Strategies of covariance matrix calculation in the PCA method applied for three-dimensional data

摘要

The paper presents a problem of reducing dimensionality of data structured in three-dimensional matrices, like true-color RGB digital images. In this paper we consider an application of Principal Component Analysis to one of the most typical image processing tasks, namely image compression. Unlike the cases reported in the literature [5,11,12] the compression being an application of three-dimensional PCA is performed on image blocks organized as three-dimensional structures (see Fig.1). In the first step, an image, which is stored as a three-dimensional matrix is decomposed into non-overlapping 3D blocks. Then each block is projected into lower-dimensional representation (1D or 2D) according to the chosen strategy: concatenation of rows, concatenation of columns, integration of rows, integration of columns [13] and concatenation of slices. Next, the blocks are centered (subtraction of mean value) and covariance matrices are being calculated. Finally, the eigenproblem is being solved on the covariance matrices giving a set of eigenvalues and eigenvectors, which are a base for creation of transformation matrices. Each block is then multiplied by respective transformation functions created from truncated eigenvectors matrices giving its reduced representation. The experimental part of the paper shows the comparison of strategies of calculating covariance matrices in the aspect of image reconstruction quality (evaluated by Peak Signal-to-Noise Ratio).%W niniejszym artykule przedstawiono problem redukcji wymiarowo?ci danych zorganizowanych w trójwymiarowych macierzach za pomoc? metody Analizy G?ównych Sk?adowych (PCA). W przeciwieństwie do znanych metod prezentowanych w literaturze [5,11,12] wybrane metody opisane w pracy zak?adaj? wykonanie obliczeń dla danych zagregowanych, bez ich rozdzielania na kana?y. W pierwszym kroku algorytmu obraz kolorowy (macierz trójwymiarowa) jest dekomponowany na niezale?ne sub-bloki (3D). Nast?pnie ka?dy z bloków jest poddawany projekcji 1D lub 2D zgodnie z przyj?t? strategi?: poprzez konkatenacj? wierszy, konkatenacj? kolumn, integracj? wierszy, integracje kolumn lub konkatenacj? warstw. W kolejnym kroku s? one centrowane i obliczane s? odpowiednie macierze kowariancji. Nast?pnie obliczany jest ich rozk?ad, który s?u?y do stworzenia macierzy transformacji 3D PCA. Za ich pomoc? przeprowadzana jest redukcja wymiarowo?ci danych obrazowych. W przypadku omawianym w niniejszej pracy kompresji poddany jest obraz RGB i oceniana jest jako?? rekonstrukcji (PSNR) jako funkcja liczby pozostawionych wspó?czynników przekszta?cenia.