Sur le Sous-Groupe de Décomposition d'une Courbe Irrationnelle dans le Groupe de Cremona du Plan

摘要

On désigne par P2 = P_c~2 le plan projectif sur le corps C des nombres complexes. Soit Cr(P~2) le groupe des transformations de Cremona sur le plan projectif et C C P2 une courbe irréductible non rationnelle; notons Cr(P~2)_c le sous-groupe de décomposition de C dans Cr(P~2), c'est-à-dirernCr(P~2)_c= {F ∈ Cr(P~2) : F(C) = C};rncette notion a été introduite par M. H. Gizatullin, dans un contexte général, dans [Gi] (comme Gizatullin explique dans l'Exemple 1 de cet article, cette terminologie est inspirée de la théorie de Galois; voir [Z, Chap. 5, Sec. 10]). On dira que F stabilise C si F∈ Cr(P~2)_c.rnObservons que la classe d'équivalence birationnelle d'une courbe non rationnelle C est un invariant (par conjugaison) de tout élément de Cr(P~2)_c- Le but de ce travail est de donner des renseignements sur le groupe Cr(P~2)_c et ses éléments dans les cas où C est lisse ou elle est singulière avec normalisation de genre > 1. Ce sujet a été traité classiquement, par exemple dans [Cl; Coo, Book IV; Go; Cob, Chap. I]; des références précises seront données au fur et à mesure que l'on développera le travail.rnConsidérons les exemples suivants; on note PGL(3) le groupe des automor-phismes du plan.rnExemple 1.1. Soit C une cubique lisse et p, q, r ∈ C trois points non alignés. Si F est une transformation quadratique standard définie par le choix d'une base ordonnée du système linéaire des coniques par p,q,r, on constate que F(C) est une cubique lisse isomorphe à C. Si ψ e PGL(3) est un isomorphisme linéaire qui envoie F(C) sur C, on a ψ . F ∈ Cr(P~2)_c; une droite que relie deux points de {p,q,r} est collapsée par celle-ci sur un point de C, donc les points-base de son inverse sont aussi sur C (cf. Théorème 1.3). On appelera une telle transformation une transformation quadratique C-générique. Observons qu'alors Cr(P~2)_c est infini non dénombrable, car p, q, r sont arbitraires.