非線形分散型発展方程式の漸近解析

摘要

非線形Schr6dinger方程式，KortewegLdeVries方程式，Benjamin－Ono方程式に代表される非僻形分散型波動方程式は自然現象を記述する方程式として自然科学の各分野で広く用いられている．本論説の目的はこれらの方程式に対応する線形方程式の解が持つ固有振動数と非線形項が持つ固有振動数が非線形問題の解の漸近的振る舞いにどのような影響を与えるかを，mOdi丘edKorteweg－deVrieE方程式，3次の非線形項を持った非線形Schr6dinger方程式，あるいは非線形Schr6dinger方程式の相対論版である非線形Klein－Gordon方程式を例にとり，考えることである．これらの方程式は逆散乱法によって可積分であってソリトン解を持つことが知られているが，ここでは初期値あるいは最終借がソリトン解を生成しない問題に集中することにする（ソリトン解の研究については文献及び喝を参照されるとよい）?この場合，線形方程式の解が持つ固有振動数と非線形項が持つ固有振動数が共鳴現象を起こす場合と考えることができ，非線形問題の解の漸近的振る舞いは線形問題のそれとは異なることが知られている．すなわち線形方程式の解の近傍に非線形問題の解を見つけることが不可能であるので，別の方法を考える必要があるということになる"この事実を数学的に明らかにするために線形方程式の解の性質について調べ，その結果を非線形問題に応用することにしよう．Schr6dinger方程式