数理計画法アプローチで新地平を拓く制御理論－双線形行列不等式の求解アルゴリズム

摘要

本稿は，双線形行列不等式（Bilinear Matrix Inequality，以下BMI）およびその求解アルゴリズムの解説である．制御系設計のための計算ツールとしてSafonovらによって定式化されて以来，BMIの大域解／局所解を求めるアルゴリズムの研究が続けられている．BMIの求解はNP困難であることが知られており，その意味でBMIは「解ける」問題ではない．また大域的な求解の代表的な手法である凸緩和に基づく分枝限定法のある意味での限界を示す結果も得られている．これらはBMIの計算ツールとしての可能性に対するネガティブな結果であるが，制御工学において現れる程度のサイズのBMIの大域的な解を許容できる時間内に求めることを不可能と結論づけるものではない．以下では，多くの制御系設計問題がBMIに帰着することを統一的な表現や確認した後で，以前の解説記事で触れられていないものおよび最近の進展を中心にいくつかの大域的な求解アルゴリズムを紹介する．記法：行列Aが正定値であることをA＞0であらわす．