli alle differenze finite, agli elementi finiti o ai volumi finiti e richiedonoudl’utilizzo di una mesh per la risoluzione numerica dei sistemi ottenuti. Vistoudperò che le mesh sono costose e complesse da realizzare, negli ultimi anni si èudregistrato un crescente interesse nello studio di metodi di tipo meshless.udIl lavoro di ricerca fino ad oggi svolto, coerentemente con gli ultimi sviluppiuddelle ricerche matematiche in tema di risoluzione di equazioni PDEs (PartialudDifferential Equations), si è incentrato sull’utilizzo delle metodologie di tipoudmeshless che utilizzano il metodo dell’interpolazione hermitiana basata suudfunzioni del tipo RBFs (Radial Basic Functions). Il modello matematicoudmeshless messo a punto per lo studio del fenomeno termico della congelazioneudrapida degli alimenti è stato poi implementato con routine di calcolo numericoudin linguaggio di programmazione Fortran 90. Nel programma sono stateud7udimplementate, tra le altre cose, una funzione RBF del quarto ordine (dettaudanche thin plate spline), le approssimazioni di Comina, Bonacina e Toffanud(1973) per la capacità e conducibilità termica degli alimenti, e un algoritmouditerativo che viene calcolato per ogni timestep in cui viene suddiviso il periodouddi osservazione del fenomeno fisico e che utilizza il metodo di Crank-Nicolsonudper l’approssimazione dell’operatore derivata in funzione della soluzione deludsistema di equazioni ad un istante precedente.udPer la validazione del modello matematico implementato sono state effettuateuddiverse simulazioni su un modello di purea di patata sottoposto al processo diudcongelazione rapida, rilevandone la temperatura in sezioni diverse al variareuddelle condizioni al contorno imposte. Gli andamenti della temperatura simulatiudsono stati confrontati con le temperature rilevate sperimentalmente su unudprovino di purea di patate di simmetria sferica e densità omogenea sottopostoudal processo di surgelazione in laboratorio.udLa rilevazione delle temperature è stata acquisita tramite delle termocoppieudrame-costantana, posizionate in punti diversi del provino in esame e collegate adudun data logger a sua volta connesso ad un personal computer per la registrazioneudnel tempo dei dati rilevati. Per la cella frigorifera è stato utilizzato lo scompartouda bassa temperatura di un armadio frigorifero presente in laboratorio in gradouddi mantenere al suo interno una temperatura di -30°C.udPer lo studio termico ci si è limitati all’analisi della forma semisferica e si è resaudadiabatica la base della semisfera attraverso l’utilizzo di un idoneo spessoreuddi isolante termico su cui è stato posizionato il modello in studio. Si è decisouddi misurare le temperature dei prodotti sia al centro della semisfera che adudintervalli di 10 mm, a partire dal centro stesso, su due raggi tra loro ortogonali.udLa prima condizione al contorno che è stata considerata è quella del primoudtipo (di Dirichlet), che impone ad ogni singolo timestep la temperatura dellaudsuperficie del provino ottenuta dalla media di valori di temperatura registratiuddalle termocoppie durante i rilievi sperimentali. Il limite della condizioneudal contorno di cui sopra è la mancanza di flessibilità nel caso di un realeudprocesso industriale di surgelazione durante il quale non è agevole ricavare laudtemperatura sulla superficie degli alimenti.udPer poter utilizzare la simulazione con un grado di flessibilità maggiore in unudcontesto di tipo reale è stata quindi considerata una condizione al contorno deludterzo tipo (di Robin). Questa condizione, che è quella legata al moto convettivoudtra le pareti della cella frigorifera e il provino considerato, viene impostaudconsiderando la temperatura rilevata in prossimità del campione e utilizzandoud8udnel calcolo del coefficiente convettivo opportune relazioni sperimentali, ricavateuddalla letteratura scientifica sull’argomento. In particolare l’algoritmo utilizzatoudprevede, rispetto al precedente, il calcolo all’interno di ogni timestep prima deludnumero di Rayleigh e poi, tramite la correlazione sperimentale, il calcolo deludnumero di Nusselt per risalire infine a una una stima del coefficiente convettivoudda utilizzare nella condizione del terzo tipo.udI risultati ottenuti dalle simulazioni con entrambe le condizioni al contorno sonoudstati validati utilizzando i rilievi di temperatura ottenuti nel caso reale. Nellaudfattispecie, la comparazione delle temperature stimate con il programma conudquelle reali misurate dà una buona validazione della accuratezza dei risultatiudottenuti dalle simulazioni, ancora più significativi se si tiene conto della grossaudvariazione delle proprietà termiche degli alimenti durante il cambiamento diudfase.