Malgre son nom, le 《 lernme fondamental》 de Langlands et Shelstad est un enonce conjectural, on plutot une famille d'enonces conjecturaux. II est de nature locale ail sens aritlunetique, i.e. il concerne des objets rela.tifs a un corps local, mais est apparu dans les deux problemes majeurs, de nature globale, du fameux 《 programme de Langlands 》 : le priucipe dc fonctorialite et 1'expression des fonctions L de varietes de Shiniura en tennes automorphes. En effet, les methodes initiees par Langlands pour chacun de ces problemes reposent sur la formule des traces d'Arthur-Selberg : on cherche a comparer deux telles formules pour deux groupes difterents dans le cas de la fonctorialite, ou bien une seule, pour un groupe donne, avec la formule des traces de Grothendieck-Lefschetz pour sa variete de Shimura associee. Mais la formule des traces d'Arthur-Selberg n'est pas en general le bon outil pour appliquer cette methode, elle est 《 instable 》 (cf. 1.3). Pour la stabiliser, Langlands [25], a la suite de travaux avec Labesse [24] et Shelstad, a cree la theorie d'endoscopie qui repose sur deux conjectures 《 locales 》, relevant de l'analyse harmonique sur les groupes p-adiques : le transfert et le lemme fondamental. Depuis vingt-cinq ans, beaucoup de mathematiques ont ete ecrites, soit pour resoudre ces conjectures, soit pour aller au-dela, en les adinettant.
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