Ideali monomiali e loro risoluzioni

摘要

Siano k un campo, A =k[x_1,...,x_n] l'anello dei polinomi, I un ideale monomiale omogeneo di A. La risoluzione libera minimale di I e una sequenza esatta di moduli liberi graduati e omomorfismi del tipo:L.: 0 → ΘA~β_(gj)(-j) –→...→ΘA~β_(ij)(-j)→I→0 dove i numeri β_(ij) sono i numeri di Betti graduati dell'ideale I. L'obiettivo principale di questa tesi a la caratterizzazione di alcune importanti classi di ideali monomiali di A dal punto di vista delle loro risoluzioni. Tale problematica ha interesse sia nel campo dell'algebra commutativa che nel campo della geometria algebrica. E noto infatti che algebre del tipo R = A/I, con I ideale omogeneo, sono anelli di coordinate di varieta algebriche dello spazio proiettivo p~(n-1). Alcuni invarianti numerici di tali algebre che intervengono nella descrizione delle varieta V∈p~(n-1) definite da I, possono essere calcolati mediante la risoluzione di I. Tra questi, la serie di Hilbert, definita da P_R(z):=ΣH_R(t)z~t, dove H_R(t) := dim_kA_t - dim_kI_t. Tale serie a razionale e si t>0 puo scrivere P_R(z) = h(z)/(1 - z)~d, dove d e il grado dei generatori di I, h(z) = h_0 + h_1z +...+ h_sz~8 ha coefficients interi e h(1) ?ù0. I piu immediati caratteri numerici che si possono leggere della serie di Hilbert sono la molteplicita di R, e_0:=h(1) e il genere aritmetico, g :=Σh_j(j-1 d-1). Quests caratteri numericid 1 j=1 hanno significato geometrico rilevante: ad esempio, le curve di genere 0 sono le curve razionali, quelle di genere 1 sono le curve ellittiche. Inoltre, la formula Σ( —1)~iβ_(ij)(R)t~j/(1-t)~n che consente una computazione della serie di Hilbert di R mediante la risoluzione dell'ideale I, evidenzia la necessita di conoscere le risoluzioni degli ideali monomiali in questioni di natura geometrica. In questo contesto si inserisce it problema di classificare gli ideali associati a schemi di punti grassi in p~(n-1). Tali ideali sono monomiali e uno dei punti chiave in tale classificazione proprio la determinazione della serie di Hilbert e dei numeri di Betti.