Attrattori globali per alcuni problemi di evoluzione senza unicita

摘要

In questa tesi si studia it comportamento per tempi lunghi di alcune equazioni di evoluzione per le quali piu di una soluzione puo originarsi da un assegnato date iniziale. Il problema della non unicita puo essere dovuto a diversi motivi. Prima di tutto, puo esserci una genuina non unicita di soluzioni (come, per esempio, in alcune equazioni di tipo "doubly nonlinear" o per equazioni di tipo gradient flow per potenziali non convessi, due esempi studiati dettagliatamente nella tesi). Seconda--riamente, puo non essere noto un risultato di unicita. Questo a it caso, ad esempio, di alcune equazioni delle onde semilineari, dell'equazione di Navier-Stokes in tre di-mensioni spaziali e del rilassamento iperbolico dell'equazione di Cahn-Hilliard in tre dimensioni. Per il rilassamento iperbolico dell'equazione di Cahn Hilliard in tre di-mensioni (esempio studiato nel corso della tesi) il problema della non unicita compare perche c'e un gap tra la regolarita della soluzione e la regolarita necessaria per provare un teorema di unicita. La mancanza di unicita implica che le equazioni ed i sistemi di cui sopra non generano un semigruppo in alcun appropriato spazio delle fasi, pia precisamente l'operatore soluzione (1)S(t) : u_0 → u(t),(che risulta essere un semigruppo nel caso con unicita) non risulta essere ben defi-nito. Questo, in particolare, comporta che la nota teoria dei sistemi dinamici infinito dimensionali in [6] non sia applicabile per lo studio del comportamento per tempi lunghi dal punto di vista degli attrattori globali. Emerge dunque l'esigenza di co-struire una teoria che estenda la teoria nota al caso senza unicita.