Rational curves of degree 11 on a general quintic hypersurface of P~ 4 [Courbes rationnelles de degré 11 sur une hypersurface quintique générale de P~4]

摘要

Clemens a conjecturé que le nombre de courbes lisses rationnelles de degré fixé d sur une hypersurface quintique générale F de P4 est fini [1]. S. Katz a ensuite considéré la conjecture sous la forme suivante: Le schéma de Hilbert des courbes lisses rationnelles de degré d sur F est non vide, fini, réduit et chaque courbe est plongée avec un fibré normal O(-1) ? O(-1). Katz a prouvé la forme forte de la conjecture pour d ≤ 7 [9]. Les cas d = 8 et d = 9 ont été traités par Nijsse [10] et Johnsen et Kleiman [7]. Le cas d = 10 a été traité par Vallaeys [11] et Cotterill [2]. On s'intéresse ici au cas d = 11. La méthode proposée ici permet aussi de traiter très simplement les cas d ≤ 10. Nous utiliserons des ingrédients qui curieusement n'apparaissent pas dans les travaux précédents: des raffinements de la méthode de Castelnuovo sur la fonction de Hilbert d'un groupe de points [3,6]. Cela permet d'avoir des preuves beaucoup plus simples que les précédentes. Je tiens à remercier L. Gruson pour ses remarques sur une première version de ce texte.