Дана формула, определяющая семейство приближенных решений системы нелинейных уравнений, и с ее помощью элементарно доказывается теорема о касательных направлениях и теорема о неявной функции. В предложенном доказательстве используется факт равенства нулю градиента отображения типа квадрата нормы в его стационарной точке, а также хрестоматийный результат безусловной оптимизации - теорема Ферма о необходимых условиях экстремума - и теорема Вей-ерштрасса о достижении непрерывной функцией минимума на компакте. Эти результаты доказываются для конечномерного случая и распространяются на банахово пространство. Приводится формула аппроксимации неявной функции с погрешностью третьего порядка малости. Построены итерационные методы решения систем уравнений и задач нелинейного программирования с ограничениями типа равенства, обладающие локальной кубической скоростью сходимости. В качестве приложения дается элементарное доказательство теоремы Лагранжа о необходимых условиях экстремума в задаче НЛП с ограничениями-равенствами.
展开▼
