VARIATIONS ON THE BERRY-ESSEEN THEOREM

摘要

Пусть X_1,..., X_n - независимые одинаково распределенные случайные величины со средним нуль и с единичной дисперсией. Предположим, что Е|X_1|~4 ≤ δ~4. Мы замечаем, что есть много способов выбрать коэффициенты θ_1,..., θ_n ? R,Σ_jθ_j~2=так, чтобы выполнялось неравенство sup α,β?Rα<β|P(α≤sum from j=1 to n of θ_jX_j≤β)-~1/(1/2)2π∫~β_αe~(-t~2/2)dt|≤(Cδ4)/n,(*) где С > 0 - универсальная константа. Для сравнения, известно, что при θ = (1,..., 1)/(1/2)n оценка O(1/(1/2)n) левой части (*), следующая из теоремы Берри-Эссена, в общем случае не может быть улучшена. Явный пример коэффициентов θ = (θ_1,...,θ_n), для ко торых выполнено неравенство (*), θ =~((1,((1/2)2), -1, -((1/2)2),1,((1/2)2), -1,-((1/2)2),...)) /((1/2)3n/2)) при п, делящемся на 4. Часть рассуждений применима также и в более общем случае, когда Х_1,..., Х_n - независимые случайные величины со средним нуль и с единичной дисперсией, не обязательно являющиеся одинаково распределенными. В этой общей постановке оценка (*) справедлива с δ~4 = n~(-1) sum from j=1 to of n E|X_j|~4 для большинства единичных векторов θ = (θ_1,...,θ_n) ? R~n. Здесь ?большинство? понимается относительно равномерной вероятностной меры на единичной сфере.