Der Rand war zu schmal

摘要

Am 24. Mai 2016 wird Kronprinz Haakon von Norwegen den diesjährigen Abelpreis an Andrew Wiles verleihen, der im Jahr 1993 durch die Veröffentlichung eines Beweises für die Fermatsche Vermutung: „Die Gleichung a~n+ b~n = c~n besitzt keine Lösung mit ganzzahligen a,b,c ＞ 0 und ganzzahligem Exponenten n ＞ 2" weltweite Bekanntheit erlangte. Die spannende Geschichte der Fertigstellung des Beweises durch Andrew Wiles gemeinsam mit Richard Taylor ist wohlbekannt, genauso wie die Historie der Vermutung selbst: Pierre de Fermat brachte ca. im Jahre 1640 in seinem Exemplar der lateinischen Übersetzung der antiken Arithmetik des Diophant von Alexandria 48 Randbemerkungen an. Seinem Sohn ist es zu verdanken, dass diese in eine spätere Ausgabe derselben Übersetzung aufgenommen wurden und so auf uns gekommen sind. Eine davon enthält Fermats Vermutung samt Behauptung, einen Beweis dafür zu haben (siehe Abbildung 1). Mit dem heutigen Wissen über die Hintergründe können wir mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit ausschließen, dass Fermat tatsächlich einen korrekten Beweis besessen hat. Er hat jedoch den Spezialfall n = 4 erfolgreich behan-delt. Es handelt sich dabei um den einzigen Beweis, den uns Fermat hinterlassen hat. Er zeigte nicht nur die Unlösbarkeit von a~4 + b~4 = c~4, sondern sogar von c~4-b~4=x~2. (1) (Mit x = a~2 ergibt sich a~4 + b~4 = c~4, siehe Abb. 2 und 3.) Seine Methode des descente infinie ist äquivalent zum Induktionsprinzip. Es dürfte weniger bekannt sein, dass sich Fermat im Beweis von (1) ebenfalls über die Enge des Randes beklagt. Er findet jedoch Platz, um - mit vollem Recht - zu behaupten, dass die von ihm präsentierte Methode (i.w. die Methode der vollständigen Induktion) wun- derbare Fortschritte in der Arithmetik ermöglichen wird. Ihre Publikation in ungefähr 30 Jahre nach der ersten privaten Niederschrift durch den Autor erfolgte fast zeitgleich mit der systematischeren Behandlung der Induktion durch Pascal und Bernoulli. H. Edwards gibt in eine detaillierte Kritik dieses Beweises. Fermat hat ihn nie veröffentlicht, aber mehrmals brieflich versucht, Kollegen zu Beweisen seiner Aussage herauszufordern.